高等数学基础复习资料
复习资料一
一、单项选择题
1.设函数的定义域为，则函数+的图形关于（C）对称。
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2.当时，变量（D）是无穷小量。
A．
B.C.D.3．下列等式中正确的是（B）．
A．
B.C.D.4．下列等式成立的是（A）．
A．
B.C.D.5．下列无穷积分收敛的是（C）．
A．
B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的间断点是．
3．曲线在点（1，1）处的切线的斜率是．
4．函数的单调增加区间是．
5．=．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式===．
2．设，求．
解：=
3．设，求．
解：=
4．设，求．
解：=
=
5．设，求．
解：=
=
6.设，求
解：=
=
7．设，求．
解：==．
8．设是由方程确定的函数，求．
解：方程两边同时对求导得：
移项合并同类项得：
再移项得：
9．计算不定积分．
解：原式==
10．计算定积分．
解：原式=====
11．计算定积分．
解：原式===1
四、应用题
1．求曲线上的点，使其到点的距离最短．
解：设曲线上的点到点的距离为，则
==
求导得：
令得驻点，将带入中得，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点的距离最短．
五、证明题
当时，证明不等式．
证明：设
∵
时，求导得：=
当，即为增函数
∴
当时，即
成立
复习资料二
一、单项选择题
1．设函数的定义域为，则函数-的图形关于（D）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2．当时，变量（C）是无穷小量。
A．
B.C.D.3．设，则=（B）．
A．
B.C.D.4．（A）．
A．
B.C.D.5．下列无穷积分收敛的是（B）．
A．
B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的间断点是．
3．曲线在点（1,2）处的切线斜率是．
4．曲线在点处的切线斜率是．
5．函数的单调减少区间是．
6．=．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式===
2．计算极限．
解：原式===
3．计算极限．
解：原式===
4．计算极限．
解：原式===
5．设，求．
解：==
6．设，求．
解：==
7．设是由方程确定的函数，求．
解：方程两边同时对求导得：
移项合并同类项得：
再移项得：
所以
==
8．计算不定积分．
解：设，则，所以由分部积分法得
原式==
9．计算定积分．
解：原式====
四、应用题
1．圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：假设圆柱体的底半径为，体积为，则高为，所以圆柱体的体积为
=
求导得：
==
令=0得驻点（）
又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为和时，圆柱体的体积最大．
五、证明题
当时，证明不等式．
证明：设
∵
时，求导得：=
当，即为增函数
∴
当时，即
成立
复习资料三
一、单项选择题
1．下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
A．，B．，C．，D．，2．当时，下列变量中（A）是无穷小量．
A．
B．
C．
D．
3．当时，下列变量中（A）是无穷小量．
A．
B．
C．
D．
4．当时，下列变量中（A）是无穷小量．
A．
B．
C．
D．
5．函数在区间（2，5）内满足（D）．
A．先单调下降再单调上升
B．单调下降
C．先单调上升再单调下降
D．单调上升
6．若的一个原函数是，则=（B）．
A．
B．
C．
D．
7．若的一个原函数是，则=（A）．
A．
B．
C．
D．
8．下列无穷积分收敛的是（D）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．若函数，则
．
2．函数，在处连续，则
．
2．函数，在内连续，则
．
3．曲线在点（2，2）处的切线斜率是．
4．函数的单调增加区间是．
5．．
三、计算题
1．计算极限．
解:原式====6
2．设，求．
解：
2’
．设，求．
解：
3．设，求．
解：==
4．设是由方程确定的函数，求．
解：方程两边同时对求导得：
移项合并同类项得：
再移项得：
所以
==
5．计算不定积分．
解：
原式==
6．计算定积分．
解：利用分部积分法得
原式====
四、应用题
1．在抛物线上求一点，使其与轴上的点的距离最短．
解：设曲线上的点到点的距离为，则
==
求导得：=
令得驻点，将带入中得，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点的距离最短．
五、证明题
1．证明：若在上可积并为奇函数，则=0．
证明：∵
在上可积并为奇函数，即有
∴
设，则，当时，；时，则上式中的右边第一式计算得：
====
代回上式中得，证毕．
复习资料四
一、单项选择题
1．函数的图形关于（A）对称．
A.坐标原点
B.轴
C.轴
D.1．函数的图形关于（C）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2．在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量．
A.B.C.D.3．设在处可导，则（C）．
A.B.C.D.4．若=，则=（B）．
A.B.C.D.5．下列积分计算正确的是（D）．
A.B.C.D.6．下列积分计算正确的是（D）．
A.B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的定义域是．
3．若函数，在处连续，则．
4.若函数，在处连续，则．
5．曲线在处的切线斜率是．
6．函数的单调增加区间是．
7．若，则．
8.若，则．
9．若，则．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式=＝
2．设，求．
解：
3．计算不定积分．
解：原式=
4．计算定积分．
解：由分部积分法得
原式===1
四、应用题
1．某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以
=
求导得：==
令=0得驻点：
由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。
复习资料五
一、单项选择题
1．下列函数中为奇函数的是（C）．
A.B.C.D.2．在下列指定的变化过程中，（A）是无穷小量．
A.B.C.D.3．在下列指定的变化过程中，（A）是无穷小量．
A.B.C.D.4．设在处可导，则（D）．
A.B.C.D.5．下列等式成立的是（A）．
A．
B.C.D.6．（C）．
A．
B.C.D.7．下列积分计算正确的是（B）．
A.B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的间断点是．
3．曲线在处的切线斜率是．
4．函数的单调减少区间是．
5．若是的一个原函数，则．
6．若是的一个原函数，则．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式====
1．计算极限。
解：原式====
2．设，求．
解：
3．设，求．
解：
4．设，求．
解：
5．设，求．
解：
6．计算不定积分．
解：原式==
7．计算定积分．
解：由分部积分法得：
原式===
四、计算题
1．欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则
=
求导得：
令得驻点：(m)
此时高为=4m
所以，当长方体开口容器的底面边长为4m，高为2m时用料最省。
1．欲做一个底为正方形，容积为32cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则
=
求导得：
令得驻点：(cm)．
此时高为=2cm
所以，当长方体开口容器的底面边长为4cm，高为2cm时用料最省。
1’．欲做一个底为正方形，容积为62.5cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则
=
求导得：
令得驻点：(cm)．
所以，当长方体开口容器的底面边长为5cm，高为2.5cm时用料最省。
复习资料六
一、单项选择题
1．下列函数中为偶函数的是（D）．
A.B.C.D.2．下列极限中计算不正确的是（B）．
A.B.C.D.3．函数在区间（-5,5）内满足（A）．
A．先单调下降再单调上升
B．单调下降
C．先单调上升再单调下降
D．单调上升
4．若函数，则（A）．
A.B.C.D.5．=（D）．
A.0
B.π
C.1
D.2
5’．=（A）．
A.0
B.π
C.1
D.2
二、填空题
1．若函数，则
1’．若函数，则
．
2．函数的间断点是．
3．曲线在处的切线斜率是．
4．函数的单调减少区间是．
5．若，则．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式==
2．设，求．
解：=
3．计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：由分部积分法得：
原式===
四、应用题
某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以
=
求导得：==
令=0得驻点：
由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。
复习资料七
一、单项选择题
1．设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2．函数在处连续，则（）．
A.1
B.5
C.D.0
3．下列等式中正确的是（C）．
A.B.C.D.4．若是的一个原函数，则下列等式成立的是（A）．
A.B.C.D.5．下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.B.C.D.6．下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.B.C.D.7．下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.B.C.D.8．下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．已知，当时，为无穷小量．
3．曲线在(π，0)处的切线斜率是．
4．函数的单调减少区间是．
5．=
0
．
三、计算题
1．计算极限
解：原式====2
2．设，求．
解：
3．计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：由分部积分法得：
原式====
4’．计算定积分．
解：由分部积分法得：
原式====
四、计算题
1．求曲线上的点，使其到点A（0，2）的距离最短．
解：设曲线上的点到点A（0，2）的距离为，则
==
求导得：
令得驻点，将代入中得，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点A（0，2）的距离最短．
复习资料八
一、单项选择题
1．设函数的定义域为，则函数-的图形关于（D）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2．当时，下列变量中（C）是无穷大量．
A．
B.C.D.3．设在点处可导，则（B）．
A.B.C.D.4．函数在区间（2，4）内满足（A）．
A．先单调下降再单调上升
B．单调上升
C．先单调上升再单调下降
D．单调下降
5．=（B）．
A.0
B.π
C.2π
D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的定义域是．
2．函数的间断点是．
3．函数的单调减少区间是．
4．函数的驻点是．
4．函数的驻点是．
5．无穷积分，当
>1
时是收敛的．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式===
2．设，求．
解：==
3.计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：原式====1
复习资料九
一、单项选择题
1．下列各函数中，（B）中的两个函数相等．
A.B.C.D.2．当时，变量（C）是无穷大量．
A．
B.C.D.3．设在点处可导，则（A）．
A.B.C.D.5．下列无穷限积分收敛的是（C）．
A.B.C.D.二、填空题
1．若，则=．
2．函数的间断点是．
3．已知，则=
0
．
4．函数的单调减少区间是．
5．=．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式====
2．设，求．
解：=
则
==
3．计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：设，则，所以由分部积分法得
原式====
四、应用题
1．圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：假设圆柱体的底半径为，体积为，则高为，所以圆柱体的体积为
=
求导得：
==
令=0得驻点（）
又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为和时，圆柱体的体积最大．
复习资料
十一、单项选择题
1．设函数的定义域为，则函数-的图形关于（A）对称．
A.坐标原点
B.轴
C.轴
D.2．当时，变量（D）是无穷小量．
A.B.C.D.3．设在处可导，则（C）．
A.B.C.D.4．若=，则=（B）．
A.B.C.D.5．=（A）．
A.2π
B.π
C.D.0
二、填空题
1．函数的定义域是．
2．=．
3．曲线在(1，3)处的切线斜率是．
4．函数的单调增加区间是．
5．若，则=．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式===
1．计算极限．
解：原式===
1．计算极限．
解：原式===
2．设求．
解：
3．计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：设，则，所以由分部积分法得
原式====
四、应用题
1．某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：本题含义是求无盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以
=
求导得：==
令=0得驻点：
由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。
复习资料十一
一、单项选择题
1．函数的定义域是（D）．
A.B.C.D.2．若函数，在处连续，则（B）．
A.B.C.D.3．下列函数中，在（-∞，+∞）内是单调减少的函数是（A）．
A.B.C.D.4．下列函数在区间（-∞，+∞）上单调减少的是（A）．
A.B.C.D.5．若的一个原函数是，则=（A）．
A.B.C.D.6．下列无穷限积分收敛的是（C）．
A.B.C.D.7．下列无穷限积分收敛的是（C）．
A.B.C.D.二、填空题
6．函数，则．
7．函数的间断点是．
8．已知，则
0
．
9．函数的单调减少区间是．
10．若的一个原函数为，则．
三、计算题
11．计算极限．
解：原式===
12．设，求．
解：===
12’．设，求．
解：==
12’’．设，求．
解：==
==
13．计算不定积分．
解：原式==
14．计算定积分．
解：原式=====
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