第二十三章
旋
转
测试1
图形的旋转
学习要求
1．通过实例认识图形的旋转变换，理解旋转的含义；通过探索它的根本特征，理解旋转变换的根本性质．
2．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．
课堂学习检测
一、填空题
1．在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．
2．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两点叫做这个旋转的______．
3．如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．假设∠AOA′=90°，那么旋转中心是点______．旋转角是______．点A的对应点是______．线段AB的对应线段是______．∠B的对应角是______．∠BOB′=______．
3题图
4．如图，△ABC绕着点O旋转到△DEF的位置，那么旋转中心是______．旋转角是______．AO=______，AB=______，∠ACB=∠______．
4题图
5．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转______度，可与其自身重合．
5题图
6．一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．
7．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了______度．
8．旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．
二、选择题
9．以下图中，不是旋转对称图形的是（）．
10．有以下四个说法，其中正确说法的个数是（）．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，那么以下角中不是旋转角的为（）．
A．∠BOF
B．∠AOD
C．∠COE
D．∠COF
12．如图，假设正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
13．下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合?（）．
A．①、④、⑤
B．①、③、⑤
C．②、③、⑤
D．②、④、⑤
综合、运用、诊断
14．如图，六角星可看作是由什么“根本图形〞通过怎样的旋转而得到的?
15．如图，五角星可看作是由什么“根本图形〞通过怎样的旋转而得到的?
16．：如图，四边形ABCD及一点P．
求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的．
17．如图，有两个同心圆，半径OA、OB成30°角，OB与小圆交于C点，假设把△ABC每次绕O点逆时针旋转30°，试画出所得的图形．
拓广、探究、思考
18．：如图，当半径为30cm的转动轮按顺时针方向转过120°角时，传送带上的物体A向哪个方向移动?移动的距离是多少?
19．：如图，F是正方形ABCD中BC边上一点，延长AB到E，使得BE=BF，试用旋转的性质说明：AF=CE且AF⊥CE．
20．：如图，假设线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的．
求作：旋转中心O点．
21．：如图，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．
测试2
中心对称
学习要求
1．理解两个图形关于某一点中心对称的概念及其性质，能作一个图形关于某一个点的中心对称图形．
2．理解中心对称图形．
3．能熟练掌握关于原点对称的点的坐标．
4．能综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形变换问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______．
2．关于中心对称的两个图形的性质是：
(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连______都经过______，而且被对称中心所______．
(2)关于中心对称的两个图形是______．
3．把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______．
4．线段不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．
5．平行四边形是______图形，它的对称中心是____________．
6．圆不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．
7．假设线段AB、CD关于点P成中心对称，那么线段AB、CD的关系是______．
8．如图，假设四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称，那么它们的对称中心是______，点A的对称点是______，E的对称点是______．BD∥______且BD=______．连结A，F的线段经过______，且被C点______，△ABD≌______．
8题图
9．假设O点是□ABCD对角线AC、BD的交点，过O点作直线l交AD于E，交BC于F．那么线段OF与OE的关系是______，梯形ABFE与梯形CDEF是______图形．
二、选择题
10．以下图形中，不是中心对称图形的是（）．
A．圆
B．菱形
C．矩形
D．等边三角形
11．以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
12．以下图形中，是中心对称图形的有（）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13．以下图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）．
综合、运用、诊断
14．如图，四边形ABCD及点O．
求作：四边形A′B′C′D′，使得四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于O点中心对称．
15．：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由．
16．如以下图，图(1)和图(2)是中心对称图形，仿照(1)和(2)，完成(3)，(4)，(5)，(6)的中心对称图形．
17．如图，有一块长方形钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两局部，请你在图中画出作图痕迹．
18．：三点A(－1，1)，B(－3，2)，C(－4，－1)．
(1)作出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出各顶点的坐标；
(2)作出与△ABC关于P(1，－2)点对称的△A2B2C2，并写出各顶点的坐标．
拓广、探究、思考
19．(1)到目前为止，已研究的图形变换有哪几种?这些变换的共同性质有哪些?
(2)如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可由△OBC旋转得到的三角形有a个，可由△OBC平移得到的三角形有b个，可由△OBC轴对称得到的三角形有c个，试求(a＋b＋c)a＋b－c的值．
20．：直线l的解析式为y=2x＋3，假设先作直线l关于原点的对称直线l1，再作直线l1关于y轴的对称直线l2，最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式．
21．如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗?为什么?
科学家名言
对称性原理在探索自然奥秘中所起的作用，无论怎么强调也不会过分的。因为物理学家发现，一个对称规律打破后，会出现更高一级的对称。
——杨振宁
测试3
旋转的综合训练
一、填空题
1．如图，用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如下图的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22°，那么三角板的斜边与射线OA的夹角a为______°．
1题图
2．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形A′B′C′D′，那么它们的公共局部的面积等于______．
2题图
3．在平面直角坐标系中，点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得到P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°，得点P3，那么P3的坐标是______．
4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连结AE，那么AE的长为______．
4题图
5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧．假设那么BE=______．
5题图
6．如图，D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE=CD，AD与BE交于P，那么∠BPD______°．
6题图
二、选择题
7．以下图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）．
A．等边三角形
B．菱形
C．等腰梯形
D．平行四边形
8．数学课上，老师让同学们观察如下图的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合?甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的答复中，错误的选项是（）．
w
w
w
.8题图
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的选项是（）．
A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的10．以以下图的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是（）．
三、解答题
11．：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD．
求证：BD2=AB2＋BC2．
12．：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．
求证：BE=AF＋CE．
13．：如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE＋FD=EF．
求证：
14．：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
(1)如果CA=CB，求证：AE2＋BF2=EF2；
(2)如果CA＜CB，(1)中的结论还成立吗?假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由．
答案与提示
第二十三章
旋
转
测试1
1．一点O，一个角度，旋转中心，旋转角，旋转中心，旋转角．
2．对应点．
3．O，90°，点，∠，∠AO＝90°．
4．O点，∠DOA或∠FOC或∠EOB，DO，DE，∠DFE．
5．120．
6．180．
7．270．
8．距离，旋转角，全等．
9．B．
10．D．
11．D．
12．C．
13．A．
14．答案不唯一，如可看成正△ACE绕其中心旋转60°得到的．
15．可看成四边形AFOJ绕O点每次旋转72°，共旋转了四次得到的．
16．略．
17．略．
18．物体A向右平移，移动的距离是20pcm．
19．△CBE可看成由△ABF按顺时针旋转90°得到的，所以△CBE≌△ABF，并且CE＝AF，AF⊥CE．
20．分两类：(1)A与C是对应点．(2)B与C是对应点，对(1)的作法：
(1)连结AC，作线段AC的垂直平分线l1；
(2)连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，那么O点为所求．
同理可作出(2)的O′选点．
21．提示：如图1，以C为旋转中心，将△APC绕C点逆时针旋转60°得到△BDC，易证△PCD为等边三角形，△PBD是以BP，AP(＝BD)，CP(＝PD)为三边的三角形．∠PBD＝53°，∠BPD＝64°，∠PDB＝63°．
图1
测试2
1．180°，重合，对称中心，对称点．
2．(1)线段，对称中心，平分；(2)全等图形．
3．180°，重合，对称中心．
4．中心对称，它的中点．
5．中心对称，它的两条对角线的交点．
6．中心对称，它的圆心．
7．AB＝CD且AB∥CD或AB与CD共线．
8．C点，点F，D点，EG，EG，C点，平分，△FGE．
9．OF＝OE，全等．
10．D．
11．B．
12．C．
13．C．
14．略．
15．作法：分别连结CG、BF，那么它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．
16．略．
17．18．(1)A1(1，－1)、B1(3，－2)、C1(4，1)．
(2)A2(3，－5)、B2(5，－6)、C2(6，－3)．
19．(1)平移变换、轴对称变换、旋转变换．一个图形经过平移、轴对称、旋转变换，它的形状和大小都不会改变．即所得的图形与原图形全等．
(2)a＝5，b＝2，c＝5，(a＋b＋c)a＋b－c＝122＝144．
20．l1∶y＝2x－3，l2∶y＝－2x－3，l3∶y＝－2x＋1．
21．第2张，是中心对称图形．
测试3
1．22．
2．3．
4．5．1
6．60．
7．B．
8．B．
9．A．
10．A．
11．提示：如图，以BC为边向形外作等边△BCE，连结AC，AE．可证△BCD≌△ECA，AE＝BD，∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，有AB2＋BE2＝AE2，即AB2＋BC2＝BD2．
11题图
12．提示：如图，延长EC到M，使CM＝AF，连结BM．易证△AFB≌△CMB，∠4＝∠M．又AD∥BC，∴4＝∠2＋∠5＝∠1＋∠5＝∠3＋∠5．
∴∠M＝∠EBM．
∴BE＝EM＝AF＋CE．
12题图
13．提示：延长FD到H，使DH＝BE，易证△ABE≌△ADH．再证△AEF≌△AHF．
14．提示：如图，(1)连结CD，证△CDE≌△BDF．CE＝BF．
∵CA＝CB，∴
AE＝CF．
在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，∴AE2＋BF2＝EF2．
(2)延长FD到M，使DM＝DF，连结AM、EM，先证△BFD≌△AMD．∴AM＝BF，∠DAM＝∠B，再证EM＝EF．
14题图
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