电磁感应现象典型例题解析

第一篇：电磁感应现象典型例题解析

电磁感应现象·典型例题解析

【例1】

如图17－1所示，P为一个闭合的金属弹簧圆圈，在它的中间插有一根条形磁铁，现用力从四周拉弹簧圆圈，使圆圈的面积增大，则穿过弹簧圆圈面的磁通量的变化情况________，环内是否有感应电流________．

解析：本题中条形磁铁磁感线的分布如图所示(从上向下看)．磁通量是穿过一个面的磁感线的多少，由于进去和出来的磁感线要抵消一部分，当弹簧圆圈的面积扩大时，进去的磁感条数增加，而出来的磁感线条数是一定的，故穿过这个面的磁通量减小，回路中将产生感应电流．

点拨：会判定合磁通量的变化是解决此类问题的关键． 【例2】

如图17－2所示，线圈面积为S，空间有一垂直于水平面的匀强磁场，磁感强度为B特斯拉，若线圈从图示水平位置顺时针旋转到与水平位置成θ角处(以OO’为轴)，线圈中磁通量的变化量应是________Wb，若旋转180°，则磁通量的变化量又为________Wb．

解析：开始位置，磁感线垂直向上穿过线圈，Φ＝BS，转过θ时，由B．S关系有Φ2＝BScosθ，故ΔΦ＝BS(1－cosθ)当转过180°时，此时，Φ2＝BS，不过磁感线是从线圈另一面穿过∴ΔΦ＝2BS 点拨：有相反方向的磁场穿过某一回路时，计算磁通量必须考虑磁通量的正负．

【例3】

如图17－3所示，开始时矩形线圈与磁场垂直，且一半在匀强磁场内，一半在匀强磁场外．若要线圈产生感应电流，下列方法可行的是

[

] A．将线圈向左平移一小段距离 B．将线圈向上平移

C．以ad为轴转动(小于90°)D．以ab为轴转动(小于60°)E．以dc为轴转动(小于60°)点拨：线圈内磁通量变化是产生感应电流的条件 参考答案：ACD 【例4】

如图17－4所示装置，在下列各种情况中，能使悬挂在螺线管附近的铜质闭合线圈A中产生感应电流的是

[

] A．开关S接通的瞬间

B．开关S接通后，电路中电流稳定时

C．开关S接通后，滑线变阻器触头滑动的瞬间 D．开关S断开的瞬间

点拨：电流变化时能引起它产生的磁场变化． 参考答案：ACD

跟踪反馈

1．一个十分灵敏的电流表和一个线圈组成闭合电路，当把它们移近一个正在发光的电灯泡时，灵敏电流表的指针是否运动？

2．宇航员来到一个不熟悉的星球上，他想用已知灵敏电流计和一个线圈探测一个行星上是否有磁场，应该怎么做？ 3．如图17－5所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有两条平行导轨MN、PQ，它们的一端接有一个电阻R，其间还有一个闭合导线框abcd且MN、PQ与abcd均在同一平面内，都与磁场方向垂直，当abcd向右滑动时(框与轨接触良好)(1)在abcd中有无闭合的电流？(2)ad、bc有无感应电流？(3)有无电流通过电阻R，为什么？

4．在地球附近的磁感应强度大约为0.5×10-4T，将一个2m2的线框放在地面上，通过它的磁通量可能为

[

] A．1.0×10-4Wb B．0 C．0.5×10-4Wb D．2.0×10-4Wb

参考答案

1．摆动；2．将线圈与灵敏电流计构成回路，然后将线圈向各个方向来回摆动．若灵敏电流计指针摆动，则有磁场；3．(1)无；(2)有；(3)有；(4)ABC．

第二篇：比热容 典型例题解析

比热容

典型例题解析

【例1】下列说法正确的是

[

] A．质量相同的水和煤油，吸收相同的热量后，煤油温度升高的比水大

B．一杯水倒出一半后其质量减小为原来的小为原来的1212，则其比热容也减

C．质量相同，温度相同，吸收热量多的物质比热容大 D．比热容大的物质吸收的热量一定多

解析：根据比热容是物质的一种性质，与物质的种类、物态有关，而与质量、体积、温度的变化及吸收或放出热量的多少无关，所以选项B和C都不对．又根据比热的物理意义可知，在质量相同、温度升高的度数相同时，比热容大的物质吸收的热量较多，而D选项中缺少条件，所以D不正确．由于水的比热大于煤油的比热容，根据上面分析可知A正确．

【例2】冬天，暖气系统中往往用热水慢慢地流过散热器，利用水温度降低时放出的热来取暖，其中选用热水而不选用其他液体的主要原因是

[

] A．水比其他液体流动性大 B．水比其他液体价格便宜 C．水比其他液体的比热容大

D．水比其他液体来源广、无污染

解析：水的比热容是比较大的，其他液体的比热容都比水的比热容小．如果水的质量和其他液体质量相同，温度变化相同时，比热容较大的水放出的热量多，取暖效果好．

【例3】0℃的水全部凝固成0℃的冰，则

[

] A．冰的热量少

B．0℃的冰比0℃的水温度低 C．水的热量少

D．冰的比热容比水小

点拨：一般在物质发生物态变化时，由于物质的内部结构发生了改变，物质的比热容特性、密度特性也会相应地变化．

参考答案：D 【例4】在夏日阳光照射下，游泳池中的水较清凉，而池边的水泥地却被晒得烫人，其中一个重要原因是

[

] A．水泥地比较大 B．水的比热容较大 C．水的比热容较小 D．水泥地的热量多

点拨：水的比热容较大，质量初温相同的水和水泥地面在吸收相同的热量后，水的温度升高较小．

参考答案：B

跟踪反馈

1．关于比热容，下列说法正确的是

A．物质的比热容跟它吸收的热量有关 B．物质的比热容跟湿度有关

C．物质的比热容跟它放出的热量有关 D．物质的比热容是物质本身的一种特性

2．沙漠地区为什么会有“早穿皮袄午披纱”的奇特现象．参考答案

1．D 2．沙石的比热容小

[

]

第三篇：《电磁感应现象》说课稿

《电磁感应现象》说课稿

一、教材分析：

1、地位和作用。电磁感应现象是电工基础第六章第一节内容，是本章的重点内容，本节内容是在学习了电流、磁场、电流的磁效应的基础上编排的，既是电磁学的基础知识，又为以后学习交变电流、变压器奠定基础。因此，本节课在内容的安排上起承上启下的作用。此外，电磁感应现象还与人们的生产技术、科学研究有密切的联系，所以，学习这节课具有广泛的现实意义。

2、学生基础：学生在初中物理已经学习过闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线运动会产生感应电流，为学习本节课打下了基础。本节课对此不仅仅做简单的重复和复习，重要的是在此基础上扩展提高。

3、教材特点：本节课的一大特点是实验多，通过实验让学生观察、讨论、分析、归纳、总结。我是这样处理教材的：将本课实验归结成三部分，根据磁通发生变化的三种电路来展开教学活动。

4、教学目标：通过以上对学生的基础和教材的特点的分析制定了以下教学目标。

知识目标：理解电磁感应现象，掌握感应电流产生的条件并熟练应用。

能力目标：培养学生观察、分析、概括、总结能力，养成科学思维的方法。

5、重、难点：

本节课是在理解电磁感应现象的基础上，分析、总结出感应电流产生的条件，所以把对电磁感应现象概念的理解和感应电流产生的条件作为本课重点，后者是本课的核心内容，学生独立完成有一定难度，需要在教师的点拨下共同完成。因此，感应电流产生的条件也是本课的难点，教学时引导学生利用演示和讲解，密切联系旧有的知识，把突破难点的过程当成巩固和加深对知识的理解应用过程，当成培养学生能力的过程，从而全面达到预期的教学目标。

二、教法

这节课我采用讲解、启发引导的教学方法，通过多媒体教学创设物理情景，激发学生的学习兴趣。在整个过程中按照：提出问题—实验演示—分析归纳—得出结论—巩固练习的思路进行。教师的实验的设计成功是关键，加上正确、有步骤的引导，使学生积极地发现问题、分析问题、总结问题，目的在于加深学生对重点知识的理解，最重要的是学生通过这个过程潜移默化的感受到“实践—认识—再实践—再认识”的认知规律，也充分体现了“教师主导，学生主体”的教学原则。

三、学法

本课所要阐述的内容比较简单，在老师的引导、启发下，学生形成观察、分析、概括、总结的自我探究的学习方法，在最后一步通过三个小实验总结出结论时，经过老师的点拨，学生要联系旧有的知识，在此基础上完成教学任务。

四、教学程序

1、导入：提出问题，设置悬念（从第五章学习了电流的磁效应，知道了电场能产生磁场，磁场能不能产生电场？）学生有了一定的物理基础，可能已经知道结果了，但是过程怎样呢？然后做小实验释疑。这个实验现象直观，学生一下就观察到了磁场可以产生电场，于是引入新课。做这个小实验的目的有两点，1、激发学习兴趣，创设物理情境。2、引入新课。接着简单介绍电磁感应现象发现的历史背景和重要意义，这样既可以激发了学生的求知欲望，同时，也完成了本节课的第一个教学内容—电磁感应现象概念的理解。

2、教学目标

通过刚才的实验学生在理解了概念的基础上，向学生出示教学目标，让他们明了本节课的学习目标和学习方法，头脑中在原有知识的基础上产生对新知识的渴望。

3、重、难点突破

感应电流产生的条件是本节课的第二个教学内容又是本节课的重点和难点，下面就通过三个实验来解析重点，突破难点。

（1）微机演示实验一：闭合电路的一部分导体作切割磁感线运动。

导体静止、上下、左右运动，学生观察实验现象，得出实验结论。

需要点拨的是：切割磁感线的概念，我是通过分析导体的运动方向与磁感线的位置关系来解释的。

（2）微机演示实验二：条形磁铁相对线圈运动

当磁铁插进或拔出线圈，静止不动时观察实验现象，得出结论。

（3）微机演示实验三：导体和磁场不发生相对运动，闭合电路中磁场发生变化。

学生观察实验现象，得出结论。

这三个结论很简单，学生可以单独完成，这个实验也可让学生动手操作。效果：增强他们的实践操作能力，有利于充分发挥他们的主观能动性。还可以让他们感受一下收获的喜悦。

三个实验都产生相同的结果—有电流产生。那么感应电流产生的条件是什么？

我是这样突破的：□它们在演示的过程中发生的共同的本质变化是什么？

这个问题难度较大，由于磁通概念比较抽象，又是前一章的内容，部分学生对磁通概念比较模糊，让他们从电路图一下子想到磁通的变化是不容易的，我就从磁感线的变化入手，让学生比较分析三个实验，观察回路中磁感线如何变化，这时候学生思考：穿过某一面积上磁感线的条数用什么表示？自然过渡到磁通的变化。

最后分组讨论得出感应电流产生的条件，这样很好地完成了本节的第二个知识目标。在此过程中也培养了学生观察、分析、概括、总结的能力，同时也完成了本节课的能力目标。

4、课堂练习（微机显示）

下面是我设计的一组练习。□□□，前2个习题是基础性练习，第3个习题是应用性练习。这样可以突出它的层次性，目的使学生在理解新知的基础上，能够正确地、熟练地应用，并使知识顺利迁移，更好完成知识目标。

5、小结

小结中我充分体现了学生的主体地位，引导学生自己从知识、方法方面总结，既强化了知识，又培养了学生的归纳、概括能力。

6、布置作业

（在实验中，当穿过闭合电路的磁通发生变化时，可以观察到电路中电流表的指针，有时左偏，有时右偏，说明感应电流的方向不同，怎么判断电流的方向呢？）

要求学生在课后探讨，为下节课感应电流方向的判别埋下伏笔。

7、板书

板书的直观性、全面性、系统性较强，在黑板上保留的时间较长，对学生的视觉刺激作用明显，便于学生强化记忆。我在设计板书的时倏时候本着条理清晰、重点突出、艺术性强的原则，将板书以表格的形式展现出来。

以上是我对电磁感应现象教材的认识和教学过程的设计，教学中以电磁感应现象概念的理解为基础，结合学生的思维特点，充分发挥教师的主导作用，以实验为主线，运用多媒体教学，把传授知识、培养能力和渗透方法有机地结合在一起，目的在于全方位地培养学生。

第四篇：电磁感应现象教案

电 磁 感 应 现 象

——探究感应电流的产生条件 【教学目标】

一、知识目标：

1、知道什么是电磁感应现象。

2、理解“不论用什么方法，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就有电流产生”。

3、知道能量守恒定律依然适用于电磁感应现象。

4、了解生活中的电磁感应现象。

二、能力目标：

1、通过实验的观察和分析，培养学生运用所学知识，分析问题的能力．

2、培养学生的想象力，鼓励学生在初中已有的知识基础上，对可产生电磁现象进行猜想。

三、情感目标：

通过磁生成电实现的曲折道路和对法拉第历时十年不懈努力终于摘取科学硕果精神的感悟，学习科学家们坚韧不拔和持之以恒的科学探索精神，丰富完善同学们的世界观。

【教学重点和难点】

教学重点：电磁感应的概念和产生条件。

教学难点：电磁感应的实验探究以及实验之间的逻辑关系。【教学方法和手段】

教学方法：实验探究法、分析法、图示法。

教学手段：演示实验、计算机多媒体教学，PPT课件。【课时安排】

1课时 【教具准备】

条形磁铁、电流表、原副线圈、滑动变阻器、电源、电键、导线若干。【教学过程】

一、复习、引入课题 复习：

1、电和磁的知识。磁体周围存在磁场，如条形磁铁、U形磁铁

2、磁感线。

3、磁通量：穿过单位面积上的磁感线条数。（强调：磁通量是表示穿过讨论面的磁感线条数的多少．在今后的应用中往往根据穿过面的磁感线条数的多少定性判断穿过该面的磁通量的大小．）

4、奥斯特实验 电————磁 电磁效应 引入新课：

奥斯特实验架起了一座连通电和磁的桥梁，此后人们对电能生磁已深信不疑，但磁能否生电呢？在这个问题上，英国物理学家法拉第坚信：自然界的事物都是相互联系、相互作用的，电能产生磁，磁也应该能产生电，电与磁决不孤立，有着密切的联系．为此，他做了许多实验，把导线放在各种磁场中想得到电流需要一定的条件，他以坚韧不拔的意志历时10年，终于找到了这个条件，从而开辟了物理学又一崭新天地．

二、讲授新课

1、复习实 验:闭合电路的一部分导体做切割磁力线运动。

实验现象分析：（课件展示）

提出问题：导体不动，磁场改变，会不会在电路中产生感应电流呢?

2、通过实验，探索科学

［探究实验1］磁铁插入、抽出或停留在线圈中时，电路中是否产生感应电流？（书本图4.2-2实验）

实验器材：线圈，电流表，导线。

研究对象：由线圈，电流表构成的闭合回路。

磁场提供：条形磁铁。

观察实验，记录结果。

结 论：条形磁铁插入或取出时，可见电流表的指针发生偏转，有感应电流产生；磁铁与线圈相对静止时，可见电流表指针不偏转，无感应电流产生。

教 师：磁铁靠近和离开线圈的过程中，穿过线圈的磁感线发生了怎样的变化？ 学 生：（师生讨论）对线圈回路，S未变，磁铁的远离和靠近，使穿过线圈的磁通量发生变化。当磁铁靠近线圈的过程中，穿过线圈的磁通量增大；当磁铁离开线圈的过程中，穿过线圈的磁通量减小。

提出问题：实验当磁铁靠近和离开线圈的过程中，穿过线圈的磁通量发生了变化。如果“磁场”和“部分导体”不发生“相对运动”，能不能让穿过线圈的磁通量发生了变化，在电路中产生电流呢？（学生思考，继续实验。）

[探究实验2］原、副线圈。用开关或滑动变阻器控制一个线圈中的电流，能否在另一个线圈中产生感应电流呢？（书本图4.2-3实验）

实验器材：原、副线圈，电流表，电建，滑动变阻器，电源，导线。

研究对象：线圈B和电流表构成的闭合回路。磁场提供：通电线圈A。

结 论：移动变阻器滑片（或通断开关），可见，电流表指针偏转，有感应电流；当A中电流稳定时，电流表指针不偏转，无感应电流。

教 师：对线圈B，滑片移动或开关通断，引起A中电流变，则磁场变，穿过B的磁通变，故B中产生感应电流；当A中电流稳定时，磁场不变，磁通不变，则B中无感应电流。

介绍实验：这是法拉第第一次获得感应电流的实验，他的发现具有偶然性。他当时的实验目的是为了想让一根通电导线在磁场作用下，使另一根导线中产生电流。为了加强电流的作用，把两根直导线绕成螺旋线：为了加强电流的磁场作用，让两根螺旋导线，绕在一个铁心上。

提出问题：以上实验中能产生感应电流的电路有什么特点？学生思考。

产生感应电流条件之一：闭合的电路。

设 疑 ：三次实验用不同的方法都使闭合电路中产生了感应电流，使闭合电路中产生感应电流的条件到底是什么呢？ 第三个实验的结论能否解释前面两次实验的现象？ 教

师：请大家思考以上几个产生感应电流的实例，能否从本质上概括出产生感应电流的条件？（给予充分的时间，启发学生积极思考，展开观察、讨论）

引导学生从磁通量变化分析：

实验1中，部分导体切割磁感线，磁场不变，但电路面积变化，从而穿过电路的磁通量变化，从而产生感应电流；

实验2中，导体插入、拔出线圈，线圈面积不变，但磁场变化，同样导致磁通量变化，从而产生感应电流；

实验3中，通断电的瞬间，滑动变阻器的滑动片迅速滑动的瞬

间，都引起线圈A中电流的变化，最终导致线圈B中磁通量变化，从而产生感应电流。

综上所述，不同的实验，其共同处在于：产生感应电流的前提均为穿过

闭合回路的磁通量的变化，只不过引起磁通量变化的原因各不相同。当穿过闭合线圈的磁通量的变化时，闭合线圈中会有电流产生。

3、电磁感应现象和感应电流。

利用磁场产生电流的现象叫做电磁感应现象。由电磁感应现象产生的电流叫做感应电流。

结 论 ：产生感应电流的条件——穿过闭合电路的磁通量发生了变化，闭合电路中产生了感应电流。

教师小结: 只要穿过闭合电路的磁通量发生了变化，闭合电路中就会产生感应电流。

三、随堂练习

例1：教材“问题与练习”第4题（变化）

矩形线圈ABCD位于通电长直导线附近，线圈与导线在一个平面内，线圈的两个边与导线平行。下列哪种情况线圈中产生感应电流？ 例2：列举生活中应用的感应现象实例。

发电机、话筒、电话机等，都是利用电磁感应原理工作的。

教师补充：发电机，麦克风，磁带录音机，漏电保护开关，电磁灶，高频焊接，磁悬浮列车，金属探测器，变压器，防抱死制动系ABS 电磁感应现象的发现，电磁规律认识不断加深，产生了一系列重大的发明与发现，如：发电机、灯泡，输电技术......引发了第二次工业革命，开辟了电气化时代,给人类文明带来深刻的影响。改变了人类的生活方式及生活质量。在生产和生活有广泛的应用。

例3：教材P7“做一做”──理想实验：《摇绳能发电吗？》（提 示）电流是有能量的。请问“摇绳”中的电能从哪来？

（知识拓展）电磁感应现象中的能量守恒

能量守恒定律是一个普遍定律，同样适合于电磁感应现象．电磁感应现象中产生的电能不是凭空产生的，它们或者是其它形式的能转化为电能，或者是电能在不同电路中的转移．

五、课堂小结：

法拉第的科学实践告诉我们，任何一位要想获得成功的科学家和科学工作者，要经得住连续失败的考验，要有百折不挠的坚强意志，要坚信这样一条真理：失败是成功之母。

六、布置作业：

上网查阅发电机的相关资料。

[课外探究] 闭合电路中有电源就有电流；闭合电路中发生磁通量变化就有电流。从这两句话中，我们得到什么启示？！

板书设计

电 磁 感 应 现 象

——探究感应电流的产生条件

一、电磁感应现象和感应电流

二、产生感应电流的条件：

1、演示实验

结论：

2、演示实验 结论：

3、演示实验

结论：

三、验证性实验

学 案 电 磁 感 应 现 象

——探究感应电流的产生条件 【教学目标】

一、知识目标：

1、知道什么是电磁感应现象。

2、理解“不论用什么方法，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就有电流产生”。

3、知道能量守恒定律依然适用于电磁感应现象。

4、了解生活中的电磁感应现象。

二、能力目标：

1、通过实验的观察和分析，培养学生运用所学知识，分析问题的能力．

2、培养学生的想象力，鼓励学生在初中已有的知识基础上，对可产生电磁现象进行猜想。

三、情感目标：

通过磁生成电实现的曲折道路和对法拉第历时十年不懈努力终于摘取科学硕果精神的感悟，学习科学家们坚韧不拔和持之以恒的科学探索精神，丰富完善同学们的世界观。

【教学重点和难点】

教学重点：电磁感应的概念和产生条件。

教学难点：电磁感应的实验探究以及实验之间的逻辑关系。［复习巩固］

1、磁体。

2、磁感线。

3、磁通量。

4、奥斯特实验 [随堂练习] 例1：教材“问题与练习”第4题（变化）

矩形线圈ABCD位于通电长直导线附近，线圈与导线在一个平面内，线圈的两个边与导线平行。下列哪种情况线圈中产生感应电流？

例2：列举生活中应用电磁感应现象实例。[达标练习］ 问题与练习: 1、2、5

第五篇：排列典型例题解析(一)

排列典型例题解析

（一）【例1】写出从4个不同元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列，并指出有多少种不同的排列.分析：列举法是解排列组合题的常用方法.解：abc acb bca bac cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb共24种.说明：只有当元素完全相同，并且排列顺序也完全相同时，才是同一排列，元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列.【例2】计算下列各题.（1）A;(2)A;(3)21566An-1 An-mAn-1n-1m-1nm;(4)1!+2·2!+3·3!+„+n·n!;(5)

12!23!34!n1n!.分析：准确掌握好排列数公式是顺利进行计算的关键.2解：（1）A15=15×14=210.(2)A6=6×5×4×3×2×1=720.6(3)原式==(n1)!(nm)!(n1)![n1(m1)]!·(n－m)!·

11(n1)!

·(n－m)!·

(n1)!=1.(4)原式=(2!－1!)+(3!－2!)+(4!－3!)+„+ [(n+1)!－n!]=(n+1)!－1!.(5)n1n!11!=nn!－+1n!12!=

1(n1)!－

1n!1，+„+

1(n1)!原式=－12!－

13!+

13!－

4!－

1n!=1－

1n!.说明：本题（4）、（5）相当于数列求和问题，要根据通项灵活拆项，灵活运用下列公式： n!=n(n－1)!，n·n!=(n+1)!－n!，3【例3】解方程：A42x1=140Ax.n1n!=

1(n1)!－

1n!，可以使问题解决得简单快捷.分析：利用排列数公式将方程转化为关于x的代数方程即可求解.解：根据原方程，x(x∈N*)应满足根据排列数公式，原方程化为

（2x+1)·2x·(2x－1)(2x－2)=140x·(x－1)·(x－2).∵x≥3，两边同除以4x(x－1)，得（2x+1)(2x－1)=35(x－2)，即4x2－35x+69=0.解得x=3或x=5∴原方程的解为x=3.说明：定义域是灵魂，对于排列数Amn要注意n、m∈N*，m≤n.342x14,x3.解得x≥3.（因x为整数，应舍去）.xx2【例４】解不等式：A9>6A9.分析：利用排列数公式将不等式转化为关于x的不等式即可求解.解：原不等式即9!(9x)!>

269!(9x2)!，其中2≤x≤9，x∈N*，即(11－x)(10－x)>6，∴x－21x+104>0.∴(x－8)(x－13)>0.∴x<8或x>13.但2≤x≤9，x∈N*，2≤x<8，x∈N*，故x=2，3，4，5，6，7.说明：有关以排列、组合（下一节将学到）公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解.但应注意其中的字母都必须是满足条件的自然数，不要忽视这一点.【例5】6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（）A.30种

B.360种

C.720种

D.1440种 分析：本题是排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和六个人站成一排照相一共有多少种不同排法的问题完全相同.解：不同的排法总数为A6=6×5×４×3×2×1=720(种）.6说明：我们要从事件的本质入手，抓住模型本质，不能只看表象.【例6】a，b，c，d，e，f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法.对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式： A的算式是121111144A66；B的算式是（A1+A2+A3+A4+A5）A4；C的算式是A6；D的算式是15A44.上面四个算式是否正确？正确的加以解释；不正确的说明理由.分析：解答排列题往往是一人一法，我们要从多角度思考，从不同角度分析问题.解：A中很明显，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明A的算式正确.B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到“占位的状况决定了b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位的方法数是A15，当a占据第2个位置时，b占位的方法数是A14，„„当a占据第5个位置时，b占位的方法数是A1b占位后，再排其他四人，他们有A41，当a、4种排法，可见B的算式是正确的.4C中的A6可理解为从6个位置中选4个位置让c，d，e，f占据.这时，剩下的两个位置依前后顺序应是a，b的.因此C的算式也正确.D中把6个位置先圈定两个位置的方法数为C6；这两个位置让a、b占据，显然，a、b占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有A44种排法.可见，D的算式是对的.（下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法）上面四个算式都正确.说明：解答排列、组合题要注意一题多解的练习.【例7】八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？

分析：对于排列问题我们往往直接考虑“甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排”，也可以间接考虑其反面.解法一：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙坐在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A2A1A5+A2A1A5=8640（种）.425445解法二：采取“总方法数减去不合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数，看成“总方法数”，这个数目是A1A7；在这种前提下，不合题意的方法是“甲47坐第一排，且乙、丙分坐两排的八人坐法”.这个数目是A1C1A13A1A5.其中第一个因数4245A1表示甲坐在第一排的方法数，C1表示从乙、丙中任选一人的方法数，A13表示把选出的42这个人安排在第一排的方法数，下一个A14则表示乙、丙中尚未安排的那个人坐在第二排的方法数，A55就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为

711115A14A7－A4C2A3A4A5=8640（种）.说明:直接法与间接法是我们考虑问题的两种常见思维方式，我们要根据情况合理选择.【例8】某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？

分析：对于“第一节不排体育，最后一节不排数学”这一限制条件，正难则反，适合用间接法考虑.解法一：6门课总的排法是A6其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有A56，5种排法，如图10－2－4中Ⅰ；数学排在最后一节有A55种排法，如图10－2－4中Ⅱ，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，如图10－2－4中Ⅲ，这种情况有A44种

54排法.因此符合条件的排法应是A66－2A5+A4=504（种）.Ⅰ ⅢⅡ 图10－2－4 说明：解答排列、组合题用间接法要注意不重复也不遗漏.【例9】三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

分析：解决排列、组合（组合下一节将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置.有两个以上约束条件，往往先考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他的元素.解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A6种不同排法.对于其中的每一种排法，6三个女生之间又都有A3种不同的排法，因此共有A6·A3=4320种不同的排法.363（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空挡，这样共有4个空挡，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置553中选出三个来让三个女生插入都有A36种方法，因此共有A5·A6=14400种不同的排法.（3）法一：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的22个，有A5种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有2A5·A66=14400种不同的排法.法二：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有A8从中扣除女生排8种不同的排法，17在首位的A13A77种排法和女生排在末位的A3A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来.由于两端都是女生有A262A13A77+A3A6=14400种不同的排法.23A

66种不同的排法，所以共有A

88－法三：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A55种不同的排法，所以共有5A36A5=14400种不同的排法.（4）法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条

1件限制了，这样可有A15A77种不同的排法；如果首位排女生，有A3种排法，这时末位就只

17116能排男生，这样可有A13A15A66种不同的排法，因此共有A5A7+A3A5A6=36000种不同的排法.2法二：3个女生和5个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法A3A6862种，就能得到两端不都是女生的排法种数A8－A3A6=36000种不同的排法.86说明：间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适当的好方法，要认真搞清在什么条件下使用，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法.【例10】排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 分析：本题有限制条件，是“不相邻”，可以采用插空法.解：（1）先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放544入舞蹈节目，共有A6种方法，所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有A5·A6=43200种方5法.（2）先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供

545个歌唱节目放入有A55种方法，所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A4·A5=2880种方法.说明：对于“不相邻”排列问题，我们往往先排无限制条件元素，再让有限制元素插空排列.否则，若先排有限制元素，再让无限制条件元素插空排时，往往有限制元素有相邻情

4况.如本题（2）中，若先排歌唱节目有A55，再排舞蹈节目有A6，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求.【例11】用0到9这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8.从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数；个位数是2、4、6、8的四位偶数.这是因为零不能放在千位数上，由此得解法一和解法二.如果从千位数入手，四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三.如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位奇数的个数，用排除法，得解法四.解法一：当个位数上排“0”时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选三个来排列，故有A39个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任意选

12一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步计数原理有A14A8A8个.112没有重复数字的四位偶数有A39+A4A8A8=504+1792=2296（个）.解法二：当个位数字排0时，同解法一有A3个；当个位数字是2、4、6、8之一时，9千位、百位、十位上可从余下的九个数字中任选三个的排列中减去千位数是“0”的排列数，2得A1（A3－A8）个.492没有重复数字的四位偶数有A3+A1（A3－A8）=504+1792=2296（个）.949解法三：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一

2个，百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列，有A15A15A8个；

千位数上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任选一个（包括0

2在内），百位、十位上从余下的八个数字中任意选两个作排列，有A1A1A8个.4422没有重复数字的四位偶数有A15A15A8+A1A1A8=2296（个）.44解法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数.没有重复数字的4四位数有A10－A3个.92411其中四位奇数有A15（A13－A8）个，没有重复数字的四位偶数有A10－A39－A5（A32－A8）=2296（个）.说明：这是典型的简单具有条件的排列问题，上述四种解法是最基本、常见的解法，要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用.【例12】在3000与8000之间，（1）有多少个没有数字重复且能被5整除的奇数？（2）有多少个没有数字重复的奇数？

分析：本题关键是按所求条件进行准确分类.解：（1）能被5整除的奇数，个位上只能是5，按条件千位上可以是3、4、6、7中的2任意一个，其余两个数字可以是余下数字中的任意两个，共有4×A8=224（个）.（2）法一：按题目要求，个位可以是1、3、5、7、9中的任意一个，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一个.因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类：

2第一类：个位是1、9，千位可以是3、4、5、6、7中的任意一个，这样的奇数有5A8A12=560（个）；

第二类：个位是3、5、7，千位是4、6或3、5、7中与个位不重复的数字中的任意一

2个，满足上述条件的奇数有3A12A8=672（个）.212由分步计数原理，知所求奇数为5A8A12+3 A2A8=560+672=1232.法二：按千位数字分类：第一类：千位是4、6中的一个，那么个位可以是1、3、5、7、129中的任一个，这样的奇数有A1； 4A5A8=560（个）第二类：千位是3、5、7中的任意一个，个位可以是1、3、5、7、9中与千位数字不重

2复的四个数中的一个，这样的奇数有A13A1A8=672（个）.422满足条件的奇数个数为A1A15A8+ A13A1A8 =560+672=1232（个）.44说明：在解答排列、组合问题时，确定不同的分类标准，就会有不同的分类方法，不管怎样分类，要尽量做到不重不漏.【例13】 一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m个车站(m>1)，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？

分析：首先由题意列出方程，再根据m、n为整数求出即可.解：原有车站n个，原有客运车票A2种，又现有(n+m)个车站，现有客运车票A2种.nmn∵A2－A2=62，∴(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62.nmn∴n=31m－212(m－1)>0，2即62>m－m，∴m－m－62<0.又m>1，从而得出1

12249.∴1

当m=3、4、5、6、7、8时，n均不为整数.故只有n=15时，m=2，即原有15个车站，现有17个车站.说明：上题虽是常用解法，但运算量较大，应根据m、n为整数利用整除性来解决.∵(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62，∴m2+2mn－m=62.∴m（m+2n－1)=62.把62分解为1×62（舍去），2×31，由题意知m2,m2n131或m31,m2n12.解得m2,m31,（舍去）.n15,n14【例14】用0、1、2、3、4五个数字组成没有重复数字的五位数，并把它们从小到大排列.问23140是第几个数？

分析：把这些五位数从小到大排列，可先求出比23140小的万位与千位为1×、20、21的入手，再排万位与千位为23的.解：分以下几类：

3①1××××型的五位数有A44=24个;②20×××型的五位数有A3=6个;③21×××型的五位数有A33=6个.这样，这三类数共36个.在型如23×××的数中，按从小到大的顺序分别是：23014、23041、23104、„，可见23140在这一类中，位居第4位.故从小到大算23140是第40个数.说明：本题是一个计数问题，需要按要求细心排列.【例15】用数字0、1、2、3、4、5，（1）可以组成多少个数字不重复的六位数？

（2）试求这些六位数的和.分析：本题关键是如何合理安排程序求出这些六位数的和.解：（1）因为0不能作首位，故分两步，得5A5=600（个），或A6－A5=720－120=600565（个）（即六个元素的全排列，再减去首位是0余下五个元素的全排列）.（2）求这些六位数的和，当然不能把600个数一个一个写出，再求它们的和，应该像小学生做竖式加法一样，先个位相加，再十位相加，等等.个位是1的数有4×A4个； 4个位是2的数有4×A4个； 4与上同样，个位是3、4、5的数均有4×A4个;4个位为0的数有A5个； 5„„

个位数字之和为（1+2+3+4+5）·4·A4与上同样，十位之和为（1+2+3+4+5）·4·A4 4，4，百位数字之和为（1+2+3+4+5）·4·A44，5最高位（十万位）各数字之和为（1+2+3+4+5）·A55=15·A5.这些六位数的和为

15·A5100000+（1+2+3+4+5）·4·A4=15·A5100000+15 5·4（1+10+100+1000+10000）5··4A44·11111.说明：数字排列是一类典型排列，多掌握些数字排列问题，对其他排列就容易理解了.【例16】从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？

分析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1，3，5，7中选，b、c没有限制.（2）二次方程要有实数根，需Δ=b2－4ac≥0，再对c分类讨论.2解：a只能在1，3，5，7中选一个有A14种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A42种，故可组成二次方程的个数为A14·A4=48个，方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0，c=0，a，b可在1，3，5，7中任取2个，有A24种；c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能

2取1、3，共有A22个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A2个，故有实根的二次方程22共有A24+A2+2A2=18个.说明：本题第（1）问要注意一元二次方程中二次项系数不为零的限制.本题第（2）问要分c=0和c≠0进行讨论，c≠0时，再对b的取值进行二级讨论，多次分类讨论是排列问题中较高的能力要求.【例17】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A.234

B.346

C.350 分析：本题考查有限制条件的排列组合问题.D.363 解：前后两排共23个座位，有3个座位不能坐，故共有20个座位两人可以坐，包括两人相邻的情况，共有A2种排法；考虑两人左右相邻的情况，若两人均坐后排，采用捆绑法，20把两人看成一体，共有11A2种坐法;若两人坐前排，因中间3个座位不能坐，故只能坐左边24个或右边4个座位，共有2×3×A2种坐法.故题目所求的排法种数共有A2－11A2－2×20223×A2=346(种).2答案:B