空间图形教学总结（大全5篇）

第一篇：空间图形教学总结

小学数学图形与几何的教学策略总结

小学数学空间与图形内容知识点之间具有紧密的联系，但并不是一个严格的公理化体系，仅属于经验几何或实验几何的范畴。这些内容是建立在小学生的经验和活动基础之上的，小学生对几何图形的认识是通过操作、实验而获得的，即使简单的几何推理也以操作为基础。例如，平行四边形面积公式的推导过程不是通过严密的逻辑推理，而是通过割补法的操作方式获得并被大家理解。小学生的几何思维具有具体性和抽象性相结合的特点，所以，经验是儿童关于空间与图形学习的起点，操作是儿童构建空间表象的主要形式。为此，我们在教学过程中要关注以下几个方面的策略。

教学策略一：联系学生的生活经验和活动经验，呈现现实情景

丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实的有趣的素材。几何教学的过程就是把各种对象由具体的事物变成抽象的几何体进行研究。学生理解几何知识时，须要把几何体与具体的事物联系起来，经过比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思维活动来实现，因此，学习这部分内容，需要感性直观材料的支持。

（一）提供“生活化”的学习材料，让学生在情境中体验

与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生对数学的情感体验。教学可以设置贴近学生的现实生活和日常经验的教学情境，使学生通过自主探索，在已有经验的基础上，逐步认识简单图形的形状、大小和相互位置关系，初步认识一些特殊图形的特征及性质，学会运用测量、计算、实际操作、图形变换、代数化以及推理等手段，解释和处理一些基本的空间与图形问题，并在此过程中，通过从不同的角度观察物体，辨认方向，动手操作，想象，描述和表示，分析和推理等活动，发展学生的空间观念。

（二）回归生活，让学生在应用中体验

小学生对图形与空间方面的内容已有一定的认识，利用几何知识解释生活现象，让数学回归生活，使学生获得学有所用的积极情感体验。如在学习了“圆的认识”后，可以组织学生对“车轮为什么是圆的”这一生活问题作深入探究。在实际应用中，体验到生活中处处有数学，处处用数学，体验到用数学知识解决生活问题所带来的愉悦和成功。教学策略二：引导学生通过观察比较，发现几何特征

我们对现实空间中物体的形状、大小及其所处方位的感知，对物体三视图的初步认识，以及对平面图形的研究，都需要观察，因此，观察是学生获得空间与图形知识的主要途径之一。教学中要组织多种多样的观察活动，如一年级辨认图形的观察活动（辨认长方体、圆柱、球等立体图形，选定参照物辨认方向等），对演示实验或操作的观察（对三角形稳定性的实验），对实物、模型的观察（认识长方体时，按照面、棱、顶点的顺序让学生一一观察，利用实验或演示发现棱与面，面与面，以及面、棱、顶点之间的关系，这样，有关长方体的空间观念就比较容易形成）。

教学策略三：动手操作，突出探究性活动，使学生亲历“做数学”的过程

空间观念的形成，只靠观察是不够的，教师必须引导学生进行操作实验活动，让学生自己去比一比，折一折，剪一剪，拼一拼，画一画，多种分析器官共同活动。具体做法：

（一）提供“玩”和“做”的机会，让学生在实践中体验

爱玩是小学生的天性，是他们的兴趣所在。心理学研究表明：促进人们素质、个性发展的最主要途径是人们的实践活动，而“玩”正是儿童这一年龄阶段特有的实践活动形式。在教学中，可以把课本中的一些新知识转化成“玩耍”活动，创设这样的情境以适应和满足儿童的天性。“做”就是让学生动手操作，通过操作，学生可以获得大量的感性知识，同时有助于提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲。教师多让学生动手操作，创造一个愉悦的学习氛围，是提高教学效果的重要环节，也是学生体验学习的一种方式。例如，在教学“圆柱体的表面积”时，让学生观察圆柱体的模型，先看整体，再分析圆柱体的各个组成部分，接着让学生动手操作，拿一张长方形的硬纸卷成筒，即为圆柱的侧面，再把侧面展开。这样反复两次，让学生在操作中观察、思考展开的长方形的长是圆柱的什么，宽是什么，然后引导学生归纳出：“圆柱的侧面展开图是长方形，它的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。”最后根据长方形面积的计算方法，推出圆柱侧面积的计算公式。在这个过程中，每名学生都经历了观察、实验、猜测、验证和推理的数学活动，并最终通过相互合作交流得出了结论。学生的实践能力、观察能力、操作能力、分析推理能力以及情感态度都得到了和谐发展。

（二）操作中提出问题，促使学生探究

问题是数学的心脏，是探究活动的基础。探究总是与问题联结在一起，问题既是探究的起点，又是探究的动力，问题是驱动探究活动的主要因素。因此，在数学课堂教学中，教师应当有意识地创设问题情境，精心设计问题，点燃学生思维的火花，在问题的引导下主动探究，获取知识。比如在“平行四边形面积的计算”教学中，可以利用多媒体教学的直观手段，给出正方形、长方形“草地”，根据情境提问，计算“草地”的面积，在学生解决问题后，教师适时地将图形转化为一个平行四边形“草地”，并设置这样的问题：“你能算出草地的面积吗？”“你能自己找到平行四边形面积的计算公式吗？”这两个问题的指向不在公式的本身，而在于发现公式的推导过程和思考方法。问题一经提出，学生就置身于问题情境中，兴趣盎然地投入到探究活动中。又如，一名教师在教学“圆的周长”时，创设了如下问题情境：①上课伊始，教师出示一个用铁丝围成的圆，提问：怎样量出圆的周长？（化曲为直法）②出示一个硬纸板圆，怎样量出这个圆的周长呢？还能用刚才的方法吗？（滚动法）③怎样量出我们学校圆形花坛的周长？还能用刚才的方法吗？（测绳法）④教师把一个带线的小球在空中转一圈，怎样量出小球转动的轨迹所形成的圆周长？还能用刚才所讲的一些方法吗？⑤揭示：下面我们就一起来研究圆的周长。这里，教师通过设置一个又一个问题，引导学生经历由疑问———讨论———解疑———疑问……在不断的提出问题、解决问题的过程中，拓展思维，激发起探究的欲望。

（三）设计活动使学生动手操作，自主探究

“思维从动作开始，儿童可以理解的首先是自己的动作。”通过操作，可以使学生获得丰富的感性知识，可以为学生创设一个活动、探索、思考的环境，使他们主动参与知识的形成过程。动手操作过程是学习知识的一种循序渐进的探究过程。课堂上创设能让学生参与操作的环境，给学生足够的时间让学生动手操作，学生就会在“动”中感知，在“动”中领悟，在“动”中探究。“空间与图形”中有大量便于学生进行操作的内容，如用搭积木、折叠、剪贴等方式，理解空间图形、空间图形与平面图形的关系等。例如，一位名师在教“长方体体积计算”时，先让学生将12个棱长为1厘米的小正方体摆成长方体，试试看有几种不同的排法，然后让学生叙述操作顺序，填写操作的数据，即小正方体的总个数、每排个数、排数、层数分别是多少，最后，根据表中数据，引导学生自主探究，得出小正方体的总个数与每排个数、排数、层数的关系，进而推出长方体的体积与长、宽、高之间的关系，在此基础上抽象概括出长方体的体积计算公式，可谓水到渠成。教学策略四：注重培养学生的推理能力

通过观察、实验，容易发现空间与图形中的一些奥秘，经过提炼、合情推理得到数学猜想，然后再通过演绎推理证明猜想的正确性，由此，得到数学定理、法则、公式等。例如，求证“三角形的内角和”，即是通过折、拼、量等实验方法，发现三角形内角和等于180°这一规律，进而提出猜想，再利用已知结论，证实猜想的正确性。可见，几何为学习推理提供了素材，因此，引导学生进行推理是几何教学的重要环节。教学策略五：提倡“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式

数学是一种语言，它能简洁而确切地表达和交流思想。因此，学习中应鼓励儿童用数学的语言对自己的探索过程、思考策略、尝试、计划进行解释或说明。数学语言的交流不仅是让儿童将自己的思考过程展现给大家，更重要的是让儿童在表述的过程中作自我评价、自我反思和自我调整，最大限度地提高自己的逻辑思维水平。观察、操作、归纳、类比、猜测、变换、直观思考等手段，只有在大家共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发展，并得到提升。可见，“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式对促进空间观念的发展具有重要意义。

总之，空间与图形教学策略的特征是以情景呈现问题，以问题驱动探索，以探索组织学习，以“问题情景———建立模型———解释，应用与拓展，反思”的基本模式展现教学内容。

第二篇：空间图形的基本知识教案

空间图形的基本知识

一．考纲要求

1．了解平面的概念、画法及表示法，平面的基本性质，直线 和平面、平面和平面的垂直及其应用． 2．会画长方形的直观图；会画立方体、长方体的直观图． 3．了解圆柱、圆锥、圆台的底面、高线、母线、轴截面等概念．

通过画长方体等的直观图，以此为基本模型，来研究直线与平面，平面与平面的垂直与否，逐步培养学生空间想象能力。圆柱、圆锥、圆台的轴截面及其在生产生活中的实际应用不可忽视。二．基础回顾

1．下面说法中，正确的是()(A)一点能确定的一个平面(B)两点能确定的一个平面

(C)任意三点能确定一个平面(D)任意三点不一定能确定一个平面

2．如图，长方体中，和平面AD1垂直的棱是_______,和棱的BB1垂直的平面是________.3．如图，长方体中，过点A1和平面A1C1垂直的平面有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 4．画一个水平放置的边长为3cm的正方形的直观图．(要求正确画出图形，画图工具不限)

5．等腰三角形以底边上的高线为轴旋转，其余各边旋转所围成的几何体是()(A)一个圆锥(B)二个圆锥(C)三个圆锥(D)四个圆锥 三．典型例题

例1．要画立方体(即正方体)的直观图，甲、乙两位同学分别画出了以下两个表示立方体上底面A1B1C1D1的直观图，请你选择其中画得正确的一个，将它画成立方体的直观图，并标上顶点字母．(画图工具不限，不要求写画法)

例2．在半径为30m的圆形广场的中心上空，设置一个照明光源，射向地面的光束呈圆锥形，它的轴截面顶角为120°，要使光源照到整个广场，求光源的高度至少要多少m．(精确到0．1m)

例3．如图，圆锥的底面半径为R，用一个平行于底面的平面去截这个圆锥，把圆锥分成一个小圆锥和一个圆台，设小圆锥的底面半径为r，母线长为x，圆台的母线长为l． xr(1)求证； = lR-rx1(2)若 =，R=8，l=13，求圆台的高线长h.l3

例4．如图，平面ABC与平面BCD是空间两个相交平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是平面ABC外的一点，CD⊥AC，试判断平面ABC与平面BCD是否垂直，并说明理由

例5．某纸晶加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒(如图)，利用边角废料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(如图)，现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全都用于制作两种小盒，可以各做多少个?

四．反馈练习

1．画出长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体的直观图． 2．巳知圆锥的轴截面周长32cm，底面积为36πcm，求轴截面的面积．

3．在长方体ABCD--A1B1C1Dl中，如果AA1=1，AB=BC=2，求A1C的长．

五．作业

1．若圆台的上、下底面面积分别为16π，36π经过高线的中点画平行于底面的截面，求这个截面的面积。

2．圆锥的母线长是3cm，轴截面的顶角是45°，用于平行于圆锥底面的截面截圆锥，截面过高线的三等分点，求截面圆的面积．

3．下列各图是由全等的正方形组成的图形，能围成一个立方体的图形是()

4.一个正方体的六个面上分别标有2、3、4、5、6、7中的一个数字；如图所示，表示这个正方体的三种不同的放置方法，则这三种放置方法中，三个正方体下底面上所标数字之和是()5．观察图中的正方体，AC为上底的对角线，A'C'、B'D'，为下底的对角线．AC与A'C'相互______;且C与B'D'相互_________.(填人下面的标即可)(1)平行；(2)相交但不垂直；(3)垂直但不相交；(4)垂直相交．

第三篇：高一数学空间图形的基本关系与公理教案

高一数学空间图形的基本关系与公理教

案

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空间图形的基本关系与公理

一.教学内容：

空间图形的基本关系与公理

二.学习目标：、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；

2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；

3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。

三、知识要点

（一）空间位置关系：

I、空间点与线的关系

空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：；点P在直线外：；

II、空间点与平面的关系

空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：；

III、空间直线与直线的位置关系：

IV、空间直线与平面的位置关系：

V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交

说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。

（二）异面直线的判定、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；

2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。

（三）平面的基本性质公理

、公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。

2、公理2

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。

3、公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。

4、平面的基本性质公理的三个推论

经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；

经过两条相交直线，有且只有一个平面；

经过两条平行直线，有且只有一个平面

思考：

公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？

平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？

（四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。

（五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

（六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。

【典型例题】

考点一

空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。

例1.下列命题：

空间不同的三点可以确定一个平面；

有三个公共点的两个平面必定重合；

空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；

④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；

⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。

其中正确的命题是。

解：⑥。

例2.空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。

解：0个、1个、2个或3个。分别如图（图中所画平面为辅助平面）：

考点二

异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。

例3.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、cD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？

解：3对，分别是AB、GH；AB、cD；GH、EF。

考点三

“有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。

例4.求证：过两条平行直线有且只有一个平面。

已知：直线a∥b。

求证：过a，b有且只有一个平面。

证明：存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。

唯一性（反证法）：假设过a，b有两个平面。在直线上任取两点A、B，在直线b上任取一点c，则A、B、c三点不共线。由于这两个平面都过直线a，b，因此由公理1可知：都过点A、B、c。由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，因此重合，与假设矛盾。矛盾表明：过平行直线a，b只有一个平面。

综上所述：过a，b有且只有一个平面。

考点四

共点的判断与证明：此类题型主要有三线共点和三面共点。

例5.三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。

已知：平面，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。

证明：因为，故a，b共面。

I、若a∥b：由于，故，因直线，故a，c无公共点。又a，c都在平面内，故a∥b；故a∥b∥c。

II、若，则，故知

综上所述：命题成立。

说明：证明三点共线的问题的常用思路是先证两条直线相交，然后再证该交点在第三条直线上；证明交点在第三条直线上常证明该点是两个相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上即在第三条直线上。

考点五

共线的判断与证明：常见题型是三点共线。

例6.如图，o1是正方体ABcD-A1B1c1D1的面A1B1c1D1的中心，m是对角线A1c和截面B1D1A的交点，求证：o1、m、A三点共线。

证明：连结Ac.因为A1c1∩B1D1＝o1，B1D1平面B1D1A，A1c1AA1c1c，所以o1∈平面B1D1A且o1∈AA1c1c。同理可知，m∈平面B1D1A且m∈AA1c1c；A∈平面B1D1A且A∈AA1c1c。所以，o1、m、A三点在平面B1D1A和AA1c1c的交线上，故o1、m、A三点共线。

说明：证明三线共点问题的常见思路是证明第三点在前两点所确定的直线上；或者证明三点是两相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上。

考点六

共面问题的判断与证明：此类题型常见的是四点共面或三线共面，如证明某个图形是平面图形。

例7.如图，在空间四边形ABcD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是Bc、cD上的点，且cG＝Bc/3，cH＝Dc/3。求证：E、F、G、H四点共面；直线FH、EG、Ac共点。

证明：如图，连结HG，EF。在△ABD中，E、F分别为AB、AD中点，故EF是△ABD的中位线，故EF∥BD。在△cBD中，cG＝Bc/3，cH＝Dc/3，故GH∥BD，故EF∥GH，从而GH、EF可确定一个平面，即G、H、E、F四点共面。

由于E、F、G、H四点共面，且FH与EG不平行，故相交，记交点为m，则m∈FH，FH面AcD，故m∈面AcD；m∈EG，EG面ABc，故m∈面ABc。从而m是面AcD和面ABc的公共点，由公理3可知，m在这两个平面的交线Ac上，从而FH、EG、Ac三线共点。

说明：共面问题的常用的处理方法是利用平面的基本性质公理2及三个推论，先证明部分元素确定一个平面，再证剩下的元素也在此平面上；有时也可先证部分元素共面，剩下的元素共面，然后证明这两个平面重合（此时也可用反证法）。

［本讲涉及的主要数学思想方法］、数学语言是数学表述和数学思维不可缺少的重要工具，必须能将这三种语言即文字语言、符号语言和图形语言进行准确的互译和表达，这在空间关系的证明与判断中显得十分重要；

2、空间观念和空间想象能力：高考中立体几何题的题型功能最重要的一点就是考查考生的空间观念和空间想象能力，因为我们是通过平面图形（直观图）去研究空间关系，所以同学们在学习过程中一定要多观察、多思考，动手做一些空间模型或通过电脑动画模拟一些空间图形，培养空间概念，提高空间想象能力。

【模拟试题】

一、选择题、在空间内，可以确定一个平面的条件是（）

A.两两相交的三条直线

B.三条直线，其中的一条与另两条分别相交

c.三个点

D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

2、（XX辽宁卷）在正方体ABcDA1B1c1D1中，E、F分别为棱AA1、cc1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，cD都相交的直线（）

A.不存在 B.有且只有两条

c.有且只有三条

D.有无数条

*

3、已知平面外一点P和平面内不共线的三点A、B、c。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分别在PA、PB、Pc上，若延长A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（）

A.成钝角三角形

B.成锐角三角形

c.成直角三角形

D.在一条直线上

4、空间中有三条线段AB、Bc、cD，且∠ABc＝∠BcD，那么直线AB与cD的位置关系是（）

A.平行

B.异面

c.相交

D.平行或异面或相交均有可能

5、下列叙述中正确的是（）

A.因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α。

B.因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。

c.因为，c∈AB，D∈AB，因此cD∈α。

D.因为，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。

6、已知异面直线a，b分别在平面α，β内且α∩β＝c，那么c（）

A.至少与a，b中的一条相交；

B.至多与a，b中的一条相交；

c.至少与a，b中的一条平行；

D.与a，b中的一条平行，与另一条相交

7、已知空间四边形ABcD中，m、N分别为AB、cD的中点，则下列判断正确的是（）

二、填空题

8、在空间四边形ABcD中，m、N分别是Bc、AD的中点，则2mN与AB+cD的大小关系是。

9、对于空间中的三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。其中，能推出三条直线共面的有。

三、解答题

0、正方体ABcD-A1B1c1D1中，E、F分别是AB、AA1的中点。

求证：cE、D1F、DA三线共点；

求证：E、c、D1、F四点共面；

1、在正方体ABcD-A1B1c1D1中，若Q是A1c与平面ABc1D1的交点，求证：B、Q、D1三点共线。

2、如图，已知α∩β＝a，bα，cβ，b∩a＝A，c//a.求证：b与c是异面直线。

*

13、（XX高考题改编）正方体ABcD-A1B1c1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、c1B1的中点，试作出正方体过P、Q、R三点的截面。

第四篇：空间图形在平面内的表示方法教案

空间图形在平面内的表示方法教案

教学目标：会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。教学重点：画水平放置的平面图形的直观图。教学过程：

一、复习：

确定平面的三个推论

推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面。

二、新授：

1．水平放置的平面图形的直观图

直观图：表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。

画空间图形的直观图，一般都遵守统一的规则 例

1、画水平放置的正六边形的直观图。画法：略

例

2、画水平放置的正六边形的直观图。画法：略

例

3、画棱长为2厘米的正方体的直观图。画法：略

2．上面画直观图的画法叫做斜二测画法。

这种画法的规则是：

（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox、Oy，再取Oz轴。使∠xOz=90,且∠yOz=90；

（2）画直观图时，把它们画成对应的轴Ox、Oy、Oz，使xOy45（或135），xOz90。xOy所确定的平面表示水平平面； 00

0

00（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段；

（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

3．说明：应用斜二测画法画直观图时，为了简便，如果要求不太严格，那么长度和角度可“适当地”选取，只要有一定的立体感就可以了。例如，三角形的直观图可“适当地”画成三角形，长方形地直观图可“适当地”画成平行四边形。但习题中要求用斜二测画的，还应该按要求画。

三、做练习：第10页第1、2、3题 小结：1.直观图的概念 2．斜二测画法的规则

五、布置作业：习题9.1第8、9题。

第五篇：高考数学空间图形位置的几何证明测试(含答案)

高考攻略 黄冈第二轮复习新思维数学

专题八空间图形位置的几何证明命题人；董德松易赏

一、选择题

1.若a、b是异面直线，则以下命题正确的是

A.至多有一条直线与a、b都垂直

C.过a至少有一个平面平行与bB.至多有一个平面分别与a、b平行D.过a至少有一个平面垂直与b

2.直线a与平面a成角，a是平面a的斜线，b是平面a内与a异面的任意直线，则a与b所成的角

A.最小值为，最大值为

C.最小值为，无最大值

A.mn，m∥，n∥

C.m∥n，n，m

上的动点，则直线PO、AE的位置关系

A.平行

B.最小值为2 D.23.对于直线m、n和平面、，的一个充分条件是B.mn，m，nD.m∥n，m，n4.如图28，正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，E是D1D的中点，P是A1B1B.垂直C.相交但不垂直D.异面但不垂直

5.如图直线l、m与平面、、满足：l，l∥，m和m，那么必有

A.且lmB.且m∥C.m∥且lm

D.∥且6.若平面，l，且点P，Pl，则下列命题中的假命题是

A.过点P且垂直于的直线平行于

C.过点P且垂直于的直线在内的一个条件是

A.a∥且b　∥B.a∥且bC.a且b∥D.a且bB.过点P且垂直于l的直线在内D.过点P且垂直与l的平面垂直与

7.已知l是大小确定的一个二面角，若a，b是空间两条直线，则能是a、b所成的角为定值

8.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题

①若ab，a，则b∥

③a，，则a∥

其中正确的命题个数是

A.0个B.1个C.2个D.3个

9.在下列命题中，真命题是

A.若直线m，n都平行于平面，则m∥n

B.若直线m，n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n在内或与平面平行

C.设二面角l是直二面角，若直线ml，则m

D.设m，n是异面直线，若m与平面平行，则n与相交

10.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b

A.一定是异面直线

C.不可能是平行直线

二、填空题

11.在ABC中，C90，AB8，ABC30，PC面ABC，PC4，P'是AB上一动点，则PP'的最小值为

12.如图30所示，已知三棱锥PABC中，PAPC，BC平面PAC，下列五个结论正确的是

①平面PAB平面PBC

③平面PAC平面ABC

⑤平面PBC平面ABC

13.如图31.正方体ABCDA1B1C1D1中过点A做截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成角相等，试写出满足这样条件的一个截面

（只需写出一个截面即可）

②若a∥，，则④若ab，a，b，则B.一定是相交直线D.不可能是相交直线②平面PAB平面ABC④平面PAC平面PAB

三、解答题

14.已知矩形ABCD中，AB1，BCa(a0),PA平面ABCD，且PA

1（1）问BC边上是否存在一点Q，使得PQQD，并说明理由

（2）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD，求这时二面角QPDA的大小

15.直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出|AF|若不存在，说明理由

16.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，如图3

4（1）求证：A1CBD

（2）设P为正方体对角线A1C上任意一点，问A1C与平面PEB1所成的角是否有最大值和最小值，若有，请求出；若没有，请说明理由

专题八空间图形位置的几何证明（答案）

一、1.C2.B3.C4.B5.A6.B7.D8.B9.B10.C

二、11.2三、12.①③13.平面AD1C或平面AB1D1或平面AB1C

14.解：(1)设BQx.则QCax,QPQBBAAP,QDQCCD

由（（x(ax)1x2ax10欲使这个方程有解，必须a240

因此，当a2时，点Q存在；当a2时，只存在一个点

当0a2时，这样的点不存在(2)当存在唯一点Q时，a2.此时，由x22x10得x1，即Q点恰为BC之中点，由于平面PAD法向量是，设平面PQD的法向量为nn()(QCCD)120

及n()()40

11解得,2,n2,记二面角为2

2则cos

1146

615.解析：以B为坐标原点，以BA、BC、BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系AC2a,ABC90,ABBC2a

B(0,0,0),C(0,2a,0),A(2a,0,0),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),B1(0,0,3a)

假设存在点F，要使CF平面B1DF，只要CFB1F，且CFB1D，不妨设|AF|b，则F(2a,0,b),CF(2a,2a,b),B1F(2a,0,b3a),B1D（B1a2a20,B1恒成立

B12a2b(b3a)0ba或b2a

故当|AF|a或2a时，CF平面B1DF

16.解：(1)证明：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则：

1A1(1,0,0),B1(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1)E(1，0)2

A1C(1,1,1),BD(1,1,0)

A1CBD(1,1,1),BD(1,1,0)

A1CBD

22a,a,0)22

(2)令A1PA1C,[0,1]

11BE1(0，1),EA1(0,,1),A1(1,1,1)22

1EA1A1(,,1)2

平面PEB1的法向量n(23,2,)

设A1C与平面PEB1所成角为，则sin|ACn|

123103()277

3210210当时，sin最大值为，的最大值为arcsin71515

22当1时，sin最小为，的最小值为arcsin。33

最大值与最小值均存在