一元二次方程解法——配方法 教学设计

第一篇：一元二次方程解法——配方法 教学设计

《解一元二次方程——配方法》 教学设计

漳州康桥学校

陈金玉

一、教材分析

1、对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，他又是公式法的基础：同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础.一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位.我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固.初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升.我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法.解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，这就是降次.2、本节课由简到难展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体解法.二、学情分析

1、知识掌握上，九年级学生学习了平方根的意义和两个重要公式——平方差公式和完全平方公式，这对配方法解一元二次方程打好了基础.2、学生对配方法怎样配系数是个难点，老师应该予以简单明白、深入浅出的分析.3、教学时必须从学生的认知结构和心理特征出发，分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲.当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题.而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法解一元二次方程打好了基础.三、教学目标

（一）知识技能目标

1、会用直接开平方法解形如xmn（n0）.22、会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.（二）能力训练目标

1、理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法.2、了解用配方法解一元二次方程的基本步骤.（三）情感与价值观要求

1、通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力，激发学生的学习兴趣.2、能根据具体问题的实际意义，验证结果的合理性.四、教学重点和难点

教学重点：用配方法解一元二次方程 教学难点：理解配方法的形成过程

五、教学过程(一)活动1：提出问题

要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16m，场地的长和宽各是多少？ 设计意图：让学生在解决实际问题中学习一元二次方程的解法.师生行为：教师引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路，学生讨论分析.（二）活动2：温故知新

21、填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律.（1）x6x x3(2)x8x （x)2222（3）x12x (x)2(4)x5x (x)

222(5)a2ab (a)(6)a2ab (a)2

2222、用直接开平方法解方程：x26x92

设计意图：第一题为口答题，复习完全平方公式，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣.(三)活动2：自主学习

自学课本思考下列问题：

1、仔细观察教材问题2，所列出的方程x26x160利用直接开平方法能解吗？

2、怎样解方程x26x160？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流.）

3、讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？

4、什么叫配方法？配方法的目的是什么？

5、配方的关键是什么？

交流与点拨：

重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式.利用a±2ab+b=(a±b).222注意：9=（），而6是方程一次项系数.所以得出配方的关键是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式.设计意图：学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想(四)活动4：例题学习

例：解下列方程：

（1）x8x10（2）2x13x（3）3x6x40

教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤.交流与点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项.（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方.（4）原方程变为mxnp的形式.22222（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解.设计意图：牢牢把握通过配方将原方程变为mxnp的形式方法.2（五）课堂练习：导学练上面的【课堂检测】习题

师生行为：对于解答题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评.设计意图：通过练习加深学生用配方法解一元二次方程的方法.六、归纳与小结：

1、理解配方法解方程的含义.2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点.4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次.

第二篇：一元二次方程的解法(配方法)教学设计

一元二次方程的解法（配方法）教学设计

一、教材版本：义务教育课程标准实验教科书数学（华师大版）九年级上册第二十三章第二节

二、教材结构与内容分析：

本节内容是初中数学九年级上册教材第二十三章第二节。在此之前，学生已经学习了一元二次方程的直接开平方法和完全平方公式，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。配方法虽然不是解一元二次方程的主要方法，但是通过配方法可以推导出公式法的求根公式，并且是今后运用配方的思想解决一些数学问题的基础。所以，本节内容在教材中起到承前启后的作用，在整个初中的数学学习都起到至关重要的作用。

三、教学目标：

（一）知识与技能目标：

1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。

2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。

（二）过程与方法目标：

1、理解配方法的思想方法。

2、体会转化的数学思想方法。

（三）情感与态度目标：

1、通过师生的共同活动，培养学生积极参与、主动探索、敢于发表见解的精神。

2、在探索中寻求解决问题的方法和途径，从而不断拓展数学思维。

四、教学重点、难点：

重点：利用配方法解简单的一元二次方程。

难点：通过配方把一元二次方程转化为（x+m）2=n(n≥0)的形式。关键：如何把x2+bx配成一个关于x 的完全平方式。

五、教法：

根据教学内容的特点及学生的年龄、心理特征及已有的知识水平，本节课采用问题教学和对比教学法，用“创设情境——建立数学模型——巩固与运用——反思、拓展”来展示教学活动。

六、学法：

本节课要求学生多观察，勤思考，从而帮助学生形成分析、对比和归纳的思想方法，在对比学习中，提高学生利用已有的知识去主动获取新知识的能力，让学生真正成为学习的主体。

七、教学过程

教学过程

教学内容

（一）创设情境，设疑引新 在实际生活中，我们常常会遇到一些

学生活动

教学说明 从实际问题出发，让学生感受到“生活中处处问题，需要用一元二次方程来解决。学生观看课件，思考老师提有数学”，并感受到问题例如：

【请你帮帮忙】小明用一段长为20米的竹篱笆围成一个矩形，怎样设计才可以使得该矩形的面积为9米2？

（二）复习旧知

练习：用直接开平方法解下列方程（1）9x2=4(2)(x+3)2=0 总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。

（三）尝试指导，学习新知

1、提问：这样的方程你能解吗？

x2＋6x＋9＝0 ①

2、提问：这样的方程你能解吗？

x2＋6x＋4＝0 ②

思考：方程②与方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？

【归纳】配方法：

通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配方法。

配方法的依据：完全平方公式。

(四)合作讨论，自主探究 下面我们研究对于一般的一元二次方程怎样配方。

1、配方训练 课本87页练习第一题。补充：x2+mx＋()＝[x+()]2

出的问题，得到：设该矩形的存在，从而激发学生的长为x米，依题意得

x(10－x)=9 但是发现所列方程无法用的求知欲。的基础。

直接开平方法解。于是引入直接开平方法是配方法

新课。

学生通过观察发现，方程的先让学生独立解题，感左边是一个完全平方式，可受到解题的困难，然后以化为(x+3)2=0，然后就引导学生去观察方程的可以运用上节课学过的直接开平方法解了。

方程②的左边不是一个完

特点，寻找解一元二次方程的新的解法，培养学生勇于探索的精神。

方程，发现它们之间的全平方式，于是不能直接开引导学生通过对比两个

平方。

学生陷入思考。给学生充分联系，从而找到解决问思考、交流的时间和空间。题的突破口，依据完全在学生思考的时候，老师引导学生将方程②与方程①进行对比分析，然后得到：

x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9

（x+3）2=5 从而可以用直接开平方法

解。

给出完整的解题过程。

础上总结：配方时，常数项为一次项系数的一半的平

方。

平方公式进行配方。

初步体会和理解配方

法。

具体到抽象的思维过

程。

通过练习深化配方的过程，为下一步学习配方

法做铺垫。

在学生充分思考、讨论的基体会从特殊到一般，从

2、将下列方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式。（1）x2－4x＋3＝0（2）x2＋3x－1＝0 然后进一步指导学生用配方法解以上两个方程。

3、巩固提高：课本87页练习第二题。

（五）总结、拓展

【总结】

1、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本思路：先将方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式，然后两边开平方就可以得到方程的解。

2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：（1）移项（常数项移到方程右边）

（2）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）

（3）开平方（4）解出方程的根 思考：为什么配方的过程中，方程的两边都加上一次项系数的一半的平方？

点拨：用图形直观地表示。（如课本86页例题）

3、帮助小明解决问题。

5、【拓展】请判断： x2－4x＋3的值能否等于－2？

点拨：先通过移项将方程左边化为x2＋ax形式，然后两边同时加上一次项系数

几个问题的设计是层层递进，化解了教学的难的一半的配方进行配方，然度。学生在探索、交流后直接开平方求解。强调：当一次项系数为负数或分数时，要注意运算的准

确性。

组合作交流。

学生归纳后教师再做相应的补充和强调。

让学生注意体会数形结合的思想方法。

学生练习。

方。

据。

【方法一】若x2－4x＋3＝的过程掌握了知识，培

养了能力。

配方法的解题步骤，并体会配方法和直接开平方法的联系。基础训练是为了巩固学生对重点

内容的掌握。

将所学的知识进行归纳、总结，可以进一步巩固所学知识，使学生对本节内容有较为系统的再认识。

前后呼应。

将知识的获得和技能的形成融合与问题解决的过程中。通过拓展练习进一步理解配方法的运用。

要检查学生的练习情况。小通过练习，进一步体会

4、【变式题】解方程（x+1）(x+2)=1 学生发现：应先展开再配（从而指出该式的最小值为－1。）有两个方法，强调变形的依

(六)布置作业

思考：

1、利用配方法说明：无论x为何值，代数式x2－x＋1的值均不会小于 ？

2、当二次项系数不是1时，用配方法如何解2x2－5x＋2＝0？

八、教学设计说明：

—2，那么有（x—2）2=－1，∵－1<0 原方程无解。【方法二】x2－4x＋3 ＝x2－4x＋4－4＋3 ＝（x—2）2－1 ∵（x—2）2≥0 ∴（x—2）2－1≥－1 ∴x2－4x＋3的最小值为－

1，不可能为－2。

课后作业第1题是检查学生对知识的灵活运用，第2题是使学生进一步理解和掌握配方法，培养学生进行知识迁移、转化的能力。

配方法是初中数学教学中的重要内容，也是数学学习的主要思想方法。本节课我在教材的处理上，既注意到新教材、新理念的实施，又考虑到传统教学优势的传承，使自主探究、合作交流的学习方式与数学基础知识、基本技能的牢固掌握、灵活应用有效结合。新的课程标准突出了数学知识的实际应用，所以在教学实际中，我力求将解方程的基本技能训练与实际问题的解决融为一体，在解决实际问题的过程中提高学生的解题能力。因此，我先创设了一个实际问题的情境，让学生感受到“生活中处处有数学”。为了突破本节课的难点，我在教学中注意找准学生的最近发展区，主要以启发学生进行探究的形式展开。在知识探究的过程中，设计了几个既有联系又层层递进的问题，使学生在探究的过程中能体会到成功的喜悦。本节的重点是配方法解一元二次方程的探究，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。在教学中，自主探究，合作交流，学生在探究的过程中掌握了和理解了配方法。小结的时候教师要根据实际情况进行补充和强调，主要是以下两个方面：在知识方面，要回顾配方法解方程的一般步骤和依据；在方法方面，注意解一元二次方程的思想是“降次”。课后作业注重基础知识和基本技能的训练，又注意为下一节学习做准备。

第三篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知识点回顾：

定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

解法一 ——直接开方法

适用范围：可解部分一元二次方程

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±√n

归纳小结：

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解

自主练习：1：用直接开平方法解下列方程：

（1）x2225；（2）(x1)2

9；

（3）(6x1)2

250．（4）4(x2)2

810

（5）5(2y1)2

180；（61(3x1)264；（7）6(x2)2

41；

2.关于x的方程x29a212ab4b2

0的根x1，x2．

3.关于x的方程x2

2axb2

a2

0的解为解法二——分解因式法

适用范围：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次

式的乘积，•另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代数式aba2b2

baab的值．

分析：要求aba2bb2

aab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条

件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比

较容易发生错误．

解：原式=

a2b2a2b2ab2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-2b

=3，当a=2b时，原式23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

适用范围：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方拓展题．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）

看为一个数y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 6

1111y+，x+1=y-解：设6x+7=y则3x+4=

法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

用配方法解一元二次方程小口诀

二次系数化为一；常数要往右边移；一次系数一半方；两边加上最相当 例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来 完成，即配一个含有x的完全平方．

2266

依题意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

当y=3时，6x+7=36x=-4x=-

当y=-3时，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根为x2

51=-3，x2=-3

例5.求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老师）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=

12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有实数解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左边化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正确的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2



x10左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 9．代数式x2x2

x21的值为0，则x的值为________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

11．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

x10（4）3x2

6x10

（5）(x1)22(x1)

14．如果x-4x+y2

（6）2x25x40 0

（4）x23x2（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x27x20（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法证明：

（1）a2

a1的值恒为正；（2）9x2

8x2的值恒小于0．

（3）多项式2x4

4x2

1的值总大于x4

2x2

4的值．

16.用适当的方法解下列方程

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

第四篇：一元二次方程的解法配方法教学设计（共）

教学目标：

（一）知识与技能：

1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。

2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。

（二）过程与方法目标：

1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想。

2、在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程的过程，培养学生用转化的数学思想解决实际问题的能力。

（三）情感,态度与价值观

启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径，提高学生分析问题,解决问题的'能力。

教学重点、难点：

重点：理解并掌握配方法，能够灵活运用用配方法解一元二次方程。

难点：通过配方把一元二次方程转化为（x+m）2=n(n≥0)的形式。

教学方法：根据教学内容的特点及学生的年龄、心理特征及已有的知识水平，本节课采用问题教学和对比教学法，用“创设情境——建立数学模型——巩固与运用——反思、拓展”来展示教学活动。

教学过程

教学过程

教学内容

学生活动

设计意图

一 复习旧知

用直接开平方法解下列方程：

（1）9x2=4(2)(x+3)2=0

总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。

二 创设情境，设疑引新

在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决。

例：小明用一段长为 20米的竹篱笆围成一个矩形，怎样设计才可以使得矩形的面积为9米？

三 新知探究提问：这样的方程你能解吗？

x2＋6x＋9＝0 ①

2、提问：这样的方程你能解吗？

x2＋6x＋4＝0 ②

思考：方程②与方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？

归纳总结配方法：

通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配方法。

配方法的依据：完全平方公式

配方法的关键：给方程的两边同时加上一次项系数一半的平方

点拨：先通过移项将方程左边化为x2＋ax形式，然后两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后直接开平方求解。

四 合作讨论，自主探究

1、配方训练

(1)x2+12x+()=(x+6)2

(2)x2-12x＋()＝(x-)2

(3)x2+8x+()=(x+)2

(4)x2+mx+()=(x+)2

强调：当一次项系数为负数或分数时，要注意运算的准确性。

2、将下列方程化为（x+m）2=n

(n≥0)的形式并计算出X值。

（1）x2－4x＋3＝0

（2）x2＋3x－1＝0

解：X2-4X+3=0

移向：得X2-4X=-3

配方:得X2-4X+2^2=-3+2^2(两边同时加上一次项系数一半的平方)

即：（X-2)2=1

开平方,得：X-2=1或X-2=-1

所以：X=3或X=1

方程（2）有学生完成。

3、巩固训练：课本55页随堂练习第一题。

五 小结

1、用配方法解二次项系数为一的一元二次方程的基本思路：先将方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式，然后两边开平方就可以得到方程的解。

2、用配方法解二次项系数为一的一元二次方程的一般步骤：

（1）移项（常数项移到方程右边）

（2）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）

（3）开平方

（4）解出方程的根

六 布置作业

习题2.3第1,2题

两个学生黑板上那解题，剩余学生练习本上计算。

学生观看课件，思考老师提出的问题，得到：设该矩形的长为x米，依题意得

x(10－x)=9

但是发现所列方程无法用直接开平方法解。于是引入新课。

学生通过观察发现，方程的左边是一个完全平方式，可以化为(x+3)2=0，然后就可以运用上节课学过的直接开平方法解了。

方程②的左边不是一个完全平方式，于是不能直接开平方。学生陷入思考，给学生充分思考、交流的时间和空间。

在学生思考的时候，老师引导学生将方程②与方程①进行对比分析，然后得到：

x2＋6x＝－4

x2＋6x＋9＝－4＋9

（x+3）2=5

从而可以用直接开平方法解，给出完整的解题过程。

在学生充分思考、讨论的基础上总结：配方时，常数项为一次项系数的一半的平方。

检查学生的练习情况。小组合作交流。

学生归纳后教师再做相应的补充和强调。

学生分组完成方程（2）和课后随堂练习第一题

学生分组总结本节课知识内容。

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9.一元二次方程教学设计

第五篇：一元二次方程配方法教学设计说明

《解一元二次方程——配方法(第一课时)》教学设计说明

太原师范学院附属中学 侯伟

本节课，选自《人教版义务教育课程标准实验教材》九年级上册第二十二章第二节, 我将从四个方面对本节课教学设计进行说明．

一、本课数学内容的本质、地位、作用分析 1.本课数学内容的本质

配方法是从平方的定义求解一元二次方程的一种方法，是推导一元二次方程公式解的必要条件.2.教材的地位和作用

配方法是以配方为手段、以平方根定义为依据解一元二次方程的一种基本方法，其中所涉及的完全平方式、求一个非负数的平方根以及解一元一次方程等都是学生已有的知识与技能，为本节课的学习奠定了知识技能方面的基础.学生在七年级已经较好地掌握了一元一次方程的基本解法，初步了解到解方程的过程就是一个沟通“未知”与“已知”的过程，本节在此基础上，经历探索解方程的过程中，通过复杂问题向简单问题、特殊向一般的转化，使学生进一步会转化、归纳等数学思想，总结配方法的基本思路.一元二次方程的解法在初等数学领域有着十分广泛的应用,它与二次函数(九年级)、二次不等式(高中)有着密切的联系，是进一步完善方程体系的有效载体.二、教学目标分析

1.知识技能

(1)能正确运用平方根的定义解形如x2=n（n≥0）与（mx+ n）2=p（p≥0）的一元二次方程；

(2)能正确书写一元二次方程的根；

(3)能指出转化后的两个一元二次方程.会用配方法求出二次项系数为

1、一次项系数为偶数(绝对值小于10)的一元二次方程的根．

2.数学思考

在根据平方根的定义解形如x2=n（n≥0）的方程的过程中，能运用“整体性 ”将此方法迁移到解形如（mx+ n）2=p（p≥0）的方程.3.解决问题

在学习的过程，体会配方法的运用，并能求解形如a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程，进一步发展符号感，提高代数运算能力.4.情感态度

在探索活动中体验探究的乐趣，克服数学活动中的困难，促进形成学好数学的自信心，体会与他人作交流的优点。

三、教学问题诊断

《课程标准(实验稿)》对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理.本节则主要在于熟练运用配方法解方程，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程；培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性.如何配方是本节课的学习重点与难点，如何找到对应的常数项是解决问题的关键.在进行这一块内容的教学时，提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索；提供充分探索与交流的空间；在巩固、应用配方法时，从一元二次方程二次项系数为1讲到二次项系数不为1的情况，呈现形式丰富多彩，教学内容的编排螺旋式上升.这既提高了学生的学习兴趣，又加深了对所学知识的理解.在学习应用配方法解一元二次方程时，一定要首先掌握好直接开平方法，弄清楚配方法就是将方程变形为我们熟悉的能用直接开平方法求解的形式，在这里关键要掌握配方的方法，也就是配方法解一元二次方程的基本步骤，这是基本，也是关键.若以上两个问题能透彻理解把握，就会学好本节.四、本节课的教法特点以及预期效果分析

1、本节课的教法特点

根据新课程标准的评价理念，在教学过程中，我们不仅要注重学生的参与意识和学生对待学习的态度是否积极，而且更要注重引导学生尝试从不同角度分析和解决问题.本学段的学生独立思考、探索的愿望和能力有所提高，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法.因此，本节课采用“自主探索、合作交流与教师引导相结合”的教学方式，给学生提供充分的探索与交流的空间，使学生进一步经历观察、实验、猜想、证明等一系列的数学活动，在活动中获得知识，发展能力，形成解决问题的一些基本策略，体验数学活动的探索性与创造性，感受数学的严谨性和结论的确定性.本节课教学采用了“自主探究”模式，由“创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用” 五个教学环节组成.在教学中，从学生熟悉的实际问题情境出发，把较多的课堂时间留给学生，使他们有机会独立思考、相互切磋，并发表意见.而教师作为自主探究活动的组织者、引导者、管理者，运用了讨论法、讲解法、发现法等多种教学方法的组合，既注重提供知识的直观素材和背景材料，又为激活相关知识和引导学生思考探究创设生动有趣的现实问题情境.教学的各个环节均从提出问题开始，在师生共同分析、讨论和探究中展开学生的思路，把启发式思想贯穿于教学活动的全过程.2、预期效果分析

本节课的教学设计坚持从学生情况出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，充分尊重学生，多种方法并用，注意培养自学能力，以使学生充分理解所学内容；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，并注重对方法的总结；强调通过学生积极、主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维.总之，在数学课堂教学的过程中，教师必须认真审视自己在新课堂教学中的角色和职能，只有“相信学生自主学习，主动思维”才会让我们的课堂教学更有效，才能创造出课堂教学的辉煌，也只有这样的课堂才能让学生不断的迸发出智慧的火花.