基于APOS理论的数学概念教学设计

第一篇：基于APOS理论的数学概念教学设计

基于APOS理论的数学概念教学设计：锐角三角函数概念

145413 霍思达 摘要：APOS理论是近年来美国数学家杜宾斯基（Dubinsky）等人提出的一种数学教学理论.他将数学概念的建立分为四个阶段：Action,Process,Object,Scheme，并用于指导教学实践.早期APOS理论只是被用在大学数学的教学中，现在该理论正逐步地渗透于我们的中学数学教学中.本文首先谈了对APOS理论的认识，然后通过锐角三角函数的教学设计尝试了一下APOS理论在数学概念教学中的应用.关键词：APOS理论；数学概念；教学设计；锐角三角函数

任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学数学的”及“什么样的教学计划可以帮助这种学习”的理解，而不仅仅是陈述一些事实.基于这样的考虑，杜宾斯基等人建立了APOS理论—一个可以促进我们有效教学的数学教学理论.从20世纪90年代起，APOS理论就被介绍到我国的数学教育界，它是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论，因此，对这样的理论进行深入的研究是十分有意义的.我国的数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行，这种教学过程虽然简明，但却忽视了许多数学概念具有过程—对象的双重性.近年来，相关学者的研究结果表明，将APOS理论应用到我们的概念教学中可以弥补我们一以前那种概念教学方式的缺点.什么是APOS理论？

APOS理论是20世纪80年代末至90年代初由美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来的一种数学教学理论.杜宾斯基认为，一个人是不可能直接学习到数学概念的.更确切地说，人们透过心智结构（mental structure）使所学习的数学概念产生意义.如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念.相反的，如果一个人无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的.因此，教学的目的就在于如何帮助学生建立适当的心智结构.杜宾斯基等人认为，APOS理论可以看做是对皮亚杰的“反思性抽象（reflective abstraction）”的扩展.APOS理论的一个基本假设是：数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的过程中获得的，在这个过程中，个体依序建构了心理活动（actions）、程序（processes）和对象（objects），最终组织成用以理解问题情境的图式结构（schemas）.根据APOS理论，学生学习数学概念的心理建构过程要经历以下的四个阶段21：

活动（actions）阶段.“活动”是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象.例如在理解函数概念时需要活动或操作，对于yx2，需要用具体的数字构造对应：24;39;416;525;通过操作活动理解函数的意义.程序（processes）阶段.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，就可以内化为一种称之为“程序（processes）”的心理操作.有了这种“程序”，个体就可以想象这个“活动”，而不需要通过外部的刺激；他可以在头脑中实施这个程序，而不需要具体操作；进而，他还可以对这个程序进行逆转以及与其他程序进行组合.例如把上述例子中的操作活动综合为一个函数过程.一般地有xx2;其他的各种函数也可以概括为一般的对应过程xf(x).对象（objects）阶段.当个体能够把“程序”作为一个整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理“对象（objects）”.接着上面的例子，然后可以把函数过程当作一个独立的对象来处理，比如函数的加减乘除、符合运算等.在表达式f(x)g(x)中，函数f(x)和g(x)都是作为一个整体对象出现的.最后是“图式（或者说图式结构，schema）”.一个数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“程序”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用以解决与这个概念相关的问题.按照杜宾斯基的解释，上述四个成分中，“活动”、“程序”和“对象”也可以看作是数学知识的三种状态，而“图式”则是由这三种知识构成的一种认知结构（cottrill,et al.,1996）.此外，上述四种成分的排列虽然在理论上具有一种等级结构，也就是说，一般情况下前一成分的建构是后一成分的基础，但实际上，个体对某个数学概念的理解并不一定遵循这种线性的途径.例如函数函数概念，学习者一开始的“活动”是把函数看作一个简单的公式，其中含有一些可以运算和赋值的字母变量；随后，函数被看作是一种可以“输入—输出”的机器（函数机），于是得到了初步的“程序”.但是当学生遇到更为复杂的函数表达式时，往往又回到了“活动”阶段，并在“活动”的基础上，又进一步完善了函数“程序”.如此经过多个循环之后，学生才最终形成明确而完整的函数“对象”

4.从数学学习心理学角度分析，APOS理论的四个学习层次是合理的，反应了学生学习数学概念过程中真实的思维活动.其中的“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系.“程序阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质;“对象阶段”是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中一次为对象进行新的活动；“图式阶段”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反应概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心智结构.锐角三角函数概念的教学设计

上课开始，出示两个倾斜角不同的斜面（图

1、图2）.图1

图2 AB操作阶段: 物体在两个不同倾斜角的斜面上前进的距离都是a，图1中的角A为60，图2中的角B为30，观察和测量各自对边的值.继续操作.在角A（图

3、图4）边上任意取一点B，作BCAC，垂足为点C，计算00BCACBC、、的值，并将所得的结果与其他同学所得的结果做比较.ABABACBBAABDCACCE

图3

图4

图5 通过上面两个活动，让学生从特殊的角度中去计算出线段的比值，为三角函数概念做铺垫.其中活动1是学生最熟悉的特殊角30，活动2是非特殊角50，要通过度量再计算，通过比较得到相等的结论.让学生初步感悟到这三个比值与点B的位置无关，那么与什么有关呢？

程序阶段: 一般地问，若图3和图4中的两个AB相等，那么

00BCACBC、、还相等吗？ ABABAC很容易得到结果——不相等.目的是让学生体会到比值与角度有关.然后就可以进入程序性的思考.如图5，B、D是一边上的任意两点，作BCAC，垂足为点C，DEAE,垂足为点E,判断比值

BCDEACAEBCDE与、与、与是否相等，并说ADADABABACAE明理由.通过相似三角形很容易得到它们的比值都相等.本活动的目的是让学生确认这三个比值与角度有关.随着角度的变化，比值也变化，所以根据函数的概念就可以得到这三个比值是角度的函数，而这个函数就是三角函数，水到渠成地得出三级哦啊函数的概念.通过上述三个活动，学生就初步内化为三角函数的这个“程序”，形成了三角函数的特征：一是三角函数是比值；二是三角函数的值与角度有关.对象阶段: 这时，三角比，例如正弦，符号sin，成为独立的对象.我们可以离开程序直接进行运算，例如sinAcos(900A)，sinAcosA1，等等.在运算过程中，正弦、余弦都是独立的对象，不再有三角比的过程了.图式阶段: 这是一个长期积累的过程，在以后高中阶段通过对三角函数进一步的学习后，三角函数在脑海里储备的是正弦、余弦、正切、余切等的总称，它们的图像，彼此间的恒等变换，与“波”的关系等，那是一个丰富的有组织的结构.这个教学环节是按照完全A—P—O—S的顺序来进行的，但是在有些概念教学过程中，我们有“开门见山”的教学设计，所以对于概念性知识的教学我们也可以试着用O—A—P—S的顺序来进行.也就是说，首先把三角比当做一个“对象”出示，然后再慢慢通过操作

22加以理解.下面是一个新的设计.上课开始时，出示本节课的题目：锐角三角函数.问题1：本节课我们一起来学习研究“锐角三角函数”，请问在这个课题中，你对什么，内容比较熟悉？

学生：锐角、三角、函数.（学生说的三角是指三角形）.问题2：我们学过的函数有哪些？

学生：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数共4个.问题3：函数的定义是什么？

学生：在某一变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y是x的函数.以上的目的是为后面引出三角函数的概念做铺垫.教师：三角函数是初中学习的第五个函数，它到底是什么？具有那些性质？有怎样的应用？现在我们开始学习研究.这样做的目的是提示学生就进行联想类比.原来学过的有四种函数，现在的三角函数布置会是什么？从而激发学生的学习兴趣，到最后学习完成，就成了学生主动建构的过程.在操作阶段，我们也可以有另外的设计面BC上，梯子在墙面上的投影为BC，向上的折扣率

3:如图6，现有一梯子DE斜靠在一竖直的墙

CE是DE在竖直方向上的折扣率，我们把竖直方DECE成为EDC的正弦函数.然后进行相关的符号、书写的介绍.DEBEADC

图6

折扣概念是日常生活中常见的问题，由此入手，更能使学生接受新知识.既然正弦函数相当于一个折扣率，正如商品打折，打几折，就是原商品的价格乘以零点几.因为折扣率的取值范围是在0~1之间，所以锐角的正弦函数的取值范围也在0~1之间.x.当折扣确定时，商品的实际价格与原10价格就有了正比例的关系.同样在图6的RtCDE中，DE相当于商品的原价，CE相当于

CECEsinEDC.商品打折后的实际价格，即sinEDC，相当于折扣率，就有

DEDE商品打几折（x折），那就是商品的原价乘以我们是先给出的对象，这样可以使学生一目了然地了解本节课的重点，然后再由针对性的进行相关内容的学习，亦即活动，通过活动来达到程序的境界，最终深刻理解锐角三角函数的概念，形成自己的图式.3 小结

张景中院士把学数学比做吃核桃，作为教师需要研究的是如何砸核桃，让学生吃到核桃.数学概念有其本身的特点，许多数学概念具有二重性，既表现为一种过程操作，又表现为一种对象、结构，所以在实际学习理解的过程中应根据其具体的特点需要灵活地改变认识的角度—有时要将某个概念当做有操作步骤的过程，有时又需要把它作为一个整体性的固定的对象，做出最有效的教学设计.APOS理论是适应数学概念特点的教学理论，对其在数学概念教学中的应用不必拘泥于固定的模式，领会其精髓，合理地将其运用于数学教学中制定出最有效的教学策略才是最重要的.[参考文献]

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.10.[2]张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论 [M].高等教育出版社，2003.4.[3]王继光，龚辉.APOS理论与锐角三角函数概念的形成 [J].中学数学教学参考（上旬）,2011（11）：13-14 [4]濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007（5）:48-50.

第二篇：基于APOS理论的数学概念教学设计

锐角三角函数概念基于APOS理论教学设计

张云秀

上课开始，出示两个倾斜角不同的斜面（图

1、图2）.图1

图2 操作阶段: AB

物体在两个不同倾斜角的斜面上前进的距离都是a，图1中的角A为600，图2中的角B为300，观察和测量各自对边的值.继续操作.在角A（图

3、图4）边上任意取一点B，作BCAC，垂足为点C，计算BCACBC、、的值，并将所得的结果与其他同学所得的结果做比较.ABABACBBAABDC

AC

CE

图3

图4

图5 通过上面两个活动，让学生从特殊的角度中去计算出线段的比值，为三角函数概念做铺垫.其中活动1是学生最熟悉的特殊角30，活动2是非特殊角50，要通过度量再计算，通过比较得到相等的结论.让学生初步感悟到这三个比值与点B的位置无关，那么与什么有关呢？

程序阶段: 一般地问，若图3和图4中的两个AB相等，那么

00BCACBC、、还相等吗？ ABABAC很容易得到结果——不相等.目的是让学生体会到比值与角度有关.然后就可以进入程序性的思考.如图5，B、D是一边上的任意两点，作BCAC，垂足为点C，DEAE,垂足为点E,判断比值

BCDEACAEBCDE与、与、与是否相等，并说ADADABABACAE明理由.通过相似三角形很容易得到它们的比值都相等.本活动的目的是让学生确认这三个比值与角度有关.随着角度的变化，比值也变化，所以根据函数的概念就可以得到这三个比值是角度的函数，而这个函数就是三角函数，水到渠成地得出三级哦啊函数的概念.通过上述三个活动，学生就初步内化为三角函数的这个“程序”，形成了三角函数的特征：一是三角函数是比值；二是三角函数的值与角度有关.对象阶段: 这时，三角比，例如正弦，符号sin，成为独立的对象.我们可以离开程序直接进行运算，例如sinAcos(900A)，sin2Acos2A1，等等.在运算过程中，正弦、余弦都是独立的对象，不再有三角比的过程了.图式阶段: 这是一个长期积累的过程，在以后高中阶段通过对三角函数进一步的学习后，三角函数在脑海里储备的是正弦、余弦、正切、余切等的总称，它们的图像，彼此间的恒等变换，与“波”的关系等，那是一个丰富的有组织的结构.这个教学环节是按照完全A—P—O—S的顺序来进行的，但是在有些概念教学过程中，我们有“开门见山”的教学设计，所以对于概念性知识的教学我们也可以试着用O—A—P—S的顺序来进行.也就是说，首先把三角比当做一个“对象”出示，然后再慢慢通过操作加以理解.下面是一个新的设计.上课开始时，出示本节课的题目：锐角三角函数.问题1：本节课我们一起来学习研究“锐角三角函数”，请问在这个课题中，你对什么，内容比较熟悉？

学生：锐角、三角、函数.（学生说的三角是指三角形）.问题2：我们学过的函数有哪些？

学生：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数共4个.问题3：函数的定义是什么？

学生：在某一变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y是x的函数.以上的目的是为后面引出三角函数的概念做铺垫.教师：三角函数是初中学习的第五个函数，它到底是什么？具有那些性质？有怎样的应用？现在我们开始学习研究.这样做的目的是提示学生就进行联想类比.原来学过的有四种函数，现在的三角函数布置会是什么？从而激发学生的学习兴趣，到最后学习完成，就成了学生主动建构的过程.在操作阶段，我们也可以有另外的设计面BC上，梯子在墙面上的投影为BC，向上的折扣率

3:如图6，现有一梯子DE斜靠在一竖直的墙

CE是DE在竖直方向上的折扣率，我们把竖直方DECE成为EDC的正弦函数.然后进行相关的符号、书写的介绍.DEBEADC

图6

折扣概念是日常生活中常见的问题，由此入手，更能使学生接受新知识.既然正弦函数相当于一个折扣率，正如商品打折，打几折，就是原商品的价格乘以零点几.因为折扣率的取值范围是在0~1之间，所以锐角的正弦函数的取值范围也在0~1之间.x.当折扣确定时，商品的实际价格与原10价格就有了正比例的关系.同样在图6的RtCDE中，DE相当于商品的原价，CE相当于

CECEsinEDC.商品打折后的实际价格，即sinEDC，相当于折扣率，就有

DEDE商品打几折（x折），那就是商品的原价乘以我们是先给出的对象，这样可以使学生一目了然地了解本节课的重点，然后再由针对性的进行相关内容的学习，亦即活动，通过活动来达到程序的境界，最终深刻理解锐角三角函数的概念，形成自己的图式.

第三篇：基于APOS理论的函数概念教学设计

一、概念同化教学与APOS 理论

高中新课程实行已经有四年多了，然而目前，相当多教师仍然采取传统的概念同化教学方式，其教学步骤为[1]：(1)揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号;(2)对概念进行特殊分类，揭示概念的外延;(3)巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动;(4)概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。

这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。事实上，概念的同化教学对帮助学生构建良好的概念图式、原理图式，作用十分有限。因为心理意义是不能传授的，必需由学生自我构建，不能由教师代替学生操作、思考、体验。

美国数学教育学家 Ed.Dubinsky认为：一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确切地说,人们透过心智结构(mental structure)使所学的数学概念产生意义。如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念。反之，如果他无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下4个阶段[2]：

二、基于APOS理论的函数教学设计

从数学教育的研究内容来看，关于代数内容已经逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心了[3]。函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。函数概念本身不好理解。国外关于函数教学的研究表明了这一点斯法德调查了60 名16 岁和18 岁的学生，结论是大多数学生认为函数的概念是个过程而不是静止的结构。中国学者也进行了相关的研究，见文献[4].可见，函数确实成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数的教学在我国设置成螺旋式的教学，初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数

如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。笔者在浙江省义乌市第三中学陈向阳老师设计的《函数的概念》基础上进行思考，尝试用APOS理论来设计高中函数概念的教学。

(一)创设问题情境，引出课题

教师提出问题1：

我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢?在初中已经学过哪些函数?(在学生回答的基础上出示投影)

我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢?先请同学们思考下面的问题：

问题2：由上述定义你能判断y=1是否表示一个函数?函数y=x与函数表示同一个函数吗?

学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。

(二)生活实例演示，操作练习[活动(A)]

问题3：下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事.(1)我离开家不久，发现自己把作业本可能忘在家里了，于是停下来找，没找到，就返回家里找到了作业本再上学;

(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间;

(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.活动小结：每一个时刻，按照图像，都有唯一确定的距离与它对应。

(三)借助信息技术，讨论归纳[过程(P)]

师：(实例1)演示动画，用《几何画板》动态地显示炮弹高度关于炮弹发射时间的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在的变化范围内，任给一个，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度与之相对应。

生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

师：(实例2)引导学生看图，并启发：在的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。

生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

师生：(实例3)共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

(四)从特殊到一般，引出函数概念[对象(O)]

问题4：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点?

生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。

师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：

对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的与它对应，记作

教师强调指出仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号的含义，教师提出下一个问题：

问题5：一定就是函数的解析式吗?

师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。

问题6：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢?如果能，怎样给函数重新下一个定义呢?(在学生回答的基础上教师归纳总结)

补充练习：下列图象中不能作为函数的图象的是()

例1.已知函数，(1)求函数、的定义域;

(2)求的值;

(3)当时，求的值。

(4)求

(5)求

让学生思考，并提问个别学生。

师问：怎样求函数的定义域?

追问：与有何区别与联系? 点拨：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，它是一个变量，是的一个特殊值。

追问：如何求，又如何求一般情况的?

具体地，可以将2带入函数求出具体值，再代入求出函数值。

对于抽象的，应该将看成一个整体，带入的解析式，求出的解析式。

问题7：函数的三要素是什么?

教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。

追问：如何判断两个函数是否相同?

以学生已解决的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身基础上的再创造，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。

例2.下列函数中哪个与函数相等?

(1)

(2)

(3)

(4)

师问：判断函数相等的依据是什么?

变式：若改(2)为呢?

思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗?

启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：

1.函数是一种特殊的对应非空数集到非空数集的对应;

2.函数的核心是对应法则，通常用记号表示函数的对应法则，在不同的函数中，的具体含义不一样。函数记号表明，对于定义域的任意一个在对应法则的作用下，即在中可得唯一的.当在定义域中取一个确定的，对应的函数值即为.集合中并非所有的元素在定义域中都有元素和它对应;值域;

3.函数符号

的说明：

(1)即为是的函数的符号表示;(2)不一定能用解析式表示;(3)与是不同的，通常，表示函数

当时的函数值;(4)在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号外，还常用、、等符号来表示。

4.定义域是函数的重要组成部分，如与是不同的两个函数。

(五)借助熟悉的函数，加深对函数概念的理解[图式(S)]

问题8：集合A(A=R)到集合B(B=R)的对应：

: AB，使得集合B中的元素与集合A中的元素对应，如何表示这个函数?定义域和值域各是什么?函数呢?函数呢?

教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：

函数

一次函数

反比例函数

二次函数

对应关系

a＞0 a＜0

定义域

值域

用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会数与形结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。

(六)再创情境，引导探究函数概念的新认识[图式(S)]

问题9：比较函数的近代定义与传统定义(即初中课本函数的定义)的异同点，你对函数有什么新的认识?

学生思考、讨论，教师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。

问题10：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。教师启发、引导学生画图，以形求数。

师生：是函数;与不是同一个函数。

引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来表达，培养学生反思问题、总结归纳的习惯和善于运用数学语言抽象所发现的结论的能力。

(七)举例应用，深化目标[图式(S)]

例3.已知函数

(1)画出函数的图象;(2)求的值;(3)你从(2)中发现了什么结论?(4)求函数的值域。

为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研究函数的性质(奇函数)作准备。

教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：

变式1：已知，① 当时，求函数的值域;

② 当时，求函数的值域。

变式2：已知，① 当函数值域为时，求函数定义域;② 当函数值域为时，求函数定义域。

变式3：(1)已知，求的值。(2)已知，求函数.变式4：已知，求①的解析式;②

的解析式;③的解析式。

以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的能力，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深入，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步掌握与应用能力也就自然形成了。

(八)练习交流，反馈巩固

以学生回答、板演的形式进行课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。(九)学生归纳小结，教师评价

以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：1.函数的近代定义与传统定义的异同点;2.集合与函数的联系、区别;3.函数的三要素;4.数形结合的思想。

三、几点启示

APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析，可以预测学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的掌握起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，实质是以学生为主体的理念在课堂探究中的体现，有利于学生理解函数的概念。

教学中教师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的掌握概念的思维状况，将数学知识和学生探究活动有机结合，要求教师要重视学生的学习活动，让学生亲身创设问题情境。数学教师要意识到：一个数学概念由过程到对象的建立, 有时既困难又漫长, 需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升, 直至学生真正理解,对象的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。

学生对于函数概念的认识不是一蹴而就的，这就要要教师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合具体的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的知识链。在往后的教学中要注意学生对知识的图式的建立, 即加强知识间的联系和应用,如在讲解具体的指数函数、对数函数、幂函数时，可以以具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了具体──抽象──具体的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解及应用后，可以与函数相结合，进行对比，从而加深对函数概念的理解，帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。

当然，APOS 理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中, 也不是每一课都必须遍历四个阶段, 它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课。比如，函数图式的形成是需要一个长期实践与反思。有些学生需要在接触了大量的具体的函数模型以后，甚至在学习了函数的复合、微分、积分以后，才能渐渐地实现从过程到对象的理解，再由对象到图式的发展。作为老师，我们应该理解学生的实际，作为数学的学习过程，也是允许学生有折返的现象。

第四篇：数学命题教学和概念教学设计

数学命题教学和概念教学设计

——对于如何让学生主动的上好命题课、概念课的一些思考

龙苑中学

黄静

数学命题、概念教学是初中数学课堂教学中非常重要的形式之一，也是学生获取新知识的最直接的途径，在阅读了有关“数学命题教学设计和数学概念教学设计”的理论外，结合平时教学实际，也有一些想法：

命题课、概念课的教学过程就是学生接受新知识的过程，为了让学生更好的掌握一个全新的概念，我觉得让他们知道为什么要学习这个知识点很有必要，如果他们明白了学习的原因可能就会主动去学、去记、去思考，而不是老师教了或者是教课书上有所以要学，从学生端正学习态度进而主动去学或者说想学新知识，也许会达到事半功倍的效果。下面举个我教学中的例子说明：

例：在上因式分解第一课时的课时，“因式分解”这个名词对于学生来说是一个全新的概念，所以我决定用多一点的时间来帮助学生理解“因式分解”的概念，这是本课的一个难点。与此同时加了一个我们为什么要学习因式分解的举例小环节，当时我们之前刚做过一个例题，已知一套房子的平面图，用x、y的代数式表示房子的总面积，然后告之x=2.5米和y=3.5米求房子具体的总面积。这题的第一个小问题得出的代数式为3x29xy6y2，如果把x和y的值直接代入这个式子计算比较复杂，结果错误率非常高，而这式子是可以因式分解为3（x+y）（x+2y），如果分解后在代入数值，计算会方便很多，正确率也会提高很多。我用这个例子给学生们说明后，他们也如此认为，然后就很容易理解学好因式分解的意义。学生从心理上给了自己一个暗示学好因式分解，对以后的教学会有帮助的。

对于大多数学生而言，学习还是比较被动的，也是是家长和老师的压力驱使他们在学，常常会有学生问为什么我们要学这些，学了有什么用，如果让他们知道为什么要学，也许去主动去掌握好这些令他们头疼的概念吧。

第五篇：教学设计中如何做好数学概念教学

教学设计中如何做好数学概念教学

学习时间：2018年4月18日

数学概念是数学教材结构的最基本的因素，正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。在新课标的要求下，初中数学概念课的教学, 要坚持以人为本的教育理念, 尊重学生的主体性, 激发学生学习概念的兴趣;让学生体会概念产生的源头, 亲历概念形成的过程;自主抽象概括形成概念, 自觉应用概念去解决问题。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能很好地掌握各种法则、公式、定理，也就不能应用所学知识去解决实际问题．因此，抓好数学概念的教学，是提高数学教学质量的关键。

数学概念比较抽象，在教学过程中注意结合学生心理发展特点去分析事物的本质特征，运用生动的讲解和形象的比喻，增强学生对概念正确地理解、记忆和应用。下面就如何做好数学概念的教学工作谈几点体会。

1.重视教学情境创设，实现概念引入的自然化。

数学教材多是直接给定概念,教师应遵循高中数学新课标的要求,加强概念的引入,引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程。合理设置情境,使学生积极参与教学,了解知识发生、发展的背景和过程,使学生感受到学习的乐趣,这样也能使学生加深对概念的记忆和理解。引入形式可以多样化，如以数学史话引入、以实际问题引入、以实际问题引入等。

2.利用概念中的关键字、词，帮助学生掌握概念；

数学概念中的某些字、词的含义，为我们提供了记忆概念本质属性的直观材料，强调概念中具有这种特征的字和词，能有效地理解和记忆概念的本质特征．例如，“一元二次方程”这个概念本身具有“一元”、“二次”、“方程”3个关键词，抓住这3个特征，学生自然也就了这个概念。又如对函数概念中的“任何”与“唯一”要重点强调，然后举例，前者可以称 是 的函数，后者不能称 是 的函数，因为对于任何一个 ,不是对应唯一，这样通过正反实例，强调概念中的关键词语，更能加深概念的理解。再如三角形的内切圆、外接圆中的“内”、“外”分别指出了圆在三角形内部、外部；“切”、“接”分别指出了圆与三角形的3条边相切，圆与三角形的3个顶点相接．教学中着重强调这些字词，使学生一看到这一概念，就会联想到这一概念是如何定义的． 3.注重数学语言的翻译

数学语言有文字语言、符号语言、图形语言。符号语言有较强的概括性，更能反映概念的本质。

4.运用具体实物或模型，形象地讲述新概念；

概念属于理性认识，它的形成依赖于感性认识，学生的心理特点是容易理解和接受具体的感性认识．教学过程中，各种形式的直观教学是提供丰富、正确的感性认识的主要途径．所以在讲述新概念时，从引导学生观察和分析有关具体实物入手，比较容易揭示概念的本质和特征．例如，在讲解“梯形”的概念时，教师可结合学生的生活实际，引入梯形的典型实例（如梯子、堤坝的横截面等），再画出梯形的标准图形，让学生获得梯形的感性知识．这种形象的讲述符合认识规律，学生容易理解，给学生留下的印象也比较深刻．

5.注重相似概念的对比分析，通过比较，使学生正确地理解概念；

有比较才有鉴别。用对比方法找出容易混淆的概念的异同点，有助于学生区分概念，获取准确、明晰的认识。比如对分类计数原理与分步计数原理、排列与组合的概念，就可以通过概念对比，并结合实例的方式加深概念理解。6.在应用中加深对概念的理解。

只有通过解题，学生才能加深对概念的认识，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延．课本中直接运用概念解题的例子很多，教学中要充分利用．同时，对学生在理解方面易出错误的概念，要设计一些有针对性的题目，通过练习、讲评，使学生对概念的理解更深刻、更透彻．

总之，数学概念是理解数学思想，运用数学方法，掌握基本技能，提高数学能力的前提。数学概念的教学是整个数学教学的一个重要环节，正确地理解数学概念是掌握数学知识的前提．教师在数学概念教学中要转变观念，使课堂教学由知识型转化为能力型，切实搞好数学概念教学，使学生深刻理解概念的内涵，充分发挥数学概念的指导作用，全面提高学生的数学素养。