第一篇:2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计 教案
教学准备
1.教学目标
1、知识与技能:
了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
2、过程与方法:
通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
3、情感态度与价值观:
通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
2.教学重点/难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.3.教学用具
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平面向量的实际背景及基本概念
教学过程
(一)导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢?学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质?由此展开新课.(二)推进新课、新知探究、提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么?还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么?怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢?
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢? ③数量与向量的区别在哪里?
活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大;物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大;速度与加速度都是既有大小,又有方向的量;物理中的动量与冲量都有方向,且有大小;物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果: ①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题 ①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? ⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?怎样定义平行向量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系? ⑦数量与向量有什么区别? ⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?
活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面.已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作
.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度
.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是: 1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作
:.这里要提醒学生注意的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.2°用字母a,b,c,„表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用)3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作|
|(或|a|).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a>b就没有意义,而|a|>|b|有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,„表示(印刷用粗黑体表示),手写用来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如、.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3 ③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤对平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义;向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4
又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出=a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.(三)应用示例 例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)
分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:表示A地至B地的位移,且|100 000)
|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,与
是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以∥.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.课堂小结
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算;然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.课后习题 1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么?(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)
2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个点
D.一个圆 答案:D
3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是()A.一个点
B.两个点
C.一个圆
D.一条线段 答案:B
板书
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示 2.1.3相等向量与共线向量
第二篇:数学平面向量的实际背景及基本概念教学设计
数学平面向量的实际背景及基本概念 教学设计
一、教学分析
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标
1、知识与技能: 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
2、过程与方法:
通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
3、情感态度与价值观:
通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
三、重点难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、教学设想:
(一)导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢?学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质?由此展开新课.图1 思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移?从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.(二)推进新课、新知探究、提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么?还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么?怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢?
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢? ③数量与向量的区别在哪里?
活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大;物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大;速度与加速度都是既有大小,又有方向的量;物理中的动量与矢量都有方向,且有大小;物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果: ①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题
①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? ⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?怎样定义平行向量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系? ⑦数量与向量有什么区别? ⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别? 活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.2
图2 知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是: 1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB.这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.2°用字母a,b,c,„表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a)3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a>b就没有意义,而|a|>|b|有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,„表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3 ③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义;向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.3
图4 又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA=a,OB=b, OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.(三)应用示例
例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)
图5 分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练
一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.4
图6 解:根据题意画出示意图,如图6所示.|AB|=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°, ∴△ABC为正三角形.∴|CA|=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7 例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,AB与CD是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8 例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与OA、OB、OC、相等的量.活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA与 EF,OB与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练
本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个?(11个)本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量?(存在)例4 下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案:C 点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练 1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么?(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆 答案:D 3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是()A.一个点B.两个点 C.一个圆D.一条线段 答案:B
(四)课堂小结
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算;然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.(五)作业
第三篇:平面向量的实际背景及基本概念教学设计
“平面向量的实际背景及基本概念”教学设计
一、课标要求
通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。
二、教材分析
(一)本节的地位和作用
向量是近代数学最重要的和最基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何和三角函数的桥梁,是解决几何问题的有力工具,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量有着丰富的实际背景,在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景,有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念。向量集数与形于一身,是数形结合的重要体现。向量作为数学模型,广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活的问题,因此它在整个高中数学学习过程中占有特别重要的地位。
本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用。本节课重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路,进而提高提出问题,解决问题的能力。
(二)本节的主要内容
向量就是从物理背景中抽象概括出来的数学概念,因此把本节课的主要内容确定为向量的概念和向量的表示方法。
(三)教学重点、难点分析
掌握向量的概念,要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材,但对向量的认识还是比较单一的(往往只考虑大小而忽略方向),所以平面向量的概念是本节课的重点也是难点,同时,向量的几何表示也是本节课的重点。
教学重点:向量的概念及向量的表示方法.教学难点:向量的概念和向量与有向线段的区别.三、学情分析
从学生已经学习过的知识中看,他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、单位长度、0和1的特殊性。还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型,并且在三角函数线部分内容的学习中(必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质)已经接触到有向线段的概念,从而为本节课的学习提供了知识准备。
从学生现有的学习能力看,学生已经具备了一定的抽象概括的能力,因此从物理背景中抽象并概括出向量的概念不是太难。
学生在学习本节课内容过程中,主要理解向量的概念和向量的表示方法,学生可能会对向量的几何表示方法(有向线段)与平面向量进行混淆,因此在教学中应该对学生进行引导性的提问,让学生理解它们的区别。
四、教学目标
(一)知识与技能
(1)通过对位移、力等实例的分析,抽象概括出平面向量的概念;
(2)理解平面向量的几何意义及几何表示;
(3)掌握向量的模、零向量及单位向量的概念。
(二)过程与方法
经历平面向量的概念的形成过程,提高抽象概括能力,引导用观察、类比、归纳等发现规律的一般方法解决数学问题。
(三)情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程,提高自主探究能力,进一步提高学习数学的乐趣,由感性思维逐步提升到理性思维。
五、教学理念
(一)自主建构
知识不能被动接受、不能被传递,需要学生主动地自我建构。在学习向量概念之前,学生已经学习了物理中矢量的概念,通过对原有知识框架的整合,达到学习新概念的目的,有利于学生对数学知识意义的理解、数学能力的提高、数学素质的养成。
(二)具体与抽象相结合
向量是一个抽象出来的概念,因此要通过具体的实际背景,如位移等具体的概念引入,再进一步得出向量的概念。只有当学生形成了一定的感性认识之后,才可能形成抽象的概念。
六、教学方法
本节课采用讲解法。本节课是对新概念的学习,采用讲解法有利于保持知识的科学性和系统性。因此在讲解时要注意把握向量的物理意义和它的实际背景,有助于学生认同新概念的合理性,便于加深学生对向量内涵的理解,提高学生的抽象概括能力。
七、教学过程
(一)情境创设
思考:如何由A点确定B点位置,如图
一种常用的方法是,以A点为参照点,用B点与A点之间的方位和距离确定B点的位置,如B点在A点东偏南45,30千米处。这样,在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置,有向线段AB就是A点与B点之间的位移。像位移这种既有大小又有方向的量,加以抽象,就是这节课我们要学的向量。设计意图:为学生得出向量概念(位移、速度、力)提供依据。
(二)概念形成
1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量。
强调:数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量既有大小,又有方向,不能比较大小。2.向量的表示方法
思考:物理学中如何画物体所受的力? 用有向线段表示,线段的长度表示力的大小,箭头表示方向。
设计意图:启发学生运用类比的数学思想,得出向量的表示方法。(1)几何表示法:常用一条有向线段表示向量。
符号表示:以A为起点、B为终点的有向线段,记作AB。(注意起终点顺序).(2)字母表示法:可表示AB为a.(注意课本上的表示是黑体,书写的时候上面要标箭头)
注意:向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段。
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.3.向量的模
向量AB的大小——向量AB长度称为向量的模.记作:|AB|.4.两个特殊的向量
(1)零向量——长度为零的向量,记作0.规定0的方向是任意的。(2)单位向量——长度等于1个单位长度的向量.
(三)练习巩固
课本P75页例1,P77页第一题
(四)归纳小结
本节课主要学习了向量的概念和向量的表示方法。我们要注意的是: 1.描述一个向量有两个指标——模、方向。
2.向量的图示,要标上箭头、起点和终点,以体现它的直观性.
第四篇:示范教案(2.1平面向量的实际背景及基本概念)(推荐)
高中数学新课标必修⑤教案
麻阳一中
舒佑勇
第二章
平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
第一课时
教学目标
1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.重点难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢?学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质?由此展开新课.图1 推进新课 提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么?还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么?怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢?
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢? ③数量与向量的区别在哪里?
①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题
①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? ⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?怎样定义平行向量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系? ⑦数量与向量有什么区别? ⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别? 讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向 高中数学新课标必修⑤教案
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舒佑勇
量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义;向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4
又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA=a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.应用示例
例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.图5 分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)
000)AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC长度×8 000 000÷ 变式训练
一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.高中数学新课标必修⑤教案
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例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,AB与CD是共线向量;(2)单位向量都相等.解:(1)正确;(2)不正确.图8 例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与OA、OB、OC、相等的量.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.例4 下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
答案:C 变式训练 1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么?(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个点
D.一个圆 答案:D 3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是()A.一个点
B.两个点 C.一个圆
D.一条线段 答案:B 知能训练
课本本节练习.解答: 1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.2.|AB|,|BA|,这两个向量的长度相等,但它们不等.点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.高中数学新课标必修⑤教案
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3.|AB|=2,|CD|=2.5,|EF|=3,|GH|=22.4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.课堂小结
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算;然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.作业
课本习题2.1 1、2.
第五篇:《平面向量》单元教学设计范文
《平面向量》单元教学设计
武都区两水中学 王斌
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。
一、单元教学目标
本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。通过本章学习,应引导学生:
1.通过力和力的分析等实例,知道向量的实际背景,会运用平面向量和向量相等的含义,会向量的几何表示。
2.通过实例,会算向量加、减法的运算,并会求其几何意义。
3.通过实例,熟练运用向量数乘的运算,并解释其几何意义,以及两个向量共线的含义。
4.能说出向量的线性运算性质及其几何意义。5.知道平面向量的基本定理及其意义。6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。8.解释用坐标表示的平面向量共线的条件。
9.通过物理中“功”等实例,说明平面向量数量积的含义及其物理意义。10.体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
11.识记数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
12.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。13.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。
二、学习者特征分析
向量是近代数学中重要的和基本的概念之一,它是沟通代数几何与三角的一种工具。向量对学生来说是比较新的内容,学生对它的学习可以说是充满了探求的欲望,应当说能够使大部分学生在此章节的学习中体会到学习的成功乐趣。学生在学习本单元内容之前,已熟知了实数的运算体系,具备了物理知识.这都为学习向量准备好各方面条件.三、单元教材分析
本章共安排了5个小节及2个选学内容,大约需要12个课时,具体分配如下 2.1平面向量的实际背景及基本概念 2课时 2.2 向量的线性运算 2课时
2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2课时 2.4平面向量的数量积 2课时 2.5平面向量应用举例 2课时
小结 2课时
本章知识结构如下:
1.第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。教科书首先从位移、力等物理量出发,抽象出既有大小、又有方向的量——向量,并说明向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。
2.第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容。
教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律;再用相反向量与向量的加法定义向量的减法,把向量的减法与加法统一起来,并给出向量减法的几何意义;然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义,给出了实数与向量的积的运算律;最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则。
3.第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示。
平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理,同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念;然后在平面向量基本定理的基础上,给出了平面向量的正交分解及坐标表示,向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念,最后给出平面向量共线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系,这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。
4.第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
教科书从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示。向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题。
5.第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用。本节通过几个具体的例子说明了它的应用。
6.为了拓展学生的知识面,使学生了解向量及向量符号的由来,向量的运算(运算律)与几何图形形式的关系,本章安排了两个“阅读与思考”:向量几向量符号的由来,向量的运算(运算律)与图形性质。
四、教学中要注意的几个问题
1.突出向量的物理背景与几何背景
教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定“位置”中的位移概念,说明学习向量知识的意义;在2.1节,通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材,说明它们都是既有大小又有方向的量,由此引出向量的概念;引出向量概念后,教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景,并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排,可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用,使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。
教科书借助几何直观,并通过与数的运算的类比引入向量运算,以加强向量的几何背景。
2.强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。
为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用,本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。另外,向量也是解决数学问题的好工具,例如,和(差)角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导;向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁,是一个很好的数形结合工具,教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍,并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。
3.强调向量法的基本思想,明确向量运算及运算律的核心地位。
向量具有明确的几何背景,向量的运算及运算律具有明显的几何意义,因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外,向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联,向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示,图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示。这样,建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后,可以使图形的研究推进到有效能算的水平,向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起。
几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性,不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为
[形到数]——[数的运算]——[数到形],则向量方法可简单地表述为
[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。
教科书特别强调了向量法的上述基本思想,并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性,教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳,同时还明确使用了“因为有了运算,向量的力量无限;如果没有运算,向量只是示意方向的路标”的提示语。
4.通过与数及其运算的类比,向量法与坐标法的类比,建立相关知识的联系,突出思想性。
向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系,在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路,同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此,教科书在向量概念的引入,向量的线性运算,向量的数量积运算等内容的展开上,都注意与数及其运算(加、减、乘)进行类比。
5.引导学生用数学模型的观点看待向量内容
在向量概念的教学中,要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识,创设丰富的情景,例如物理中的力、速度、加速度,力的合成与分解,物体受力做功等,通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景,引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题,使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。
6.加强向量与相关知识的联系性,使学生明确研究向量的基本思路
向量既是代数的对象,又是几何的对象。作为代数对象,向量可以运算,而且正是因为有了运算,向量的威力才得到充分的发挥;作为几何对象,向量可以刻画几何元素(点、线、面),利用向量的方向可以与三角函数发生联系,通过向量运算还可以描述几何元素之 4 间的关系(例如直线的垂直、平行等),另外,利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中,教师应当充分关注到向量的这些特点,引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。
五、教学评价
对本单元的教学我主要通过以下几种方式进行:
1、通过与学生的问答交流,发现其思维过程,在鼓励的基础上,纠正偏差,并对其进行定性的评价。
2、在学生讨论、交流、协作时,教师通过观察,就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价,以此来调动学生参与活动的积极性。
3、通过练习来检验学生学习的效果,并在讲评中,肯定优点,指出不足。
4、通过作业,反馈信息,再次对本节课做出评价,以便查漏补缺。