一课研究之经验·转换·思辨
—“认识周长”教学实践与思考
情节重放
一次，听“认识周长”一课时，教师在引入环节的处理深深吸引了我。
教师出示操场图，设置了小明晨练跑步的情境。
紧接着，教师先后出示以下两种小明跑步的情况，让学生分辨，哪种情况跑了操场的一周。通过对比，以此来帮助学生理解操场的一周就是“从起点到起点的，操场外圈的边线”。
接下来，教师将操场的边线在课件中呈现出来，通过计算，让学生初步感受到操场一周的长度叫做操场的“周长”，并通过归纳的形式得出“周长”的定义。
我的疑问
1.学生真的不理解“一周”吗？
该教师引入“周长”的过程中，花了浓重的笔墨来引导学生认识“一周”及其封闭性。于是，我思考：学生真的不理解“一周”吗？
问题1：出示叶片图和长方形图，看到“一周”你想到了什么？
结果：3人不能正确指出一周，2人指叶片的边线，但抽象出叶子的轮廓并和长方形进行对比之后，这2人修正了自己的想法。
问题2：什么是一周？
回答1：一周就是要封起来；
回答2：一周就是图形的边；
回答3：一周就是连起来；
回答4：一周在长方形的边上。
问题3：是否有“没有一周”的图形？
结果：39人都认为没有“没有一周”的图形。
从访谈中可以看出：对于“一周”，学生是有经验的。首先，无论是叶片的一周还是长方形的一周，大部分的学生都能够指出来。其次，学生认为封闭图形才有“一周”。于是笔者思考，“一周”与“封闭”，真的需要如此大花笔墨吗？
2.周长认识的“生长点”在哪里？如何实现周长概念的丰满与内化？
回顾该教师课堂行进过程：操场的一周→
操场一周的长度
→
各种图形一周的长度
→
概括得出周长的概念
→
周长的辨析与应用。从学习路径看，周长是从“一周”生长起来的。于是，笔者思考：周长的根在哪里？周长应该在“周”的基础上生长，还是在“长”的基础上延续？周长意义的理解，是否只立足于“一周”就够了？对于周长的理解，是否还能实现更深入地挖掘？如何让周长真正内化成学生自己的语言，而不仅仅是记住形式化的概念？
为此，带着这些问题，笔者进行了教学尝试。以下是笔者的教学实践与思考。
教学实践与思考
立足“长度”，让周长自然生长
【教学片断】
1.一周的辨别（明确封闭图形与一周）
师：课前老师进行了一次采访，发现同学们都认识了“一周”。你认为哪些图形表示的是“一周”（师动手指一指红色部分）。
2.师出示一根锌棒。（锌棒是一种科学学具，特点是很柔软，可以随意弯折。）
师：这是一根锌棒，长度是20厘米。（师将它随意弯折，不封闭）现在它的长度是多少？
生：20厘米。
师：如果将它变成一个圆形，锌棒的长度是多少？你是怎么想的？
生：还是20厘米。
师：那如果变成长方形呢？
生：那也是20厘米啊。
师：你还想把锌棒变成什么图形？变成后的图形中的锌棒长多少？（抽生回答。）
3.分类
师：请看，锌棒变成了各种各样的平面图形，你能把这些平面图形分类吗？
生分类。
师：说说你的想法。（现场编号，从左往右1——5，第二行6、7）
生1：我准备分成两类，1、2、4——7一类，3一类。我是这么想的，圆是曲线图形，其他图形的边都是直的。
生2：我是这样分的，1、2分成一类，它们是不封闭图形。3——7分成一类，它们是封闭图形。
4.比较。
师：按照第二个同学的思路，我们一起仔细观察这两类图形，它们的共同点是什么？
生：不管是封闭图形的还是不封闭图形，它们的长度都是20厘米。
师：同样都有长度，那这些图形有什么不同的地方？
5.概括。
师：你觉得周长是什么？周是什么？长是什么？
生尝试概括：封闭图形一周的长度叫周长。
6.师指不封闭的图形，问：它们有周长吗？为什么？
师：它们有什么？没有什么？
生：它们有长度，没有一周。
追根溯源，寻找周长的本位概念，发现周长的本质概念是“长度”。因此，学生已有的对于“长度”的理解，应该是周长学习的生长点。二年级时，学生研究的是一维的线段的长度。现在学生研究的是二维的封闭图形的长度。虽然图形从一维拓展到二维，但他们的本质没有变，都在求“长度”。周长与线段长度的区别在于从一条线段到多条线段和的扩展。
在此环节中，笔者通过三个层次帮助学生理解周长。
第一层次：通过对课前访谈结果进行重现，帮助学生进一步理解一周。
第二层次：借助科学课中的学具“锌棒”，实现从线段长度到图形长度的拓展。锌棒的数学原型就是线段，通过变形，锌棒变化出两类图形，不封闭的图形和封闭的图形。在这个变形过程中，笔者始终要求学生关注锌棒的长度，也就有意识的去除了其对面积的关注。
第三层次：借助分类帮助学生建构周长的概念。在变化出两类图形后，笔者尝试让学生进行分类，学生自然而然的将封闭图形分为一类，将不封闭的图形分为另一类。分类的目的是为了进一步的观察与比较。“封闭图形与这些不封闭的图形相同的地方在哪里？”这个问题是将学生的眼光聚焦在长度上，“它们都有长度，那不相同的地方在哪里？”这个问题将目光转到“一周”上。通过这两个问题，学生心中的“周长”逐渐清晰，周长就是封闭图形一周的长度。但是笔者认为还没有结束，还需要继续咀嚼。“（指着不封闭图形）它们有周长吗？那它们有什么？没有什么？”封闭图形有周长，那不封闭图形呢？这个问题是需要让学生辩证的。“有长度，没有一周”，学生的这个回答很精彩。它充分体现了周长与线段长度的区别——就在这个“周”字上。
以此，让学生感悟到“周长周长，周是前提，长是本质”。由此，周长理解的第一层面水到渠成。
在转换中内化
【教学片断】
1.师先出示下图中三个直边图形，生求出三个直边图形的周长。
交流：
师：你们是怎么想的？
生：先量出每条线段的长度再相加。
师：量了为什么还要加？
生：量的只是部分的长度，还不是全部一周的长度。
2.师课件出示“圆”，你能想办法知道这个圆的周长吗？
同桌合作测量圆的周长。
3.师先后出示一条线段、两条线段，师：它们有周长吗？
课件出示三角形。师：三条线段围成一个三角形，这个三角形有周长吗？三角形的周长就是什么？
师：再来一条线段。这些四边形呢？这些四边形的周长指什么？
4.师利用几何画板出示正五边形、正六、七、八、九、十，十一边形，以及正40边形。让学生思考这些图形的周长指的是什么？
5.生总结：图形的周长就是所有边的总长度（长度和）。
第一环节中，笔者试图帮助学生建立“周长”与“一周的长度”之间的关系，辩证地理解“周”与“长”。但由一条线段引到封闭图形的周长，这时候学生意识中的周长还是“连续”的，只有这样的认识是不够的。因此，笔者将周长的理解从“连续”转向“分离”——让学生认识到图形的周长实际上是“封闭图形所有线段的长度和”。为了实现周长的“分离”，笔者安排了三个层次。
第一层次：学生尝试求出三个图形的周长。通过“量与加”，促使动作思维与计算思维相衔接，内化对周长的理解。“为什么量了还要加？”通过问题引导初步感悟到，这三个图形的周长就是所在图形的线段和。第二层次：圆的周长。圆的周长是对周长概念的“反刍”，体会化取为直的数学思想。第三层次：通过三角形到四边形，再到正多边形的周长的观察与思考，让学生在强烈的视觉冲突与思维冲突中概括出封闭图形所有线段的长度和就是周长。当正四十边形出现的时候，学生惊讶地呼喊“圆”，以此渗透正多边形与圆的极限关系。
从“封闭图形一周的长度”扩展到“封闭图形所有线段的长度和”，这是一个进步，学生学会了从“累加”的角度去思考周长，也就有了对周长的进一步理解。
在思辨中升华
【教学片断】
1.正方形的拼组。
师先出示一个正方形，让学生计算周长。
然后出示：两个正方形拼在一起，思考新长方形的周长是多少？
师在出示三个正方形拼在一起组成的新长方形的周长。
讨论小结。正方形拼组一起时，中间的就不属于新长方形的周长了。
2.课件出示下图：甲、乙两个图形，哪个图形的周长长？
引导学生争论。
生：乙的周长更长。
等候片刻。
生：一样长。
师：你们是怎么比出来的？
生：每条边长度一样，同长也一样。
师：为什么一开始认为乙周长长？
生：我看到乙很大。（师请学生上台指一指。）
师：哦，原来如此。看来“周长”并非指的图形的内部。
2.课件出示，引导学生比较：每组中两个图形的周长。
学生尝试比较。
学生反馈自己的想法。
小结：比教两个图形周长的时候，图形每一条边的长度一样，它的周长就是一样的。
关于周长的理解到了“封闭图形的线段和”这一步，是否足够？笔者认为，还不够。于是，在这一环节中，笔者又安排了三次思辨，在思辨中继续加深对周长概念的理解。
1.拼组后正方形的周长。几个同样大小的正方形拼在一起，周长发生了变化。这个变化的过程可以促使学生进一步深化对周长的理解。这个环节教学的重点不在于告诉学生拼组后的长方形周长怎么计算，而要让学生利用自己对周长的理解找到拼组后的长方形周长。也为接下来的例5的学习埋下伏笔。
2.周长与面积的剥离。平面图形的周长和面积紧密依存，而这也成了学生学习时的一个困难。虽然面积的学习要到三年级下册，但学生对面积的感觉却已经存在。因此，笔者认为，有必要在周长起始课中帮助学生进行一次面积与周长的思辨。因此，当笔者出示长方形图的时候，学生的反应经历了这样的变化：乙长——等待片刻后——一样长。通过思辨，学生从一开始的由“乙的大小就是乙的周长”的思维，转变为“乙的大小不代表乙的周长”的思维，学生第一次尝试了周长和面积的剥离。学生的数学眼光也在这样的学习中逐步从整体走向了局部。
3.周长的一一对应。第三次思辨是对第二次思辨的深化。在第二个活动中，学生已经初步感受到：两个图形如若对应的边长度都相等，那么它们的周长也是一样长的。这样的理解是将“周长”进行分解，从一一对应的视角来看待周长。在教学中，学生呈现出两种思维。“先量再算总和进行比较”是合的思维，对应的理解是“周长是所有线段（边）的和”；“先平移再比较”是分的思维，对应的理解是“图形对应边的长度相等，那么图形的周长也相等”。这样的思辨不仅是对周长理解的深入，也在一定程度上促使了面积与周长的进一步剥离。这两种思维是递进的，一一对应视角下的周长是对周长的更灵活的理解。
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