类比思想在二次函数教学中的运用

第一篇：类比思想在二次函数教学中的运用

类比思想在二次函数教学中的运用

数学是一门严密性、逻辑性、方法性都很强的学科，在探寻问题解答方法和思路的进程中，需要运用到多种多样的解题方法和数学思想。作为初中数学解题思想策略之一的类比思想在数学问题解答中有广泛的运用。著名教育家、活动家刘文雅曾经对类似思想进行过形象生动的阐述：“类比就像一位伟大的领路人，引导人类由此及彼、由表及里，深挖事物、现象和规律的本质，搭建通向成功彼岸并获取胜利的‘桥梁’”。数学中的许多定理、性质、公式等，都是通过类比推理方法得到的。类比思想的有效运用能有效开启学生思路发展的“大门”，提升思维的灵活性和创造性。本文主要分析二次函数问题解答中类比思想的运用。

问题1：小明利用几何画板，将抛物线y＝x2+bx+c先向右平移了3个单位，然后又向下平移了2个单位，此时他得到抛物线y=x2-3x+5，试求出b,c的值。

分析： y=x2-3x+5变形为y=（x-■）2+5-■，即y=（x-■）2+■，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y=（x-■+3）2+■+2，即y=x2+3x+7，所以b=3，c=7。

解题策略：在解决此类问题时，应该使用逆推理，采用由表及里的方式类比推理，反向推导，从而得到向左平移3个单位，又向上平移2个单位的，可得到抛物线y=x2+bx+c的解析式．

问题2：现在知道有一个二次函数y=ax2+bx，它的函数图像分别经过两个点，分别是（2，0）和（-1，6）。（1）试求出这个函数的解析式；（2）根据问题条件，作出这个函数的图像，观察图像，当x在什么情况下，y＞0？

分析：由问题条件可以得知，解答需要运用到二次函数与一元二次方程以及一元二次不等式之间关系的知识，根据该问题所揭示的条件关系，采用类比推理的方法，第一小题可以通过列方程组解答，第二小题通过数形结合方法，观察图像得出x的取值情况。

解：（1）由待定系数法不难求出二次函数的解析式为y=2x2-4x。

（2）所做函数图像如图所示，通过观察此函数图像，可以知道y＞0时，曲线在（0,0）和（2,0）以上，因此x的取值范围是x＜0或x＞2。

解题策略：上述问题案例解答过程展示了关于二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间问题解答的一般方法，在解答过程中，应该采用转化类比的思维方法，将函数观点转化为解方程的解和不等式的解集思路进行解答。解题过程中，应注意解方程与解不等式之间的区别和联系，不能混淆，避免出现解题错误。

问题3：已知方程x2+bx-3=0的其中一根是-3，如果y=x2+bx-3图像分别经过三点A（-■，y1）、B（-■，y2）、C（■，y3），则y1、y2、y3三者的大小关系是什么？

分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系。

解答：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，∴y=x2+2x-3，观察该抛物线的开口方向特点，可以发现，该抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，A、B、C三点都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3。

点评：上述问题是关于二次函数图像点的坐标特点，解题的关键是求函数解析式来判定函数值的大小关系。

问题4：东方红玩具厂去年生产毛绒玩具，已知每件玩具的成本价是10元，它的出厂价是每件12元，该厂共销售此种玩具2万件。今年该厂准备提档升级该产品。已知该厂今年每件玩具的成本价要比去年增加0.7x倍，相应的出厂价就要提高0.5x倍，通过市场评估，今年的销售量将比去年增加x倍（0＜x≤11）。（1）用含x的代数式表示今年该厂毛绒玩具的成本和出厂价；（2）试求出今年该厂每一件毛绒玩具的利润函数关系式（用含x的代数式表示y）；（3）如果今年东方红玩具厂毛绒玩具的销售利润是W万元，如果今年年销售利润取得最大值时，则x的值为多少？并求出今年的最大销售利润。

分析：本题是关于二次函数的应用题，该问题解答时应该运用二次函数的最值求法，解题时应类比推导出二次函数的最值解答方法。（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10?0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12?0.5x）元/件；（2）今年毛绒玩具出厂价减去成本价即是该件玩具的利润，即可得到y=（12+6x）-（10+7x）函数关系式；（3）今年的销售量应该是（2+2x）万件，从而得到W=-2（1+x）（x-2），再利用二次函数的最值问题进行求解。

解答：（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x），∴y=2-x（0＜x＜2）；

（3）∵W=2（1+x）2y=-2（1+x）（2-x）=-2x2+2x+4，∴W=-2（x-0.5）2+4.5∵-2＜0，0＜x≤11，∴W有最大值，∴当x=0.5时，W最大=4.5（万元）

答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元。

点评：本题考查了二次函数的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），当a＜0，抛物线的开口方向向下，当x=h，函数的最大值为k，解题思路和解答过程中蕴含了类比思想解题策略。

第二篇：建模思想在小学数学教学中的运用

建模思想在小学数学教学中的运用

从教十多年以来，深刻领悟到“授之以渔”的重要性。教师在教学过程中要采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。现结合自己的教学实践谈谈对小学生形成数学建模思想的思考。

一、积累表象，感知数学模型

感性材料是学生建立数学模型的基础，因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系，为数学模型的准确构建提供平台。如“表内乘法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先学习“2-6的乘法口诀”的算法，初步了解乘法的意义，学会能用找规律的方法算出几个相同加数的和，感知乘法口诀的来源及编制的方法；接着采取半扶半放的方式学习“

7、8的乘法口诀”，进一步引导学生感知归纳法、演绎法更广的适用范围；最后学习“9的乘法口诀”，运用以前已有的思想和方法灵活解决相关的计算问题。在此过程中，学生经历了观察、操作、实践等活动，充分体验了“表内乘法”的内涵，为形成“表内乘法”的模型奠定了坚实的基础。

二、参与研究，构建数学模型

动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过

程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。学习过程中学生有时独立思考，有时小组合作学习，有时是独立探索和合作学习相结合，学生在新知探索中充分体验了数学模型的形成过程。

三、联系实际，应用数学模型

从具体的问题经历抽象提炼的过程，初步构建起相应的数学模型，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。如“鸡兔同笼”的问题模型，是通过研究“鸡”、“兔”建立起来的，但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物一一列举。因此，教师要带领学生继续扩展考察的范围，分析当情境、数据变化时模型的稳定性。可以出示如下问题让学生分析：“两车共有126人，如果从一辆车每8人中选一名代表，从乙车每6人中选一名代表，正好选出17名代表。甲、乙两车各有多少人？”这样，使模型的外延不断得以丰富和拓展。

建模思想在小学数学教学中的运用

桐木小学

杨同英

用数学建模的思想来指导着小学数学教学，不同的年级、内容、学习对象应该体现出一定的差异，但也存在着很大的关联性。就教学实施的一般程序来看，可以归结到三个字：“磨”“模”“魔”。

一、“磨”。

所谓“磨”，即“琢磨”。也就是教师首先要反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”？需要帮助学生建立怎样的“模”？如何来建“模”？在多大的程度上来建“模”？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？„„在基于建模思想的数学教学中，这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。

众所周知，“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，然而，在小学里学生并不学习二元一次整数方程。可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中：北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”是否还隐藏着其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得关注的：一是内容层面的，即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征（告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量）；二是方法层面的，即“假设法”的一般解题思路（画图、列举、替换等在某种意义上都是“假设”）；三是思想层面的，即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行扩展运用（学习“鸡兔同笼”，最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”，更有其他）。有了这样的理解，在教学中，我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时，注意把握题目的类型、结构和类比运用，用系统的眼光来看待它的教学价值。这些，恰恰是学生到了中学后真正建

立二元一次整数方程数学模型的基础。

二、“模”。

所谓“模”，即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。以下是两位老师利用同一素材教学“减法”的片段：

【教学片段1】 出示情境图。

师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？ 生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。师：你真棒!谁再来说一说。

生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友。师：很好！你知道怎样列式吗？ 生：5-2=3。

教师听了满意地点点头，板书5-2=3。接着教学减号及其读法。【教学片段2】 出示情境图。（同上）

师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？ 生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花。师：第二幅图呢？

生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。师：你能把两幅图的意思连起来说吗？

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。

师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？ 生（齐）：3个。

师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？

（教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）

生齐读：5减2等于3。

师：谁来说一说这里的5表示什么？

2、3又表示什么呢？ „„

师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。

生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。„„

从上述可以看出，运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化，高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。

三、“魔”。

所谓“魔”，即“着魔”，也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟，并对之产生好奇，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。

总的说来，在数学课堂上，我们教的是数学，面对的是儿童。“磨”，侧重于

教师对数学本身的理解；“魔”，则是要坚持儿童立场，读懂儿童，引领儿童，发展儿童；“模”指向教学过程，是在数学和儿童之间真正搭起一座有意义的数学学习之桥。三者有机统一，互动交融，缔造出小学数学建模教学的至高境界。

建模思想在小学数学教学中的运用

桐木小学

杨同英

“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”这实际上就是要求把学生学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程,并在建模过程中培养学生的数学应用意识,引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程，让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型。小学生如何形成自己的数学建模思想呢？

1、创设情境，感知数学建模思想。

数学来源于生活，又服务于生活，因此，要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景。情景的创设要与社会生活实际、时代热点问题、自然、社会文化等与数学问题有关的各种因素相结合，让学生感到真实、新奇、有趣、可操作，满足学生好奇好动的心理要求。这样很容易激发学生的兴趣，并在学生的头脑中激活已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。

2、参与探究，主动建构数学模型

数学家华罗庚的经验告诉我们：对书本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。

3、解决问题，拓展应用数学模型

用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题，让学生能体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学的意识和综合应用数学知识解决问题的能力，让学生体验实际应用带来的快乐。解决问题具体表现在两个方面：一是布置数学题作业，如基本题、变式题、拓展题等；二是生活题作业，让学生在实际生活中应用数学。通过应用真正让数学走入生活，让数学走近学生。用数学知识去解决实际问题的同时拓展数学问题，培养学生的数学意识，提高学生的数学认知水平，又可以促进学生的探索意识、发现问题意识、创新意识和实践意识的形成，使学生在实际应用过程中认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。

小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中进行数学建模思

想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。通过建模教学，可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次。同时，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。因此在数学课堂教学中，教师应逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成学生良好的思维习惯和用数学的能力。

建模思想在小学数学教学中的运用

桐木小学

杨同英

在数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。在小学，进行数学建模教学具有鲜明的阶段性、初始性特征，即要从学生熟悉的生活和已有的经验出发，引导他们经历将实际问题初步抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而对数学和数学学习获得更加深刻的理解。数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。在小学教学活动中，教师应采取有效措施，加强教学模型思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力，将模型思想渗透到教学中。

一、在创设情境时，感知数学建模思想。

情景的创设要与社会生活实际，时代热点问题，自然，社会文化等与数学有关系的各种因素相结合。激发学生的兴趣，使学生用积累的生活经验来感受其中隐含的数学问题，从而促进学生将生活问题抽象成数学问题，感知数感知数学模型的存在。学习数学的起点是培养学生以数学眼光发现数学问题，提出数学问题。在教学中教师就应根据学生的年龄及心理特征，为儿童提供有趣的、可探索的、与学生生活实际密切联系的现实情境，引导他们饶有兴趣地走进情境中，去发现数学问题，并提出数学问题。

二、在探究知识的过程中，体验模型思想。

善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、主

动归纳。力求建构出人人都能理解的数学模型。例如：在推导圆柱体积公式一节课中，教师要有目的让学生回顾平行四边形，三角形、梯形、圆几种平面图形面积的推导过程是怎样的？学生会想起通过割、补、平移、旋转等方法拼成学过的图形，那么今天我们要探究的是圆柱的体积，你们怎样来推导它的公式？这样学生很自然的想到一个新知识都是用旧知识来分解，从中找到新知识的内在模型。

三、新知识的结论，就是建立数学模型。

加法，减法，乘法、除法之间的内在联系。各类应用题的解题规律，各类图形的周长与面积、体积的公式都是各种数学模型，学生有了这种模型思想才能应用它解释生活中的现实问题。

在解决问题中，拓展应用数学模型。用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题，让学生能体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学的意识和综合应用数学解决问题的能力，让学生体验实际应用带来的快乐。

例如:我在教学“平行四边形面积的计算”时，采用了探究式的学习方法，使学生在获取数学知识的同时，数学思维和学习能力也得到了培养。

1.让学生充分参与与操作活动

数学知识具有抽象性，但来源于生活实际，加强教学中的实践活动，不仅有助于学生理解抽象的数学知识，而且可以通过让学生参与操作活动，促进学生的思维发展。如：在探究

平行四边形面积的计算方法时，我为学生设计了这样的操作活动：让他们通过剪一剪，拼一拼，想办法把平行四边形转化为已学过的图形，然后利用已有知识来推导它的面积计算方法，这就为学生创设一个“做数学”的机会，学生在操作前必须动脑思考，想好了才能动手剪拼，通过实际操作，多数学生都将平行四边形剪拼成了长方形，这样学生在积极参与操作活动的过程中，不仅促进了他们的思维发展，而且提高了他们的操作技能。2.让学生积极参与交流活动

四、解释与应用中体验模型思想的实用性。如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，先进行单项练习，然后出示这样的变式题：

1.汽车3小时行驶了270千米，5小时可行驶多少千米？ 2.飞机的速度是每小时900千米，飞机早上11：00起飞，14：00到站，两站之间的距离是多少千米？

学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习，学生基本能正确解答，说明学生对基本数学模型已经掌握，并能够从3小时行驶了270千米中找到需要的速度，从11：00至14：00中找到所需时间。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答。掌握了数学模型，学生解答起数学问题来得心应手。

综上所述，数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中进行数学

建模思想的渗透，可以使学生感觉到利用数学建模的思想解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。这也给我们一些启发：在对学生进行模型思想渗透时，要从现实生活出发，从实物出发，这样才可以让学生更快地接受，更快地理解；在渗透这些思想时，教师首先需站在更高的高度上去考虑；在教学过程中，通过引导学生处理问题，可以让学生更快、更有兴趣地跟踪教师的思路。在小学数学教材中，模型无处不在。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，帮助小学生建立并把握有关的数学模型，有利于学生握住数学的本质。通过建模教学，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。因此在数学课堂教学中，逐步培养学生数学建模的思想，形成学生良好的思维习惯和应用数学的能力。

《建模思想在小学数学教学中的运用》

课题总结

桐木小学

杨同英

小学生数学建模活动的开展，不仅能够从小培养学生自觉应用数学的意识和解决问题的能力，同时还能将《标准》所倡导的“人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”等等这些新的数学教育理念落到实处。那么，什么是数学建模呢？

一、什么是数学建模

数学建模的概念有广义和狭义之分。从广义上说，数学中的各种概念、各种公式、各种方程式、各种理论体系，以及由公式系列构成的算法系统等等都是现实世界的数学模型。按照这种观点，整个数学也可以说是一门关于数学建模的科学。因此，本文所讨论的数学建模主要指的是狭义上的数学建模。

从狭义上看，什么是数学建模呢？目前在我国对数学建模还没有一个十分权威的定义，但比较一致的认识是：“数学模型是对现实世界中的原型，为了某一个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。而数学建模它不但包含数学模型的建立，而且是对数学模型的求解和验证，并用该数学模型所提供的解答来解释实际问题。”

从数学建模的概念可以发现：数学建模实际上指的是一种用数学的知识、思想和方法来解决实际问题的过程和技术。实际问题的解决

往往在很大的程度上取决于我们所建立的数学模型的好坏。因此，数学建模的核心和灵魂就是舍去实际问题中的一些无关紧要的东西，将实际问题转化为数学问题。同时，数学建模也包括借助数学的知识、思想和方法，和计数器、计算机等工具解决数学问题后再回归到实际问题进行检验和应用的循环往复而不断深化的过程。可以说，数学建模的过程是一个“创造”的过程。

从“数学建模”这个概念的本质特征来看，在我们小学数学的日常教学中，常常进行着不同层次的数学建模活动。我们的小学生已经有了数学建模的意识，只不过没有从理论角度将其概括出来而已。“数学建模”思想在小学数学教学中的有效渗透，能够启迪学生的智慧、增强学生应用数学的意识，充分体现学习数学的价值。

二、小学生数学建模的可行性探究

小学生主要是学习间接知识，特别是小学低年级学生以形象思维为主，抽象思维能力十分微弱。因此，笔者认为将数学建模思想融入小学数学教学主要是针对小学高年级（4—6）的数学教学而言的。那么，将数学建模思想融入小学数学教学可行吗？

1、小学生数学建模可行的理论依据

面向21世纪的《义务教育阶段的数学课程标准》已经出版。新《标准》首次提到了数学建模的概念。同时，新《标准》还强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”

在新课程改革中，我们倡导建构主义的学习理论。建构主义提倡在教师指导下以学习者为中心，既强调学习者的认知主题作用，又不忽视教师的引导作用。教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的提供者和灌输者，教师的作用从传统的传递知识的权威转变为学生学习的辅导者，成为学生学习的高级伙伴和合作者。数学建模，渗透了建构主义的先进思想，作为一种学习活动的模式，是将建构主义理论运用到数学教学中的最佳手段。

在现代教育技术的理论与实践的背景下的探究型学习模式，注重学生在解决问题的过程中通过合作交流，自己去发现知识、获得知识和能力的发展。无疑，在数学学习中探究型学习的模式与数学建模的思想是相通的。

2、小学生也有数学建模的能力

小学生主要以学习间接的知识为主，抽象思维能力比较弱、学习和生活经验还不够丰富，因而我们不禁要问：小学生也具有数学建模的能力吗？小学生能够很好的解释和应用自己的数学模型吗？

当我们刚接触一个新的名词或一个新的概念或一种新的方法时总感到很陌生，也会觉得无从入手。但当我们理解了这些新事物的本质属性以后，我们往往又觉得我们曾似相识，数学建模也是如此。在小学数学的教育教学中，学生的探究性学习的过程不正是数学建模的过程吗？以上这个例子足以证明：小学生也有数学建模的能力，小学生也能够很好的解释和检验自己所建立的数学模型，“外人”很难改变学生已经建立好的数学模型。

3、教材内容的编写特点。

我们现在所使用的新教材和以往使用的教材有很大的不同，我们现在所使用的教材更注重数学与现实生活的联系，更能体现出学习数学的价值。

首先，新教材富有创造性的开辟了“数学广角”这样一个学习领域；开拓了学生的视野。通过对“数学广角”的学习探究活动，学生亲身经历合作、探究，和发现知识的过程，体会到数学学习的价值、增强应用数学的意识。其次，教材还为学生提供了许多富有趣味性的问题情境,如：装潢问题、合理存款问题、确定起跑线问题、节约用水问题、哥尼斯堡七桥问题等等。这些问题情境为数学建模活动的开展提供了丰富的素材。最后，在平常的教学内容的编排上也体现了数学建模的思想。如：在角的认识中，教材是这样编排的：教材创设了一个玩台球的情境，教材先出示一个打中台球后，台球运动留下痕迹的图片，之后要由此再抽象出“角”的几何模型„„新教材的编写特点，为开展小学生数学建模活动，提供了丰富的素材和广阔的发展空间。

总之，融“数学建模”的思想于小学数学教学是必要的、切实可行的，对小学数学教育具有十分重要的现实意义。作为数学教师，我们应该重视学生应用数学意识和解决问题能力的培养，自觉的将“数学建模”的思想融入到我们的教学实践中，努力提高小学数学教育的质量。

第三篇：浅谈《道德经》思想在班级管理中的运用

大道至简，以“道”治班

――浅谈《道德经》思想在班级管理中的运用

湖南师大附中 杨茜 谢朝春

【摘要】本文主要从班级管理的核心理念（“无为而治”）和班级管理的最高境界（“下知有之”）两个角度分析、阐述了《道德经》思想在班级管理中的运用。

【关键词】道德经 班级管理 无为而治 下知有之

老子是我国古代最伟大的思想家、哲学家，他的代表作《道德经》是一部凝聚华夏先贤智慧、被誉为“万经之王”的神奇宝典。《道德经》的内容博大精深，小可用来修身立命，大可用来治国安邦。笔者不揣浅陋，试图“大材小用”，以“道”治班，将《道德经》的思想精髓运用到班级管理中。下面主要从班级管理的核心理念和班级管理的最高境界两个角度来分析、阐述《道德经》思想在班级管理中的运用。

一、班级管理的核心理念――“无为而治”

《道德经》第二章有言：“圣人处无为之事，行不言之教。”《道德经》第三十七章有言：“道常无为而无不为。”《道德经》第五十七章又有言：“我无为而民自化。”这些话都体现了老子“无为而治”的思想和精神。所谓“无为”，不是“不为”，不是什么都不做，而是不妄为、不乱为。所谓“无为而治”，是指顺应自然规律做事而使天下得到治理。在老子看来，治理天下的核心理念就是“无为而治”，那么将之运用到班级管理，我们认为班级管理的核心理念也应该是“无为而治”。

根据老子的思想推演，所谓班级管理的“无为而治”，是指在班级管理中要遵循学生身心发展的客观规律进行管理，让学生自主管理，使学生充分发挥其潜力，养成良好的行为习惯，使班级实现“无为而治”，甚至达到“自动化管理”的境界。

那么如何实现班级管理的“无为而治”呢？我们认为应该从以下几个方面着手：

（一）“必先为而后立于无为”。

老子的“无为”是为了达到更好的有为，做到无为而无不为。因此，必先为而后立于无为。那么，要进行班级管理，必先为什么呢？我们认为，必须首先做好以下几个方面的工作：

1、设立 “合理”的目标，制定“合情”的规范。目标是前进的方向和动力。班级管理中应设立“合理”的个人目标和班级目标。所谓“合理”，就是设立的目标应该基于个人及班级的具体实际，并且具有可行性，同时最好是“跳一跳够得着”的目标。这样的目标既“合理”，又有一定难度，容易激发学生的斗志，并且每个小目标的实现将有助于学生产生自信心，产生成就感，从而激励他们向更高的目标奋进。

俗话说：“无规矩不成方圆。”班集体要生存发展，必须制定“合情”的规范进行约束管理。制定“合情”的规范的关键是要形成以共同价值观为核心的班级精神。用这种班级精神来凝聚学生的思想，融合学生的理想、情操和作风，培养和激发他们的集体意识，使学生把自己的思想、情感、行为与整个班级联系起来，自觉地为营造健康和谐的班风而努力。

值得一提的是，班主任在设立“合理”的目标、制定“合情”的规范时，必须充分尊重和考虑学生的意愿，要讲求民主，实行“群体”决策，不能只从教师的角度着想，或者只为少数学生着想。目标的设立和规范的制定都应该以全体学生健康的发展为最终目标，实现共赢。

2、知人善任，选拔培养好班干部，放权给学生自主管理。

管理的重要技巧是知人善任。班主任作为班级的管理者，必须学会“知人善任”，即善于发现学生的长处，让最合适的人在最合适的岗位上最大限度地发挥才能。

“无为而治”是学生作为主体自我管理。班主任要让学生在实践中认识自己的能力，充分鼓励学生，培养学生的主动性和自信心，把原来认为是自己的“权”都交归学生，由学生行使权利，这样学生就可以从根本上感到自己成为了主人。要达到民主自治，应该注重公平公正，应该把机会给每一个学生，让学生共同管理好班级。这其中包括班级所有的规定都由学生自己来制定实施，班干部由学生自己来选，日常事务由学生自己来做，班级的每件事都有学生分工管理，每个学生都有事情做，班主任就是从旁指导就行。不要过多干预学生的具体做法，把握方向即可。通过这样的班级管理方式，可以更有效地锻炼每一位学生，逐步让班级管理自动化，让学生都能以主人翁的身份和态度自治自管，从而达到“无为而治”。

（二）“有所为，有所不为”。

班级管理工作纷繁复杂，如果事无巨细，事必亲恭，必然事倍功半。班主任要学会“有所为，有所不为”。如果该无为时强有为，该有为时却不为，这样就会处处被动。若想变被动为主动，就必须将有所为与有所不为的思想巧妙运用于班级管理中。

1、了解规律，了解学生要多“为”。

班主任工作的主要任务是引导学生的健康发展，要完成这个任务首先了解学生的身心发展规律，其次要了解学生的身心发展状况。班主任可通过观察、访谈和调查等多种途径全面了解学生。如：了解学生的生活背景，家庭的教育状况；了解学生的兴趣爱好，了解学生的想法和需求；了解学生的心理状况，特别要了解、关注有心理偏差的学生。只有全面了解了这些才能更好开展工作，才能对学生因材施教，才能有针对性进行引导、教育，从而实现“无为而治”。

2、“该出手时就出手”的事要多“为”。

促进学生健康发展，做学生的思想转化工作要抓住时机，找准切入点，“该出手时就出手”。最好是水到渠成，顺其自然。这样才能体现不妄为、不乱为、顺应客观态势、尊重自然规律的“无为”思想。

班主任应该时刻关注学生的成长与发展。当学生遇到难题、陷于困惑时，应该帮助他们分析问题、指点迷津。而当学生犯了错误、沾染了不良习气甚至陷入泥潭时，班主任更需毫不犹豫，救人于水火之中。即使工作上遭遇挫折，暂时未见成效，也要知难而进，决不气馁，要像儒家所提倡的那样“知其不可而为之”。

3、要顺其自然，违背规律的事要“不为”。

唐朝著名文学家柳宗元写了一篇《种树郭橐驼传》，文中的郭橐驼种树有方，他所种的树“或移徙，无不活，且硕茂，早实以蕃”，是因为他“能顺木之天，以致其性焉尔”。而他植者则不然，或“爱之太恩”，或“忧之太勤”，以致“木之性日以离矣”。柳宗元写作这个故事的主要目的是阐述为官治民的道理，其思想根源是老子的“无为而治”。

育人如种树，这个故事对我们如何育人、如何进行班级管理很有启发意义。在班级管理中，我们也要像郭橐驼种树一样，有所为而有所不为。我们要顺其自然，遵循学生的身心发展规律引导、教育学生，要让学生在信任和宽松的氛围中发挥潜能，自由发展。不要像某些不懂教育规律的“他植者”一样，或“爱之太恩”，或“忧之太勤”，这些做法“虽曰爱之，其实害之；虽曰忧之，其实仇之”。其根本原因是这种“积极”没有顺应自然，管得过多，管得过死，吃力不讨好，勤而无功。这种违背规律的事当然要“不为”。

总之，“无为而治”的班级管理理念是要使班主任在掌握好科学的教育方法基础上充分发挥教师的潜力，尊重学生的身心发展规律，在班级管理中达到“为”而“无为”的管理目的，使班主任从繁琐的日常事务中解放出来，从而实现“无为而治”。

二、班级管理的最高境界――“下知有之”

《道德经》第十七章有言：“太上，下知有之；其次，亲而誉之；其次，畏之；其次；侮之。”老子这段话谈的是治国的几种境界。我们认为，如果移用到班级管理上来也是恰当的：最低层次的班级管理是学生“侮之”，较高层次的班级管理是学生“畏之”，较高境界的班级管理是学生“亲而誉之”，而最高境界的班级管理是学生“下知有之”。

具体来说，班级管理的最高境界――“下知有之”，就是指学生心中有班主任，当班主任不在场的时候，学生同样能感觉到班主任就在身边，在引导自己该如何学习，如何做人，如何生活和成长。

那我们怎么做才能达到这种最高境界呢？前提当然是严格按照班级管理的核心理念进行“无为而治”，做到“必先为而后立于无为”，“有所为，有所不为”。除此之外，我们认为做好以下两个方面也很重要。

（一）人格示范――“行不言之教”。

俗话说：“身教重于言教。”班主任的人格示范在班级管理中具有非常重要的作用，班主任应该用自己的人格魅力来影响学生。作为班主任，虽然言教必不可少，但过多的说教效果并不好，还不如用自己的人格魅力对学生进行潜移默化的影响。

一个优秀的班主任应该是一个具有人格魅力的人。首先，是一个善良真诚的人，内心阳光，圆满，丰富；其次，具有一种谦和包容的胸襟，内心仁厚，宽和，不计较个人得失，能包容学生的过错；再次，是一个有爱心有智慧的人，热爱教育事业，热爱学生，以过人的智慧处理教育问题。

总之，班主任是学生成长的一面镜子，一个令学生敬爱佩服的班主任带出来的学生在他们身上可以找到班主任的人格烙印。因此，班主任一定要有自己独特的人格魅力，以人格示范、影响学生，这样，许多班级事务班主任基本上可以不用花太多的时间和精力，最终就可功成身退，可以“无为”了。

（二）大道至简――“治大国若烹小鲜”

老子说：“治大国若烹小鲜。”（《道德经》第六十章）对这句话，一般的理解是是，治理大国犹如煎小鱼那样，不要反复地翻转。因为小鱼很嫩，若反来复去地煎就会将鱼弄烂，一道好菜也就泡汤了。并由此引申为治理国家不能反复折腾，如果这样国家就肯定治理不好。治理国家如此，管理班级也是如此。一个班级最基本的框架构建好之后，就应该顺其自然，无为而治，要尽量不折腾，不扰生。譬如不能随便改动班级规范，要潜移默化，要耐心守望，不能求之过急。

对“治大国若烹小鲜”在班级管理上的运用，我另有一种新鲜的理解：若要将一个班级建设成一个优秀集体，那么，所制定的班规及相应的框架结构应该是简单的，由此产生的管理班级的手段也应该是简单的，简单得像烹制一道鲜美可口的佳肴那样轻松、那样从容。正如余秋雨在他文章里有这样一段精辟的论述：“一个成功的大企业，它的经营模式一定是简单的；一个伟大的人物，他的人际关系一定是简单的；一个危机处理专家，他抓住问题核心的思路一定是简单的；一部划时代的著作，它的核心理念也一定是简单的。”

是啊，“大道至简。”也许班级管理没那么复杂，它可能真的像烹小鲜一样简单、轻松。美国开国元勋杰斐逊有句名言：“管得最少的政府，才是管得最好的政府。”由此引申开去，我们也许可以说：管得最少的班级，才是管得最好的班级。这样的班级管理是不是达到了令人神往的最高境界――“下知有之”？愿有智有识者深思。

第四篇：4函数思想在不等式证明中的应用

不等式证明中的函数思想

函数思想在不等式问题中有着广泛的应用，在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者经过适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质，将不等式问题转化为函数问题，从而拓宽解题思路，降低问题的难度。‘构造函数法’是一种创造性的数学思想方法，它的应用不仅体现在证明不等式上，还对于训练学生的数学思维，提高解题能力等方面有着很大的帮助。

一 构造一次函数

例1 已知x、y、z0,1,求证x1yy1zz1x

1分析因为x、y、z在不等式中的地位可以轮换，所以可以以任何一个作为自变量，构造一次函数

证明：原不等式可化为1yzx1yz10

构造函数fx1yzx1yz1x0,1

因此只需要证明fx0在x0,1时恒成立，又∵y、z0,1所以（1）当1yz0时，fx1y z10

（2）当1yz0时，f01yz1 0

f1yz0

又因为一次函数的单调性，所以fx0在x0,1时恒成立

综上，fx0在x0,1时恒成立，故原不等式得证。

二构造二次函数

例2设函数fxax2bxca0，方程fxx0两根x1,x2满足0x1x21，当xx1,x2时，求证 x1fxx2a

分析分析已知条件，构造相应的二次函数

证明：令Fxfxx由x1,x2为方程fxx0的两根，所以Fxaxx1xx2当xx1,x2时，由0x1x2

又x1fxx1xFxx1xax1xxx2

=x1x1axx2 1 a

∵0x1xx21x1x0,1ax2ax0 a

得x1fx0 即x1f(x)①

又∵x2fxx2xFxx2xax1xxx2

=x2x1axx1

∵0x1xx21x2x0,1ax1ax0a

得x2fx0②由①②得x1fxx

2三构造指（对）数型函数

例3已知实数x2，求证6x8x10 x

分析利用指数函数的单调性证明 34证明：原不等式可化为155

34构造函数fx因它是减函数，且f21 55

又x2，则fxf21 xxxx

34即1，故原不等式成立 55

b、c为互不相等的正数，求证a2ab2bc2cabcbaccab 例4设a、xx

分析利用对数函数的单调性证明

证明：构造对数函数fxlgx，fxlgx在0,上是增函数

因为ab与lgalgb同号，a所以(ab)(lg

b同理有(bc)(lg

c(ca)(lglbg)lcg)lag)

将上面三个同向不等式相加，左边展开并加以整理得

blgb2alga22clcgalbgcblgac cab

a2ab2bc2cabcbaccab所以原题得证

四构造三角函数

1x23例4

求证 21x2分析利用三角函数的有界性解决问题 1x2证明：令xtan,,

则cos22sin 21x22=12sin22sin 1331=2(sin)2当sin即时取等号

22226

此时xtan()故原题得证 6此外，有些不等式从形式上观察，好象无法用构造函数法证明，但只要我们认真观察，善于等价转化，对不等式加以适当的整理变形，有的时候也可以构造合适的函数来证明。

第五篇：浅谈二次函数教学

浅谈二次函数教学

函数是初等教学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用，二次函教与一元二次方程、一元二次不等式等知识的联系，能培养学生对所学知识融会贯通的能力，加强二次函数的应用能力是学好高中函数部分的基础，现特对二次函数问题常见题型的解析进行归纳总结。

二次函数 高中数学 教学

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为

代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。