一元二次方程的解法初中数学教案

第一篇：一元二次方程的解法初中数学教案

1． 初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如 的方程； 2． 初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3． 掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4． 会用因式分解法解某些一元二次方程。

5． 通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。教学重点和难点

重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。教学建议：

一、教材分析：

1．知识结构：一元二次方程的解法

2．重点、难点分析

（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程 就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为 的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

1）把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2）把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。

3）当 时，才能求出方程的两根。

（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

二、教法建议

1． 教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

2.注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践．

第二篇：一元二次方程的解法小结

一元二次方程的解法小结

【学习目标】

1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；

2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法．

【前置学习】

一、自主学习（自主探究）：

1.独立思考·解决问题

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解决问题

通过对以上方程的解法，你能说出解一元二次方程的基本思路，总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？

知识汇总

（1）.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为，即

．

（2）.一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：

方法名称

理论根据

适用方程的形式

直接开平方法

平方根的定义

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0

（3）.一般考虑选择方法的顺序是：

法、法、法或

法

二、疑难摘要：

【学习探究】

一、合作交流，解决困惑：

1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决.）

2.班级展示与教师点拨：

展示1：用直接开方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？

【自我检测】

选择适当的方法解下列方程:

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第三篇：一元二次方程解法教学反思

用公式法解一元二次方程教学反思

张春元

通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。

本节课的重点主要有以下3点：

1.找出a,b,c的相应的数值

2.验判别式是否大于等于0

3.当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根.在讲解过程中,我没让学生进行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多.1、a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号

2、求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.其实在做题过程中检验一下判别式着一步单独挑出来做并不麻烦,直接用公式求值也要进行,提前做着一步在到求根公式时可以把数值直接代入.在今后的教学中注意详略得当,不该省的地方一定不能省,力求收到更好的教学效果

3、板书不太理想。板书可以说在课堂教学也起关键作用，它可以帮学生温习本课的内容，而我许多本该板书的内容全部反映在大屏幕上，在继续讲一下个内容时，这些内容也就不会再出现，只给学生瞬间的停留，这样做也有欠妥当。

4、本节课没有激情，学习的积极性调动不起来，对学生地鼓励性的语言过于少，可以说几乎没有。

第四篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知识点回顾：

定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

解法一 ——直接开方法

适用范围：可解部分一元二次方程

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±√n

归纳小结：

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解

自主练习：1：用直接开平方法解下列方程：

（1）x2225；（2）(x1)2

9；

（3）(6x1)2

250．（4）4(x2)2

810

（5）5(2y1)2

180；（61(3x1)264；（7）6(x2)2

41；

2.关于x的方程x29a212ab4b2

0的根x1，x2．

3.关于x的方程x2

2axb2

a2

0的解为解法二——分解因式法

适用范围：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次

式的乘积，•另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代数式aba2b2

baab的值．

分析：要求aba2bb2

aab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条

件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比

较容易发生错误．

解：原式=

a2b2a2b2ab2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-2b

=3，当a=2b时，原式23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

适用范围：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方拓展题．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）

看为一个数y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 6

1111y+，x+1=y-解：设6x+7=y则3x+4=

法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

用配方法解一元二次方程小口诀

二次系数化为一；常数要往右边移；一次系数一半方；两边加上最相当 例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来 完成，即配一个含有x的完全平方．

2266

依题意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

当y=3时，6x+7=36x=-4x=-

当y=-3时，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根为x2

51=-3，x2=-3

例5.求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老师）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=

12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有实数解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左边化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正确的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2



x10左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 9．代数式x2x2

x21的值为0，则x的值为________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

11．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

x10（4）3x2

6x10

（5）(x1)22(x1)

14．如果x-4x+y2

（6）2x25x40 0

（4）x23x2（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x27x20（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法证明：

（1）a2

a1的值恒为正；（2）9x2

8x2的值恒小于0．

（3）多项式2x4

4x2

1的值总大于x4

2x2

4的值．

16.用适当的方法解下列方程

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

第五篇：《一元二次方程的解法》教案

《一元二次方程的解法》教案

三亚市林旺中学

陈毓群

教学目标

1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．

初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．

掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．

会用因式分解法解某些一元二次方程。

5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点

重点：一元二次方程的四种解法。难点：选择恰当的方法解一元二次方程。教学建议：

一、教材分析：

1．知识结构：一元二次方程的解法

2．重点、难点分析

（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程 就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为 的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点： 1）把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2）把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。3）当 时，才能求出方程的两根。

（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式 1 分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

二、教法建议

1． 教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

2.注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践．

教学设计示例 教学目标

1.使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;2.在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；

3.在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。教学重点和难点

重点：掌握用配方法解一元二次方程。难点：凑配成完全平方的方法与技巧。教学过程 设计 一 复习

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。例

解方程：(x-3)2=4(让学生说出过程)。

解：方程两边开方，得

x-3=±2，移项，得

x=3±2。所以

x1=5,x2=1.(并代回原方程检验，是不是根)2

4.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)(x-3)2=4，① x2-6x+9=4，② x2-6x+5=0.③ 二 新课 1.逆向思维

我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)2。

2.通过观察，发现规律

问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。

(添一项+1)即

(x2+2x+1)=(x+1)2.练习，填空：

x2+4x+()=(x+)2;

y2+6y+()=(y+)2.算理

x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即.+()④

(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次 项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)

项固练习(填空配方)

总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?算理是什么?

巩固练习(填空配方)

x2-bx+()=(x-)2;

x2-(m+n)x+()=(x-)2.3