《课标解读》第六章 关于《标准》中的10个核心概念

第一篇：《课标解读》第六章 关于《标准》中的10个核心概念

《课标解读》第六章 关于《标准》中的10个核心概念

稿源：2011版《义务教育数学课程标准解读》

作者：2011版课标解读专家组

第六章

关于《标准》中的10个核心概念

在总结前期实验经验的基础上，通过广泛听取各方意见和建议，此次《标准》提出了10个核心概念。这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

核心概念有何意义呢？首先应该注意到，这些核心概念的内涵在性质上是体现的学习主体——学生的特征，它们涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。

第二，《标准》将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者与课程内容紧密结合的。从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。

第三，深入一步讲，核心概念本质上体现的是数学的基本思想。数学的基本思想指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。这些思想是数学学习中的重要目标。不难看出，核心概念对数学基本思想的体现是鲜明的。比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。

第四，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，《标准》就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。综上所述，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。

第一节

数感

一般人提起数感，总感到它是比较玄乎的。也有人质疑，像数感这种因人的感觉而异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗？一些老师也感到数感作为课堂教学目标不好把握。这些情况说明，我们有加强对数感认识的必要。

一、两个实例给人的启示

实例一： 2010年2月25日，国家统计局公布的《2009年国民经济和社会发展统计公报》显示：我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实际状况严重不符。面对公众质疑，国家统计局召开紧急会议，讨论统计数据来源是否真实可靠？统计方法是否科学？舆论提出的一个问题是：不论统计部门统计方式是否科学，为何公众对房价的感觉与统计结果是大相径庭的呢？此例说明数感的确是存在的，它与公众的社会生活息息相关，并已成为现代社会公民所具有的基本数学素养的一部分。

实例二：一老师在教学指数幂的意义时，抛出一个现实情境问题：将一张纸对折32次，它的厚度有多大呢？老师给出的结论使学生在感到惊讶之余，更表示出强烈的质疑。该问题的结论是：其厚度可以超过世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。毫无疑问，这样的问题会像磁石一样，紧紧吸引学生的注意力，使学生产生一种“不见结果不信服”的学习内驱力。此例就其实质看，教师在这里利用的是，学生基于实际操作（将纸对折若干次）所建立起来的对

的直观感觉与数学科学计算得出的结果之间的巨大反差，由此创设出一个生动的极富吸引力的学习环境。这一实例说明，学生在学习数学概念时，其固有的数感不仅在起作用，而且老师若能适时地利用学生原有数感的特点，使其形成课堂教学中的认知冲突，则能大大提高课堂教学的效率。

二、对数感的基本认识 “数感”一词的英文表述为“Number Sense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等等。那么，反映在数学课程中的数感基本内涵究竟应该如何理解呢？事实上，在这一点上人们的认识仍然是多元的。

1.一些关于数感内涵的说法。

因篇幅所限，这里不一一详述国内外关于数感的种种说法，只将其做大致的梳理。归纳成这样几类：其一，认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；其二，认为数感与语感、方向感、美感等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别（鉴赏）能力；其三，认为数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养；其四，认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。

2．《标准》对数感的表述

课标实验稿首次明确提出了培养学生数感，但未对数感内涵做解释，而是采用外延描述的方式，提出“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”

在新课程实验中，广大第一线教师在课堂教学实践中对培养学生的数感做了许多有益的探讨，也形成了不少研究成果。此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述。《标准》的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

将数感表述为感悟不仅使这一概念有了较大的包容性，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。在前期课程实施中，人们对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中教师也常常有“虚无缥缈”之感，找不到教学支点。将数感表述为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。“‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。‘悟’是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。‘感悟’是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。”（史宁中，吕世虎，《对数感及其教学的思考》数学教育学报，2006年2期）

《标准》将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。

关于数与数量。在小学低段，儿童对数的感悟是从数数学习辨认各组实物对象的多少开始建立的。这是一个逐渐展开的过程。儿童对多少的感悟离不开具体的情境，这样他就需经历一个察觉实物集合中所包含的物体数量多少的过程，从而积累并形成对量的多少的感知。学习用数表示多少的第一步就是数数，即用自然数表示多少。在数数的过程中，他们能把数量词与其代表的少量物体联系起来，逐渐过渡到数大量的物体；与此同时他们会形成这样的经验：数数的顺序不会改变数的结果；数的过程中下一个数比前一个数多一；数数中的最后一个数不但代表这个数，也代表了这组物体的总数（事实上就是序数与基数相等）。随着学习年级的增高，学生还会经历更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数„„，并形成对数的各种表征方式，比如，他们会知道1/4，25%，0.25是同一个数的不同表示。对数与数量建立起来的数感常常与实际情境关联，比如对数量单位的认识，提起教室的长度，应该想到米，提到两个城市的距离则应该想到公里（千米），同样，一个小学生会质疑一个宣传牌中所说“7000平方米森林中生活着两只东北虎”是否成立？结合实际情境，学生的数感起到了判断的作用（本文开始的实例一也说明了这一点）。

关于数量关系。这是培养学生数感的另一个层次。不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后，他就具备了理解一定数量关系的基础。比如学生在学习分数概念后，会建立起整体与部分之间关系的感悟，依赖于具体情境或图形，会分辨两个分数的大小，“随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如‘1/2+3/8’一定小于1，因为每个加数都小于或等于1/2。”（《美国学校数学教育的原则和标准》，蔡金发等译，人民教育出版社，2004年12月，第33页）。随着年级的升高和数系的扩展，学生对数量关系的感悟会逐步提升，比如对有理数的大小，以至于一些函数所表示的数量关系的感悟。学生对一些相对综合，而显得复杂一点的数量关系的感悟是常常伴随着具体的问题情境而展开的。比如，具有一定数感的学生坐上出租车，他不会对车上的计程器熟视无睹，他会关注跳动的数码，并对数码变动的间隔时间、出租车已行路程、起步价以及每公里价、到达目的地的路程等等数量及相互关系在头脑中作出反应，并形成判断。这里的数感是对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。

关于运算结果估计。这是培养学生数感很重要的一个方面。数的运算是数学课程中所占学时较多的内容，过去，这一部分内容的学习我们更多的是关注运算法则的掌握和运算技能的训练，其实通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感也应该成为课程教学的目标。所以，《标准》在课程内容中特别是“数与代数”部分多处提到估计及估算的要求。如，“在生活情境中感受大数的意义并能进行估计”，“能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（一学段）；“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”，“会根据给出的有正比例关系的数据在方格子上画图，会根据其中一个量的值估计另一个量的值”（二学段）；“能用有理数估计一个无理数的大致范围”（三学段）。其实，对运算结果的估计涉及的因素很多：对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等等，所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。

三、关于学生数感的培养

数感既然是对数的一种感悟，它就不会象知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。

1、重视低段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系

在教学中培养学生的数感在第一学段是重点。《标准》在第一学段目标中明确指出：“在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。”这一学段教学要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等都是较好的方式。比如刚入学的儿童在认识10以内数的时候，应该通过实数、图片等，将数与物对应起来；以后在认识20以内、100以内的数时，可以对具体实物通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对

十、百等数量大小的感觉，如数100粒黄豆、100根小棒，估计教室里的学生人数，估计一堆水果的数量等。我们还可以就同一个数在实际生活中的多种意义所表现的数量来加强对数的感知。比如1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？类似这样的问题可让学生举一反三。

应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感。比如在二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义，用负数表示日常生活的问题，建立起对负数的数感。在第三学段，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。

2、紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感

现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围世界，正如《标准》所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

比如，让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮编号、汽车牌照号、身份证编号的规律和意义。如下的一个问题更是能让学生感到，建立良好的数感，对数字信息作出合理解释与推断的重要：火车票上车次号有两个含义，一是数字越小表示车速越快，1~98次为特快车，101~198次为直快车，301~398次为普快车，401~598次为普客车；二是单数表示从北京开出，双数表示开往北京，现在有一张车票的车次号为122，它能给你什么信息？

3、让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验

在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益。比如，组织学生参加调查活动，让学生调查：从你家到学校的路程大约有多远？你上学大约要多少时间？教室面积有多大？学校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何测量一张纸的厚度？还可组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用数来解决这些具体问题等等。这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角度去感悟数，丰富自己的数感经验。

第二节 符号意识

符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的“运算”。针对这种“运算”的算法是形式化的，“几乎是自动化的，不需要每次都从头做起”。（迪多内《论数学的进展》，载《数学史译文集》上海科技出版社，1980年版，126页）；此外数学符号还具有简略性和通用性等特点。正因为如此，数学符号在数学发展中起着举足轻重的作用。法国数学家让﹒迪内多在《论数学的进展》一文中将“引进好的符号”作为促进数学发展的重要原因之一。学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培养也成为重要的教学目标。

一、对符号意识的认识

从一般意义上说，所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统。符号意识（Symbol sense）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。

数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。比如，在数与代数中，数来源于对数量本质（多与少）的抽象，而数字就成为能够以大小排序的符号。与数的符号表示一样，关于数的运算知识也是从生活实践中加以抽象，逐渐形成法则。这一过程中很重要的一步是使用字母这一符号来表示抽象运算，这使得“可以像对‘数’那样对‘符号’进行运算，并且，通过符号运算得到的结果是具有一般性的”（史宁中《数学思想概论》，第一辑，地34页）。这表明，数学符号不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。

二、《标准》中符号意识所包含的内容

此次标准修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这两个称谓就其英文表述来看没有变化，而中文表述将“感”改为“意识”应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行运算、推理，得到一般性的结论。在这个过程中，数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用“意识”更准确些。

《标准》对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会： 1.能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律

《标准》中的这个要求针对的是符号表示，它有两层意思：一是能够理解符号所表示的意义；二是能够运用符号去表示数学对象（数、数量关系和变化规律等）。

每一个数学符号都有它特定的含义，如、、、分别表示特定的运算意义，、、﹤、﹥则表示数学对象之间的某种关系。使学生理解符号的意义是数学学习中的最基本的要求，也是符号意识的最基本要求。由于数学符号是一种特殊的语言，对数学符号的理解也有其固有的特点和要求：因为符号具有一定抽象度，对符号的认识和理解就不应是形式上的，而应是实质上的，即应从抽象的符号本身看到其所表征的准确的数学意义；由于符号具有压缩信息的功能，所以对符号的意义的理解就不应是片面的，而应是全面的、完整的、特别将符号语言转换为我们所熟悉的生活语言时，应该抓住其数学本质予以解读和表征；由于数学符号具有概括性和一般性特征，所以对它的认识和理解又不应是孤立的、僵化的，比如应注意符号与符号之间的关联（如“ ”与“ ”之间的关系），也应注意同一符号的多重意义的理解（如 既可表示矩形面积与长、宽关系，也可表示平行四边形面积与底、高的关系，也可表示路程与时间、速度的关系，也可表示总价与单价、数量之间的关系，还可表示半圆周长与圆周率、半径的关系，„„）。

对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”。运用符号表达数学对象就是“用”符号的重要方面。这里的数学对象主要指数、数量关系和变化规律，它们在各个学段都有自己的特定的要求。关于用符号表达数学对象这里着重指出两点：一是要注意义务教育阶段整个学习过程中，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂，由相对具体到相对抽象的过程。比如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表示数字运算关系，其抽象度显然不及用字母代替数及用字母表示数量关系，后者对前者来说是一个阶段性的变化。而用符号关系式或一定的数学模式语言去表示特定的数学变化规律则又更为抽象和复杂。这表明关于数学表达的符号意识的发展是一个逐渐积累变化的过程。二是数学符号的表达是多样化的，比如关系式、表格、图像等等都是表达数量关系和变化规律的符号工具，有时，即使是同一数学对象也可采用多种符号予以表达。而多种符号表达方式之间也是可以转换的。符号表达上的这些特点值得我们在教学中关注。

比如这样一个例题：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。

通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。

2.知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性

这一点很重要。从某种意义上说这正是符号意识作为一种“意识”需要强化的。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。由于运算和推理是数学活动最重要的基本形式，所以《标准》的这一要求是希望在各学段学习中，都加强学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练，这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等。

3.使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式

数学表达是学生在解决具体问题时必须采用的方式，数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达。通过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力成为当今课堂关注的目标。

比如这样一个问题：“某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的关系。”显然，购书数量与付款金额之间是呈函数关系（分段函数），为了解决问题的方便，我们可以分别采用函数关系式、列表、作出图象等多种符号表达方式来表示这一具体问题。发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”，这种思考是数学抽象、数学推理、数学模型等基本数学思想的集中反映，是最具数学特色的思维方式。

举一个简单的例子：“房间里有4条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。

一、关于学生符号意识的培养

1.在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识 概念、命题公式等是数学课程内容中的重要组成部分，它们常常是数学教学的重点，而它们又和数学符号的表达和使用密切相关。正因为如此，《标准》在学段目标和各学段内容标准中都提出了具体要求。如：“理解符号﹤、=、﹥的含义，能使用符号和词语描述万以内数的大小”，“认识小括号”。（一学段）；“认识中括号”“在具体情境中能用字母表示数”，“结合简单的时间情境，了解等量关系，并能用字母表示”，“能用方程表示简单情境中的等量关系”（二学段）；“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示”，“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识”（三学段）。

2.结合现实情境培养学生的符号意识

一方面，尽可能通过实际问题或现实情境的创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达；另一方面，对某一特定的符号表达式启发学生进行多样化的现实意义的填充和解读。这种建立在现实情境与符号化之间的双向过程，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。3.在数学问题解决过程中发展学生的符号意识

符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动用符号的意识，因此，符号意识的培养仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆是难以达到应有的效果的。引导学生经历发现问题，提出问题（这实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题、解决问题（这实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在这一过程中积累运用符号的数学活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质。逐步促进学生符号意识得到提高。

第三节 空间观念

一、空间观念的含义与意义

几何学是最早成为人们以课程的形式进行学习的科目。19世纪以前的两千多年里，欧氏几何一直在课程中占有统治地位，然而，随着几何学自身的发展、数学在社会发展中的应用，几何作为课程的地位、价值的认识也在发生着变化。二十世纪以来，关于欧氏几何作为中小学课程内容的有关争论从未间断过。但是，无论争论如何，空间想象力却是被较为一致的认为是数学诸多能力中的重要组成部分。空间观念作为空间想象力发展的基础受到普遍的重视，也成为我国义务教育阶段几何课程的主要目标之一。

心理学把人对头脑中已有表象进行改造，创造出新形象的过程称作想象。关于空间想象力的含义，林崇德（1991）指出，中学生的空间想象包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给与具体几何意义的想象解释或表象能力上。

曹才翰提出，空间想象能力就是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。同时他指出，空间想象能力对初中生来说，这种要求太高了，所以义务教育阶段教学大纲中只提出培养学生的空间观念。空间观念至少反映了如下的5个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出或画出图形。全美数学教师理事会（NCTM）指出，空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知；对于2—3维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面[1]。

关于发展学生的空间观念的意义，数学家和数学教育研究者都有相关的描述。数学家阿蒂亚（M．Atiyah）认为，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。它们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的 [2]。

荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔（Freudenthal，1989）指出，几何是对空间的把握——这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。

全美数学教师理事会在《美国学校数学课程与评价标准》提到，几何有助于我们用一种有序的方式表示和描述我们生活的现实世界，将帮助学生描述和弄清世界的意义。对于学生来说，发展牢固的空间关系的观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。几何的模型提供了一个透视图，从中，学生可以分析和解决问题，而且几何的解释还可以帮助学生形成一个抽象的（符号的）表示，使人更容易理解。的确，一方面，空间与人类的生存密切相关，了解、探索和把握我们生活的空间能使人类更好地生存、活动和利用空间。另一方面，空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造，因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先要对自己的创造物进行想象，然后可能是模型的构建，这里的模型包括图形和实物，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象和创造的探求过程，也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换，利用直观进行思考的过程。空间观念和空间想象力在这个过程中起着至关重要的作用。

基于这样的分析与认识，我们可以更好地理解《标准》把“空间观念”作为义务教育数学课程的核心概念的缘由与意义。

二、《标准》中空间观念所包含的内容 《标准》中没有具体给出空间观念的内涵，而是从是否具有空间观念的几个表征出发对其进行描述。《标准》是从四个方面加以刻画描述的：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

《标准》对空间观念的描述，是在义务教育阶段通过图形与几何内容的学习对学生在这些方面的要求以及需要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务。

1.根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体 有研究表明，三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径。“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”的过程，是三维图形与二维图形的相互转换的基本表现形式，这是一个充满观察、想象、比较、推理和抽象的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解与把握。

由实物或几何体再到视图，经历了抽象以及从三维图形到二维图形转化的过程，而由视图到几何体或实物，则实现了从二维图形到三维图形的转换。此外，几何体与侧面展开图、几何体与用平面去截所得的截面等，都蕴含着三维图形与二维图形的相互转换。

画出物体的三视图，就需要在头脑加工的基础上，把观察到的经过了想象、抽象后的再现出来的纪录下来，使空间观念从感知不断发展上升为一种可以把握的能力。

2.想象出物体的方位和相互之间的位置关系

方位与现实生活是密切联系的，也是个体对空间把握能力的一个具体的体现，对方位的感知和图形相互之间位置关系的把握，是表现空间观念的一个重要的方面。

“想象物体的方位和相互之间的位置关系”，在不同的问题情境中有不同的想象的水平要求。在给出包含四个方向并注明中心点的方位结构中判断某一物体的相对于中心的方位，是最基本的层次；只给出一个方向（如北），判断物体之间的位置关系，就需要学生更复杂一些的想象力了，同时推理也是必要的。

例如，下图是一张动物园的示意图，根据图中所标的位置回答下列问题：

[1] 全美数学教师理事会著．美国学校数学课程与评价标准[M]．北京：人民教育出版社,1994

[2] 「英」M．Atiyah著．数学的统一性[M]．南京:江苏教育出版社，1995．12

（1）熊猫馆在猴山的哪个方向上？（2）大象馆在海洋馆的哪个方向上？

进一步可以再改变观测点，描述与其他物体的相对方位。

3.描述图形的运动和变化

图形的运动既有形式上的（平移、旋转、翻折、放大、缩小等），也有运动的方向上的。对图形的运动和变化的描述，更具有综合性，它要求对相关知识和内容的理解，同时需要观察、想象并再现图形的运动和变化过程，无论是语言表述还是图形刻画这个过程，也同样是把空间观念从感知推向一种可以把握的能力。

例如，描述从学校到家的路线示意图，并注明方向及途中的主要参照物。学生需要回忆实际的路线，想象它经过的各个环节的方向，学生也可以借助实物模拟路线，进一步画出路线的简单示意图。这其中涉及到的方位实际上比单纯描述物体的方位又复杂了一些，它是一种综合的运用。

4.依据语言的描述画出图形

这里所要求的想象空间是很开放的，可以是具体的图形，或具有某种大小或位置关系的一组图形，等等。当有人向你描述你看不到的情境时，你需要根据他人的描述构建符合原形的直观想象，阐述和倾听都需要在逻辑上对图形关系进行分析和操作，准确地反映出描述的结果，体现了操作者对其中涉及的图形的关系等的把握的能力，其核心也是空间观念。

三、空间观念的培养

空间观念的培养，是一个长期的经验积累的过程，因此对教学的要求有别于具体的几何知识，但它又是在几何知识的学习中体现的。NCTM（全美数学教师理事会，1989）指出，发展学生的空间观念，儿童必须具有许多经验。例如，几何关系的要点，在空间中物体的方向、方位和透视观点；相关的形状和图形与实物的大小，以及如何通过改变大小来改变形状。这些经验要依靠儿童以下几个方面的能力，如会运用象“上面”、“下面”和“后面”等一些词语，画出一个图形旋转900或1800以后的图形，作图、折叠，让儿童想象、绘制和比较放在不同位置上的图形，等等，这些活动将有助于发展他们的空间观念。

事实上，在图形与几何课程的学习中，还是可以利用很多的素材和机会发展学生的空间观念的，主要是我们如何来认识和利用这些素材和机会。

1.促进空间观念发展的课程内容

《标准》中不仅将发展空间观念作为核心概念和目标，同时，在三个学段都重视了发展学生空间观念的内容的设置，这些在本书的内容分析部分都有提及。

例如，第一、二学段的“图形与运动”、“图形与位置”中的大部分内容的学习，都是发展学生空间观念的很好的素材；第一、二学段中的从不同方向观察物体、运用基本图形拼图，以及基本几何体的展开图等，也都是旨在发展学生空间观念的课程内容。

在第三学段，“图形的变化”中的各种图形的运动，尤其是“图形的投影”内容的安排，其核心目标也是发展学生的空间观念。

事实上，空间观念的培养在图形的认识以及图形的证明过程中，都会有所体现，因为对几何图形的认识、证明中对图形特点的观察等，也需要想象，也有根据他人的描述画出图形的过程，因此，很好的认识空间观念的含义与意义，在图形与几何内容学习中抓住典型内容，利用一切可以利用的学习材料，就可以将空间观念的培养贯穿在这个学习过程中。

2.促进空间观念发展的教学策略

（1）现实情境和学生经验是发展空间观念的基础 空间观念的形成基于对事物的观察与想象，而现实世界中的物体及其关系是学生们观察的最好材料，学生的已有经验也是观察、想象、分析的基础，因此教学中，结合学生们熟悉的现实问题情境，是发展学生空间观念的有效策略。

例如，绘制学生自己房间或学校的平面图；描述从家到学校的路线图；描述观察到的情境的画面；描述游乐园中各种运动的现象等等，这些问题既是他们生活中熟悉的，又是在数学学习中需要重新审视和加工的。平时看到的东西，要进行回忆，在头脑中想象、加工之后的再现，已经是数学的抽象了，这其中即渗透了空间观念发展的元素了。

无论是教材的开发者还是教师的教学设计，开发和利用现实世界中丰富的资源，城市的建筑与立交桥，乡村的院落与山水，我们生活的广阔空间和其中的大量实物，为我们提供了一个鲜活的大课堂，供我们观察、想象与描述。

（2）利用多种途径发展学生的空间观念

从《标准》对空间观念的描述和有关的课程内容的分析中，我们能够感觉到，发展学生的空间观念应该是有多种途径的。生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。

教学中教师应结合教学内容恰当地安排学习的活动，创造条件使学生有机会从事上述的活动来发展空间观念。

例如，我们可以在小学高年级安排这样的折纸活动：将一张正方形的纸对折后，再对折一次，然后用剪刀剪出一个小洞。再把纸完全展开。请画出或从下面四个图中选择它的展开图。

（3）在学生的思考、想象过程中发展空间观念

空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要不断的经验的积累、想象力的丰富，因此教学中要为学生提供足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析。

这其中还有观察与想象的相互关系问题。观察与描述往往是空间观念发展的基础，而想象与再现则是更高一层次的空间观念的表现。

如果在教学中，我们提出这样的问题：如图（1）所示，桌子上摆着三件物品，图（2）是从上面看到的物品的图片，其中的a、b、c、d和e五点表示从四周观察三件物品的不同地点。请判断下边的一组图分别是从a、b、c、d和e五点中的哪一点看到的。

对于学生来讲，可能直接的观察与想象是有些困难的，有的教师会模拟地创设这样一个情景，让学生直接去观察具体物体的摆放场景，然后进行判断。这样做确实能够降低纯粹靠想象做出判断的难度，但同时也失去了学生想象的机会。因此，教师不妨让学生先想一想，尝试着做出判断，然后再实际的看一看，在实际看到的和想像的之间进行比较，这样将由助于学生积累想象的经验，提高对物体之间关系进行把握的能力，发展学生空间观念。

第四节

几何直观

一、对几何直观的认识

顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。爱因斯坦（Einstein）曾说过一句名言：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”（爱因斯坦文集，第一卷，许良英、范岱年译，商务印书馆，1976，284）

“数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本、主要研究对象。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注如何研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在数学—几何—图形这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。这正如20世纪最伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中所谈到的，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。

从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相联。事实上，很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，以至于高中的解析几何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面加深了对图形性质的本质认识，另一方面对几何直观能力也是一种提升。由此也可以看到，在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。

几何直观与“逻辑”、“推理”也是不可分的。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么？而是通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。

有些数学研究的对象是可以“看到的”，可以“触摸的”，而很多数学研究对象是“看不见，摸不着”的，是抽象的，这是数学的一个基本特点。但是，数学中那些抽象的对象绝不是无根之木、无源之水，它的“根和源”一定是具体的。例如，我们看不到“七维空间”，但是，我们知道“颜色可以由七个基色组成：红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”，由不同成分的七个基色组成一种颜色，这样，“由七基色组成颜色”就是理解“七维空间”的“可以看到的源”，“红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”七个数就可以决定一个颜色。当然，在颜色中，不能取负值，颜色空间不是七维空间，它仅仅是帮助我们联想的“实物”和基础。在数学中，需要依托“一、二、三维空间”去想象和思考“高维空间”的问题，这就是几何直观或几何直观能力。

几何直观在研究、学习数学中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望数学教师重视它，在日常教学中帮助学生不断提升这种能力。

二、《标准》中的几何直观

在高中数学课程标准（试验稿）中，也关注了几何直观：“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。”在义务教育数学课程标准中，把几何直观作为数学课程标准10个核心概念之一，这是一个进步。《标准》明确指出“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

在数学课程中，几何内容是很重要的一部分。关于几何课程的教育价值，最主要的应该有两个方面：一方面，几何能培养学生的逻辑推理能力；另一个方面，它也能培养学生几何直观能力。但目前，在部分教师中对此在认识上存在着一定的局限性，在几何教学中他们仅仅重视培养逻辑推理能力，忽视了对学生几何直观能力的培养。我们应全面地理解几何教育价值，重视几何直观。

在教学和指导学生学习时，认识和理解“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”这一点是非常重要的。它表明，我们不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。

正如前面所指出的，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆得到的结果。总之，图形可以帮助我们把困难的数学问题变容易，把抽象的数学问题变简单，对于数学研究是这样，对于学习数学也是如此。学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力。这种几何直观能力能使我们更好地感知数学、领悟数学：数学逻辑和数学直观对数学都是重要的，他们也是相互交织、关联的，直观中有逻辑，逻辑中有直观。

在义务教育阶段，许多重要的数学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征（如小学的分数概念、路程问题等），学会从两个方面认识数学的这些对象是非常重要的，即数形结合是认识数学的基本角度，与其说是方法，不如说这是基本要求。从这一点看，不注重数形结合在数学上就没有学明白。

三、几何直观的培养

1.在教学中使学生逐步养成画图习惯

在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。

2.重视变换——让图形动起来

几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是“对称”图形，例如，球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等，都是“不同程度对称图形”；另一方面，在认识、学习、研究“不对称图形”时，又往往是运用这些“对称图形”为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。

3.学会从“数”与“形”两个角度认识数学

在前面的论述中，多次反复强调了这一点，数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。

4.掌握、运用一些基本图形解决问题

把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了上面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。

第五节 数据分析观念

一、数据分析观念的意义及含义

也许有人可能会提出这样的问题，统计不就是计算平均数、画统计图吗？这些事情计算器、计算机就能做得很好，还有必要花那么多精力学习吗？确实，在信息技术如此发达的今天，计算平均数、画统计图等内容不应再占据学生过多的时间，事实上它们也远非统计的核心。在义务教育阶段，学生学习统计与概率的核心目标是发展“数据分析观念”。一提到“观念”，显然它就绝非等同于计算、作图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的对一组数据的“领悟”，由一组数据所想到的、所推测到的；以及在此基础上，对于统计与概率独特的思维方法和应用价值的认识。

在《标准》中，将数据分析观念解释为：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”

在这段表述中，点明了两层意思。第一，点明了统计的核心是数据分析。“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术”[1]。第二，点明了数据分析观念的三个重要方面的要求：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。这三个方面也正体现了统计与概率独特的思维方法。

二、对数据分析观念要求的分析

我们来对数据分析观念上述三个方面的要求做一简要分析： 1.体会数据中蕴涵着信息

统计学是建立在数据的基础上的，本质上是通过数据进行推断。义务教育的重要目标是培养适应现代生活的合格公民。而在以信息和技术为基础的现代社会里，充满着大量的数据，需要人们面对它们做出合理的决策。因此，数据分析观念的首要方面是“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息”。不妨看《标准》中的一个例子。

[案例1]（《标准》例19）

新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。[说明] 借助学生身边的例子，体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一反三。教学中可作如下设计：

（1）全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他的原则。

（2）鼓励学生讨论收集数据的方法。例如，可以采用一个同学提案、赞同举手的方法；可以采取填写调查表的方法；可以全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等等。必须事先约定，每位同学最多可以同意几项。

（3）收集并表示数据，参照事先的约定决定购买水果的方案。

要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，购买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原则。

在这个例子中不难看出，首先需要设计合适的例子，鼓励学生收集数据、整理数据、分析数据，从而做出决策和推断。并在此基础上，体会数据中蕴涵着信息，体会数据分析的价值。

2.根据问题的背景选择合适的方法

“统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果。„因此，统计学对结果的判断标准是“好坏”，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术”[2]。为了使学生对此有所体会，《标准》提出了数据分析观念第二方面的内涵——“了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法”。这里不妨看一下《标准》中对于案例38的说明：“条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势”，因此需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。总之，“统计学对结果的判断标准是‘好坏’” [3]，而不是“对错”。

3.通过数据分析体验随机性

我们知道，推断性数据分析的目的是要通过数据来推测产生这些数据的背景，称这个背景为总体。我们假定总体是未知的，我们的目的是通过样本来推断总体。而在调查或者实验之前，我们不可能知道数据的具体取值。也就是说，数据可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一样的，这就是数据随机性的由来。

在《标准》中将“通过数据分析体验随机性”作为了数据分析观念内涵的第三方面。数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。举一个《标准》中的例子（例40）：袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。再举一个案例（例22），学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，这可以让学生感悟数据的随机性；更进一步，还可让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息，比如，通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间。

在本小节，我们主要分析了数据分析观念的内涵，关于数据分析观念的培养，我们在后面的章节中会有较多论述，这里不再赘述。

第六节

运算能力

运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能。《标准》在学段目标的“知识技能”部分，对各学段运算分别提出了明确的要求：

第一学段：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的量；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。

第二学段：体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数；掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。

第三学段：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。

运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，成为不可或缺的内容。

《标准》所提出的课程目标中的很多方面，如：获得“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力等，都与运算的学习有关，运算对实现课程目标发挥着重要的支撑作用。

一、对运算能力的认识

根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。

《标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简捷。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。

《标准》是在总目标的四个方面之一的“数学思考”中提出运算能力的：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维。”这说明运算能力是数学思考的重要内涵。不仅如此，运算能力对《标准》在总目标中提出的其他三个方面——知识技能、问题解决和情感态度的目标的整体实现，同样是不可缺少的基本条件。

二、运算能力的特征

运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习而逐步形成的。要使学生通过各种运算和对代数式、方程、不等式的变形以及重要公式的推导，通过用概念、法则、性质进行简单的推理，发展逻辑思维能力。

运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。

首先要保证运算的正确，为此，必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。如前所述，在每一学段，《标准》对运算提出的要求，都是和相关的数学知识一并提出的。

然后，在适度训练，逐步熟悉的基础上，清楚地意识实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐渐减少在实施运算中，思考概念、法则公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算的顺畅，力求避免失误。

一题多解和多题一解出现在运算过程中是十分普遍的，即一般性与特殊性往往同时出现在实施运算的过程中，一题多解体现了运算的灵活性，多题一解则体现了运算的普适性。一题多解和多题一解的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理和简洁。

要充分重视估算。《标准》在每个学段的学段目标和内容标准中，都强调了估算，提出了具体的要求，配备了一定数量的案例。

第一学段：在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（案例3）；能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（案例6）。第二学段：理解估算的意义。结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（案例23）；在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（案例26，案例27）；会用方格纸估计不规则图形的面积（案例33）。第三学段：掌握必要的运算（包括估算）技能；能用有理数估计一个无理数的大致范围（案例47）；经历估计方程解的过程（案例52）；会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

估算是重要的运算技能，进行估算需要掌握一定的方法，需要积累一定的经验，需要避免出现过大的误差；估算又是运算能力的特征之一，进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据，需要使估算的结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。

运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。因此，在实际教学过程中，既不能让学生的运算能力在已有的水平上停滞不前，也不能超越知识的内容和其他能力水平孤立地发展运算能力。应该贯穿于师生共同参与数学教学活动的全过程中，并体现发展的适度性、层次性和阶段性。

适度性：运算能力需要经过多次反复训练，螺旋上升逐步形成，在这一过程中，安排一定数量的练习，完成一定数量的习题是必不可少的。题量过少，训练不足，难以形成技能，更难以形成能力；然而题量过多，搞成题海战术，反而会使学生产生厌学情绪，适得其反。目前，学生的课业负担过重，数学课程的作业量过大是重要原因之一。把握学习内容的要求，进行适量训练，科学安排，应是发展运算能力的要求。

层次性：安排一定数量的练习，完成一定数量的习题对形成运算能力不可缺少，但训练的难度一定要适当，要从数学教学的全局出发，合理调控。义务教育的主要任务是打基础，数学尤其如此，训练题要有一定的数量，更要有合理的质量。以二次根式为例，如果没有最简二次根式的概念，没有分母有理化的要求，就会使教学无所适从，既造成教学的困惑，又影响高中阶段的进一步学习。

[1] 史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].东北师范大学出版社.2008（6）.第147页

[2] 史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].东北师范大学出版社.2008（6）.第143页

[3] 史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].东北师范大学出版社.2008（6）.第143页

安排为训练题，那就过于繁琐，过分强调技巧，增加了负担，对今后学习的作用也不大，应当避免。由此可见，层次性也是发展运算能力的要求。

阶段性：由前可知，《标准》对运算和运算能力的要求是分学段提出的，每个学段的要求都体现了一定的学段特征，力求符合学生的认知规律，这是完全必要的，适宜的。这也表明，阶段性也应是发展运算能力的要求。

三、运算能力的培养与发展

运算能力的培养与发展是一个长期的过程，首先伴随着数学知识的积累和深化。正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算技能，发展运算能力的前提。运算能力的培养与发展自然包括运算技能的逐步提高，而更应引起关注的是运算思维素质的提升和发展。在义务教育阶段，运算能力的培养、发展要经历如下过程：

1.由具体到抽象

第一学段理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算。第二学段认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。第三学段掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；掌握合并同类项和去括号的法则，进行简单的整式减法、减法和乘法运算；利用乘法公式进行简单计算；进行简单的分式加、减、乘、除运算；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算；解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加减消元法，解二元一次方程组；用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；解数字系数的一元一次不等式。

无论是学习和掌握数与式的运算，解方程和解不等式的运算，一开始总是和具体事物相联系的，以后逐步脱离具体事物，抽象成数与式，方程与不等式的运算。直至到高中阶段进行更为抽象的符号运算，如集合的交、并、补等运算，命题的或、且、非等运算。运算思维的抽象程度，是运算能力发展的主要特征之一。2.由法则到算理

学习和掌握数与式的运算，解方程和解不等式的运算，在反复操练，相互交流的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对怎么算？怎样算的好？为什么要这样算？等一系列问题的思考，这是由法则到算理的思考，使运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。

《标准》规定了一系列与算理相关的内容。

第二学段：探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

第三学段：除了“理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算”外，算理的内容和要求进一步强化，在学习方程解法之前，要求“掌握等式的基本性质”；在学习不等式解法之前，要求“探索不等式的基本性质”；为此，《标准》提供了案例53：小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？在此案例中，不仅给出了详细的解题方案和过程，并指出：这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。对于初中的学生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。在一元二次方程的内容中，《标准》不仅设置了“能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程”，而且增加了“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”；“*了解一元二次方程的根与系数的关系”等内容，表明不仅要学习和掌握解一元二次方程的运算方法，更要思考和领悟解一元二次方程的算理。

3.由常量到变量

函数在第三学段是重要的内容。函数概念的引入，运算对象从常量提升到变量。运算的内容更加丰富多彩，《标准》中不仅有“能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值”；“会利用待定系数法确定一次函数的表达式”；“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标”等直接进行运算的内容；还包括与运算密切相关的内容，如：“能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析”；“用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系”；“结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论”；“根据一次函数的图像和表达式 y = kx + b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况”；“能根据已知条件确定反比例函数的表达式”；“根据图像和表达式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况”；“*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数”。

由常量到变量，表明运算思维产生了新的飞跃，运算能力也发展到一个新的高度。

4.由单向思维到逆向、多向思维

逆向思维是数学学习的一个特点。在第二学段，《标准》规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系”。在第三学段，又增加了乘方与开放的互逆关系。到高中阶段，更有指数与对数，微分与积分等互逆关系。运算的互逆关系，是逆向思维的重要表现形式之一。

运算也是一种推理，在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化，思维方向是互逆的，更是相辅相成的。

在实施运算的过程中，还会遇到多因素的情况，各个因素相互联系，相互制约，又相辅相成，更加需要思考不同的思维方向，不同的解题思路和不同的解题方法，通过比较，加以择优选用。这是运算思维达到一个新的高度的重要标志，是运算能力的培养与发展的高级阶段。

由于思维定势的消极作用，逆向思维和多向思维的难度较大，在实施运算的过程中，对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要学生引导进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练，灵活多样，合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。

第七节 推理能力

推理在数学中具有重要的地位。诚如《标准》所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。学习数学就是要学习推理。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。

一、对数学推理的认识

数学推理直接与命题有关。在数学中，我们随时会对思维对象作出一种断定。如：“ 是无理数”，“ 不是等腰三角形”。我们把这种对客观事物的情况有所肯定或否定的思维形式叫作判断。判断作为一种思维形式，与表示它的语句有密切关系。在数学中把表示判断的语句称为命题。而数学推理则是以一个或几个数学命题推出另一个未知命题的思维形式。

上述对数学推理的解释更多是基于形式逻辑的角度，如果从数学内部看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联，数学推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。

二、《标准》中的推理能力 1.合情推理与演绎推理

推理能力在数学中是属于数学思考（思维）能力中的一种，因此《标准》在数学思考的目标表述中作了明确的要求，指出：要“发展合情推理和演绎推理能力”。合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理（即推理的结论不一定成立的推理）的特称。归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理。它的思维进程是从特殊到一般。按照它考虑的对象是否完全而又分为完全归纳推理和不完全归纳推理。由于完全归纳推理考查了推理前提中所有的对象或类，所以若前提成立，结论也一定成立，因此完全归纳推理不是或然的推理而是必然的推理。合情推理中的归纳推理一般指不完全归纳推理。

类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它所在另一属性也相同或相似的一种推理。它是从特殊到特殊的推理。如由分数类比分式，由分数基本性质得到分式基本性质；由二维空间的三角形类比三维空间的四面体，由二维空间的勾股定理得到三维空间的毕达哥拉斯定理等。类比推理也是一种或然性的推理。而演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的结论一定真）。它的思维进程是从一般到特殊。他的基本形式是三段论。2.合情推理与演绎推理功能不同，相辅相成

波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，„„用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”（波利亚《数学与猜想》），因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。正如《标准》指出：“两种推理功能不同，相辅相成。”

在数学学习活动中，我们会经常遇到同时采用两种推理方式来求得问题解决的情形如这样一个例：

探索过圆外一点所画的圆的两条切线的长有什么关系？ 教学中可引导学生经历这样的的过程：

（2）证明结论的正确性。如图2，连接 和。因为 和 是⊙ 的切线，则，即 和 均为直角三角形。又因为

和

，则 与 全等。于是有。

这是通过演绎推理证明图形性质的过程。

由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。

在传统数学教学中，往往重演绎，轻归纳、类比，只满足于证明现成结论，学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程。而在数学中发现结论往往比证明结论更重要。《标准》提出培养合情推理能力，对培养学生的创新意识提供了支撑。

三、关于学生推理能力培养

在整个义务教育阶段，对学生推理能力的培养是内容学习和目标达成的一条主线，也是一个逐渐提升的长期过程。如下几个方面在教学中应该加以注意。1.推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中

这是《标准》中提出的非常明确的要求。这里的“贯穿整个数学学习过程”应该有这样几层含义：其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合实践等所有领域内容。其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理表述概念定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在证明教学中，更要让学生遵循证明规则，通过数学推理、证明数学结论。其三，它也应贯穿于整个数学学习的环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试„„，在所有的这些学习环节，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑。当然，“贯穿整个数学学习过程”也应包括推理能力的培养应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展。

2.通过多样化的活动，培养学生的推理能力

反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。《标准》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如《标准》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单猜想”（一学段），“在观察、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（二学段），“在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）。教师要认真体会《标准》所提出的这些要求，针对学生推理能力的培养，在课堂教学中开拓出更加有效的、多样化的活动途径。

3.使学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程

在“猜想——证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。例如，引导学生发现如下的运算规律：

15×15=1×2×100+25=225，25×25=2×3×100+25=625，35×35=3×4×100+25=1225。

观察后，引导学生思考是否有一般性的结论呢？可以猜想：如果用字母a代表一个正整数，则有如下结论：

(a×10+5)2= a(a+1)×100+25。

但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明：。

这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，有些问题是可以通过具体问题去得出结论，然后通过一般性证明来验证自己所发现结论的，这就是数学推理带给我们的乐趣。

第八节

模型思想

模型思想是此次修订标准新增的核心概念。尽管原标准在课程实施部分的“教学建议”中曾提到了“建立模型”一词，但数学模型、建模等概念并未出现在义务教育阶段课程目标及内容标准的文字表述之中。这次随着“模型思想”的列入，我们会看到关于数学模型的相关提法会在《标准》的多个部分出现。特别的，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容紧密关联。作为第一线教师应对《标准》中模型思想的含义及要求准确理解，并把这要求落实于课堂教学之中。

一、对数学建模的认识

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。

这种结构有两个主要特点：其一，它是经过抽象舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；其二，这种结构是借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。对数学模型可以从两个层次上去理解：广义的理解是把那些凡是针对客观对象加以一级或多级抽象所得到的形式结构都视为客观对象的模型；狭义的理解是指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学模型。在中小学阶段数学中的数学模型一般指后者。

数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。这一过程的步骤可用如下框图来体现：

上述步骤中最重要的是抽象成数学模型这一步骤。这些步骤反映的是一个相对严格的数学建模过程，义务教育阶段特别是小学的数学建模视具体课程内容要求，不一定完全经历所有的环节，这里有一个逐步提高的过程。

二、《标准》中模型思想的含义及要求 1．模型思想是一种数学的基本思想

在原课标中，“模型”一词出现在第三学段的教学建议之中，其提法是“教学应结合具体的数学内容采用‘问题情境——建立模型——解释、应用与拓展’的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好理解数学知识的意义„„”。显然，在这里数学建模及其过程更多地被看成是一种教学活动过程和模式，强调的是其教学上的意义。修订后的《标准》将数学基本思想作为“四基”之一提出，必然引出这样的问题：数学基本思想主要指哪些思想呢？现在模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，这实际上已经明示它是数学基本思想之一。史宁中教授在《数学思想概论》中提出这样的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，„„通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”（史宁中，《数学思想概论》第一辑，东北师范大学出版社，2008.6，第一页）。从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。

作为中小学课程中的模型思想应该在数学本质意义上给学生以感悟，以形成正确的数学态度。正因为如此，《标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。它鲜明地表述了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且它也是实现上述目的的基本途径。

数学与外部世界的联系，是数学发展到今天在其自身的舞台上最精彩的表演。从第四章第一节的分析可知，今日之数学已突破了传统的应用范围而向人类几乎所有的知识领域渗透，而各门科学向着“数学化”发展，也成为当今科技发展的一个重要趋势。这里的“渗透”、“数学化”说到底就是数学模型的运用，作为基础教育的数学不能不关注数学发展的这一特点。

从当前各国数学课程改革来看，通过数学建模来建立数学与外部世界的联系也成为共同关注点。如美国课程标准将“数学联系”作为重要目标，“认识到并能应用数学于数学以外的情境中”是数学联系的主要内涵。该标准还强调，各种水平的数学学习，应包括有机会解决在数学以外的情境中产生的问题，既可与其他学科建立联系，又可与学生的日常生活相联系。

在加强数学与外界联系方面，《标准》在总目标中也明确提出：“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”。标准修改后的这个新提法与模型思想这一要求是一致的和相互呼应的。

2．关于建立和求解模型的过程要求

前面我们已介绍了数学建模的一般步骤。《标准》以义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能，更有思想、方法，也有经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也会得到培养。3．模型思想体现在《标准》的许多方面

正因为模型思想从本质意义上体现着数学的基本思想，所以它渗透于《标准》的许多方面。比如，《标准》中有如下提法：“经历数与代数的抽象、运算与建模过程”（数与代数总目标）；“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型思想”，“体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”（三学段目标）；“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程”（“ 综合与实践”内容标准）等等，除此之外，在教学实施、教材编写、评价、案例等部分都有关于模型思想的具体要求，在课程实施中要注意这一特点。

一、模型思想的培养

1.模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟

模型思想作为一种思想要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程，在这一过程中，学生总是从相对简单到相对复杂，相对具体到相对抽象，逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，逐步渗透模型思想。比如在一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、简单几何体和平面图形的过程和简单数据收集、整理的过程，使学生能学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，提出一些力所能及的数学问题；在二学段，通过一些具体问题，引导学生通过观察分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价等关系式；在三学段，主要是结合相关概念学习，引导学生运用函数、不等式、方程、方程组、几何图形、统计表格等分析表达现实问题，解决现实问题。

总之，模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴含于概念、命题、公式、法则的教学之中，并与数感、符号感、空间观念等的培养紧密结合。模型思想的建立是一个循序渐进的过程。

2.使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《标准》中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。

上述活动过程完全可以结合相关课程内容有机进行。比如，关于方程的教学，过去我们是从概念到概念，强调的是方程定义、类型、解法、同解性讨论等等比较“纯粹”的知识、技能，而现在，我们可以让学生从丰富多样的现实具体问题中，抽象出“方程”这个模型，从而求解具体问题。其过程如下：

3.通过数学建模改善学习方式

数学建模不同于单纯的数学解题，它是一个综合性的过程。这一过程所具有的问题性、活动性、过程性、搜索性等特点给学生数学学习方式的改善带来了很大的空间。如下一些学习方式都可以在数学建模中尝试：（1）小课题学习方式。让学生自主确定数学建模课题，设定课题研究计划，完成以后最后提交课题研究报告。基于数学建模的小课题研究针对不同的年龄段应该有不同的层次和不同的水平，但不管何种层次和水平，关键是要引导学生根据自己的生活经验和对现实情境的观察，提出研究课题。（2）协作式学习方式。在数学建模中可以小组为单位在组内进行合理分工，协同作战，培养学生的合作交流能力。（3）开放式学习方式。这里的开放是多种意义的，如打破课内课外界限，走入社会，进行数学调查；充分利用网络资源，收集建模有用信息；鼓励对统一问题的不同建模方式等等。（4）信息技术环境中的学习方式。充分利用计算机的计算功能、图形实现功能、特有软件包的应用功能等，寻求建模途径，提高数学建模的有效性。比如对“足球比赛中球员如何选择最佳射门位置？”这样的问题，完全可以借助计算机模拟球员进攻路线，通过“几何画板”的动态模拟功能构建几何模型，直观显示（如图）：最佳位置应该是球员进攻路线l上对球门左右门框(A B)张角最大的那个点p，即p为切点时，角APB最大，当然这一通过直观得到的结论还需运用相关知识予以证明。

第九节 应用意识 《标准》在课程目标中指出：要使学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”增强应用意识作为数学课程的重要目标应该引起第一线老师的重视，并应通过有效的措施在课堂教学中予以落实。

一、培养学生应用意识的意义

通过第四章的分析我们已知，现代数学发展的一个典型特征就是数学应用的空前发展，许多抽象的数学理论得到了应用，数学向其他学科渗透又形成了许多新的数学交叉学科，就是一些过去与数学无缘的人文学科也与数学产生了联系，各门科学向着“数学化”发展，已成为当今科技发展的一个趋势。数学在渗透到各门学科领域的同时，它也逐渐渗透到了人们生活的各个角落：面积、体积、对称、百分数、平均数、比例、角度、概率等成为社会生活中很常见的名词；人口增长率、生产统计图、股票趋势图等不断出现在报刊、电视等大众信息传播媒介中；而象储蓄、债券、保险、面积、体积计算（估算）、购物决策等更是成为人们在生活中不可回避的现实问题。现代社会比以往任何时候都更需要公民运用数学去面对生活、工作中的问题。学校数学课程需要对数学的这种发展态势和时代要求作出积极的反应。

长期以来，在数学教学中，数学应用意识的失落是一种普遍存在的现象。特别是为了应试的需要，在数学教学中注重的是技能、技巧的训练，数学课堂上只讲抽象的数学公式和结论，不讲数学知识的实际来源和应用方法，“掐头去尾烧中段”的现象仍然存在。尽管目前已在关注加强数学应用，但真正落实到目标上还有较大差距，这是我国数学课程改革应该正视的问题。加强数学应用，不是简单地增加几个应用题，也不只是追求实际问题解决的工具价值，它事实上体现了数学更加本质的东西。数学应用是认识数学、体验数学、形成正确数学观的过程，这一过程以数学课程作载体，追求的目标不仅是知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过这一过程学会数学地思考，掌握数学思想方法，感悟数学的精神并形成正确的数学态度。从根本上看，它追求的是学生数学素养的提升和创新精神、实践能力的培养、发展。

二、《标准》中应用意识的含义 意识在心理学上是一种心理倾向。良好的意识重在自觉性、自主性和选择性，它反映一个人在认识事物对象过程中，其思维的自觉、独立、批判、求异和创造的品质。基于这样的理解，数学应用意识就是一种用数学的眼光、从数学的角度观察、分析周围生活中问题的积极的心理倾向和思维反应。《标准》指出数学应用意识的含义主要体现在以下两个方面：

1.有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题

这里实际指的是主动应用数学知识的意识，这种意识的指向是“数学知识现实化”。学生能够有意识地、积极主动地应用数学知识去分析、解决现实世界中的现象和问题，这对学生实践能力和创新精神的培养具有重要意义。仔细分析这里有两层意思：一是有意识利用数学的概念、原理和方法去解释现实世界中的诸多现象。学生在日常生活中会遇到许多客观存在的现象，当遇到这样的一些现象时，学生应该具有一定的数学敏感性，要善于从数学的角度、运用数学的知识去解释这些现象，获得对现象本质的理解。例如，电视台播放某大奖赛实况，总要去掉一个最高分，一个最低分，然后求其它评分的平均数，这是为什么呢？学生学了统计中的平均数、中位数等知识后，他能有意识地去运用这些知识去分析这一现象，并能给出合理的解释：“去掉最高分、最低分，求其他分数的平均数，这样既可以降低极端分数的影响，又可以避免给中间几个数据太大的权重，合理地分解所有评分者的评分误差”。再如，《标准》第二学段的一个例子“阅读在报纸或者杂志上发表的有统计图的文章，用自己的语言说明统计图所表达的意思”，这事实上也体现了数学应用意识培养的要求；二是，有意识地运用数学知识去解决现实生活中的问题。学生学习某一数学知识后，应主动思考应用这一数学知识我能解决现实生活中的什么样的问题，这样就可以把理论与实际相联系了。例如，学生学习了“两点之间线段最短”这一数学知识后，主动思考能解决什么样的实现问题呢？善于思考的同学就会发现，我能解决“在两个汽车站之间，怎样设加油站的位置，使得到两个汽车站的距离最小？”这一实际问题。学数学的目的就是用数学，这一点很重要。

2.认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决 这个方面实际指的是对现实生活主动进行数学抽象的一种意识，它的目标是“现实问题数学化”。这一要求一方面体现为要让学生认识到现实生活中处处有数学，数学就在我们的身边，现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，如：储蓄、保险、选举、股票、打折销售等等；另一方面体现为认识到现实生活中的大量问题都可以抽象成数学的问题，用数学的方法予以解决。这也即是数学建模的思想。例如，某商场搞打折销售活动，有两种活动方案，一种是满200元省50元，另一种是直接打8折，如果你想买一种商品，请你制定你的购买方案？对于这一打折销售问题，学生能意识到可以抽象为数学中的函数的问题，然后用函数的相关知识予以解决。这样，可以让学生从认识上建立对数学应用的正确理解，这是很有必要的。

一、应用意识的培养

正因为数学应用意识属于“意识”范畴，处于“隐性”状态，这就决定了数学应用意识的培养具有长期性，我们不能期望在一两次解决问题中就能培养起学生的数学应用意识。因此，在义务教育的各个学段都应不失时机地激发学生的应用意识，促进应用意识的培养。1.注重知识的来龙去脉

前苏联数学教育家斯托利亚尔认为，一个完整的数学活动可分为经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用三个阶段（斯托利亚尔，《数学教育学》）。传统数学教学往往只注重中间环节，而忽视了其他阶段。要培养学生的应用意识，不能只“烧中段”，还要“顾两头”，即要注重知识的来龙去脉，也即让学生知道数学知识“从哪里来”，又会“到哪里去”。

要让学生知道数学知识“从哪里来”，可从以下两方面努力。第一，提供数学知识产生的背景材料。在数学教学中，应尽可能结合数学课程的内容，介绍一些对数学知识发生、发展紧密关联的数学史资料及实际问题资料。例如，在数与代数部分，向学生穿插介绍代数及代数语言的历史、正负数和无理数的历史、一些重要符号和重要概念的起源与演变；在统计与概率部分，介绍一些有关概率论的起源、掷硬币试验、布丰投针问题与几何概率等历史事实。第二，呈现数学知识的形成过程。现实生活中蕴含着大量的数学信息，教师可结合现实生活或者具体情境，给学生呈现数学知识的形成过程，如“多项式与多项式相乘”的教学，可设置如下情境：学校操场的长、宽分别为m米、a米，由于教学需要，长、宽分别增加n米、b米，你能用两种方法表示扩大后的操场面积吗？学生画图后可得出(m+n)(a+b)和ma+mb+na+nb两种表示形式。教师再引导学生得出公式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。如此，在提高学生学习数学的兴趣的同时，也会让学生感觉到多项式乘法的应用价值。

要让学生知道数学知识“到哪里去”，就要反映数学知识的应用过程。义务教育阶段的许多数学知识，如概念的产生、计算法则的由来、几何形体的特征及有关公式等，无不渗透着数学在现代生产、生活和科技中的应用。例如，让学生用平方的概念探索细胞分裂（1个分裂成2个，再逐步分裂成4，8，16 „）的次数与个数之间的关系，使学生真正体会到“数学有用、要用数学”。

以上事实上分别展现了当前数学知识学习中，应该关注的“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程和“问题情境─建立模型─求解验证”的过程，这样的过程更有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，对学生应用意识的培养大有裨益。

2.在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识

数学应用意识的培养应贯穿于整个数学教育全过程中。具体而言，在课程目标定位、课程内容设置、教学设计、课堂教学、课后作业、学习评价等数学教育诸环节都应关注应用意识的培养。

首先，应将培养学生应用意识作为数学课程的重要目标，贯穿于数与代数、图形与几何、统计与概率及综合实践等所有领域内容的数学课程中；其次，在教学设计过程中，应联系学生实际和社会生活现实，合理地解读教材、拓展教材，积累素材，研制、开发、生成课程资源；第三，课堂教学的过程中，应同时关注生活情境数学化和数学问题生活化；第四，将定量评价与定性评价相结合，适当设计一定的具有现实生活背景的问题和一些实际操作的内容，既要关注学生应用意识指向的广阔性（能够给出多少合理的数学解答；能发现多少包含数学知识的各种不同问题），又要关注应用意识的主动性（面对实际问题时，能否主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能否主动地寻找实际背景，并探索其应用的价值）。

3.综合实践活动是培养应用意识很好的载体。综合实践活动有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授，是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动，其教学目标是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识。

综合实践活动是培养学生应用意识的重要和有效的载体。综合实践活动兼顾“综合性”与“实践性”：一方面，注重学生自主参与、全过程参与（经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程），让学生积极动脑（独立思考）、动手（自主设计解决问题的思路）、动口（合作交流）；另一方面，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。此外，综合实践活动可以以“长作业”的形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，让学生经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。更重要的是，综合实践活动不仅关注结果，更关注学生积累活动经验、展现思考历程、交流收获体会、激发创造潜能的过程。这样，在多种活动形式、多种过程体验及多种评价方式的交融浸润中，更利于激发、促进、培养学生的应用意识。

第十节

创新意识

一、对创新意识的认识

创新是21世纪出现频率最高的词汇，它已经普及到几乎每一个领域，当然它也是教育领域最重要的词汇，它是这次课程改革的标志性词汇的代表。

创新的含义是什么？既简单，又复杂。简单地说创新是指做一些新的事情，英文是To make something new。“新”有几层含义，对所有人都是“新”的，称为原创的；或者对某些人是“新”的；也可以对自己是“新”的，自己没有做过的事情。创新能力是指完成创新工作的能力，要求是比较高的；创新意识要求低一些，认识创新的重要，在学习数学的过程中有好奇心，对新事物感兴趣，不断地发现和提出问题，有创新的欲望，尝试去做一些对自己是新的、没有想过、没有做过的事情，用学过的数学方法解决问题。创新的重要性毋庸置疑，什么时间开始培养学生的创新意识？上个世纪末，世界一批最优秀科学家特别是一批诺贝尔奖获得者倡导在儿童和学校教育中开展“做中学”（“Hans on”）活动，提高幼儿园和小学的科学教育水平，培育科学的思维方式。“做中学”是让儿童和学生参与一些“科学活动”。这种做法的目的之一就是激发孩子的好奇心和激发想象力，培养他们的创新意识。在综合实践活动的解读中我们也详细介绍了一些具体做法。创新意识的培养应该从儿童做起，在义务教育阶段结合年龄特征，寻求适合学生的形式来不断加强。

发现和提出问题是创新的基础。在上个世纪七十年代，数学和数学教育领域开展了一次讨论，讨论的主题是“在数学、数学教育中，什么是最重要的？”——“What is the key in mathematics and mathematical education？”，最主要的是数学的定义、公理？数学的概念？数学的定理？等等。著名数学家Harmous 写了一篇阶段性的总结文章，他的看法是问题是主要的。问题是数学发展的源泉，也是数学创新的基础，研究数学与学习数学在这一点上没有本质的差异，只是深度和难度上的差异。问题可以把思考引向深处，问题可以发现新的思路。

二、《标准》中的创新意识

在《标准》中，创新意识是此次修改新增加的一个核心概念。标准指出“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。”我们应该注意以下几点： 1．创新意识培养应贯穿数学教育始终

正如前面所指出的，创新意识应该从儿童开始培养。对于孩子来说好奇心是天性，他们有很多很多的问题，他们对一切都感到新鲜、富于想象。保护、激发他们这些好奇心是教师的职责。这些是最宝贵的东西，这些就是学生创新意识的基础。随着年龄的增长，他们需要学习很多新知识、新技能，学习的目的是帮助他们产生更多的问题，解决更多的问题，是使他们的思想更活跃、更丰富。在学习过程中，做一些习题是必要的，目的是帮助学生更好理解和掌握知识和技能。长期以来我们数学教育中存在的一个问题是，过多的、盲目的、仅仅为了应对考试的习题训练，束缚了学生的思维，压抑了他们的好奇心和想象力，以至于很多同学（甚至成绩很好的同学）只有不会做的习题，却提不出有价值的问题。著名数学家R.库朗在上世纪40年代所表达的观点值得我们思索：

“两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。

„„„„,教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。”(——R.柯朗（1941年，什么是数学的序言，2003，复旦大学出版社）

当代著名的数学和数学史专家M.克莱因也批评了这种现象：”数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。(M.克莱因《西方文化中的数学》，复旦大学出版社，2005）

数学教育应该启发人们的思维，培养学生的创新意识。当然，培养学生创新意识不仅仅是数学教育的任务，而是整个义务教育的任务。正如前面指出的：问题是数学中最重要的，通过问题意识培养，激励、焕发学生潜在的创新精神是数学教育应该做的中心工作。

2、从“分析与解决问题”到“发现与提出问题”

20世纪70年代，在数学教学大纲中提出了培养学生“分析和解决问题的能力”。在高中数学课程标准（试验稿）中，又明确提出“提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力”，并把它作为数学课程的目标之一。在此次次义务教育数学课程标准修改中，把“发现和提出问题，分析和解决问题”作为了数学课程总体目标的表述内容，即：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。” 从强调“分析与解决问题”到不仅强调“分析与解决问题”，还要强调“发现与提出问题”，这是数学课程目标的一个发展，其实质就是重视创新，重视学生创新意识的培养，这应该成为基于时代发展要求之下的数学教育的魂。

学习数学必须有问题，没有问题学不好数学，不仅要能解决别人的问题，更重要自己要有问题。学习数学的定义、概念，总要问为什么需要它？它与前面所学的什么有联系？它与实际生活有什么有联系？在学习数学的技能、方法、思想时，更需要深入发问，在回答中不断思考，不断理解，不断深入。在数学和实际的情境中，也需要提出问题的意识。问题是创新的基础，在义务教育阶段，培养学生的问题意识是培养学生创新意识的好办法。

3、根据年龄特点——在日常教与学中不断积累经验

创新意识培养不能一蹴而就，需要不断地实践，不断地积累经验。在课堂上做，在学习中要求，在教学的各个环节上不断地帮助学生积累。在培养学生创新意识时，应该充分考虑不同年龄的学生特点，对低龄学生，结合他们生活经验，引导他们关注一些身边的事物，发现一些有趣问题，引起思考的问题，例如，在学习角时，引导他们观察、讨论那些角是最常见的角——直角，进而讨论如何利用直角去区分其他的角？经过一段学习，又可以讨论为什么直角是最重要的角？随着年龄增长，引导学生从“感性”提出问题逐渐向“理性提出问题过渡，不断积累提出问题，提出好问题的经验。在初中阶段，可以让学生尝试着从实际生活情境和数学情境中独立地提出问题，判断问题的好坏。

4、“综合与实践”活动是培养创新意识的重要载体

“综合与实践”活动是培养创新意识的重要载体，这一点在“综合与实践”内容解读中做了详细的论述。教师要充分发挥综合与实践是“以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动”的特点和功能。让学生在此类活动中经历观察、实验、归纳、抽象、概括、猜想等多样性的活动，经历发现问题、提出问题、进而分析、解决问题的全过程。尽量使这样的过程给学生创新意识的孕育留下了非常丰富的“营养”，希望教师在日常教学中把这件事做好。

三、“创新意识”培养

1、鼓励“质疑——发现和提出问题”

学会学习的一个重要环节是学会质疑——发现和提出问题。我国著名数学家丁石荪曾说过：没有问题的学生不能算是好学生。保护学生发现和提出问题的积极性，就像保护学生的好奇心一样，非常重要。学生可能一下子不会把问题说清楚，这需要老师耐心引导，了解学生是教师的基本功。鼓励学生提问应该贯穿在教学的各个环节中，无论是在课堂上，还是在日常学习中，都应该鼓励学生提出他们的问题。问题可以是自己的疑惑，可以是自己的困难，也可以是自己的一些发现，等等。发现和提出问题是需要氛围的，需要发问的“气场”，这就希望教师营造一个好的学习环境，让学生在这样的环境中活跃起来，敢于提问，敢于发表自己的观点，敢于讨论，敢于坚持。

2、鼓励“在做中积累经验”

有些事情是可以教的，但创新意识不是靠教出来的，是“做出来的”，是学生在各个教学环节中不断亲身经历、不断锻炼，不断积累而形成的。因此，教师要坚持在“做”中去培养学生的问题意识、从而逐步提升学生的创新意识。

3、老师要带头

凡是要求学生做的，教师要带头，教师在教学的各个环节中应该要求自己有问题，能够提出问题，并通过提问引导教学不断深入。在新课程推进中，教师在这方面积累了很多很好的经验，如，问题驱动式的教学、问题串式的教学，还有“问题课程”等等。希望广大教师创造出更多的好经验。

稿源：2011版《义务教育数学课程标准解读》 作者：2011版课标解读专家组

第二篇：【课标解读】核心概念二-符号意识

【课标解读】核心概念二－符号意识

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符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的“运算”。针对这种“运算”的算法是形式化的，“几乎是自动化的，不需要每次都从头做起”。此外数学符号还具有简略性和通用性等特点。正因为如此，数学符号在数学发展中起着举足轻重的作用。法国数学家让·迪多内在《论数学的进展》一文中将“引进好的符号”作为促进数学发展的重要原因之一。学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培养也成为重要的教学目标。

一、《课程标准（2011年版）》中符号意识所包含的内容

此次修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这两个称谓就其英文表述来看没有变化，而中文表述将“感”改为“意识”应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行运算、推理，得到一般性的结论。在这个过程中，数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用“意识”更准确些。

《课程标准（2011年版）》对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：

1．能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律

《课程标准（2011年版）》中的这个要求针对的是符号表示，它有两层意思：一是能够理解符号所表示的意义；二是能够运用符号去表示数学对象（数、数量关系和变化规律等）。

每一个数学符号都有它特定的含义，如“+，-，×，÷”分别表示特定的运算意义，“=，≈，>”则表示数学对象之间的某种关系。使学生理解符号的意义是数学学习中的最基本的要求，也是符号意识的最基本要求。由于数学符号是一种特殊的语言，对数学符号的理解也有其固有的特点和要求：因为符号具有一定抽象度，对符号的认识和理解就不应是形式上的，而应是实质上的，即应从抽象的符号本身看到其所表征的准确的数学意义；由于符号具有压缩信息的功能，所以对符号的意义的理解就不应是片面的，而应是全面的、完整的。特别是将符号语言转换为我们所熟悉的生活语言时，应该抓住其数学本质予以解读和表征；由于数学符号具有概括性和一般性特征，所以对它的认识和理解又不应是孤立的、僵化的，比如应注意符号与符号之间的关联（如“+”与“×”之间的关系），也应注意同一符号的多重意义的理解（如y=ax既可表示矩形面积与长、宽关系，也可表示平行四边形面积与底、高的关系，也可表示路程与时间、速度的关系，也可表示总价与单价、数量之间的关系，还可表示半圆周长与圆周率、半径的关系……）。

对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”。运用符号表达数学对象就是“用”符号的重要方面。这里的数学对象主要指数、数量关系和变化规律，它们在各个学段都有自己特定的要求。关于用符号表达数学对象这里着重指出两点：一是要注意义务教育阶段整个学习过程中，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂、由相对具体到相对抽象的过程。比如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表汞数字运算关系，其抽象度显然不及用字母代替数及用字母表示数量关系，后者对前者来说是一个阶段性的变化。而用符号关系式或一定的数学模式语言去表示特定的数学变化规律则又更为抽象和复杂。这表明关于数学表达的符号意识的发展是一个逐渐积累变化的过程。二是数学符号的表达是多样化的，比如关系式、表格、图象等都是表达数量关系和变化规律的符号工具，有时，即使是同一数学对象也可采用多种符号予以表达。而多种符号表达方式之间也是可以转换的。符号表达上的这些特点值得我们在教学中关注。

例1（《课程标准（2011年版）》例9）在下列横线上：填上合适适的数字、字母或图形，并说明理由。

通过观察规律，使第一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。

2．知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性

这一点很重要。从某种意义上说这正是符号意识作为一种“意识”需要强化的。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。由于运算和推理是数学活动最重要的基本形式，所以《课程标准2011年版）》的这一要求是希望在各学段学习中，都加强学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练，这涉及的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等。

3．使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式

数学表达是学生在解决具体问题时必须采用的方式，数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达。通过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力成为当今课堂关注的目标。

比如这样一个问题：“某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的关系。”显然，购书数量与付款金额之间呈函数关系（分段函数），为了解决问题的方便，我们可以分别采用函数关系式、列表、作出图象等多种符号表达方式来表示这一具体问题。

发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”，这种思考是数学抽象、数学推理、数学模型等基本数学思想的集中反映，是最具数学特色的思维方式。

举一个简单的例子：“房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几把椅子和几个凳子？”如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。

三、关于学生符号意识的培养

１.在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识

概念、命题、公式是数学课程内容中的重要组成部分，它们常常是数学教学的重点，而它们又和数学符号的表达和使用密切相关。正因为如此，《课程标准（2011年版）》在学段目标和各学段课程内容中都提出了具体要求。如：“理解符号,=,>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小”，“认识小括号”（第一学段）；“认识中括号”“在具体情境中能用字母表示数”“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”“能用方程表示简单情境中的等量关系”（第二学段）；“能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示”“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识”（第三学段）。

2．结合现实情境培养学生的符号意识

一方面，尽可能通过实际问题或现实情境的创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达；另一方面，对某一特定的符号表达式启发学生进行多样化的现实意义的填充和解读。这种建立在现实情境与符号化之间的双向过程，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。3．在数学问题解决过程中发展学生的符号意识

符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动用符号的意识，因此，符号意识的培养仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆是难以达到应有的效果的。引导学生经历发现问题，提出问题（这实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题、解决问题（这实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在这一过程中积累运用符号的数学活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质。逐步促进学生符号意识得到提高。

（本文节选自《数学课程标准(2011年版)解读》 教育部基础教育课程教材专家工作委员会 组织编写）更多教育资讯请点击“阅读原文”

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第三篇：课标解读

对运算能力的理解与培养策略

我国基础教育课程一直将运算作为主要内容，运算能力是我国数学教育的重要特征之一，几十年来一直是我国数学教育界关注的焦点。有别于《标准（试验稿）》，这次《标准（2011年版）》明确提出“运算能力”。

一、如何理解运算能力

新课标指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径来解决问题。”

运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。

（一）要保证运算的正确

数学的概念、公式、法则、定理是进行数学运算的依据。数学运算的实质就是根据这些运算的依据，从已知数据及算式中推导出结果。在这样的推导、运算的过程中，如果小学生对数学概念、公式、法则、定理掌握不扎实，即出现数学运算中的知识性错误，运算结果的正确性必然受到影响。这也是小学生运算能力差的一个重要的原因。

例如：计算200+20÷10，错误的解法：220÷10=22。根据四则混合运算，算式中既有乘除又有加减，要先计算乘除、后计算加减。又如：一个矩形的花坛，长为4米，宽为3米，求其周长。错误的解法：4×2+3=11或4+3×2=10，出现该错误的原因在于对于矩形的周长公式掌握不牢固。

（二）理解算理

在适度的训练、逐步熟悉的基础上，对运算的基础知识不仅“知其然”，更应“知其所以然”，清楚地意识到实施运算中的算理。算理从字面理解，即为运算的原理或者道理，是解决问题的操作程序，解决“为什么算”的问题。学生

只有理解了计算中的道理，才能够理解和掌握计算方法，才能正确地、迅速地运算。在深入理解运算法则、公式推导过程的基础上，进一步关注法则、公式的使用条件、特例、变式，从多个角度解释法则和公式、理解多个法则公式间的内部联系。

以16×4运算的道理为例，首先使得学生明白16×4表示4个16是多少；其次引导学生思考运算的原理：16是由1个10和6个1组成的，可以将16×4与以前学习的乘法运算结合起来，先算4个10是多少，再算4个6 是多少，最后将两次运算的结果相加，即为16×4的结果。通过这样的过程使得学生理解两位数乘一位数的算理。

（三）选择合理简洁的运算途径

在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。一题多解和多题一解出现在运算过程中是十分普遍的，一题多解体现了运算的灵活性，多题一解体现了运算的普适性。一题多解是激活解法的核心，目的并不在于“解法的多样化”，而在于思维的“多层次”，在于学生从众多的解法中比较反思、分析出解法的优劣，最终能够选择合理简洁的运算途径。

估算是重要的运算技能，是运算能力的特征之一。估算已经成为衡量个体数学计算能力高低的一个重要标准，要充分重视估算。估算指的是个体懂得什么情况宜于估计而不必作准确计算，并会灵活使用。

小学生运用估算策略评价计算答案的合理性在于小学数学教学中是非常必要的。小学生需要用到估算策略（以及动手操作、心算和计算器）来进行整数的加、减、乘、除四则运算。学生从三年级开始接触分数的初步认识、小数的初步认识，在此以后的分数和小数的运算中，学生需要估计分数和小数运算的

答案。进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据，学生需要掌握估算所必备的知识、技能和策略。

二、如何培养学生的运算能力

（一）培养学生良好的计算习惯

在计算中，养成看到题目先审题的习惯，这样计算起来方法会更正确更合理，计算速度会不断提高。学会利用有关法则、定律进行计算，注意有括号的要先算括号里的，同级运算时要按从左至右的顺序依次运算，不盲目简算；还要仔细检查，看有无错抄、漏抄、算错现象。学生计算出现差错，错写、漏写数字和运算符号是常有的事，因此指导好学生认真书写也十分重要，规范的书写格式可以准确表达运算的思路和计算步骤。在平时教学中，要让学生真正理解算理和算法之间的关系，注意算法的优化，只有这样，才能更好地保证学生正确计算。

（二）基础计算要过关

任何复杂的题都是由一个个简单的问题组合而成的，无论是两位数乘除两位数，还是两位数乘除三位数，或其他更复杂的计算题，他们的基础都是“20以内的加减法”。实践表明“笔算的错误”大部分是由于“20以内的加减法”不过关，达不到不假思索、脱口而出的程度造成的。特别是，如果学生没有熟练掌握20以内的进位加法和退位减法，到了中高年级学生的计算速度和准确性都会受到影响。学生必须熟练掌握20以内的进位加法和退位减法，以及灵活应用乘法口诀，这是一切计算的基础。如果基础都不熟练，计算起来肯定错误百出，速度也会很慢。

（三）注重计算策略的教学

小学数学的重点不仅仅只是交给学生正确、基本的计算程序，教师更应该

使学生掌握一系列的解题策略。包括加倍、补偿、分割、重新组合等。例如，解决8+7=？的问题，可以采用加倍策略：8+7=8+8-1；凑“5”策略：8+7=5+3+5+2；凑“10”策略：8+7=8+2+5.使用凑“5”策略，凑“10”策略的好处在于：学生对于“整

五、整十”数比较熟悉，而且也有利于简化计算。在学生熟练地运用这些策略解决个位数计算的基础上，还可以将这些策略应用于两位数、三位数的加减法运算中，例如：43 + 25 =（40+20）+（3+5），324－86=324－100+14等。

（四）理解算理，便于灵活、简便地进行计算

计算的算理是说明计算过程中的依据和合理性，也就是为什么这样计算。算理是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。计算的算法是说明计算过程中的规则和逻辑顺序，它通常是算理指导下的一些人为规定。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。算理为了算法提供理论指导，算法使算理具体化。

如两位数笔算加法运算法则：“相同数位对齐，从个位加起，个位相加满十就向十位进一。”规定了两位数竖式加法的写法、算法和计算的先后顺序。期中“相同数位对齐”“各位相加满十向十位进一”的理论依据是“计算的位值制原则，不同位置上的数字计数单位不同，相同单位的数字才能相加。为什么要从个位加起，从十位加起不可以吗？其实对于两位数不进位加法，从十位加起更简便。而对于两位数进位加法若从十位加起，“进一”后需要十位上再加一，容易出现错误。为减少学生计算错误，才规定“从个位加起”。因此，“计数的位值制原则”和相同单位的数才能相加”是两位数加法的算理，而“从个位加起”只是一种人为规定。同样小数的加法法则：解决小数加减问题时，学生必须先

将小数点对齐，再按照整数加减法法则进行计算。因为相同的单位才能进行计算，因此加数与加数，被减数与减数的各个单位必须对齐。

还要注意两点：一是强调算理的教学，但并不等于每种算法都要让学生把算理表达出来，对于有的算理，小学生是难以表述的，只要让学生能意识到它就可以。二是通常不需要在计算教学中把算理提出来进行专门的教学，而是把它蕴藏在计算过程之中，让学生在计算中明确这样算的道理。

（五）向学生传授灵活的估算策略，提高学生的估算能力 1.要求学生使用首位数进行计算，然后再调整答案

一个简单有效的估计策略是先用首位数估计值来替代每个数（其他数位用零代替），然后再计算。得到的结果会给出精确答案的正确大小，然后再计算，以调整第一个估计值，接着注意第二位数字。例如：748+436+192.估计方法是700+400+100=1200，为其他剩余数字再加200，大约是1400,。请注意这些数字的传统程序是先将其四舍五入到最近的百位数：700+400+200=1300.2.培养学生先灵活使用四舍五入法则，然后再计算

对于许多运算来说，在实施运算之前就对数字进行四舍五入是非常有意义的。但是不能被严格的四舍五入规则限制住，要使选择的近似数尽量同具体运算形成“补偿”（一个向上取整，另一个则向下，或者向同一个方向取整）和（或）“兼容”（产生能在可视范围内进行计算的数字）。正如上面例子所表明的，这种类型的四舍五入经常在首位策略的调整阶段中使用。例：852×65。可计算900×60，即大约是54000，或者计算800×70，即大约是56000。我们也可将两个数字都向下取整，然后再把答案向上取整，从而可以得出结论，认为精确答案在48000和63000之间，约为55000。

如： 852×65，可以把852向上取整900,65向下取整60.也可以反过来把

852向下取整800,65向上取整70。

第四篇：课标解读：让核心素养真正落地

课标解读：让核心素养真正落地

“让核心素养落地”，是本次课程标准（以下简称“课标”）修订的工作重点。核心素养导向，既是课标研制工作的主线，也是课标文本的主旋律。

一、用核心素养来表述课程目标，让课程“目中有人”

课程目标是对学生学习及发展结果的期待，是课程内容选择、教学活动设计、学业质量确立的基本方向和依据。此次课标修订，力求使课程目标自觉体现本课程在培育学生核心素养方面的基本贡献，结合本课程的性质、理念及课程的基本内容，从核心素养视角对课程总目标及学段目标进行表述。课程目标的素养导向，有利于转变那种将知识、技能的获得等同于学生发展的目标取向，引领教学实践及教学评价从核心素养视角来促进和观察学生的全面发展。

二、以课程内容结构化来引领教学实践变革，让学生在主动活动中生成素养

本次课标修订的一项重要变革，是以结构化的方式（如主题、项目、任务等）来组织课程内容。课程内容结构化，意在改变知识、技能的简单线性排列方式，强化知识间的内在关联，凸显学科的本质、思想方法以及内在逻辑。课程内容结构化，既强调学科知识结构，还强调在这样的结构中所隐含着的学生的活动及活动方式的结构化，为课程内容的活化、动态化，教学活动的综合性、实践性提供内容基础。结构化的内容组织方式，凸显出不同的知识技能在学科知识结构中所处的不同地位、所承载的不同教育价值，提示着教学实践以整体有序、多样综合的方式来挖掘知识的育人价值。课程内容结构化，有利于克服教学中知识点的逐点解析、技能的单项训练等弊端，引导教师主动变革教学实践，从关注知识技能的“点状”“传输”自觉变革为关注学生对知识技能的主动学习和思考，关注教学的关联性、整体性，关注学生在主动活动中所形成的知识、技能、过程、方法、态度、品格、境界的综合效应，关注学生核心素养的养成。

需要指出的是，内容结构化，并不意味着可以忽视或无视知识点，而是要在知识结构中去重新认识和定位知识点的意义与价值，要在学生的主动活动中实现知识点的教育价值。在课程标准的“课程内容”一章，有“内容要求”“学业要求”“教学提示”三个部分。这三个部分缺一不可、内在关联。“内容要求”指向“学什么”——强调在结构中的、扎实的基础知识学习的重要性，防止知识虚化；“学业要求”指向“学得怎样”——结合教学内容要求，提出素养发展目标；“教学提示”指向“怎么学”——即：学习这样的内容、达到这样的要求，学生必须经历哪些基本的、典型的活动，让课程“活”起来、“动”起来，让学生进入课程，让课程内容变为学生主动学习的活动。

三、依素养发展水平来描述学业质量，让学生素养具体化、鲜明化

学生素养发展，贯穿课标全文本，隐含在课程内容及教学实践中，体现在课程学习结果的具体描述中。例如：数学学科提出应培养学生具有如下素养：会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。那么，如何才算具有了数学的“眼光”“思维”“语言”，有什么样的表现才能判定学生是“会用”了，能够观察、思考、表达现实世界中的什么样的问题，才算是“会”了？这就既需要有课程目标的总体指向，需要内容的选择、组织，还需要在各部分内容的“学业要求”及最终的“学业质量”部分中，做具体的描述，使核心素养，不再是空洞的语词口号而变成学生真实的能力、品格和价值观。

此次课标修订，希望让课程标准真正成为教科书编写的依据、教学活动开展的依据、教学评价的依据，让课标使用者感到课标能用、管用、好用，真正引领、推动教学实践的深度变革，提高我国义务教育教学质量，让核心素养落地，实现立德树人的根本任务。（北京师范大学教育学院教授

郭华）

课标解读：让核心素养真正落地

“让核心素养落地”，是本次课程标准（以下简称“课标”）修订的工作重点。核心素养导向，既是课标研制工作的主线，也是课标文本的主旋律。

一、用核心素养来表述课程目标，让课程“目中有人”

课程目标是对学生学习及发展结果的期待，是课程内容选择、教学活动设计、学业质量确立的基本方向和依据。此次课标修订，力求使课程目标自觉体现本课程在培育学生核心素养方面的基本贡献，结合本课程的性质、理念及课程的基本内容，从核心素养视角对课程总目标及学段目标进行表述。课程目标的素养导向，有利于转变那种将知识、技能的获得等同于学生发展的目标取向，引领教学实践及教学评价从核心素养视角来促进和观察学生的全面发展。

二、以课程内容结构化来引领教学实践变革，让学生在主动活动中生成素养

本次课标修订的一项重要变革，是以结构化的方式（如主题、项目、任务等）来组织课程内容。课程内容结构化，意在改变知识、技能的简单线性排列方式，强化知识间的内在关联，凸显学科的本质、思想方法以及内在逻辑。课程内容结构化，既强调学科知识结构，还强调在这样的结构中所隐含着的学生的活动及活动方式的结构化，为课程内容的活化、动态化，教学活动的综合性、实践性提供内容基础。结构化的内容组织方式，凸显出不同的知识技能在学科知识结构中所处的不同地位、所承载的不同教育价值，提示着教学实践以整体有序、多样综合的方式来挖掘知识的育人价值。课程内容结构化，有利于克服教学中知识点的逐点解析、技能的单项训练等弊端，引导教师主动变革教学实践，从关注知识技能的“点状”“传输”自觉变革为关注学生对知识技能的主动学习和思考，关注教学的关联性、整体性，关注学生在主动活动中所形成的知识、技能、过程、方法、态度、品格、境界的综合效应，关注学生核心素养的养成。

需要指出的是，内容结构化，并不意味着可以忽视或无视知识点，而是要在知识结构中去重新认识和定位知识点的意义与价值，要在学生的主动活动中实现知识点的教育价值。在课程标准的“课程内容”一章，有“内容要求”“学业要求”“教学提示”三个部分。这三个部分缺一不可、内在关联。“内容要求”指向“学什么”——强调在结构中的、扎实的基础知识学习的重要性，防止知识虚化；“学业要求”指向“学得怎样”——结合教学内容要求，提出素养发展目标；“教学提示”指向“怎么学”——即：学习这样的内容、达到这样的要求，学生必须经历哪些基本的、典型的活动，让课程“活”起来、“动”起来，让学生进入课程，让课程内容变为学生主动学习的活动。

三、依素养发展水平来描述学业质量，让学生素养具体化、鲜明化

学生素养发展，贯穿课标全文本，隐含在课程内容及教学实践中，体现在课程学习结果的具体描述中。例如：数学学科提出应培养学生具有如下素养：会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。那么，如何才算具有了数学的“眼光”“思维”“语言”，有什么样的表现才能判定学生是“会用”了，能够观察、思考、表达现实世界中的什么样的问题，才算是“会”了？这就既需要有课程目标的总体指向，需要内容的选择、组织，还需要在各部分内容的“学业要求”及最终的“学业质量”部分中，做具体的描述，使核心素养，不再是空洞的语词口号而变成学生真实的能力、品格和价值观。

此次课标修订，希望让课程标准真正成为教科书编写的依据、教学活动开展的依据、教学评价的依据，让课标使用者感到课标能用、管用、好用，真正引领、推动教学实践的深度变革，提高我国义务教育教学质量，让核心素养落地，实现立德树人的根本任务。（北京师范大学教育学院教授

郭华）

第五篇：课标自我解读

课标自我解读

王吉朋 ２０世纪８０年代以来，各国教育改革浪潮迭起，形成一场历史上影响最广泛、最深刻、全方位、大动 作的世界性教育改革运动。其实质是努力构建适应新世纪国际竞争和本国经济及社会发展的新教育体系。各国学校音乐教育顺应这一教育改革的大潮，也不再局限于音乐学科内部某些方面的小修小改，而是进行系统的、整体性的改革，包括重新认识音乐课程的价值与性质、研制新的课程标准、设计新的教学体系、实验新的教学方法等。综观各国学校音乐教育改革的最新动向，我们可以看出当今世界音乐教育改革与发展的几个特征：

１．重新审视音乐课程的价值。国际音乐教育学会认为：音乐教育能有效开发个体潜能，激发创造冲动，升华精神境界，提高生活质量；世界音乐的丰富多样性给国际理解、合作与和平带来机遇。

２．制订音乐课程标准。为实现音乐课程的价值与确保音乐课程的地位，许多国家都意识到了制订或重新制订音乐课程标准的重要性与紧迫性。１９９４年美国制订了该国有史以来第一套由联邦政府直接干预下产生的《艺术教育国家标准》。此外，英国、俄罗斯等许多国家，我国的香港和台湾地区也相继制订了各具特色的《中小学音乐教学大纲》或《中小学音乐课程纲要》。３．确立新的音乐课程目标。对于音乐课程目标的确立，许多国家和地区都摒弃了以往把音乐知识技能做为音乐课程首要目标的做法，而是强调音乐兴趣爱好与音乐审美能力的培养，强调通过音乐教育开发创造潜能，培养全面、和谐、充分发展的个体。

４．注重多元文化与本土文化的结合。目前各发达国家音乐教育大都放弃了对西方音乐的盲目推崇或对本民族音乐的固步自封，一致认为音乐教育必须融合多元文化与本土文化。像日本音乐教育就较好地融合了东、西文化。

５．不同音乐教学体系走向融合。半个多世纪以来，多种著名的音乐教学法体系相继创立并得到推广普及：包括奥尔夫教学法（德国）、柯达伊教学法（匈牙利）、达尔克罗兹教学法（瑞士）、等。这些教学法体系对世界音乐教育的发展均产生了积极的推动作用。但由于它们往往是强调音乐教学的某一方面，解决的只是一些局部问题，因此，在普及推广的过程中也暴露出了诸多的局限性。

为此，上述各种教学法体系都在努力完善自身，正是这种自我完善导致了不同教学法之间寻求互补、走向融合的趋势。它们都重视学生的教学主体地位，重视现代化教学手段在教学中的运用，强调通过亲身参与音乐活动来加强音乐体验，强调通过创造性的教学来开发学生音乐潜能，强调教学必须以激发音乐兴趣与培养良好态度为基点并视之为学生在音乐方面可持续发展的决定因素等等。这些教学思想无疑将是今后音乐教学发展的基本方向

爱心相伴 共同成长

大窑中学

王吉朋

记得有这样一首诗：我是一个老师，我把手中的红烛高高举起，只要我的鸽群能翱翔蓝天，只要我的雏鹰能鹏程万里，只要我的信念能坚如磐石，只要我的理想能永远年轻，我情愿燃烧我的每一寸躯体，让我的青春乃至整个的生命，在跳动的烛火中升华，在血液的鲜红中奔腾„

我今天选择了教育，当了教师，就应拥有一份爱的艺术，那就是宽容、鼓励、提醒，我们的工作就像绵绵的春雨，“随风潜入夜，润物细无声。”一个鼓励的眼神、一句亲切的话语，都会让我们的学生倍受鼓舞，获得无穷的信心。细细回味，我在教育战线上已度过了十三个春秋，微笑过、哭泣过，也感动过、彷徨过，在不断地总结分析中，我找到了属于自己的宝典------那就是一颗爱学生的心，这颗爱心与我相伴，和学生共同成长。

十三年前，怀揣着美丽的梦想，我踏上这条充满阳光的希望之旅。漫漫长路，一路走来，虽有过山重水复疑无路的困惑，但更多的时候是柳暗花明又一村的惊喜。十三年的辛勤耕耘，十三年的默默守望，使我深深地喜爱着教师这一平凡而充实的职业。十三年的工作实践，使我对教师这个职业有了更深的感悟，特别是在大窑中学全员班主任制的环境中，做为一名年轻班主任，既要有严师的风范，又要有慈父的情怀，既要关注班级中特殊的学生心理发展，又要把自己的爱心播撒在全班每个孩子的心上。我深知对学生的爱发自内心，才能尊重学生，宽容学生。陶行知先生用四块糖教育了一个用砖头砸同学的男孩子，分别奖励他的守时、尊重人、有正义感和知错就改的品质，使学生非常感动，对我也产生了很大的启发。面对学生的错误，陶先生用他的真挚的爱感染着学生，用他宽广的胸怀教育着学生。现在当我的学生犯错时，我会诚恳地指出；帮他们分析原因，是思想上的疏忽，还是长期以来的习惯；是因为身体的不适还是家里的小麻烦，我都要尽全力的帮他们解开心结，让他们以饱满的精神投入到学习中去，把他们当成和我们平等的朋友，把宽容融进生活中的细枝末节上，融入到我们的举手投足间，镶嵌在他们的一颦一笑中，让爱的清风在整个班集体中飘荡。

我深知，一句简单的鼓励，有时候可以改变一个孩子的一生，因为它包含着浓浓的师情。记得开学初的时候，我所教的班课堂气氛特别沉闷，他们习惯了老师讲学生背，不需要动脑的教学模式，为了改变这种环境，我发动同学精心准备了一场班级歌手大赛，比赛结束后，我拿出了自己为选手们准备的证书，以全班的名义颁发给他们，并做了简短的鼓励性的总结，没想到发生了让我十分惊喜的一幕，很多没有参赛的同学都主动要求上台演唱，他们的表现同样得到了我和同学的认可和鼓励。从那以后，我每天早上都会听到他们欢快的歌声，音乐课上也能看到他们积极思考、踊跃的参与。简单的鼓励，让他们丢掉了自卑，找到了自信，找到了青春的活力。

我更懂得，教师是学生成长的引领者。我不断的提醒自己，要走下“高高的”讲台，步入学生中间，做学生的朋友，做学生学习的伙伴。走进孩子的内心，蹲下身子平视他们，分享孩子的喜悦，分担孩子的苦恼，用真诚的语言赞美，用美丽的心情对待。用发展的眼光看待孩子的未来，用真挚的爱心引导孩子的方向。

十三年的教学生涯，使我更加明白了一个道理，没有爱，就没有教育。对教育事业的挚爱，让我拥有无穷的力量，战胜了生活中、教学中的各种困难，也战胜了自己的退缩和懒惰；对学生的热爱使我兢兢业业，在三尺讲台心甘情愿地奉献自己的青春。

爱心不是教育的全部，但爱心是教育的最基本的前提条件，“如果每个学生的喜悦和苦恼都敲打着你的心，引起你的思考、关怀和担心，那你就勇敢地选择崇高的教师工作作为自己的职业吧，你在其中能找到创造的喜悦。”正因为爱，所以会有创造的喜悦，正因为有创造的喜悦，所以对教育、对学生更加充满爱的情感。真正的教育，正是这种爱与创造永无止境的良性循环。

一支粉笔,两袖清风，三尺讲台，四季耕耘，这正是教师一生的写照。最后我想以汪国真的两句诗献给所有的老师并感谢一直陪我一同成长的学生们：

让我怎样感谢你，当我走进你的时候，我愿收获一缕春风，你却给了我整个春天。让我怎样感谢你，当我走进你的时候，我愿捧起一簇浪花，你却给了我整个海洋。