1.2.1函数的概念教学设计

第一篇：1.2.1函数的概念教学设计

“函数的概念”教学设计

一、内容和内容解析

“函数”是中学数学的核心概念．

在初中，学生已经学习过函数概念．初中建立的函数概念是：

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量．

这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系．从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式．后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制．如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究．例如

对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然．

进入高中，学生需要建立的函数概念是：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作

y＝f（x），x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）|x∈A叫做函数的值域．

这个概念与初中概念相比更具有一般性．

实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的．不同点在于，表述方式不同──高中明确了集合、对应的方法．初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点．

与初中相比，高中引入了抽象的符号f（x）．f（x）指集合B中与x对应的那个数．当x确定时，f（x）也唯一确定．

另外，初中并没有明确函数值域这个概念．

函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：

①两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应．

②涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空；

这里的关键词是“每一个”“唯一确定”．也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有．而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应．

③函数概念中涉及的集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数．

二、目标和目标解析

（1）通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素．

（2）会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域．（3）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力．

教学的重点是，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念．然后再进一步理解它．

三、教学问题诊断分析

（1）对函数概念中的“每一个”、“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深．教学中，可以通过反例让学生加以认识．比如

有一位学生的考试情况是这样的

集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考试成绩．

就不能表示一个函数．因为对于集合A中的元素“4”，在集合B中就没有元素与它对应．

（2）忽视“数集”二字，把一般的映射关系理解为函数．比如

高一（2）班的同学组成集合A，教室里的座椅组成集合B，每一位同学都有唯一的一个座椅，班上还有空椅子．这能否算作一个函数的例子，为什么？

（3）对为什么集合B不是函数的值域不理解．让学生感受到，有时，为了研究方便或者确定一个函数的值域暂时有困难，使得C＝{f（x）|x∈A}B更加合理．

（4）当函数关系具有解析式表示时，f（x）当然可以用x的解析式表示出来．学生会因此而误以为对应关系f都可以用解析式表示．

可以通过所举实例的类型，引导学生，明确表示对应关系f并非解析表达式不可．但这不是本节课的重点，应该放在下一节课“函数的表示”中解决．只要注意所列举的例子不光是有解析式的即可．

（5）本课的难点是：对抽象符号y＝ f（x）的理解．

可以通过具体函数让学生理解抽象的f（x）．比如函数

f（x）＝x2，A＝x|－2≤x＜2．

f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，f（2）无定义．f（x）＝x2，x∈A．

最终，让学生明白，f（x）是集合B中的一个数，是与集合A中的x对应的那个数．当x取具体数字时，f（x）也是一个具体的数．

四、教学基本流程

五、教学过程设计 1．用集合、对应定义函数

问题1 同学们在初中已经学习过“函数”，请你举几个函数的具体例子． 设计意图：通过具体例子，让学生回顾初中学习过的函数概念，把握内涵．

教师根据所举例子的具体情况，引导学生列举分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数．

如果学生所列举的例子都是用解析式表示的，教师则问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再列举些用图象、表格表示对应关系的函数．

教师可以举例（教科书第15页的例2）．

例1 图1的兰色曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．股票指数是时间的函数吗？

图1 例2 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间的变化而变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

城镇居民的恩格尔系数（%）是时间（年）的函数吗？ 教师也可以参与举例（例3，备用），以说明函数概念中的x的取值范围构成一个集合，对应关系、以及y的取值构成的集合．

例3（教科书第15页例1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是

h＝130t－5t2．（*）

炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？

教师利用教科书第15页例1中的函数图象（图2）解释：

随着点P位置的改变，点P的横坐标x与纵坐标y都在变化，但无论点P在哪个位置，点P的横坐标x总对应唯一的纵坐标y．由此，使学生体会到，函数中的函数值y的变化总是依赖于自变量x的变化，而且由x的值唯一确定．

图2 炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}，炮弹距地面的高度的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}，从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应．

在学生举例后，与学生共同研究问题2．

问题2 你凭什么说，你举出的例子表示一个函数呢？请说给我们大家听听．大家也思考一下，他们所举的是函数的例子吗？为什么？

设计意图：让举例的同学分别解释他们所举例子的含义，为什么用这个例子来说明函数．挖掘背后的思维过程，暴露学生对函数本质的理解状况．

函数是初中已有过的内容，引导学生用初中的定义解释所列举的例子，可以了解学生对函数概念的掌握情况．突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”．并要求学生指出对应关系f是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个集合做准备．

问题3 前面我们学习了“集合”，你能用“集合”以及对应的语言刻画函数概念吗？ 设计意图：引导学生把初中学习过的函数概念与高一刚学习的过的集合知识联系起来，用集合的观点解释过去的概念，获得对函数概念的新认识．

获得新的函数定义方式：

设A，B是两个非空数集．如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称对应

f：A→B

为集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A}叫做函数的值域．

若C＝{f（x）| x∈A}，则CB．

师生共同就每一个例子，找出集合A，B分别是什么，对应关系f指什么？突出“三要素”．

问题4 在这个定义中，你认为哪些是关键词？怎样理解这个概念呢？

设计意图：促使学生抓住概念中的关键词，多方面理解概念，抓住本质．同时，指出函数的要素为定义域、对应关系、值域．由于对于一个函数，当定义域确定、对应关系确定后，值域也随之确定，因此，两个函数相等的条件是定义域以及对应关系相同．

2．认识函数的定义域，值域，对应关系 小练习：

（1）填写下列表格：

（2）能否说f（x）＝x2－4x是实数集R到实数集R的函数？（3）已知函数f（x）＝＋．求 ①f（－）；

②f（x－4）的定义域；

（4）下列函数中哪个是与y＝x相同的函数，为什么？ ①y＝（）2； ②y＝（）3；

③y＝（）； ④y＝．

你能否举一个看起来相似，实质是两个不同的函数的例子．

设计意图：感受定义域的重要性，体验函数的三个要素．两函数相同，当且仅当三要素相同．

再问：你举这个例子想说明什么？ 3．介绍区间的概念

在研究函数时，常常需要表示它的定义域、值域这些实数的集合．我们把集合

x|a≤x＜b写成[a，b，即x|a≤x＜b＝[a，b． [a，b称为左闭右开的区间．

以下教师问学生该如何表示，叫做什么区间（不是教师直接告诉）： x|a≤x≤b写成[a，b]，称为闭区间． x|a＜x＜b写成（a，b），称为开区间． x|a＜x≤b写成a，b，称为右闭左开的区间． 实数a，b都叫做区间的端点． 实数集R可以用区间表示为（－∞，＋∞）．

x| x≥a可以用区间表示为[a，＋∞，x| x＞a可以用区间表示为（a，＋∞）； x| x≤a可以用区间表示为（－∞，a，x| x＜a可以用区间表示为（－∞，a）． 区间可以用数轴上的点表示．

问：若有人问“你区间什么？”你怎么回答？区间是实数的集合． 4．练习

（1）教科书第19页“练习”．

（2）教科书第24页，习题1.2，A组，第2题． 尽可能在课堂上处理，少留课后作业． 5．小结

通过本节课的学习，你主要有哪些收获？

学习了函数概念的新解释：函数是两个集合非空数集A，B之间的对应，对于集合A中的每一个数，按照对应关系f，在集合B中有唯一的数f（x）与之对应．函数的值域不一定就是集合B．函数不一定非用解析式表示，等．

6．课后作业

教科书第24页，习题1.2，A组，第1，3，4题．

第二篇：函数概念教学设计

函数的概念

一．教材分析

函数是数学中最重要的概念之一，且贯穿在中学数学的始终，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，结合教学课程标准与学生的认知水平，函数的第一课应以函数概念的理解为中心进行教学。

二、学情分析

从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，通过高一 “集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数提供了知识保证。

从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力。

三、教学目标

知识与技能：让学生理解构成函数的三要素、函数概念的本质、抽象的函数符号f(x)的意义。

过程与方法：在教师设置的问题引导下，学生通过自主学习交流，反馈精讲、当堂训练，经历函数概念的形成过程，渗透归纳推理的数学思想，发展学生的抽象思维能力。

情感态度价值观：在学习过程中，学会数学表达和交流，体验获得成功的乐趣，建立自信心。

四、教学难重点 重点：理解函数的概念；

难点：概念的形成过程及理解函数符号y = f(x)的含义。

[重难点确立的依据]：函数的概念抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在和函数的概念及函数符号的理解与运用上。

从多个角度创设多个问题情境，组织学生围绕重点自主思考，让学生自主、合作探索,体会函数概念的本质从而突破难点。

五、教法与学法选择

充分尊重学生的主体地位，让学生在教师设置的问题的引导下、通过自主学习等环节自主构建知识体系，自主发展数学思维，教师采用问题教学法、探究教学法、交流讨论法等多种学习方法，充分调动学生的积极性。

六、教学过程设计 引入

现实世界是充满变化的，函数是描述变化规律的重要数学模型，也是数学的基本概念，也是基本思想，另外函数的概念也是不断发展的。引出课题

问题提出

1.请回忆在初中我们学过那些函数？（学生回答老师补充）

2、回忆初中函数的定义是什么? 一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数，其中x是自变量,y是因变量。

知识探究一 函数

给定两个非空的数集A，B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数记作f：A→B 或y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，与x值相对应的f(x)值叫做函数值.x的取值范围称为定义域，函数值f(x)的取值范围称为值域.定义理解一——y=f(x)1.x是自变量，它是法则所施加的对象。

2.f是对应法则，它可以是解析式，可以是表格，也可以是图像。

3.y=f(x)表示y是x的函数，不是f与x的乘积。f(x)只是函数值，f才是函数，（）表示f对自变量x作用。

定义理解二——唯一确定

通过三个例子和学生共同总结出：

1.函数中每个x与y的对应关系，可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多，即y是唯一确定的

2.A中元素不能剩，B中元素可以剩下。

定义理解三——定义域值域

根据定义，函数是两个数集A，B间的对应关系

自变量的集合A叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.例如：A={0,1,2}，B={0,2,4,5}，f：A→B f(x)=2x

定义域为{0,1,2}，值域为{0,2,4} 从而共同探究出：值域是集合B的子集

函数的三要素：

定义域、对应关系、值域；

函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定； 定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数相等.f(x)=3x+1与f(t)=3t+1是同一个函数.x2f(x)=x与f(x)=不是同一个函数.x然后和学生共同探究常见的已学函数的定义域和值域：

知识探究二 区间

(设a, b为实数,且a

（1）{x|x ≤-1或5 ≤ x<6}（2）{x|x ≥9}（3）{x|1

(5){x|x≥0且x≠1}

练习作业：把常见的函数的定义域和值域用区间表示.七、小结

1.用集合的语言描述函数的概念 2.函数的三要素 3.用区间表示数集

八、作业

1.P28 练习1,2 2.P34习题2-1A组：1,2

第三篇：函数的概念教学设计

《函数的概念》的教学设计

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》的第一章1.2.1函 数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。

函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。本节的内容较多，分二课时。本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等）

【学情分析】

学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。【教学目标】

1、正确理解函数的概念，能用集合和对应的语言来刻画函数；

2、理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会解决一些相关简单问题；

3、渗透从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳的逻辑思维能力。

【教学重点】函数的概念及的理解与深化。的理解。【教学难点】函数的概念及函数符号【教学方法】

本节课采用“问题启发式”教学方法：本节课是概念课,结合初中所学，根据学生的心理特征和认知规律，我采取问题启发式的教学法；以问题串为主线，通过设置多个具体问题情景，发现问题中两个变量的关系，让学生归纳、概括出函数概念的本质,也通过问题的处理加强对函数概念的理解，这也符合建构主义的教学理论。【教学过程】

一、回顾旧知，引出课题。

【设计意图】通过初中函数概念的复习，重点强调初中函数概念是从变量变化的观点出发的，为后面学习和理解高中函数概念与初中概念区别做必要的准备。

问题3：由上述定义你能判断“y＝1”是否表示一个函数？ 【设计意图】通过已有概念但不太容易回答的问题，引发学生的认知冲突，有着承上启下的作用。既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言来刻画函数的本质做好伏笔。

二、观察分析、探索新知。

实例一、一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h＝130t-5。

问题4：t的范围是什么？h的范围是什么？分别用集合表示出来。

问题5：对于集合A中的每一个t值按照图象所示是否在集合B中都有唯一的h值与它对应?

实例

二、如图下表是2015年11月16日，深证指数合肥百货从9：30开盘到11：30收盘每股价格波动图像

问题6：(1)时间和指数的变化范围可以分别用集合A、B表示出来吗？

(2)对于集合A中的每一个 t 值按照图象所示是否在B中都有唯一的价格指数S值与它对应?

实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1—

中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化

问题7：请仿照实例一、二，描述恩格尔系数和时间的关系。

【设计意图】通过三个不同形式的实例和问题4、5、6、7的提出及几何画板动态地显示炮弹高度h关于炮弹发射时间t的函数来启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f：A→B。

三、形成概念、深化理解

函数概念：

设是AB、是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→

为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x）。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集。请同学们勾画出概念中的关键词，通过交流得出以下几点： ①非空的数集； ② 确定的对应关系 ③任意性与唯一性。

利用用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：

【设计意图】在前面三个实例的基础上深化理解符号y＝f（x），f（a）f（x）与的区别与联系，同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。

问题10:函数定义中有哪几个要素?

三要素：定义域、值域、对应法则，缺一不可。

四、知识应用，深化目标。

【设计意图】例题的处理以学生回答、板演的形式进行，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学

思想和方法，以求达到教学目标。

五、课堂小结，教师评价。

学生对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结： 1．函数的概念； 2．函数的三要素； 3．数形结合的思想；

【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确重点。

六、作业布置

课本Ｐ24，习题1.2 A组，第 1、3、4 题。

作业补充：求下列函数的定义

第四篇：函数的概念教学设计（定稿）

§1.2.1函数的概念

一．教材分析

函数是高中数学的重要知识内容，是高中数学知识的一条主线，是高考的重点和难点.本节的内容是函数学习的第一节，是在初中学习了简单的一次函数、正反比例函数、二次函数等一些基本初等函数的基础上进行学习的，是后续函数学习的基础.首次用集合与对应的语言来刻画函数的抽象关系.本节内容通过对三个例子的分析，体会两个变量的相互关系，引导我们用集合的语言来刻画函数的概念，然后通过具体事例，从三个方面理解函数的概念：函数的定义域、函数的符号、函数的值域三要素.对函数符号的理解是突破函数概念的关键.本节的重点是函数概念的理解及简单的应用，难点是函数概念及函数符号yf(x)理解.二．学情分析

在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生周围，教科书采用从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，这样也有利于学生理解.三．教学方法：问题式教学法、探究式教学法.四.教学目标

1.知识与技能目标：

（1）了解函数的定义,能用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概 念中的作用;（2）了解构成函数的要素.2.过程与方法目标：通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学 模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3、情感、态度与价值观目标：通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，使学 生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性.五.教学重点与难点：

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：符号“yf(x)”的含义及函数概念的理解.六.教学过程

（一）创设情景，导入新课

教学内容:回顾初中学习的函数概念,分析、归纳教材中的三个具体实例，它们有什么异同点？

设计意图:复习初中学过的函数概念，再结合具体实例引出函数新概念，显得具体形象，有利于学生对函数概念的理解.师生活动

教师:同学们,其实我们对函数并不陌生,初中我们已经接触过几类函数.那么,请大家回忆一下我们初中学过的函数概念是什么?学过哪几类函数呢? 学生:学生回忆初中学习的函数概念及类型,回答教师的问题.教师:那么,我们前几节已经学习了集合,能不能用集合与对应的语言来刻画函数呢?这就是我们这节课要学习的内容(教师板书课题).教师:请大家阅读教材中的实例,并思考涉及到的两个变量之间有什么关系?（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

教师:结合初中的函数概念,画出教材中实例(1)h130t5t的图象,让学生体会用解析式或图象刻画两个变量之间的依赖关系;启发学生用集合与对应的语言描述两个变量之间的依赖关系:在t的变化范围内任给一个t,按照给定的解析式,都有唯一的一个高度h与之相对应.教师:分析教材中的实例(2),引导学生看图并启发:在t的变化范围内任给一个t,按照给定的图象,都有唯一的一个臭氧层空洞面积S与之相对应.教师:请大家仿照实例(1)、（2）,描述实例(3)中恩格尔系数和时间的关系.学生:学生分小组讨论交流,教师巡查.教师:通过对三个实例的分析,你能说出它们有什么不同点与共同点吗? 师生:学生分小组讨论交流,师生共同总结: 不同点：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图象刻画变量之间的关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.共同点:(1)都有两个非空数集;

(2)两个数集之间都有一种确定的对应关系.教师:上述实例里的解析式、图象、表格都是一种对应关系.那么，函数能不能看成是两个数集之间的一种对应呢？如果能，应该怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上，教师归纳总结）

（二）研探新知

教学内容：函数概念的探究.设计意图：利用前面的分析，进行必要的抽象概括，得到函数的定义，培养学生的归纳、概括能力.教师：通过对上述实例的分析，鼓励学生自己概括出函数的定义.学生：认真体会三个实例的共同点，然后归纳出函数的定义并在全班交流.教师：（1）板书函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称

2f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：

yf(x),xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做函数的值域（range）．显然，值域是集合B的子集.（2）强调：

① 定义中集合A、B是非空的数集；

②对于x的每一个值，按照某个确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应；

对yf(x)的理解：f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积。在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示.教师：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应关系分别是什么？ 已知三个函数：yaxb(a0)

yax2bxc(a0)

yk(k0)x学生：通过三个已知函数：一次函数、二次函数、反比例函数的分析，比较描述性定义与对应语言刻画的定义，加深对函数概念的理解.教学内容：能举例说明函数定义中有几个要素吗？如何判定两个给定变量间是否具有函数关系？

设计意图：进一步巩固函数的定义.教师：函数定义中有几个要素？是哪几个？ 学生：认真思考，并回答教师的问题.教师结合学生的回答，板书函数定义中的三要素—定义域、值域、对应关系，并强调指出：定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；

值域由定义域和对应关系唯一确定；

“yf(x)”表示“y是x的函数”，而非y等于f与x的乘积； f(x)与f(a)的区别.教师：如何判定给定的两个变量之间是否具有函数关系呢？ 学生：学生讨论、交流，提出自己的想法.师生：师生共同总结得到：定义域和对应关系是否给出；

根据所给对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函数值y和它对应？

教师：请同学们自主完成导学案P29自主测评第1题.（三）典型例题解析

教学内容：通过以上对函数概念的学习，大家能独立解答例1吗？ 例1 判断下列对应是否为函数？（1）x2,x0,xR.x2（2）xy,这里yx,xN,yR.2（3）xy,这里yx,xR,yR.学生：学生在教师的指导下完成.（四）归纳小结

教师：大家一起来回顾一下我们今天学过的知识.(1)函数的概念；(2)函数的三要素；

(3)如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？

（五）布置作业

1.课本P24习题1．2（A组）第1、3题（B组）第1题 2.导学案相关作业.

第五篇：《函数的概念》教学设计

《函数的概念》教学设计

人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》第一章 概述：

《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢？从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题.注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力.运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析 【教材内容分析】 1.教材的地位及作用

函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，学习了本小节后，为以后学习其他类型的函数打下扎实的基础。由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。2.学情分析

在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。【教学目标分析】

根据上述教材内容分析，并结合学生的学习心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明： 知识与技能：

1、从集合与对应的观点出发，加深对函数概念的理解

2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则

3、理解函数符号的含义。过程与方法：

在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。情感、态度与价值观：

采用从实例中抽象概括出函数概念的方法，不仅为学生理解函数打下感性基础，而且注重学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考、解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识。【教学重点】函数的概念及y=f(x)的理解与深化。【教学难点】函数的概念及函数符号f(x)的理解。【教学关键】在集合与对应的基础上理解函数的概念。【课型结构】新授课。【教具准备】多媒体课件。【教学学法分析】 1.教法分析

充分利用多媒体辅助教学

着重于学生探索研究的启发式教学为主，变式教学为辅，及引导、探究、讲解、演练相结合。在教学过程中，多一点情境和归纳，多一点探索和发现，多一点思考和回顾。通过不同形式的自主学习、探究活动，丰富和改善教与学的方式，体验数学发现和创造的历程，发展创新意识和实践能力。2.学法分析

本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观点下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助于具体函数来理解符号y=f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象函数的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。【教学过程分析】 根据本节课的特点，我分成以下几部分详细说明创设情境-引入新课、引导探求-形成知识、变式训练-巩固知识、讨论探究-深化知识、总结反思-提高认知。

一、创设情境-引入课题

今天我们研究的内容是函数的概念，函数并不像我们前面学习的集合一样一无所知，而是比较熟悉。所以我先找同学说说对函数的认识。问题1：什么是函数？初中学过什么函数？试举例说明

（让学生尽可能用自己的语言表述初中学过的函数定义，并举出学过的函数的例子。）函数传统定义（板书）变量观点：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。【设计意图】复习学生初中已学过一次函数、反比例函数和二次函数、函数的变量观点下的定义，为后面学习集合对应观点下的函数定义铺路，又能让学生了解函数发展的过程。以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，符合学生的认知规律。同时也体现了数学的应用价值。

问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？

（学生讨论，发表各自意见，有的同学认为不是，因为没有两个变量，有的同学认为是，理由是，它可以表示为y=0x+1.）

教师由此指出争论的焦点，其实是函数定义不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义在与原来的定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化。【设计意图】 通过以上问题使学生知道仅用已有函数的概念不能解决问题2，引发学生的认知冲突，激发学生的“再创造欲望”，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系。既是对初中已学函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言刻画函数的本质做好伏笔。

二、引导探求-形成知识

时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}, 高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}

【设计意图】启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之相对应。

【设计意图】引导学生看图，并启发：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积S与之相对应。

共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系 问题3：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？

对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f:A→B

对于这个问题采用由学生分组讨论三个实例的共同特点然后归纳出函数的定义，并在全班交流的形式。

【设计意图】在三个实例的教学中，重点在于引导学生体会函数概念中的对应关系。通过实例1，体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t和h的范围；通过实例2体会用图象刻画变量之间的对应关系，关注t和S的范围；通过实例3体会用表格刻画变量之间的对应关系。为了更好地使学生尝试用集合与对应的语言进行描述，可以设置教学情境。通过学生的观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式。让他们通过实践来进一步体验到在集合对应观下的函数内涵，也为学生解决数学问题提供了一种新的途径和方法。问题4：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.记y=f(x)．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．

定义采取由学生回答、教师归纳总结的方法，给学生最大的发挥空间。这种从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。概念剖析：

1． 函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；

2． 函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应； 3． 函数符号y=f(x)的说明：

（1）“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；

（3）f(x)与f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数；

函数y=f(x)是学生学习的难点，这是一个抽象的数学符号。教学时首先要强调符号“y=f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是数学符号，而不是表示“y等于f与x的乘积”。在有些问题中，对应关系f可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如图象、列表）来表示。所以在此向学生明确指出，y=f(x)不一定就是解析式，函数的表示方式除了解析式外，还有其它表示方法，如实例2的图象法，实例3的列表法。

三、变式训练-巩固知识

下列图象中不能作为函数的图象的是（）

【设计意图】启发并引导学生思考、讨论、交流，掌握函数的要点

四、讨论探究-深化知识

集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：f:A→B，使得集合B中的元素与集合A中的元素x对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？

教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：

【设计意图】用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时画出函数的图象，让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。

五、巩固练习

【设计意图】通过巩固练习，强化概念。从正反两个方面抓住函数定义中的关键词“任意”、“都”、“唯一”让学生对函数概念及符号y=f(x)深刻理解。既考虑了数学思维的严谨性，也体现了数学知识的应用性。

六、归纳小结

你对“函数是描述变量之间的依赖关系的重要的数学模型”这句话有什么体会？构成函数的要素有哪些？你能举出生活中的一些函数的例子吗？

【设计意图】启发学生对本节课学习内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程。学生通过对这些问题的回答，初步理解函数的一般概念。

七、作业

举出生活中函数的例子（2个）,并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。

八、板书设计

【教学流程图】

【知识结构图】

【教学评价分析】

为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本课采用“突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为主线，在不同的场合考察问题的不同侧面，由浅入深。本课在教学时采用问题探究式的教学方法进行教学，逐层深入，这样使学生对函数概念的理解也逐层深入，从而准确理解函数的概念。函数引入中的三个问题,既与初中时学习函数内容相联系,又蕴含了函数的三种表示方法---列表法、解析法、图象法，这样起到了承上启下的作用。这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础。同时前三个例题也是这么设计的。

在培养学生的能力上，本课也进行了整体设计，通过探究、思考，培养了学生的实践能力、观察能力、判断能力;通过揭示对象之间的内在联系，培养了学生的辨证思维能力;通过实际问题的解决，培养了学生的分析问题、解决问题和表达交流能力;通过案例探究，培养了学生的创新意识与探究能力。

虽然函数概念比较抽象，难以理解，但是通过这样的教学设计，学生基本上能很好地理解了函数概念的本质，达到了课程标准的要求，体现了课改的教学理念。