2019届省高三一轮复习阶段性测评（三）数学（理）试题
一、单选题
1．设集合，,则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先化简集合,根据交集和补集定义,即可求得.【详解】
∵,化简可得
∴，∴，故选:C.【点睛】
本题考查了集合的交集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用韦恩图辅助分析问题.2．函数的定义域为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据二次根式下表达式非负和分数分母不为零,即可求得的定义域.【详解】
因为
根据二次根式下表达式非负和分数分母不为零
故选:B.【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中熟记函数的定义域的概念,以及根据函数的解析式有意义进行求解,属于基础题.3．命题“,”的否命题是（）
A．,B．,C．,D．,【答案】B
【解析】根据为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非,即可求得答案.【详解】
根据为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非
结合,存在性命题的否定是全称命题
命题“,”的否命题是:,故选:B.【点睛】
本题考查了否命题,解题关键是理解否命题的定义,属于基础题.4．下列函数中,既是奇函数又在上单调递增的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据奇函数满足,且定义域关于原点对称.逐个选项判断其奇偶性和单调性即可得出答案.【详解】
对于A，故，可得不是奇函数,故A不符合题意;
对于B，故,可得是奇函数,又,在是减函数,故B不符合题意;
对于C，故,可得不是奇函数,故C不符合题意;
对于D，故,可得是奇函数,又在是增函数,故D符合题意
故选:D.【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性,熟练掌握函数单调性,奇偶性的定义是解题的关键,属于基础题.5．已知向量,则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据平面向量共线和平面向量数量积的坐标表示,逐一判断即可得到答案.【详解】
对于A,故,故A错误;
对于B，故B错误;
对于C，,不存在实数使:,所以不平行于,故C错误;
对于D，故D正确.故选:D.【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算.考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,属于基础题.6．在各项均为正数的数列中，,为的前项和,若,则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由,化简可得,得或,因为各项均为正数,故符合题意,不符题意舍去,所以数列为首项为,公比为的等比数列,根据等比数列前项和公式即可求得答案.【详解】,得，或，又各项均为正数,故符合题意,不符题意舍去.，所以数列为首项为,公比为的等比数列
则，解得，故选:A.【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前项和公式,考查了计算能力,属于中档题
7．“,”是“”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.【详解】
当,时,能推出.故“,”是“”充分条件
而时,可得或,不能推出,故“,”不是“”必要条件
综上所述,“,”是“”的充分不必要条件
故选:A.【点睛】
本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.8．已知实数,满足,则下列结论一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据指数函数单调可知,是减函数,根据,可得,逐项判断即可求得答案.【详解】
根据指数函数单调可知是减函数
由,可得
对于A,令,根据余弦函数图像可知,当时,不一定成立,故A错误.对于B,因为,可取，此时，得,故B错误.对于C,因为,可取，此时，得,故C错误.对于D,因为是增函数,当,可得,故D正确.故选:D.【点睛】
本小题主要考查了不等式的性质和指数函数的单调性,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．已知函数，则函数的一个单调递减区间是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为,化简可得:,根据正弦函数的单调性,即可求得单调递减区间.【详解】，根据正弦函数的单调性可知,其减区间为:，∴
当时,函数的一个单调递减区间为.故选:A.【点睛】
本题主要考查三角函数的单调区间的求法,利用正弦函数的图像和性质是解决本题的关键,考查了计算能力,属于基础题.10．已知函数的图像如图所示,则函数的图像可能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据函数图像,判断出正负号,结合二次函数图像性质,即可求得答案.【详解】
由函数图像可知,当时,，即
又
渐近线方程为，即
当时,，所以,.是二次函数
对称轴:，图像开口向下.,与轴正半轴相交
综上所述,只有B符合题意.故选:B.【点睛】
本题考查了根据函数图像判断参数的正负问题.解题关键是根据所给函数图像的特征,结合特殊点,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.11．设函数,在上可导,且,则当时,有（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设,因为,可得,在给定的区间上是增函数,即可求得答案.【详解】
设,当时,∴
∴在给定的区间上是增函数,当时,解得:
故选:B.【点睛】
本题主要考查函数的单调性,考查利用导数判断函数的单调性,并根据函数的单调性比较函数值的大小,属于中档题.12．已知,当时,不等式（是整数）恒成立,则的最大值是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为,代入,得.当时,得,得整数;当时,设可得,所以,即可得到结果.【详解】,代入
得
当时成立,得,所以整数.又
可证时成立,设，得,，所求的最大值是.故选:B.【点睛】
本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解,其中根据题意构造新函数,利用导数得到函数的单调性,求得函数的最小值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力．
二、填空题
13．已知数列的前项和，则________.【答案】
【解析】因为，即可求得答案.【详解】，,根据.故答案为:.【点睛】
本题的解题关键是掌握,考查了计算能力,属于基础题.14．如图,在菱形中，为的中点,则的值是________.【答案】
【解析】因为,即可得出答案.【详解】
在菱形中,.故答案为:.【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算.解题关键是掌握向量的平方等于向量模的平方,属于基础题.15．设,满足约束条件,则的最大值是________.【答案】
【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得的最大值.【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示.由目标函数,可化为:
由图像可知当目标函数过点,在截距最小,此时取得最大值.由解得:
目标函数在点处取得最大值,代入.故最大值为.故答案为:.【点睛】
本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.16．对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:
①;
②;
③;
④.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的序号是________.【答案】②③
【解析】根据存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”,对四个函数逐一判断,即可得到答案.【详解】
对于①,是的可等域区间,但不唯一,故①不成立;
对于②，且在时递减,在时递增,若,则,故
又，而,故,故是一个可等域区间;
若,则,解得，不合题意,若,则有两个非负解,但此方程的两解为和,也不合题意,函数只有一个等可域区间,故②成立;
对于③,函数的值域是，函数在上是增函数,考察方程,由于函数与只有两个交点，即方程只有两个解和,此函数只有一个等可域区间,故③成立;
对于④,函数在定义域上是增函数,若函数有等可域区间,则，但方程无解,故此函数无可等域区间,故④不成立.综上所述,只有②③正确.故答案为:②③.【点睛】
本题考查了函数的新定义.解题关键是理解所给的函数新定义:“可等域区间”的“可等域函数”,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.三、解答题
17．记函数的定义域为集合,函数的定义域为集合.求:
（1）集合,;
（2）集合,.【答案】（1），（2），【解析】（1）由,可得,即可求得.由
即可得到,即可求得.（2）根据集合的交集,并集和补集定义,即可求得答案.【详解】
解：（1）∵，∴
∵，∴.（2），,故
【点睛】
本题考查了集合的交集,并集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,考查了计算能力,属于基础题.18．已知等差数列中，,数列满足,.（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前项和.【答案】（1）
（2），【解析】（1）由，可得:,解得,故,即可求得.（2）因为，故,根据数列求和错位相减法,即可求得.【详解】
（1）由已知得，解得，故，代入,即
∴.（2）由（1）知,.，.故,【点睛】
本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.19．已知的内角，的对边分别为，且.（1）求角;
（2）若点满足,且，求的面积.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为,根据正弦定理:,可得,化简可得,即可求得,进而求得角.（2）在中,根据余弦定理得,可得,结合已知,即可得到,由三角形面积公式,即可求得答案.【详解】
（1）∵，∴，∴，即
∵，∴，∴，可得:.（2）在中,根据余弦定理得，即，∴，∵，∴，∴.【点睛】
本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.20．（B）已知函数，的图象如图所示点，在函数的图象上，点在函数图象上，且线段平行于轴．
（1）证明：；
（2）若为以角为直角的等腰直角三角形，求点的坐标．
说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答
【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由AC∥y轴，可得x1=x3．代入函数关系进而证明结论．（2）由△ABC为以角C为直角的等腰直角三角形，可得|AC|=|BC|，y2=y3．可得x3-x2=，．化简即可得出．
【详解】
（B）证明（1）因为线段平行于轴，所以，又，则.（2）由等腰直角三角形，和，且平行于轴，所以，且，又，则，解得，所以，所以点的坐标为.【点睛】
本题考查了对数运算性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质.21．设，函数
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若，解关于的不等式.【答案】(1)
;(2)的解集为.【解析】（Ⅰ）代入的值，讨论x的取值范围，根据x的范围判断函数的单调性。
（Ⅱ）讨论x的取值范围，去掉中绝对值，并根据不同范围内解析式解不等式即可。
【详解】
（Ⅰ）当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.（Ⅱ）①当时，解得，因为，所以此时.②当时，解得，因为，所以此时.③当时，解得，因为，所以此时.综上可知，的解集为.【点睛】
本题考查了绝对值不等式解法的综合应用，关键是分类时掌握好边界的选取，属于中档题。
22．已知函数.（1）求函数的极值;
（2）当时,若恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值.（2）
【解析】（1）由得,当,得,即可求得函数的极值.（2）由题意有恒成立,即恒成立,设,则,求得的最小值,即可求得实数的取值范围.【详解】
（1）由得,令,得,当时,当时,函数在上单调递减;函数在单调递增.函数存在极小值.其极小值为,无极大值.（2）由题意有恒成立,即恒成立,设,则,设,下面证明有唯一解.易知单调递增,且,所以若有零点x,则,令,可得,（※）
注意到,所以方程（※）等价于,又由（1）可知,当时,在上单调递增,又当时，所以方程等价于方程,设函数,则单调递增,又，所以存在,使得,即方程有唯一解,即,因此方程有唯一解,所以有唯一解.且当时，单调递减;
当时，单调递增;
所以的最小值为,所以.【点睛】
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
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