高中数学对称问题（共5篇）

第一篇：高中数学对称问题

关于印发《许传智书记在固原调研时的讲话》的通知

各县（区）纪委、监察局，市直各部门单位纪委（纪工委），市纪委派驻纪检组：

11月10日-11日，自治区党委常委、纪委书记许传智一行在固原市进行调研，并召开座谈会作了重要讲话，对我市经济社会发展及党风廉政建设和反腐败工作取得的成绩给予肯定，对做好今后工作提出了四点要求，具有很强的针对性和指导性。现将许传智书记的讲话，印发给你们，请认真学习，深刻领会，并以讲话精神为指导，全力推进当前各项工作落实，认真谋划好明年工作。

中共固原市纪委办公室

2016年11月18日

在固原市调研时的讲话

（2 01 6年11月11日）

许传智

同志们：

这次来固原市调研，主要是了解情况，听听大家的意见。两天来，我们先后到西吉县、原州区看了一些点、走访了一些干部群众，看到固原市经济社会发展和党风廉政建设取得的成效，很受鼓舞。刚才纪峥同志、纳冰同志介绍了情况，几位县（区）纪委的同志作了很好的发言。通过实地参观和座谈交流，感觉大家对当前党风廉政建设的一些重要问题认识到位、思考比较深入，对中央政策理解和自治区党委要求的把握也比较准确，今年各项工作都抓得很实在，有以下几个方面的特点：

一是党员干部干事创业的劲头很足，经济社会发展取得了显著成效。固原市是国家集中连片扶贫开发重点地区，也是我区扶贫攻坚的主战场，经济基础差，底子薄，生态环境脆弱，基础设施建设相对滞后。近年来，在固原市委、政府的正确领导下，广大干部群众解放思想，攻坚克难，用足用活中央和自治区相关政策，经济保持了平稳较快增长，一些工作很有特色。比如，在扶贫攻坚方面，实施‚1+21+x‛精准扶贫规划，统筹推进金融扶贫、产业扶贫、智力扶贫和社会扶贫，工作做得实，效果比较好。在产业发展方面，发展现代农业有思路，有措施．通过抓基地，抓科技，抓龙头，抓市场，促进了农业产业提质增效，农民增收。发展全域旅游规划起点高，通过开发旅游环线，发展乡村游、农家乐、把旅游业发展和农民增收致富有机结合起来，打造了‚天高云淡六盘山‛品牌。在改革方面，深化农村综合改革，行政审批制度改革，城市管理体制改革，财政和投融资体制改革，优化了发展环境，方便了群众办事。从前三季度主要经济指标看，固原市完成地区生产总值149.8亿元，同比增长8.1%；固定资产投资259.6亿元，增长18.9%；地方公共财政预算收入125亿元，增长14.9%；城镇居民人均可支配收入16494.9元，增长7%；农民人均可支配收入4766.4元，增长6.7%，各项指标均保持了较快增长。取得这样的成绩来之不易，展现了全市各级党政组织和广大党员干部良好的精神风貌和干事创业的劲头。

二是市委认真落实全面从严治党主体责任，措施有力，效果明显。市委在推进经济社会发展的同时，高度重视党风廉政建设和反腐败工作，加强组织领导，协调各方力量，健全工作机构，完善配套制度。纪峥书记认真履行‚第一责任人‛的职责，重要工作亲自部署，重大问题亲自过问、重点环节亲自协调，重要案件亲自督办，领导和支持纪检监察机关的工作，在纪律作风建设、惩治腐败、反腐败体制机制创新等方面亲自谋划、全力推动，营造了良好氛围。比如，制定的《固原市加强基层党风廉政建设的实施意见》《落实党风廉政建没主体责任和监督责任实施意见》《固原市党风廉政建设巡察工作办法》，细化党风廉政建设和反腐败工作任务和措施；再比如，加强对落实‚两个责任‛情况的监督检查，积极探索对各级领导干部在实施重点项目中不作为、慢作为、乱作为问题监督，进一步压实了管党治党政治责任。

三是市纪委切实履行监督责任，工作有不少特色和亮点。市纪委结合实际，不断创新工作理念、思路、做法，发挥了专门监督机关的作用，出台了一些好制度，形成了一些特色亮点工作。比如，在压实责任方面，建立‚三级同述‛‚三级包抓‛制度（‚三级同述‛即市县乡三级党组织主要负责人述廉述责。‚三级包抓‛即市县乡三级纪委班子成员联系包抓党风廉政建设和反腐败工作），逐级压实了责任。在纪律审查方面，建立交叉捡查、交叉审查、交叉审理和乡（镇）纪委片区协作办案的‚三交叉‛机制，提高了纪律审查的效率和质量。在治理群众身边的‚四风‛和腐败问题方面，坚持用县委权力公开透明运行促党务公开、权责清单制落实促政务公开、村监会制度完善促村务公开、让权力处于监督之中。探索提出扶贫惠农资金‚三级审核、三级备案、一个平台‛（‚三级审核‛即对扶贫资金发放村组初审、乡镇复审、涉农部门终审；‚三级备案‛即对扶贫资金发放情况县（区）相关涉农部门进行一级备案，乡（镇）进行二级备案，村组进行三级备案；‚一个平台‛即涉农惠农资金监管信息平台），运用‚制度+科技‛的手段，让扶贫惠农资金阳光操作，效果比较好。

这些成绩的取得来之不易，希望固原市继续保持力度，鼓足干劲，深入持久地抓下去，使全市干部作风有新转变，政治生态不断净化，发展环境进一步优化，推动全市党风廉政建设和反腐败工作不断迈上新台阶。下面，我讲几点意见，供大家参考。

第一，要在学习贯彻十八届六中全会精神上取得新成效。党的十八届六中全会，是在全面深化改革、决胜全面小康的关键时刻，召开的一次十分重要的会议。这次全会，中央专门安排中央纪委委员、各省（区、市)纪委书记全程列席。通过列席全会，我有四点突出感受：一是意义重大。这次全会专题研究全面从严治党，这是党中央着眼于‚四个全面‛战略布局作出的战略决策、整体设计，是党中央治国理政方略的渐次展开、深度推进，在我们党的建设历史上具有里程碑式的意义。二是讨论充分。全会期间，大家用3天的时间进行了认真的讨论，人人发言，充分交流，深化了认识、统一了思想。我感到，这次全会既是一个总结、部署和推进全面从严治党的动员会，也是一次对党的高级干部进行集中教育的培训会。三是成果丰硕。主要体现在三个方面：第一，明确了总书记在全党的领导核心地位。全会正式提出‚以习近平同志为核心的党中央‛，确立习近平同志为全党的领导核心，这是历史的选择、全党的选择、人民的选择。第二，确立了新形势下党内政治生活的标准、要求和规范。这次全会审议通过的《关于新形势下党内政治生活的若干准则》列出了12条，每一条都是针对当前党内政治生活存在的突出问题提出来的，具有很强的针对性和可操作性。第三，标志着党内监督制度框架基本形成。这次全会审议通过的《党内监督条例》，与《廉洁自律准则》《新形势下党内政治生活若干准则》以及《纪律处分条例》《问责条例》《巡视工作条例》一道，构成了党内监督主要制度框架。学习贯彻六中全会精神是当前重要政治任务，纪检监察机关必须学深一点、悟透一点，贯彻落实好。要注意把握好四个方面：一是要带头履行主体责任。作为纪委书记、纪检组长都肩负监督责任，同时也都是部门单位的‚主官‛，也要担负起主体责任。《关于新形势下党内政治生活的若干准则》 《中国共产党党内监督条例》把党内监督的几个责任都明确下来了，大家要好好研究一下，把各项要求变成可操作性的具体措施，把目标任务变成实实在在的工作内容，把主体责任真正扛起来。二是要带头严肃党内政治生活。严肃党内政治生活是党的建设的法宝，也是锤炼党性的熔炉、纯洁党性的净化器。总书记在群众路线教育实践活动总结大会上强调，党要管党要从党内政治生活管起，从严治党要从党内政治生活严起。新形势下加强和改进党内政治生活、重点是各级领导机关和领导干部。纪检监察机关的领导干部更要把自己摆进去，以党章为根本遵循，坚持党的政治路线、思想路线、组织路线、群众路线，着力增强党内政治生活的政治性、时代性、原则性、战斗性，切实解决党内政治生活庸俗化、平淡化、随意化的问题，营造生动活泼的政治局面。三是要带头加强党内监督。作为党内监督专责机关，要以贯彻《条例》为契机，坚持把纪律挺在前头，真正把监督意识竖立起来、强起来。党内监督没有禁区、没有例外。要把信任激励同严格监督结合起来，切实做到有权必有责、有责要担当、用权受监督、失责必追究。贯彻《准则》《条例》、党委（党组）要切实担负起主体责任，书记是第一责任人，要抓好班子，带好队伍。各级领导干部率先垂范、以身作则，带头以普通党员身份参加党的组织生活，带头开展批评与自我批评，带头执行各项纪律规定，带头弘扬党的优良传统作风，带头接受监督，发挥表率作用。四是要带头学习贯彻。纪检监察干部要做到全员培训，重点是县处级以上领导干部，但是全体党员干部都要学习。中心组、党支部要有计划分专题讨论、进行交流，把各种学习形式结合起来，真正吃透精神，务求内化于心、外化于行。同时，要结合工作实际深入思考明年如何更好地开展监督执纪问责工作，推动全区党风廉政建设和反腐败工作深入开展。

第二，要在实践运用好监督执纪“四种形态”上进行新探索。监督执纪‚四种形态‛是从党的历史和从严治党实践中总结出来的，体现了惩前毖后、治病教人的一贯方针。实践好‚四种形态‛，要求在执行纪律上更加细化、更加严格。有的同志说，‚四种形态‛宽严不太好把握。其实这个宽严的把握，就是要根据当地的政治生态来衡量．根本原则就是用最坚决的态度减少腐败存量，用最果断的措施遏制腐败增量，重点抓好三个方面：一是保持执纪审查力度不减、节奏不变。要在纪律审查中彰显坚定不移反对腐败的决心和意志，以零容忍态度抓关键少数，突出执纪重点，越往后处理越严，不断释放全面从严治党强烈信号。同时，要在审查中体现组织关怀，善于做思想政治工作，让严重违纪涉嫌违法的人迷途知返、洗心革面，重建对党的忠诚和信任，保证所查的每一起案件都能经得起历史的检验。二是要在运用第一种形态上多下功夫。越到基层，熟人越多，拉下脸来越不容易。但是第一种形态不落实，监督执纪‚四种形态‛、管党治党、把纪律和规矩挺在前面就落不到实处。因此要注重开展谈话提醒、函询诫勉工作。对反映比较笼统的问题线索，要本着对同志高度负责的态度，及时约谈本人，要求其写出情况说明。对反映不实的予以澄清，对如实说明且反映问题并不严重的给予了结，让同志放下包袱。对于谈话函询，重点把握以下三点：第一，是‚四个可以谈‛：反映的违纪问题具有一般性、比较轻微，或者经研判是道听途说或主观臆断的；已退出现职、反映的问题时间久远的；经初核未发现重大违纪问题，但不宜直接了结的；反映个人勤政方面的，可以谈话函询。第二，是‚四个不宜谈‛：权钱交易等涉嫌产重违纪违法的问题；问题具体、可查性强的；问题反映集中、群众反映强烈的；十八大后不收敛不收手、顶风违纪的，不宜谈话函询。第三，是‚四个优先谈‛：初次反映且问题轻微的：反映新提任的领导干部思想工作作风的；拟提拔使用或发展潜力较大的干部，且反映问题比较笼统的；所处岗位或从事的工作本身矛盾突出，反映的是改革过程中容易遇到的一般性问题，可以优先开展谈话函询。要通过谈话函询，使管党治党从只盯少数人向管住大多数转变，增强党的观念和纪律意识，心有敬畏、行有所止。三是要把关键在党，这是一个政治方向、政治要求和政治立场的司题。在党的所有纪律中，政治纪律排在第—位。不管违反哪方面的纪律，发展到一定程度，都会在群众中和党内造成恶劣影响，最终都会侵蚀党的执政基础，说到底都是破坏政治纪律。辽宁拉票贿选案，严重到了什么程度？一个连续五届当选的农民代表，动用目己的积蓄，向自己的亲戚借钱去贿选，不拉票就选不上。拉票贿选，贿选肯定是触犯刑律了；拉票，在六大纪律中归类在组织纪律里面，但是这难道不是政治问题吗？所以加强纪律建设，水远要把严明政治纪律和政治规矩放在首位。第三，要在查处和纠正发生在群众身边的腐败问题上实现新进展。近年来，中央高度重视扶贫工作，总书记来宁夏第一站考察的是固原，提到最多的是扶贫。固原市作为我区扶贫攻坚主战场，投资数额大，专项资金多，涉及领域广，管好用好扶贫资金责任重大。从监督检查和群众反映看．现在基层截留、挪用、侵吞、挤占扶贫资金、惠农惠民资金的问题屡禁不止，中饱私囊、优亲厚友等‚微腐败‛易发多发。希望固原市要用严格的制度、严肃的纪律、严谨的管理，把每一笔扶贫资金管好、用好，确保资金安全、项目安全、干部安全。一要推动全面从严治党向基层延伸。县（区）、乡镇都要结合实际，制定落实‚两个责任‛清单，明确具体内容和责任人，把责任逐级压紧压实，要加强对党风廉政建设落实情况的巡察，重点督导‚两个责任‛落实、基层不正之风和腐败问题整治查处情况。强化问责追究力度，对落实‚两个责任‛不力的，严肃问责追责，公开曝光。二要严格责任狠抓落实。各级纪检监察机关要加强对‚五个坚持‛(坚持精准识别、坚持产业带动、坚持综合施策、坚持补齐短板、坚持自力更）贯彻落实情况的监督检查，重点督促发改、财政、扶贫、农牧、林业等部门加强对扶贫攻坚资金分配、管理、使用等环节的监管。对贯彻执行不力，甚至欺上瞒下、弄虚作假的单位和个人要严肃问责，以铁的纪律保证脱贫攻坚各项决策部署落实到基层。三是严肃查处群众反映强烈的扶贫领域腐败问题。严肃查处在扶贫项目管理、资金使用中以权谋私、欺上瞒下、盘剥克扣、贪污侵占以及暗箱操作、索贿受贿等‚雁过拔毛‛式腐败问题，保证每一分钱都真正用到扶贫项目上、用到贫困群众身上，确保脱贫攻坚取得实效。加大点名道姓通报曝光力度，释放强烈信，形成持续震慑，切实维护群众利益。

第四，要在巩固深化成果上要有新提升。本届以来，党风廉政建设和反腐败工作既有大量的经验值得总结提炼，又有很多工作成果需要固化完善，我们要认真做好这方面的工作，为下一届深入推进党风廉政建设和反腐败工作奠定良好基础。一是要抓总结。十八大以来，我们在党中央和自治区党委的坚强领导下，围绕‚遏制腐败蔓延势头，纠正‘四风’、防止反弹‛的目标，调整理念思路，转变工作职能，改革体制机制，创新方式方法，做了很多工作，积累了很多经验，取得了一系列成果，这些经验和成果来之不易，大家要认真回顾、全面梳理、系统总结，并借鉴运用到今后的工作中去。二是要抓巩固。十八大以来的党风廉政建设和反腐败工作虽然取得了显著成效，但很多工作成果还不稳固，根基还不牢靠。比如主体责任没有完全落地生根、‚四风‛问题树倒根在、派驻机构工作机制还不健全等等，都需要我们继续保持锲而不舍的精神，在坚持中深化、在深化中坚持、不断巩固工作成效。三是要抓提升。随着党风廉政建设和反腐败斗争的不断深入，要求我们各级纪检监察机关加紧跟上党中央、中央纪委步伐，落实好全面从严治党要求，把纪律挺在前面、实践‚四种形态‛，推动各项工作从‚管少数‛向‘管多数‛、从聚焦惩贪治腐向营造风清气正政治生态转变，取得良好的效果。同时，要抓好换届工作。目前，县上已经换届结束，市上即将换届。市委、纪委班子换届考察工作虽然完成，但后续的工作任务还不少，要严格按照要求，做好思想政治工作，确保换届工作平稳顺利进行，要进一步严明换届纪律，对拉票贿选、跑官要官、买官卖官、跑风漏气、说情打招呼等问题，要保持高压态势，发现一起、严肃查处一起，及时通报、公开曝光。对领导不力，失职失责，导致换届纪律松弛涣散、出现非组织活动的，要严肃追究党委、党委主要负责人和相关部门负责人的责任。

第二篇：高中数学中的对称问题小结

对称问题

一、要点梳理

1.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法

4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等

二、基础练习

1、已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为

（）A.(x＋1)2＋y2＝

1B.x2＋y2＝1

C.x2＋(y＋1)2＝1

D.x2＋(y－1)2＝1

2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线

（）A.关于x轴对称但不关于y轴对称

B.关于y轴对称但不关于x轴对称 C.关于原点对称

D.以上都不对

3、函数y＝－ex的图象

（）A.与y＝ex的图象关于y轴对称

B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称

C.与ye的图象关于y轴对称

D.与ye的图象关于坐标原点对称

4、曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为___________.5、光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。

变式：已知直线l1: x+my+5=0和直线l2:x+ny+P=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是（）A、xx5p

mnB、p=-5

C、m=-n且p=-5

D、11且p=-5 mn6.直线2x3y60交x、y轴于A、B两点，试在直线yx上求一点P，使P1AP1B最小，则P点的坐标是_______ 思考、已知函数f(x)13xx2x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的3两点M(x1,y1),N(x2,y2)，且恒有y1y2为定值y0，则y0的值为（）A.12

4B.

C.

D.2 3337、已知点M（3，5），在直线：x2y20和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小。

x2y21的焦点为焦点作椭圆。问：点P在何处时，8、在直线l:xy90上任取一点P，过点P且以椭圆

123所作椭圆的长轴最短？并求具有最短长轴的椭圆的方程。

9、已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1

10、已知抛物线y=ax2－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.x2y2变式：已知椭圆方程为试确定实数m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线y4xm1，43对称。

11、已知函数f(x)lnx(0x1)1x（1）在函数yf(x)的图象上是否存在一点（m,n），使得yf(x)的图象关于（m,n）对称？（2）令g(x)f(1x11)，是否存在这样的实数b，使得任意的a∈[,]时，对任意的x∈(0,)，不等式2x43g(x)xax2b恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由.12、已知抛物线C:y24x，过M(m,0)的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（Ⅰ）若m=3，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

（Ⅱ）若m0，且存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，求m的取值范围.（Ⅲ）若m0，记A关于x轴的对称点为A1，求证：直线A1B过定点.13、设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y2x上，l是AB的垂直平分线．（Ⅰ）当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

214、已知函数f（x）=(Ⅰ)求实数a,b的值；(Ⅱ)设g（x）=f(x)+13xx2axb的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2.3m是[2,]上的增函数。x

1（i）求实数m的最大值；

(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

参考解答：

1、C；

2、C；

3、D；

4、（x－6）2+4（y－10）2=4；

5、解：A（-3，4）关于x轴的对称点A1（-3，-4）在经x轴反射的光线上；A1（-3，-4）关于y轴的对称点A2（3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上，∴kA2B=

642

23∴所求直线方程为 y62(x2)，即2xy20 变式、C；

6、(0,0)； 思考、B；解析： f(x)13111xx2x(x33x23x11)(x1)3 3333111f(x)(x1)3从而f(x)的图像关于定点(1,)对称，333112所以点P为(1,)，y1y2y02()

3337、解：可求得点M关于l的对称点为M1（5，1），点M关于y轴的对称点为M2（-3，5），则

MPQ的周长就是M2QQPPM1，连M2M1，则直线M2M1与y轴及直线x2y20的交点P、Q即为所求。

直线M1M2的方程为x2y70，直线M1M2与y轴的交点坐标为Q(0,)，由方程组72x2y2059597 得交点P(,)，∴点P(,)、Q(0,)即为所求。

24242x2y708、略

9、解：设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，P3PB∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，∴tanθ=1=x.P0BCP1x1x1又tanθ=1==x，∴CP2==－1.CPCP2xx2而tanθ=

D(0,1)P2C(2,1)P1B(2,0)A P0P4P3D=P2DDP3DP31==x，∴DP3=x（3－）=3x－1.11x2(1)3xx又tanθ=AP31(3x1)23x23x2===x，∴AP4==－3.AP4AP4AP4xx依题设1> xx42512>tanθ>.2510、解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），yxb，设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程 2yax1ax2－x－（1+b）=0.① 判别式Δ=1+4a（1+b）＞0.②

x1x211=，y0=x0+b=+b.2a2a21113∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.a42a2a解法二：设同解法一，由题意得 由①得x0=y1ax121，yax21，22y1y21，xx12y1y2x1x20.22①②③ ④将①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得

1xx12a，由二元均值不等式易得2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.12x12x222.aa将⑤⑥代入上式得2（－1a2解法三：同解法二，由①－②，得y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.yy2∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）=1=1.x1x2x1x21=.∵M（x0，y0）∈l，2a2111∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，从而PQ的中点M的坐标为（，－）.2a2a2a∴x0=∵M在抛物线内部，∴a（+

213）＞（）2，解得a＞.aa41132）－（－）－1＜0.解得a＞.（舍去a＜0，为什么?）

42a2a变式：解法一：该问题等价于存在直线y中点落在直线y4xm上。

1xn，使得这直线与椭圆有两个不同的交点P、Q，线段PQ的4x2y243122由消去y得13x8nx16n480 y1xn4∵直线与椭圆有两个不同交点。

∴64n2413(16n248)0由韦达定理得：x1x21313 ① n228n124n，y1y2(x1x2)2n。13413 4n12n,)又M在直线y4xm上 1313124n4n4m，∴mn ② ∴131313故PQ中点为M(由①②知213213 m1313解法二：设A(x1,y2)、B(x2,y2)是椭圆上关于直线y4xm对称的相异的两点，x12y12x22y22AB中点为M(x0,y0)。则1,1，4343由点差法得y03x0，代入y04x0m解得，M点坐标为(m,3m)。而M是AB中点，∴M点在椭圆内部。

m29m2213213∴。1。解得m43131311、【解析】（1）若存在一点（m，n），使得y =f(x)的图象关于点（m，n）对称，则f(x+m)+f(m－x)=2n

xmmxm2x2即ln lnln1xm1mx(1m)2x2当m11在y=f(x)的图像上，,n0时f(x+m)+f(m－x)=2n 且,0221，使得y=f(x)的图像关于1对称。所以在y=f(x)的图像上存在一点,0,0221x（2）gx=ln2xlnx1(x＞－1), 构造函数Fx=ln1xxax，1x12x12axx112ax2axx112a则Fx2ax1，x1x1x12

因为x0,a∈[,]所以x10,2ax0, 1143 111),F(x)在(0,1)上是减函数； 2a2a111,),F(x)在(1,)上是增函数； 若F(x)0，则x∈(2a2a111111时,F(x)取最小值，即F(x)minF(1)=ln1a(1)2 所以当x2a2a2a2a2a111111a1=lna

=ln2a2a4a2a4a若F(x)0，则x∈(0,记h(a)ln11111111a,又h(a)2a(2)2121(2)2, 2a4aa4a2a4a4a

11113∈[3，4]所以h(a)0,即h(a)在[,]上为增函数，所以h(a)minh()ln2

44a433所以若使F(x)b恒成立，只需bln2.4311所以存在这样的实数bln2,使得对a∈[,]，对任意的x∈(0,)时，443因为不等式ln（1+x）＞x-ax2+b恒成立.12、（Ⅰ）解：由题意，直线l的方程为yx3，由yx3y4x

2得

y24y120y12,y26，故A1,2,B9,6

以AB为直径的圆的圆心为AB中点5,2，半径为

AB42 2圆的方程为:x5y232.（Ⅱ）解：设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), MBAM(0).22则AM(mx1,y1),MB(x2m,y2)，所以 x2m(mx1)

○

1yy21

因为点A, B在抛物线C上, 2

所以y12=4x1,y22

=4x2，○

由○1○2，消去x2,y1,y2得x1m.若此直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，则|OM|2|MB||AM|，2即|OM|2|AM||AM|，所以m2[(x1m)2y1]，因为y12=4x1，x1m，所以m2m[(x1m)24x1]，x12整理得x1(3m4)x1m20，○

因为存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，所以关于x1的方程○3有正根，因为方程○3的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根，3m40

所以m20，解得m4.(3m4)24m20 故当m4时，存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列.（Ⅲ）定点位N(-m,0)。

13、解：（Ⅰ）Fl|FA||FB|A,B两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y10,y20,依题意y1,y2不同时为0，2∴上述条件等价于y1y2x12x2(x1x2)(x1x2)0;

∵x1x2，∴上述条件等价于

x1x20.即当且仅当x1x20时，l经过抛物线的焦点F． 另解：（Ⅰ）∵抛物线y2x2，即x2y11,p，∴焦点为F(0,)

248（1）直线l的斜率不存在时，显然有x1x20

（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b

即直线l：y=kx+b

由已知得：

yy2221kx1x2b2x22x1kx1x2b

222222y1y212x12x21kx1x2x1x2k

22x1x2bkx1x2 x2x21b0b1 212441x1x22k即l的斜率存在时，不可能经过焦点F(0,)

所以当且仅当

18xx12=0时，直线l经过抛物线的焦点F

（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y2xb； 过点A、B的直线方程可写为y所以x1,x2满足方程2x21xm，211xm0,得x1x2； 2411.A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式8m0, 即m432设AB的中点N的坐标为(x0,y0)，则x01111(x1x2,y0x0mm.28216由Nl,得115519mb,于是bm.1641616323232即得l在y轴上截距的取值范围为（9,）．

法二:y1=2x1, y2=2x2, 相减得2

2y1y212(x1x2)4x0,即4x0, x1x221192x0,y0b, 中点在抛物线内必y02x0 得b843214、解：（Ⅰ）由f'(x)x22xa及题设得f'(0)3a3即。

b2f(0)2（Ⅱ）（ⅰ）由g(x)13mm2xx23x2

得g'(x)x2x3。23x1(x1)g(x)是[2,)上的增函数，g'(x)0在[2,)上恒成立，即x2x32m0在[2,)上恒成立。

(x1)2m0在[1,)上恒成立 t设(x1)2t。x[2,),t[1,)，即不等式t2当m0时，不等式t2m0在[1,)上恒成立。tm当m0时，设yt2，t[1,)

tmm因为y'120，所以函数yt2在[1,)上单调递增，因此ymin3m。

ttymin0,3m0，即m3。又m0，故0m3。

综上，m的最大值为3。

1331xx23x2，其图像关于点Q(1,)成中心对称。3x131332证明如下：g(x)xx3x2

3x113183g(2x)(2x)3(2x)23(2x)2x3x23x

32x1331x2因此，g(x)g(2x)。

32上式表明，若点A(x,y)为函数g(x)在图像上的任意一点，则点B(2x,y)也一定在函数g(x)的图像上。

31而线段AB中点恒为点Q(1,)，由此即知函数g(x)的图像关于点Q成中心对称。

3（ⅱ）由（ⅰ）得g(x)

第三篇：对称问题

高一数学学案

对称问题

课时：2编写人：邹晨霞审核人：李志荣编号：39

一．学习目标

1.会求一个点关于一点、一条直线的对称点的坐标；

2.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线.二．问题导学

问题1：点关于点对称

例1.已知点A(5,8)，B(4，1)，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。

问题2：直线关于点对称

例2.求直线l1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l2的方程。

问题3：点关于线对称

例:3：求点P(－4,2)关于直线l的对称点P′的坐标．

(1)l：2x－y＋1＝0(2)l：x－y＋1＝0

练习：一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线所在直线的方程．

1尖草坪一中

高一数学学案

问题3：直线关于直线对称

例4：求直线x-2y-1=0关于直线x+y-1=0对称的直线方程.问题4：对称与最值

例5：已知点A3,5，B2,15，试在直线l：3x4y40上找一点P，使(1)PAPB 最小，并求出最小值.(2)PBPA最大，并求出最大值.三：达标检测

1.直线y2x关于x轴对称的直线方程为A.yxB.yxC.y2xD.y2x 22

2.已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对 称，则l2的方程为A.x2y10B.x2y10C.xy10D.x2y10

3.直线y

4.直线2x3y60关于点1,1对称的直线方程是 1x关于直线x1对称的直线方程是2

A.3x2y20B.2x3y70

C.3x2y120D.2x3y80

5.已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线l关于点A的对称直线l的方程./

2尖草坪一中

第四篇：圆锥曲线教案 对称问题教案

圆锥曲线教案 对称问题教案

教学目标

1．引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法． 2．通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

3．通过对称问题的探讨，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的思想来处理问题．

教学重点与难点

两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点．把数学问题转化为对称问题，即用对称观点解决实际问题是难点．

教学过程

师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质．今天这节课继续讨论有关对称的问题．大家想一想：点P(x，y)、P′(x′，y′)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？

师：P(x，y)，P′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？ 生：P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′． 师：若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？ 生：x=x′且y=-y′．

师：若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？ 生：y=y′且x=-x′．

师：若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？ 生：y=x′且x=y′．

生：它们关于直线y=x对称．

师：若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？ 生：P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧． 师：还有补充吗？

生：PP′的连线一定与直线Ax+By+C=0垂直．

师：P与P′在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？ 生：还需要保证P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等． 师：P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？

生：就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0．

师：下面谁来总结一下，两点P(x，y)、P′(x′，y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？

生：应满足两个条件． 生：方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P(x，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′(x′，y′)的坐标．

师：今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题．

例1 已知直线l1和l关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

2(选题目的：熟悉对称直线方程)师：哪位同学有思路请谈谈．

生：先求出已知两直线的交点，设l2的斜率为k，由两条直线的夹角公式可求出k，再用点斜式求得l2的方程．

(让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正．)

由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0． 师：还有别的解法吗？

生：在直线l1上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出l的直线方程。(让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正．)解 由方程组：

师：还有别的解法吗？

生：在l2上任取一点P(x，y)，则P点关于2x-2y+1=0对称的点P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程组，解出x′，y′，代入l1问题就解决了．

师：请你到黑板上把解题过程写出来． 解 设P(x，y)为l上的任意一点，2则P点关于直线2x-2y+1=0对称，点P′(x′，y′)在l1上(如图2-75)，

又因为P′(x′，y′)在直线l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0．

即l2的方程为：4x-6y+3=0．

师：很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法．那么，如果把l1改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？

引申：已知：曲线C：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程．(选题目的：进一步熟悉对称曲线方程的一般方法．)师：例1中的几种解法还都适用吗？ 生：

(让学生把他的解法写出来．)解 设P0(x0，y0)是曲线C：y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为P′(x1，y1)，因此，连结P0(x0，y0)和P′(x1，y1)两点的直线方程为y-y0=-(x-x0)．

师：还有不同的方法吗？

生：用两点关于直线对称的方法也能解决． 师：把你的解法写在黑板上．

生：解：设M(x，y)为所求的曲线上任一点，M0(x0，y0)是M关于直线x-y-2=0对称的点，所以M0定在曲线C：y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 师：大家再看一个例子．

点出发射到x轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．(如图2-77)

师：解这题的关键是什么？ 生：关键是找到x轴的交点． 师：有办法找到交点吗？ 生：没人回答．

师：交点不好找，那么我们先假设M就是交点，利用交点M对解决这个问题有什么帮助吗？

生：既然AM是入射光线，MD为反射光线，D为切点，这样入射角就等于反射角，从而能推出∠AMO=∠DMx．

师：我们要求|AM|+|MD|能解决吗？

生：可以先找A关于x轴的对称点A′(0，-2)，由对称的特征知：|AM|=|A′M|，这样把求|AM|+|MD|就可以转化为|A′M|+|MD|即|A′D|．

师：|A′D|怎么求呢？

生：|A′D|实际上是过A′点到圆切线的长，要求切线长，只需先连结半径CD，再连结A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如图2-77)(让这位学生把解答写在黑板上．)解 已知点A关于x轴的对称点为A′(0，-2)，所求的路程即为

师：巧用对称性，化简了计算，很好．哪位同学能把这个题适当改一下，变成另一个题目．

生：若已知A(0，2)，D(4，1)两定点，在x轴上，求一点P，使得|AP|+|PD|为最短．

师：谁能解答这个问题？

生：先过A(0，2)关于x轴的对称点A′(0，-2)，连结A′D与x轴相交于点P，P为所求(如图2-78)．

师：你能保证|AP|+|PD|最短吗？

生：因为A，A′关于x轴对称，所以|AP|=|A′P|，这时|AP|+|PD|=|A′D|为线段，当P点在x轴其他位置上时，如在P′处，那么，连结AP′、A′P′和P′D．这时|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形两边之和大于 生：先作A点关于x轴的对称点A′(0，-2)，连结A′和圆心C，A′C交x轴于M点，交圆于P点，这时|AM|+|MP|最小(如图2-79)．

师：你怎样想到先找A点关于x轴的对称点A′的呢？

生：由前题的结论可知，把AM线段搬到x轴下方，尽可能使它们成为直线，这样|A′M|+|MP|最小．

师：很好，大家一起动笔算一算(同时让这位学生上前面书写)． 生：解A点关于x轴的对称点为A′(0，-2)，连A′C交x轴于M，交圆C于P点，因为A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|=

师：我们一起看下面的问题．

例3 若抛物线y=a·x2-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．

师：这题的思路是什么？

生：如图2-80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-

师：很好，谁还有不同的解法吗？

生：曲线y=ax2-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方

师：今天我们讨论了有关点，直线，曲线关于定点，定直线，对称的问题．解决这些问题的关键所在就是牢固掌握灵活运用两点关于定直线对称的思想方法，结合图象利用数形结合思想解决问题．

作业：

1．一个以原点为圆心的圆与圆：x2+y2+8x-4y=0关于直线l对称，求直线l的方程．

(2x-y+5=0)2．ABCD是平行四边形，已知点A(-1，3)和C(-3，2)，点D在直线x-3y-1=0上移动，则点B的轨迹方程是

______．

(x-3y+20=0)

3．若光线从点A(-3，5)射到直线3x-4y+4=0之后，反射到点B(3，9)，则此光线所经过的路程的长是______．

(12)4．已知曲线C：y=-x2+x+2关于点(a，2a)对称的曲线是C′，若C与C′有两个不同的公共点，求a的取值范围．(-2＜a＜1)

设计说明

1．这节课是一节专题习题课，也可以认为是复习题，通过讨论对称问题把有关的知识进行复习，最重要的是充分突出以学生为主体．让学生讨论和发言，就是让学生参加到数学教学中来，使学生兴趣盎然，思维活跃，同时对自己也充满了信心．这样，才有利于发挥学生的主动性，有利于培养学生的独立思考的习惯，发展学生的创造性和思维能力．因此，在数学教学中要有一定的时间让学生充分地发表自己的见解，从而来提高他们的兴趣，发展他们的能力．

2．这节课自始至终贯穿数形结合的数学思想，让学生在脑海里留下一个深刻的印象，就是对称问题，归根结底都可以化成点关于直线的对称问题，即可用方程组去解决．反过来，一直线与一曲线的方程组消元后得到一元二次方程，若这二次方程的判别式大于零，也可得直线与曲线有两个交点，这种从形到数，再由数到形的转化为我们处理解析几何问题带来了便利．在解题时，只有站在一定的高度上去处理问题，思路才能开阔，方法才能灵活，学生的能力才能真正的得到培养，同时水平才能提高得较快．

3．习题课的一个中心就是解题，怎样才能让学生做尽可能少的题，从而让学生掌握通理通法，这是一个值得研究和探讨的问题．本节课采取了让学生把题目进行一题多变，一题多解，从中使学生悟出一些解题办法和规律，从而达到尽可能做少量的题，而达到获取尽可能多的知识、方法和规律的目的，真正提高学生的分析问题、提出问题、解决问题的能力．解决当前学生课业负担过重的问题，根除题海战术给学生带来的危害．

4．本课的例题选择可根据自己所教学生的实际情况，下面几个备用题可供参考．

题目1过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求点M在直线l上移动时，△MAQ垂心的轨迹方程．

(选题目的：熟练用代入法求动点的轨迹方程，活用平几简化计算．)

解 如图2-81所示．P为△AMQ的垂心，连OQ，则四边形AOQP为菱形，所以|PQ|=|OA|=2，设P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且

题目2若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m的取值范围．

解(如图2-82)设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线

(选题目的：结合对称问题，训练反证法的应用．)此题证法很多．下面给一种证法供参考．

证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(a，b)、5．本教案作业4，5题的参考解答：

4题．解设P(x，y)是曲线y=-x2+x+2上任一点，它关于点(a，2a)的对称点是P′(x0，y0)，则x=2a-x0，y=4a-y0，代入抛物线C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．联立曲线C与C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1．

5题略解：如图2-84，F1(-5，2)，F2(-1，2)，F1关于直线x-y=1的对称点为F1(3，-6)，直线F1F2的方程为2x+y=0，代入x-y=1解得，

第五篇：对称美在高中数学教学中的相关应用（精选）

对称美在高中数学教学中的相关应用

摘要:数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现.在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.关键词: 对称性﹑数学美﹑对偶式﹑对称性原理

Ⅰ.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例

<1>.利用对称性,预测问题结果

当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.例1.已知x,y,z∈R﹢,且x+y+z=1求函数f(x,y,z)=

4x1+y14z1的最大值

分析直接求最大值,无从下手,观察变量x,y,z可知:它们在条件及函数f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当x=y=z=时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为41414121 从而4x1+4y14z121

只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度.13131313

上不等式通过基本不等式<2>.运用对称性,诱发解题灵感

x2y2z2xyz

不难证得 

有些数学问题,用对称的眼光去观察﹑审视,通过形﹑式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.例2.若a,b,c表示三角形三边之长,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc

分析本题关于a,b,c是对称的,这就启发我们将3abc移到左平分给三个加项,即需证:

[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc] 0 由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如 a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)

=a(a-b)(c-a)

于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)

又因为关于a,b,c对称,故不妨假设a b c

此时, c(c-a)(b-c)0

而a(a-b)(c-a)+a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)] =(a-b)2[c-(a+b)] 0

从而原不等式获证

<3>.洞察对称性,巧妙转化问题

对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将 题巧妙转化,使问题解题思路简捷﹑化难为易﹑避繁就简.例3.自点A(-3,3)发出光线h射到x到轴上,被x轴反射,其反射光

线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线h所在的直线方程

分析 :本题解法颇多,若能运用对称的思想,巧妙转化问题,不难发现原命题即为:”求过点A(-3,3)且与⊙c(x-2)2+(y-2)2=1对称的圆

⊙c¹相切的直线方程”如图,这样的转化不但明确了解题 思路,而且简化了解题计算量,设直线h的方程y-3=k(x+3)则根据⊙c¹的圆心C’(2,-2)到直线h的方程的距离等于⊙c¹的半径1,可求出k=-,从而求出直线方程

'3

'

<4>.剖析对称性,合理准确选择

数学的发现关键阶段------领悟阶段,发现常常是作出选择,就是要抛弃不合适的方案,保留合适的方案,而支配这种选择的就是数学美感,而对称美感往往扮演着重要角色 例4.已知:△ABC的内界圆与外切圆的半径分比别为r和R,则r和R比值等于()

ABCABC

cosB.4sinsincos

222222

ABCABC

C.4sinsinsinD.4coscossin

222222

A.4sincos

分析三角形的边a,b,c或角A,B,C对r和R的影响是相同的, r和R不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重,因此在比值

r的表达式中,必有边a,b,c或角A,B,C的轮换对称,因此C是正确的 R

怎样预见数学研究成果?如果我们对未来结果一无所知,那么只有凭感觉判制,数学中的对称美感,是我们必须信任的向导.Ⅱ.对称与非对称的联系

寻求对称不是解题的唯一途径,具体问题具体分析才是出路,下面对对称与非对称作一辨证分析 <1>.非对称向对称转化

对称的形式容易被感知与理解,均衡协调的结构往往能理顺思路,反之则会干扰思考,这就要求我们使凌乱的非对称的形式转化为对称和谐的结构.(1)根据题目的结构及需要,对原式添加某些项,使其形成对称局面,促使问题求解.例1.设a

n(x,y,z,t)可以取多少不同的值?

评析:如将n(x,y,z,t)再添上两项(x-z)2和(y-t)2则 n(x,y,z,t)+(x-z)2+(y-t)2就转化为关于x,y,z,t的全对称式,故 n(x,y,z,t)的不同值仅依赖于(x-z)2+(y-t)2=(x2+y2+z2+t2)-2(xz+yt)的不同取值,而上式右端第一项(x2+y2+z2+t2)又是全对称的,因此,n取不同的值仅依赖于xz+yt,而它恰有三种不同的值 ab+cd,ac+bd ,ad+bc,事实上(ab+cd)–(ac+bd)=a(b-c)+d(c-b)=(b-c)(a-d)>0

∴ab+cd>ac+bd

同理ac+bd>ad+bc

即n(x,y,z,t)可取三种不同值

(2).根据式子外部特征及某些性质,引进一个新的对称的式子,与原式

配合求解,所引进的新的式子称为对偶式

例2.设a,b∈R+,且1, 求证:对每一个自然数n有(a+b)n-an-bn≧22n-22n-1

12n1

证设d1=(a+b)n-an-bn =Cnan1bCnan2b2Cnabn1

1n2n1

令d2= d1=Cnabn1Cnan2b2Cnan1b

1a1b

d1+ d2=2 d1=

n1n1n2222n1n1

Cn(abab)Cn(ababCn(abab)

12n1

2anbn(CnCnCn)由题设可知 ab 4, 于是 2 d124n(2n2)即d12n(2n2)22n22n1 <2>.对称-------非对称---------对称的辨证关系

方法上的对称,形式上的对称,确实能为我们获取信息打开通道,但是没有一个极美的东西是在调和中有着某种”奇异”有的时候抓 住某种”奇异”更能简洁明快的求解.例3.在△ABC中求证sinsinsin

A2

B2

C1 28

12n1

评析: 这里的约束条件A+B+C=∏,将C视为常量(＂奇异＂),此时

CA

为常量, sin为变量,它们地位不同,(打破和谐性),问题转化

ABsisin为求的最大值,因为 22ABAB1AB1AB1

sinsin=(coscos)cossinC当且仅22222222

sin

当A=B时取最大值,同理固定B角,A=C时取最大值,固定A角, B=C时取最大值,呈现出和谐之感,因此只有当A=B=C=



时 3

sin

ABC1

sinsin=(最大)2228

例4.在△ABC中,求sin3Asin3Bsin3C最大值

分析点评:本例形式上与上例3极为相似,用同样的方法展开

sin3Asin3Bsin3C2sin

3(AB)3(AB)

cossin3C 223(AB)2sinsin3C(这里运用放缩法,与上例解法

不对称)

3(AB)3(AB)3(AB)

2sincos 2223(AB)3(AB)

[1cos] =2sin

=2sin

此时sin

3(AB)

可正可负(又与上例解法不对称),不妨设ABC之2

后虽然破坏了A,B,C的对称结构.(他们有大小之别)但为我们解题开拓了思路.∵ABC∴0上式=

3(AB)

 2