小学语文教学中的变式与造句

第一篇：小学语文教学中的变式与造句

小学语文教学中的变式与造句

内容摘要：

用词造句在我国目前的小学语文教学中占有相当大的比重。然而恰恰正是这司空见惯的造句教学，实践中教师往往不得其法。笔者以心理学上的“变式”原理为指导，在实践中探索变式教学法在造句教学中的应用途径和切入点，总结出变位置、变句式、变词义和变单一训练为综合应用四种方法，用以改变目前造句教学质量低下的现状和达到课标中“在发展语言能力的同时，发展思维能力，激发想象力和创造潜能。”的目标要求。

关键词：造句 变式 教学 方法

变式原为心理学范畴的概念，是指通过变更人们观察事物的角度或方法，以揭示对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。在造句教学中，教师适当引导学生进行变式练习，变换造句教学中思考问题的角度和方法，突出造句教学的本质目的，既能达到有效造句的目标，又能培养学生举一反三和灵活思考的目的，可谓是一举多得。本文就教学实践中具体的实例，谈一谈变式教学法在造句教学中的应用。

一、变位置，突出造句的根本

若仔细观察、静心沉思，我们不难发现某一类词语出现在句子中的位置是相对固定的，某一些词语组合成句时还可以在句子中的不同位置。从语言学角度上讲，前者是语言学中词的聚合规律，后者是词的组合规律。从这一点出发，教学中进行造句训练的最根本目的就是引导学生掌握词的聚合规律和组合规律。基于以上认识，我们就可以通过变换词语在句中的位置，来帮助学生尽快掌握语言的聚合和组合规律。请看苏教版国标本三年级上册《卧薪尝胆》一课中用“建议”一词造句的案例：

（1）建议同学们去花果山春游，那里的景色特别美丽。（2）你的建议犹如二月的春风，吹散了我心中的阴霾。（3）老师采纳了我的建议。

三个句子中的“建议”分别出现在句首、句中和句末。通过造句学生就能明白，同一个词语是可以出现在句子的不同位置的，出现在不同的位置词的性质也就可能不相同。长期坚持类似的训练，学生就能很快掌握词的聚合和组合的规律，从而尽快达到“正确地理解和运用祖国语文，丰富语言的积累，培养语感”的课标要求。

二、变句式，拓展思维的广度

造句是阅读教学中语言训练最常见和最常用的教学方法之一。因为造句的过程不仅是语言训练的过程，同时还是发展学生思维的过程。研究表明，思维的发展，特别是发散思维的发展与创造能力直接相关，是衡量创造性思维的重要指标。因此，教学时教师就可以指导学生从一个问题出发，寻找尽可能多的答案或从一个问题出发，变换思考问题的角度多角度解答问题，从而拓展学生思维的广度，培养创造性思维能力。在造句教学中，我们就可以通过变换句式造句或者是变换修辞手法造句，达到这一目的。例如，同样是用“建议”造句，可进行如下训练：

（1）陈述句：老师采纳了我的建议。（2）祈使句：你必须采纳我的建议！（3）感叹句：这个建议真是太好了！（4）疑问句：你采纳我的建议了吗？（5）把字句：老师把我的建议采纳了。（6）被字句：我的建议被老师采纳了。（7）双重否定：我不得不采纳他的建议。

（8）比喻句：你的建议犹如二月的春风，吹散了我心中的阴霾。上述案例，教师通过改变不同的句式和修辞的手法引导学生用“建议”一词造句，既培养了学生的语感和驾驭文字的能力，同时也培养了学生多角度思考问题的能力，拓展了思维的广度。在此过程中，回答问题的角度不断变换，学生也必将兴趣盎然，还有效避免了造句教学的枯燥乏味、造句质量不高的尴尬局面。

三、变词义，感受汉语的魅力

一词多义是语言中的普遍现象。除了少数的名词术语是单义词外，大多数都是多义词。这是因为语言用的语音形式是有限的，而词义的区分却越来越细，人们又习惯于用原来的语音形式表示相近、相关、相似的事物现象，因此一词多义就成了普遍现象了。在教学中，让学生用一词的多义造句，不仅能使学生透彻地理解词语的意思，还能有效地培养学生驾驭文字的能力，同时感受祖国语言文字的博大精深的无穷魅力。例如，在《现代汉语词典》中“究竟”一词有三种解释：（1）结果，原委；（2）用在问句里，表示追究；（3）毕竟、到底。据此，我们可以引导学生造句如下：（1）前面发生了什么事，我想去看个究竟。（2）这究竟是什么意思？（3）这件事究竟该怎么办，你给我个说法。

四、变单一为综合，彰显词语的应用

“指导学生正确地理解和运用祖国语言文字”是课程标准对语文教学的一项基本要求，也是我们语文教学的根本出发点。因此，在造句教学中，我们不能仅仅局限于用词造句的单一练习，还应该创设具体的情境，引导学生从单一的造句练习走向语言的综合应用。于永正老师在《水上飞机》一课中，引导学生用“究竟”一词的造句指导就是最好的诠释：

师：投影词语：究竟

生：找出课文中带“究竟”的句子。

师：“究竟”在这儿可以换成什么？ 生：想问个明白

师：会动脑筋，“究竟”在这就是想问个结果的意思。师板书：问个究竟

师：在你们的生活中有没有想问个明白、想问个究竟的事情？ 生：猿猴到底是什么，我想到老师那儿问个究竟。师：生活中有没有想看个究竟的事情？ 生：爸爸给我买了几只小鸡，我想看个究竟。生：爸爸把一本书藏在衣柜里，我想看个究竟。师：看到了这个字就要说了，板书：探 生：这个山洞里到底住着谁，我想探个究竟。

生：听说常州有个恐龙园，科学家的这些东西怎么发明出来的，我想探个究竟。

师：课件出示：每年春天，究竟有多少人来到扬州旅游，我也说不清。表示疑问，谁能根据表示疑问的“究竟”来说句子？

生：宇宙上究竟有多少颗星星，谁也说不清。

师：出个难题，你们听说过外星人吗？听说过恐龙吗？以外星人为话题，或者以恐龙为话题，用上两个“究竟”说一段话。

生：宇宙中究竟有没有外星人，我长大后要探个究竟。生：我想知道，外星球上究竟有没有外星人。生：我想知道，恐龙究竟是怎么灭亡的。

在这个教学片断，于永正老师首先引导学生理解文本中“究竟”的意思，然后指导学生用“究竟”说一句话；接着于老师又引导学生全方位理解“究竟”的

意思并造句。至此，学生已经完全会用“究竟”造句了，但于老师没有就此打住，又引导学生用上两个“究竟”写一段话。从单一的造句训练到词语的综合应用，于老师造句教学设计，可谓环环相扣，引人入胜，值得我们咀嚼、回味和借鉴。

在教学中，运用变式教学法引导学生全方位、多角度地进行造句，不仅能达到“固本强基”的效果，还能在发展语言能力的同时，发展思维能力，激发想象力和创造潜能，收到“一举多得”之效。

参考文献：

［1］林祥楣.现代汉语［M］.北京：语文 出版社，1999.143-148.［2］刘洁.小学语文教学策略［M］.长春：东北师范大学出版社，2007.150-216.［3］陆志平.小学语文新课程教师研修教材［M］.北京：北京大学出版社，2007.109-111.［4］名师教学.于永正教学实录《水上飞机》［EB/O］.http://www.xiexiebang.com/ArticleDetail.aspx?DetailID=176401，2006-03-20/2010-09-26

第二篇：变式教学

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怎样进行变式教学

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究 “变”的规律的一种教学方式。数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。

一、类比变式，帮助学生理解数学知识的含义

初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。

例如在学习“分式的意义”时，一个分式的值为零是包含两层含义：(1)分式的分子为零(2)分母不为零。因此，如果仅有“当x为何值时分式 的值为零”，此类简单模仿性的问题，学生对“分子为零且分母不为零”这个条件还是很不清晰的，考虑“分母不为零” 意识还不会很强。但如果以下的变形训练，教学效果会大不相同：

变形1：当x______时，分式 的值为零？

变形2：当x______时，分式 的值为零？

变形3：当x______时，分式 的值为零？ 通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。

二、模仿变式，更快熟悉数学的基本方法

数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。

例如人教版课标教材八年级《数学》（上）中，为了使学生更好地掌握三角形全等的判定的“SSS”方法的运用，就很好地采用了变式教学的设计形式。

（1）如图(1)，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A和BC的中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD；（例题1）

（2）如图(2)，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？(习题13.2中的复习巩固)（3）如图(3)，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE，求证△ACD≌△CBE；(习题13.2中的复习巩固)（4）如图(4)，B、E、C、F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A＝∠D.(习题13.2中的综合运用)教材中为了让学生掌握“SSS”方法，首先安排了（1）中的简单训练，其中全等的两个三角形有公共边的三角形，相等关系较为直接，只要验证全等的条件是否齐全、是否对应即可以；而（2）则是例1的图形略为变形，旨在增强学生针对图形变化应注意全等条件的验证意识；（3）、（4）中的两个三角形虽然已经一对边之间有直接关系，但其中一对边的相等关系需要经过简单的推理而得到，难度有所加强，对学生是否掌握“SSS”方法的要求更高。这样的变式训练，让学生通过模仿逐步掌握数学的基本方法，对初中学生有着更普遍的意义。

三、阶梯变式，训练中总结数学规律

初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中“变化量”的相互关系中，帮助学生总结数学规律。

例如人教版课标教材九年级《数学》（下）关于二次函数y=ax2的图像的对称轴、顶点、开口等变化规律与a的取值的的关系时就是采用变式教学的形式，让学生通过类比推理总结出这类函数的性质的规律的。

首先，用描点法分别画出两个简单的二次函数“y= x2”和“ y=2x2”的图像，引导学生通过观察它们与“y=x2”的图像的不同点、共同点，发现如下结论：

（1）三个函数对称轴都是y轴；（2）三个函数的顶点都是原点；（3）开口均向上。

其次，进行变式后再尝试验证。同样用描点法别画出两个简单的二次函数“y=-x2”、“y=-x2”、“ y=-2x2”的图像引导学生通过观察它们与图像的不同点、共同点的系数的可以引导学生验证上述结论，发现（1）、（2）依然成立，而（3）有了不同的变化，就是抛物线的开口方向实际上与函数中系数的正负有关，当a＞0时，开口向上；当a＜0时开口向下。

这样，因为需要对图形的几何性质等规律性知识进行总结或验证时，从简单的一类问题开始进行变式，借助变式教学的方法可以很好地提高学生的学习效率，数学中其它规律的发现与验证都可以使用变式教学。

四、拓展变式，有利于学生形成数学知识之间的联系

数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的“改装”或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。

 例如下面问题可以进行充分运用会有更加意想不到的效果：

如图

（一）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的一点，DE^AC，DF^AB，垂足分别是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。

上题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB上的高为8cm。我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE、DF、CH之间的内在联系，（引导学生猜想CH=DE+DF）。

引出变式题（1）如图

（二）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的任一点，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分别是E、F、H，求证：CH=DE+DF 在计算例题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式（2）如图

（三）在等边DABC中，P是形内任意一点，PD^AB于D，PE^BC于E，PF^AC于F，求证PD+PE+PF是一个定值。通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

五、背景变式，强化学生数学思维的训练

在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。通过从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活性和严密性。

例如：已知等腰三角形的腰长是5，底长为6，求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1：已知等腰三角形一腰长为5，周长为16，求底边长。变式2：已等腰三角形一边长为5；另一边长为

6，求周长。

变式3：已知等腰三角形的一边长为2，另一边长为16，求周长。

变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是16。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。

变式1是在原问题的基础上训练学生的逆向思维能力，变式2与前两题相比需要改变思维策略，进行分类讨论，而变式3中的“5”显然只能为底的长，否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性，变式4与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0﹤y﹤2x的理解运用，是完成此问题的关键。通过问题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势，有利于培养思维的灵活性和严密性。

变式教学实际上是在教学中根据数学教学要求、授课对象、数学教材内容和教学环境形成的一种教学方法。变式教学是一种教学形式,要想它能取得较好的课堂教学效益，必须充分考虑上述教学因素；变式教学就是外因，学生的学习活动则是内因，变式教学能为学生提供更多的主动参与学习的时间、空间,促进学生学习的内化的机会。

第三篇：浅谈小学数学教学中的有效变式训练

浅谈小学数学教学中的有效变式训练

象山县实验小学

蒋喜看

变式训练主要是指对于某个数学内容的不同方面，尤其是对数学例题和习题进行转化变通，让学生能够从不同角度理解知识、运用知识的一种数学训练模式。变式训练有着很高的教学价值，它不仅是一种有效的教学途径，而且还是一种有用的思想方法。笔者结合教学实践，主要从以下三个方面阐述对小学数学教学中的变式训练的认识。

一、小学数学教学中进行有效变式训练的重要性

1、变式训练可以加深学生对数学知识的理解

现代认知心理学从信息加工的观点，把广义知识分为陈述性知识和程序性知识两大类。陈述性知识指的是事实性知识；程序性知识包括对外办事的程序性知识和对内调控的程序性知识。如果要将陈述性知识转化为办事的技能，就必须保证它们在充分变式条件下得到适当的练习，以便于他们日后在新变化环境中应用。

美国心理学家奥苏伯尔认为，建立新旧知识之间的联系要符合这样两条，那才是有意义的，否则就是灌输的、死记硬背的。第一是合理联系，即知识固着点及其性质，合适的潜在距离；第二是实质联系比如可以换一个形式去检查，这就是变式训练。由此可见，有效的学习离不开一定的变式训练。

2、变式训练可以提高学生的数学思维能力

在数学学习中，会出现这样一个词，即“思维定势”。思维定势具有两面性，既有消极的一面，又有积极的一面。思维定势可以理解为：总是按照某种习惯的思路去思考问题。那么，当这种习惯性思维与解决问题的路径不一致时，就会形成了负迁移，使思维被定格在某个框架下而无法解脱，对于解决问题就困难了；可当这种习惯性思路与解决问题的途径一致时，就可以促进正迁移的产生，就利于解决问题。因此，我们通过变式训练，可以培养学生数学思维的敏捷性、灵活性、深刻性和发散性，提高学生的数学思维能力。

3、变式训练可以减轻学生的课业负担

多年来，学校为了升学率，学生的学习压力非常大，课业负担很重。尤其是在数学教学中，做不完的题海战术，不但加强学习负担，甚者使学生产生了厌学情绪，正所谓得不偿失。比较各套练习，我们不难发现很多题目相似度很高，学生就变得非常机械。这样的练习严重束缚了学生思维的发展，影响了他们的身心健康。而变式训练恰是强调题不在多，但求精炼；注重一题多解，开启思维；重视多解归一，寻求规律。学生在变式训练中不但能够开阔思路，还能够减轻他们的学习负担，提高学习效率。

二、小学数学教学进行有效变式训练应注意把握的几个问题

那么，在数学教学中如何更有效进行变式训练呢？笔者认为应把握好以下几点：

1、变式训练的数量问题

由于我们的课堂时间有限，因此变式训练的数量不可过多，不然效果必然不好。因此，变式的量需要有个度。如在课堂上当教师问“？=1”时，一些学生回答：1+0=1、100-99=1、1×1=l、2÷2=1、5-4=1、5+3-7=1„„等等。有的学生干脆说：“写不完”，“写不完”。像此类问题肯定说不完，因此教师就应该抓住些共性来描述，千万不能让学生无休止地往下说。

2、变式训练的内容问题

针对数量有限的问题，教师必须选择恰当的问题。也就是说问题必须包含合理的变式，内容要与此相关，另外问题必须包含尽可能多的不再重复的变式。只有如此，有限的问题才能包含尽可能多的变式，从而构成有效的问题变式。例如，在小学数学课本第二册《认识图形》一节课的教学中，讲了圆柱的特征后，出示一些位置、形状大小不同的圆柱体让学生去判断，使学生通过变式、比较练习，认识圆柱的本质特征，调动学生学习的积极性，使学生从不同角度理解所学知识，为学生灵活运用新知识打好基础。

3、变式训练的主体问题

新课标倡导以人为本，要注重学生的主体地位。那么，我们应该提倡让学生参与变式，而不是让变式成为教师的专利。作为课堂教学的组织者和引导者，教师引导学生如何更好的进行变式，并且及时进行点拨，切勿包办代替；同时，对于学生在变式中获得的成功，哪怕只是一丁点儿，教师也要加以肯定。只有这样，才能调动学生学习的积极性，点燃学生思维的火花，提高学生参与创新的意识，从而让他们感受到变式的乐趣，这样一来，学生的思维能力就得到了一定程度的提升。例如，整体优化教材第十二册“圆面积公式推导”中，书本只出现把圆转化为长方形一种推导方法。如果让学生深入理解这种方法，再在这种方法的基础上进行推导方法的变式，学生就会得出很多转化方法，如平行四边行、三角形、梯形、甚至干脆把一块近似的三角行乘以块数等等。所以教师必须要有灵活应变的能力，运用多种教学方法，不断变换学习方法，使教师的主导作用与学生的主体作用达到和谐的统一。

三、小学数学教学有效进行变式训练的方法举例

1、概念教学

在小学数学教学中，最枯燥的可能就是概念教学了，而且在作业试卷中又是最容易让孩子混淆而失分的。对于如此抽象的数学概念，教师在教学概念时，可以用不同的数学语言去描述概念，也就是表达方式的多样化，从而加深学生对概念的理解。例如，几何初步知识的概念教学，如果仅以某种位置的图形引导学生理解，由于小学生思维的具体性和感性经验较狭窄，会导致对知识理解的片面性。因此，在几何知识的教学中教师应善于应用变式，将各种不同位置的图形呈现给学生，帮助学生更透彻地理解知识。例如，在三角形概念教学中，通过不同形态、不同面积，不同位置的三角形与一些类似三角形的图形进行比较，就可以帮助学生分清哪些属于三角形的本质属性，哪些属于三角形的非本质属性，从而准确地理解三角形的概念。在直角三角形概念的教学中，让学生接触不同位置、不同形态的一些直角三角形如平放，斜放，倒放等不同角度，从而使生理解“只要有一个角是直角三角形，就是直角三角形即直角三角形的概念”。

2、计算教学

虽然计算的结果只有一个，但是中间的过程有时也不完全一样，有“殊途同归”的妙处。而且，新课标强调要注重学生的学习过程以及学习方法。因此，在计算教学中要充分运用计算方法的变式，不仅可以促进对计算方法的理解和掌握，而且可以提高计算的准确性。例如，小学数学课本第三册的第37页中有这样一道题：3×（）＝（）×（），（）×（）＝（）×（）

。在教学中，引导学生在新学的乘法口诀中寻找，鼓励学生积极思维，不死记硬套，诱发学生从不同角度去发现事物的本质特征和数量关系，从而产生新的构思，提出不同的解题思路和方法，得到多个答案。

3、应用题教学

教师要重视将现实问题中的文字语言转换成数学的文字语言，再将数学的文字语言转换成数学的符号语言或图形语言，重视“语言”变式训练，使学生练好学习数学的基本功，提高分析问题和解决问题的能力。例如：交换或部分交换问题的条件，意味着给学生的思维活动创造了有利的前提。条件的交换，会促使学生对问题进行分析，找到两者之间不变的部分和变化的部分，从而针对题目找到有效的解题策略。如：同学们做了25朵花，送给幼儿园8朵。还剩多少朵？”与“同学们做了18朵红花和7朵黄花，送给幼儿园8朵。还剩多少朵？”，就是应用拆分条件、合并条件进行互相变化的；“同学们做了25朵花，送给幼儿园8朵。还剩多少朵？”与“同学们做了25朵花，后来又做了18朵，送给幼儿园8朵。还剩多少朵？”让学生比较练习，找出相同的结构。又如，我们还可以把条件隐藏起来。本来问题是这样的：5个人一起做小红花，每人做8朵，一共做了多少朵花？改变后的问题是这样的：小西和4个同学一起做小红花，每人做8朵，他们一共做了多少朵花？这样设计，学生能更加深刻地理解其数量关系及结构。

辨证唯物主义指出万物都是在变化发展的，变式教学在教学中是突出一个“变”字，利用“变”来抓住事物的规律，利用“变”来寻求解决之道，利用“变”来培养学生的创造力，利用“变”来提高学生的应变能力，这正是我们新时代数学教学所应追求的目标之一。

第四篇：变式教学在小学数学教学中的作用

变式教学在小学数学教学中的作用

在小学数学教学中，经常要用到变式：变式就是在教学中，从不同角度组织感性材料，不断地变换事物的非本质性属性，而突出本质属性，并使有关的本质属性相互“联结”，形成“主心骨”，让学生领略“万变不离其宗”的奥妙。下面谈谈我在教学中的一些尝试。

一、变式在概念教学中的作用：

小学数学概念的一个基本特征是抽象性，而小学生的思维又从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，在教学中恰当地运用变式，有利于对概念的理解和提升。如：教学“认识分数”时，有位老师是这样设计的；教师创设了猴妈妈分苹果的情境：猴妈妈给四只小猴分苹果，她带来两盒苹果，小猴打开一盒（4个苹果），师问：怎样分才能公平？接着分第二盒，（8个）（没打开），师还是问；要分得公平，怎样分？然后，教师追问；为什么苹果数量不一样，都用四分之一来表示？学生说：把一个东西平均分成四份，取其中的一份就用四分之一来表示。接着老师又出示12个苹果，你能从图上找出它的四分之一吗？在这个片断中，为了使学生能深刻认识四分之一，老师变换非本质性属性，让学生分4个苹果，8个苹果，12个苹果的四分之一，突出不管分多少个苹果，只要把它们平均分成四份，其中的一份就是四分之一表示。

在几何初步知识的概念教学中，如果仅以某种位置的图形引导学生理解，由于小学生思维的具体性和感性经验较狭窄，会导致对知识理解的片面性。因此，在几何知识的教学中教师应善于应用变式，将各种不同位置的图形呈现给学生，帮助学生更透彻地理解知识。

有位教师教学《认识线段》一课时，为了给学生巩固对线段知识的认识，设计了一个“出手指”的游戏，将各种不同的图形展示给学生，请学生运用本节课所学的知识进行判断。当大屏幕上出现这样一个图形时：

一个女孩子判断它是错的，问她：“你觉得它错在哪里呢？”那个女孩子说：“它是斜的，而线段应该是平的。”这时的教师意识到呈现给学生的图形过于单一，因此学生已经在头脑中给线段建立了一个固定的模式。于是教师带领学生紧紧围绕“线段”的特点加以判断，并利用手中的毛线进行演示，试图引导学生走出这个误区，建立起正确、全面的认识。又如；教学“三角形的高”的概念时，变式的练习更为重要。因为三角形按角的大小可以分为三类，每一类的高的位置并不完全相同，有的甚至差异很大。所以三角形的高是学生学习的难点，学生往往看到倾斜的线段就不认得是高，常常画高时总要垂直水平方向，课堂上呈现给学生的高的位置应是不同的，使学生对“高”的概念有本质的认识。

有一位老师是这样设计的：让学生凭着自学课本的初步感知说一说、指一指三角形的高，然后课件出示标准的三角形的高。紧接着再出现将标准的高的三角形进行90度旋转、135度旋转、150度旋转、175度旋转、180度旋转——360度旋转。每旋转一点都问：现在还是不是三角形的高？是不是还是从顶点向对边作垂线，在这些变式高的出现和观察之中，学生在变化中看到了不变，即高的本质：从一个顶点到它的对边作垂线。线的方向在变，垂直于底没有变。

《数学课程标准》中指出：小学生的空间观念主要表现在能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化„„而要培养学生空间想象能力的第一步就是让学生能认识各种位置上的图形，作为教师的我们在备课中应站在学生的角度进行思考，巧妙变式，多角度、全方位的带领学生理解知识。

二、变式在几何教学中的作用：

在几何教学中，蕴涵着许多有利于变式的信息，特别是图形的周长、面积和体积等，教材的编写中明显地体现了“转化”思想，转化思想其实就是对形体的变式，通过形体的方位、形状等的变式教学，可帮助学生“打通”各外表开头不同、实质有联系的形体的“关节”，有效运用变式教学提高教学的实效性。

（1）如；通过“等积变形”加强形体的变式与联结，几何形体的等积变形在平面图形的教学中的作用，在教学中可以通过几体形体间的变式，让学生感悟“形在变”的思想。如学习“三角形面积”时，可以引导学生在一组平行线之间画出面积相等但形状不同的三角形，而学了“平行四边形的面积”后，则可以在两者之间建立联系，如何在一组平行线间画出面积相等的三角形和平行四边形？从而引导学生探究“高”相等的情况下，怎样变“底”，才能使它们的面积相等。

（2）如：通过“化归”思想加强形体间的变式，从教材的编排体系上看，先安排学习长方形的面积，而此后的正方形、三角形、平行四边形、梯形甚至圆形面积的学习，都是通过割补、平移、旋转等方法转化成已学过的图形，即运用“化归”的思想进行学习的。这样学生在割补、平移、旋转的同时，不仅实现了新旧知识的迁移，学会了面积的计算方法，更重要的是学会了数学思想方法的运用，理解了数学知识之间的相互联结的趣味和奥妙，给学生的轻松学习奠定了学习基础。

三、变式在练习设计中的作用：

数学课堂练习是一堂数学课的重要组成部分，是进一步深入理解知识、掌握技能技巧、培养积极的情感和态度、促进学生深层次发展的有效途径；教师应当成为有经验的“舵手”，做好变式练习设计，调动学生的思维积极性，提高教学效果。

例如在讲“商不变的性质”这一课时，可以设计如下的变式题，逐步巩固得出的商不变性质的概念。第一层次：各题的商是几？已知40÷20＝2，那么（40×10）÷（20×10）＝？第二层次：在□里填上适当的数字，在○里填上“×”或“÷”。已知24÷6＝4，那么（24×2）÷（6○□）＝4，（24○□）÷（6÷3）＝4。第三层次：在□里填上适当的数字。已知30÷6＝5，那么（30×□）÷（6×□）＝5。以上一系列的变式题由易到难，一环扣一环，不超过当时学生的认识能力，坡度适宜，既巩固了所学知识，又进行了发散性思维训练。例如在学过角的度量方法后，可出示这样的两个变式图形让学生巩固量角的方法及技巧。

（1）

（2）

第（1）题主要是让学生学会正确旋转量角器去量角的技巧。第（2）题主要是让学生掌握要把角的一边延长后才能在量角器上读出刻度的方法，并且这一题中有钝角、锐角、直角。这样的变式题就能起到画龙点睛、举一反三的作用。例如：在教学“积的变化规律”时，可以设计以下变式练习，让逐步掌握积的变化规律。第一层次：各题的积是多少？6×2=12，那么6×20=

6×200=

积是多少？怎么变化的？第二层次：12×45=540，那么（12×3）×45=

（12÷3）×45=

积是多少？为什么？第三层次：12×45=540，那么（12×5）×（45÷5）=

（12÷3）×（45×3）=

（12×9）×（45÷9）=

积是多少？根据什么？第四层次：12×45=540，那么（12×2）×（45×2）=（12÷3）×（45÷3）=

积是多少？为什么？

总之，不同的知识需要不同的变式方法训练，但要点只有一个，那就是本质不变，变化非本质特征，使知识在不同情景下应用，以促进迁移。宗旨也只有一个，就是让学生形成技能，发展能力。

著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”数学教学中开展变式教学，有利于学生对实际问题的动态处理，克服思维的心理定势，实现创新教育。

在小学数学教学中，经常要用到反例：反例，就是故意变换事物的本质属性．使之质变为其他知识，在引导思辩中，从反面突出事物的本质属性的否定例证。这样做有助于学生从正反两方面辩证地思考问题，促进学生全面、深刻地认识事物的内涵与外延，培养学生思维的深度。

一、深化概念的常用手段

小学生的感知具有范围窄小。不精确等特点，很难同时注意几件事物，常会出现“丢三落四”的现象，所以对一个有丰富内涵的概念来说，学生在感知过程中，可能只会抓住感知对象的部分本质特征．而丢掉另外一部分本质特征．形成错误的概念。例如，学习“等腰直角三角形”知识时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”“直角”“三角形”三方面组成+一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至丢了三角形三条边“首尾相连”的性质。此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。另外“等腰”“首尾相连”等。性质亦可如是强调、因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数 学反例，凹显出所学知识中易为学生忽视的本质属性．促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。

二、理解新知的有力工具

数学是一门严密的科学，是由知识点编织而成的稳固的网络系统，当一个新的知识点纳入原有知识结构时，学生常凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，谬以千里”。小学数学教学中．不仅要运用正确的例子深刻阐明新的知识，而且要运用恰当的反例，通过新、旧知识的对比，突出新知识的特点，从而真正理解新知识的本质。

例如，学生在学过整除之后，学习有余数除法，两者相比，对余数的处理以及引起的试商方法是教与学的难点和特点，为突出“余数比除数小”的特点，教学中出示如下反例：

引导学生找错、议错时，强化对有余数的意义的理解。

三、防错纠错的锐利武器学生在解题中经常出现差错且不易发现和纠正-对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他们发现问题、分析错误原因．找出正确的解题方法。

例如，在学生解答工程问题时，可出示一反例：一项工作，甲独做1/2小时完成，乙独做1/3小时完成，如果甲乙两人合作。几小时可以完成? 学生受思维定式的消极影响列出了了(1/2+1/3)的错误算式，这时教师可组织学生讨沦思考、辨别，分析错在哪里，错误的原因是什么?使学生识别题中的假象。有的学生认为：1人独做只需1/2小时或1/3小时，两人合做，难道用的时间还会比1人做的时间长吗?不可能。有的学生说：“工作量÷工作时间之和=合作的工作时间”，从道理上讲不通。经过学生集体讨论，最后都归结到“工作总量÷工作效率之和=合作时间”这个关系式上来，认为甲、乙各自的工效不是1/2和1/3，而是1÷1/2和l÷1/3；，正确地掌握了工程问题的数量关系。

四、否定命题的有效方法 数学中有些问题，若从正面角度讲，学生会感到模模糊糊、理解不透，甚至还会产生错误的判断。为了提高学生认识．判断的能力，教学时应突出反例的作用，来帮助学生掌握否定命题的方法。

例如，学生对命题“两个质数一定互质”，往往肯定为正确的，究其原因是受“两个不同的质数一定互质”的影响，以为“两个质数”理所当然是指“两个不同的质数”，而以为“两个相同质数”就应称作“一个质数”，这种以自己的理解为准的思想方法是 不对的；对此，教师以“

5、5”为例，说明这是“两个质数相加”，而且是“两个相同的质数相加”：这种反例，既能说明错误，又能促进学生思维能力的发展。

五、强调条件的得力措施

学生在学习公式、性质，法则时，常常只注重记忆结论．不注意公式、性质、法则的一些重要条件和适用范围。教学中，只是正面对条件、结论进行讲解、应用，有时不能收到应有的效果，如能根据学生认识状况举些反例，就能使学生留下深刻的印象。

例如。小数的性质“小数的末尾的零可添可去”．学生常会误将条件理解为“小数点后面的零可添可去”，这时教师可举反例“2.005与2.5”就会帮助学生分清条件。

又如，学习了“圆的周长计算公式"C=2πr之后．在应用中可举如下反例：当圆的半径为2厘米时，求半圆的周长。教师出示：半圆的周长为—Zπr/2=2π(厘米)。通过分析，使学生认识到应用公式时要注意公式的使用条件，同时也提醒学生要注意题目条件，缜密地解决问题。

课程标准中指出，数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题、数学知识的这一过程也就是数学建模。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。一方面要求教师帮助学生有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，帮助学生认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识。

新颁布的《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）在阐述总体目标时明确指出：“通过义务阶段的数学学习，使学生初步学会运用数学思维方式去观察、分析现实社会，去了解日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。”在阐述基本理念时强调：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。”由此可见，新的《全日制义务教育数学课程标准》教学立意之高、教学理念之新是以前的教学大纲所没有的。要实现《全日制义务教育数学课程标准》提出的教学目标，除了转变教学观念、改进教学方法以外，还必需在课堂教学的模式上有所突破。只有当教学内容与课堂教学的模式完全吻合时才能发挥其课堂教学的最大效能。以目前的应用题教学为例，我们总感到教学效果不理想，究其原因，有一个不可忽略的因素那就是教材所提供的教学内容老师们很难找到一种与此相适应的课堂教学的模式。从《全日制义务教育数学课程标准》的内容标准中可以发现它所提供的教学内容不但是现实的、贴近学生生活实际的，而且呈现的方式也是丰富多彩的。针对这样的教学内容本人认为在小学数学教学中可以尝试数学建模教学。

一、什么是数学建模

要了解数学建模，首先必须弄清数学模型这个概念，目前在我国对数学模型还没有一个十分权威的定义，但比较一致的认识是：数学模型是对现实世界中的原型，为了某一个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。而数学建模它不但包含数学模型的建立，而且是对数学模型的求解和验证，并用该数学模型所提供的解答来解释实际问题。

从数学建模的概念中可以发现数学建模一般是指解决实际问题，要求学生能把实际问题归纳或抽象成数学模型加以解决，从数学角度讲，数学建模是舍去无关紧要的东西，保留其数学关系，形成数学结构。可以这样讲，只要有数学应用的地方，就有数学建模。

二、小学生数学建模的可行性

当我们刚接触一个新的名词或一个新的概念或一种新的方法时总感到很陌生，也会觉得无从入手。但当我们理解了这些新事物的本质属性以后，我们往往又觉得我们曾似相识，数学建模也是如此，对数学建模这个概念来讲也许是新的，但回想我们的日常教学不难发现我们的学生已经有数学建模的思想或意识，只不过没有从理论的角度把它概括出来而已。例如，在以往教学求比一个数多几的应用题时，经常碰到这样一个例题“小明家养了6只公鸡，养的母鸡只数比公鸡多3 只，母鸡有几只？”在教学此例时老师们都是采用让学生摆、说等教学活动来帮助学生分析数量关系，理解“同样多的部分”，但教学效果并没有我们老师想象的那么好，一般同学们在解释数量关系式6+3=9时，母鸡和公鸡是不分的，极大部分学生都会说6只公鸡加3只母鸡等于9只母鸡。为什么学生不会用“同样多的部分”去描述母鸡的只数，其原因是十分明显的，那就是学生在操作时头脑中已经对现实问题进行简化，并建立了一个有关母鸡只数求法的数学模型，这个模型显然是一种叠加模型，即6+3=9（只），而6表示什么在模型中已经是无关紧要，因为实际问题最终要解决的是数量问题。从以上这个教学实例至少可以说明两点；其一，小学生在解决实际问题时有他自己的数学模型，有他自圆其说的解读数学模型的方法，因此，小学生也有数学建模能力。其二，当学生的数学模型一旦建立了以后，即使他的模型是不合理或不规范的，但外人很难改变他的模型结构。

三、数学建模教学的基本模式

1、为学生提供一个比较详实的问题背景。

要建模首先必须对实际原形有充分的了解，明确原型的特征，只有做到这一点，才能使建模者对实际问题进行简化。由于小学生的生活经历有限，对一些实际问题的了解比较含糊，这不利于学生对实际问题的简化和抽象，所以条件许可的话可以组织学生参与一些相关的社会调查和实践活动，让学生亲身体验生活，亲自经历事情的发生和发展过程，让学生主动获取相关的信息和数学材料，从而培养学生对事物的观察和分辨能力，增强学生的数学意识。以上做法不但能为学生数学建模提供真实可信的感性材料，而且可以推动学生关心社会、了解社会、体验人生。但是，小学生是以学习间接知识为主，所以不可能每教一个应用题都让学生亲身经历实际问题。因此，我们只能用文字或语言来表达实际问题的背景。但在用文字表达或语言表达实际问题的背景时，要克服对实际问题的情境描述简单化和数学材料来源的单一化，目前我们使用的教材，基本上是为提高学生的解题能力而设计。因此，学生的思维能力，推理判断能力、抽象概括能力等基本上是通过做习题来培养的。长期这样训练导致学生数学应用意识薄弱，应用能力下降，实践能力和创新能力被扼杀。为此，我认为教师在提供问题的背景时，首先必须考虑这些背景材料学生是否熟悉，学生是否对这些背景材料感兴趣。为此，我们可以创造性地使用教材，根据目前教材所提供的教学内容，结合学生的生活实际，把学生所熟悉的或了解的一些生活实例作为应用题教学的问题背景，这样可以克服教材的不足，使学生对问题背景有一个详实的了解，这不但有利于学生对实际问题的简化，而且能提高学生的数学应用意识。

2、发挥学生的想象对实际问题进行简化。

儿童有无限的创造力，虽然他们所掌握的数学知识是有限的，但他们的想象力是无限的，他们敢想敢做善于异想天开，这对简化实际问题，构建数学模型是十分有利的。因此，在数学建模过程中教师要善于调动学生主动建模的积极性，千万不能对学生的不合理的归纳或不恰当的抽象，以及不合常情的假设加以批评和指责，恰恰相反要抓住他们闪光的地方加以表扬、鼓励，并通过适度的引导和点拨使学生对实际问题的简化更加恰当。但又要防止教师对问题的理解代替学生的想法，虽然教师的数学知识比学生丰富，但在想象能力方面可以说教师不如学生，所以在对实际问题进行简化时学生有学生的优势，我曾例举过两个数学老师和一个六年级学生同做一道数学应用题的例子，这道应用题是这样描述的：“某市举行篮球选拔赛，报名参赛的球队有20个，比赛采用淘汰制（没有平局），最终决出一名冠军参加省级篮球比赛，问一共要比赛几场？”

教师在简化这个实际问题时先给每个参赛队分别编上号，再根据比赛的顺序把实际问题简化为如下形式：而学生在简化这个实际问题时，抓住“淘汰”这个词进行简化。学生是这样想的：因为是淘汰赛，所以无论是谁和谁比，每赛一场必定淘汰一个队。因此学生把这个实际问题简化为减法。

我们先不说他们最终构建模型如何，从简化的角度讲，显然学生比教师的想法更简便、更明了。为什么学生在这个实际问题的简化中优势比教师明显？除了以上所讲的学生有丰富的想象力外，还有一个不可忽视的因素那就是简化还受到生活经验的干扰，一般说来生活经验越丰富越有利于对实际问题的简化，但反过来生活经验中的定势思维有可能会干扰对实际问题的简化。上例中由于教师受日常比赛模式的影响，对这个实际问题有了定势思维，所以他们在简化这个实际问题时，免不了受比赛顺序的影响，而学生对如何安排比赛顺序没有经验，所以不会受比赛顺序的干扰，他们就能抓住问题的本质“淘汰”进行想象和简化。

3、运用数学知识构建合理的数学模型，并解读数学模型

从以上例子中我们看到了两种不同的简化方式，接下来的工作就是对简化了的实际问题构建数学模型，一般来讲，如果数学模型中所用的数学工具愈简单，那么这样的数学模型愈有价值，先看教师的数学模型： 20÷2=10 10÷2=5（场）

5÷2=2（场）„„1（2+2）÷2=1（场）„„1（1+1）÷2=1（场）

解读模型：10+5+2+1+1=19（场）再看学生的数学模型：20-1 解读模型：20-1=19 从以上两种数学模型分析，教师的数学模型繁琐，采用的数学工具也比学生的复杂，相比之下显然学生的数学模型比教师的价值大。

4、展示和评价数学模型

当学生数学建模完成后，要让学生展示自己的建模思维过程，充分暴露学生的思维过程。同时也要鼓励学生对别人的数学模型进行评价，在展示、评价中比较每个数学模型的优点和缺点。使学生之间相互学习，取长补短。

四、数学模型的应用

数学模型来自生活实际，数学建模的目的是解决实际问题。因此，每个数学模型都应有其本身的应用价值，如果一个数学模型只能解决当前的一个实际问题，那么这样的数学模型就失去了应用价值，同时也就失了去数学建模的意义。就拿以上例子来讲，学生所建构的这个数学模型它适用于任何的淘汰赛，无论是几个球队进行淘汰赛总可以用这个数学模型进行求解，比如“100个球队进行淘汰赛，最终决出一名冠军和一名亚军，那么需要比赛几场？”其数学建模结果是100-2=98（场），当然有些数学模型投入应用后可能发现不合理，那就必须重新建模，重新求解，这一过程可以循环，直到求得满意结果为止。

通过以上分析我们可以发现，在小学数学中实施数学建模教学是完全可行的，通过数学建模能使学生真正体会到数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强数学的学习兴趣，使学生真正了解数学知识的发生过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创造能力。

第五篇：中学数学中变式教学的设计

中学数学中变式教学的设计

姓名：郑丽朋

江泽民主席指出:“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，一个民族缺乏独创能力，就难以屹立于世界民族之林”。人才的培养，已成为民族振兴的关键。学校教育是以课堂教学为主，教学过程既是学生在教师指导下的认知过程，也是学生自我获得发展的过程，同时它还是培养学生创造力的过程。因此，教师如何通过课堂教学，渗透创新教育思想，激发学生的创造欲望，培养学生创造思维能力就成了教学的一个关键。数学正是一门培养创造思维能力的基础课，在数学教学中培养学生的创造思维能力，发展创造力是时代对我们教育提出的要求。为实现这个目标，必须在教学过程中，进行变式教学，让学生从不同的角度，多方位，多层次，去观察、去分析、探索。

所谓变式教学，即教学中变换问题的条件和结论、变换问题的形式，而不换问题的本质，并使本质的东西更全面，使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题。另一方面，在平时的教学中，教师过分强调程式化和模式化，例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求按部就班地解题，不许越雷池一步，要求学生解答大量重要性练习題，减少了学生自己思考和探索的机会。这种灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力，表现出思维僵化及思维的惰性，变式教学可使学生注意从事物之间的联系和矛盾上来看问题，在一定程度上可克服和减少这一现象。

现从以下几种方法阐述，本人在教学过程中如何利用变式教学，培养学生思维的灵活性。

(一)一图多变

例：如图，在以AB为直径的半园内有一点P，AP、BP的延长线交半园于C、D，求证：AP•AC＋BP•BD为定值。

分析：过P作PM⊥AB，P、D、A、M及P、C、M、B共圆 据割线定理知：

AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BM•BA 两式相加得：

AP•AC＋BP•BD＝AM•AB＋BM•AB＝AB(AM＋MB)＝AB2(定值)变題1：当P点落在半园上，原结论是否成立？

分析：由于AP与AC重合，BP与BD重合，故原结论成立。

变题2：当P点落在半圓外，且夹在过A点，B点的切线内，原结论是否成立？

分析：由C、M、B、P共圓知 AP•AC＝AM•AB„„(1)由A、M、D、P共圓知 BP•BD＝BM•AB„„(2)由(1)＋(2)得AP•AC＋BP•BD＝AB2(AM＋BM)＝AB2定值 变题3：如右图，当P点落在半圆外，且在过A或B的半圆切线上，原结论是否成立？

分析：如右图，显然有AB⊥BP、BC⊥AP易证AC•AP＝AB2。变題4：当P点落在半圓外，且在过点A点B的两切线之外时，原结论是否成立？

分析：这时BP的延长线在以AB为直径的另一个半圓上连 结BC、AD且过P作PM⊥AB 由P、C、B、M及P、A、D、M两个四点共圓，这时有 AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BA•BM ∴AP•AC＋BP•BD＝AM•AB＋BA•BM＝AB(AM＋BM)≠AB2不成立，但若把式子改为： AP•AC－BP•BD＝AM•AB－BA•BM＝AB(AM－BM)≠AB2，(定值仍为AB2)从本題的延伸过程中，使学生看到某些因素的不断变化，从而产生一个个新的图形，从这些图形的演变过程中，学生可以找出他们之间的联系与区别，特殊与一般的关系，从而可以使学生收到触类旁通的效果，(二)一题多解

一题多解，实质上是发散性思维，也是一种创造性思维，教师若能在授课中引导学生多角度、多途径思考，纵横联想所学知识，以沟通不同部分的数学知识和方法，对提高学生思维能力和探索能力大有好处，防止学生的思维惰性。

例：设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)除教学参考书中介绍的一种证法外，我们可以引导学生用以下几种方法。证法1：∵a、b、c为△ABC的三条边 ∴a＜b＋c b＜a＋c c＜a＋b

∴a2＋b2＋c2＜a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(b＋a)即a2＋b2＋c2＜2(a b＋b c＋c a)证法2：∵ a、b、c为△ABC的三条边 ∴∣a－b∣＜c a2－2ab＋b2＜c2

同理b2－2bc＋c2＜a2 c2－2ca＋a2＜b2 以上三式相加得

2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＜a2＋b2＋c2 即a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)证法3：据余弦定理：

∴a2＋b2－c2＜2ab

同理a2＋b2－c2＜2bc a2＋b2－c2＜2ca 以上三式相加得：

a 2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)方法4：构造以a＋b＋c为边长的正方形，在此大正方形内分别作边长为a、b、c的小正方形各两个(右图中阴影部分)显然大正方形面积大于６个小正方形的面积和 即(a＋b＋c)2＞2(a2＋b2＋c2)即∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＞2a2＋2b2＋2c2 ∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)通过一题多解的训练，不仅能开阔学生的视野，拓宽思路，而且可以加强了知识的纵向发展和横向联系，可以沟通代数、几何、三角各个方面的知识，克服学生单向思维的定势，使学生感受到数学美的存在，真正体验到“题小天地大，勤思办法多”的乐趣，从而培养了学生创新思维的能力。

(三)一题多变 “变题” 即改变原来例题中的某些条件或结论，使之成为一个新例题．这种新例题是由原来例题改编而来的，称之为“变题”． “变题”已经成为中学数学教学中的热点，每年的“高考”试题中都有一些“似曾相识题”，这种“似曾相识题”实际上就是“变题”

例：已知双曲线两个焦点的坐标为F1(－5，0)F2(5，0)双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为 b2x2－a2y2＝a2b2(a＞0，b＞0)∵a＝3，c＝5 ∴b2＝52－32＝16 所以所求的双曲线的标准方程为16x2－9y2＝144 本题是在已知坐标系下，根据双曲线的定义解决的，而双曲线上任意一点，(顶点除外)与两焦点連线均形成一个三角形，因而我们可将问题与三角形联系起来，把题设条件作如下改变。

变题1：在△ABC中，已知│BC│＝10且∣AB∣－∣AC∣的绝对值等于6，求顶点A的轨迹方程

解:以BC所在直线为X轴,BC的中垂线为Y轴,建立直角坐标系 设A点坐标为(x,y)(y≠0),则

││AB│-│AC││=6 a=3 c=5 则b2 =c2-a2 =16 故所求的双曲线方程为16x2 –9y2＝144(y≠0)在变题1的基础上,再将题设条件与方程有关知识联系起来,可以得到相应的变式如下： 变题2：在△ABC中,a.b.c是角A.B.C所对的边,a=10,且方程x2 –(b-c)x=9=0有两个相等的实数根,求△ABC的顶点A的轨迹方程。

变题3：在△ABC中,a.b.c是角A.B.C所对的边,a=10, 且│Sin B-SinC│=3/5SinA 求顶点A的轨迹方程

上面几种变式是将双曲线的定义与三角形、二次方程的知识有机结合而形成的，如将其与平面几何知识结合，则又有相应的变式：

变题4 ：已知动圆P与定圆F1：x2 +y2+10x+16=0 F2：x2 +y2-10x-56=0都内切，且圆F1、圆F2都在圆P内，求点P的轨迹方程。

解：已知定圆F1：x2 +y2+10x+16=0 圆心F1(-5,0),半径 r1=3 定圆F2：x2 +y2-10x-56=0 圆心F2(5,0),半径 r2=9 则│F1 F2│=10 设动圆P与圆F1、F2都分别相切于A.B，则

│PF1 │-│PF2 │=(│PA│-│F1 A│)-(│PB│-│F2 B│)= │F2 B│-│ F1 A│ =9-3 =6<10= │F1 F2│

∴点P的轨迹是以F1 F2为焦点的双曲线的右支 ∵2a=6,2c=10, b2 =c2-a2 =16 ∴点P的轨迹方程为16x2 –9y2＝144(x≥3)将此题与2001年高考题第14题：双曲线16x2 –9y2＝144的两个焦点F1、F2点，点P在双曲线上，若P F1⊥PF2则点P到X轴的距离为＿＿＿＿，进行组合可得一个综合性问题：

22变题5：已知双曲线16x –9y＝144的右支上有一点P，F1、F2分别为左、右两焦点，∠F1PF2＝θ，S△F1PF2＝S(1)若已知∣PF1∣·∣PF2∣＝32试求θ(2)S＝16试求θ

(3)设△F1PF2为钝角三角形，求S的取值范围

由上述例题可见，一题多变，由浅而深，由易入难，学生们的课堂气氛紧张而又活跃。在平时的教学中，可以说有较多的题型都可以创改，如条件的改变、结论的延伸、语言的变化等等。若能充分挖掘例、习题的潜在功能，定能提高学生综合应用知识能力及解题的技巧和能力，培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性，减轻学生学习负担。(四)多题一解：

平时常碰到一些题目，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同，因而它们可用同一种方法去解答。让学生训练这样的题组，可使他们不迷恋表面现象，而是透表求里，自觉地注意到从本质上看问题，必然导致思维向深刻性发展。题1：已知是等腰三角形BCD的底边CD的延长线上一点，求证 ：AC·AD＝AB2－BC2

分析：在△ABC和△ABD中由余弦定理 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA ∵BC＝BD ∴AC、AD是方程x2－(2AB·cosA)＋AB2－BC2＝0的两个根，据韦达定理知AC·AD＝AB2－BC2

题二：设P是正△ABC外接圆弧上

任意一点

求证：PB＋PC＝PA PBPC＝PA2－PB2 分析：∵∠BPA＝∠APC＝60º 在△ABP和△APC中，由余弦定理知

AB2＝PA2＋PB2－2PA·PB·cos60º AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos60º

∵AB＝AC∴知PB、PC是方程x2－PA·x＋PA2－PB2＝0的两根椐韦达定理PB＋PC＝PA PB－PC＝PA2－PB2 题三：设P为定角∠BAC的平分线上一点，过A、P两点任作一圆交AB、AC于M、N，求证AM＋AN为定值

证明：设∠PAM＝∠PAN＝a 在△AMP和△ANP中，由余弦定理 PM2＝AM2＋PA2－2AM·PA·cosa PN2＝AN2＋PA2－2AN·PA·cosa 由于PM＝PN 所以AM、AN是方程x2－(2PA·cosa)x＋PA2－PM2＝0的两根,由违达定理得: AM＋AN＝2PA•COSa(定值)以上三例是用同一种解法，从 实践了从事物之间同与异矛盾的统一中认识事物的本质，因而培养了学生思维的深刻性。

(五)一题多问

在立体几何的教学中，对正方体A B C D－A′B′C′D′提问题，可以有以下九个问题： ① Ａ到ＣＢ的距离。

② Ｂ与平面AB′C间的距离。③ A′D到B′C的距离。④ A′B′与AC′间的距离。⑤ AB与平面A′CD之间的距离。⑥ AC与A′D所成角的大小。

⑦ AB与平面AB′C所成角的大小。

⑧ 截面A C C′A′与B D D′B′所成角的大小。⑨ 面AB′C与平面A′B′C所成角的大小。

结果，引起学生热烈的讨论，课堂气氛活跃。象这样的变式训练，符合学生的认识规律，既可以培养学生思维的灵活性、深刻性，又提高了课堂教学效率，增大了课堂教学容量。教学实践表明，利用以上方法，进行多变、多问、多解、多用相结合的教学方法，符合学生的认识规律，可以提高学生的学习热情，激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性和主动性。变式训练，避免学生死记硬背，培养举一反三的能力，帮助学生走出题海战术，减轻学生的负担。更重要的是，长期的变式训练，可以提高学生的数学思维品质，提高学生理解、探索和应用的能力，对学生今后独立工作习惯的形成有很大的益处。