黄冈二轮8 空间图形位置的几何证明（5篇模版）

第一篇：黄冈二轮8 空间图形位置的几何证明

数学

专题八

空间图形位置的几何证明

一、选择题1.若a、b是异面直线，则以下命题正确的是A.至多有一条直线与a、b都垂直C.过a至少有一个平面平行与bB.至多有一个平面分别与a、b平行D.过a至少有一个平面垂直与b2.直线a与平面a成角，a是平面a的斜线，b是平面a内与a异面的任意直线，则a与b所成的角A.最小值为，最大值为C.最小值为，无最大值A.mn，m∥，n∥C.m∥n，n，m上的动点，则直线PO、AE的位置关系A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.异面但不垂直B.最小值为，最大值为D.无最小值，最大值为22

3.对于直线m、n和平面、，的一个充分条件是B.mn，m，nD.m∥n，m，n4.如图28，正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，E是D1D的中点，P是A1B15.如图直线l、m与平面、、满足：l，l∥，m和m，那么必有A.且lmB.且m∥C.m∥且lmD.∥且6.若平面，l，且点P，Pl，则下列命题中的假命题是A.过点P且垂直于的直线平行于C.过点P且垂直于的直线在内的一个条件是A.a∥且b　∥B.a∥且bC.a且b∥D.a且bB.过点P且垂直于l的直线在内D.过点P且垂直与l的平面垂直与

7.已知l是大小确定的一个二面角，若a，b是空间两条直线，则能是a、b所成的角为定值8.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题①若ab，a，则b∥③a，，则a∥其中正确的命题个数是A.0个B.1个C.2个D.3个9.在下列命题中，真命题是A.若直线m，n都平行于平面，则m∥nB.若直线m，n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n在内或与平面平行C.设二面角l是直二面角，若直线ml，则mD.设m，n是异面直线，若m与平面平行，则n与相交10.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与bA.一定是异面直线C.不可能是平行直线

二、填空题11.在ABC中，C90，AB8，ABC30，PC面ABC，PC4，P'是AB上一动点，则PP' 的最小值为12.如图30所示，已知三棱锥PABC中，PAPC，BC平面PAC，下列五个结论正确的是①平面PAB平面PBC③平面PAC平面ABC⑤平面PBC平面ABC13.如图31.正方体ABCDA1B1C1D1中过点A做截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成角相等，试写出满足这样条件的一个截面（只需写出一个截面即可）②平面PAB平面ABC④平面PAC平面PABB.一定是相交直线D.不可能是相交直线②若a∥，，则④若ab，a，b，则

三、解答题14.已知矩形ABCD中，AB1，BCa(a0),PA平面ABCD，且PA1（1）问BC边上是否存在一点Q，使得PQQD，并说明理由

（2）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD，求这时二面角QPDA的大小

15.直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出|AF| 若不存在，说明理由

16.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，如图34（1）求证：A1CBD

（2）设P为正方体对角线A1C上任意一点，问A1C与平面PEB1所成的角是否有最大值和最小值，若有，请求出；若没有，请说明理由

专题八

空间图形位置的几何证明（答案）

一、1.C

2.B

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.B

10.C

二、11.2712.①③13.平面AD1C或平面AB1D1或平面AB1C

14.解：(1)设BQx.则QCax,QPQBBAAP,QDQCCD由QPQD（QBBAAP）（QCCD）QBQCBCCDx(ax)1x2ax10欲使这个方程有解，必须a240因此，当a2时，点Q存在；当a2时，只存在一个点当0a2时，这样的点不存在(2)当存在唯一点Q时，a2.此时，由x22x10得x1，即Q点恰为BC之中点，由于平面PAD法向量是AB，设平面PQD的法向量为nABADAP，则由nQD(ABADAP)(QCCD)120及nPD(ABADAP)(ADAP)4011解得,2,nABAD2AP,记二面角为22则cosABn|AB||n|arccos1114666615.解析：以B为坐标原点，以BA、BC、BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系AC2a,ABC90,ABBC2aB(0,0,0),C(0,2a,0),A(2a,0,0),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),B1(0,0,3a)假设存在点F，要使CF平面B1DF，只要CFB1F，且CFB1D，不妨设|AF|b，则F(2a,0,b),CF(2a,2a,b),B1F(2a,0,b3a),B1D(CFB1Da2a20,CFB1D恒成立B1FCF2a2b(b3a)0ba或b2a故当|AF|a或2a时，CF平面B1DF16.解：(1)证明：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则：A1(1,0,0),B1(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1)E(1,A1C(1,1,1),BD(1,1,0)A1CBD(1,1,1),BD(1,1,0)A1CBD(2)令A1PA1C,[0,1]BE1(0,11,1),EA1(0,,1),A1C(1,1,1)221EPEA1A1P(,,1)2平面PEB1的法向量n(23,2,)设A1C与平面PEB1所成角为，则sin|A1Cn||A1C||n|23314(210153210)7722a,a,0)22

1,0)2当3时，sin最大值为7210，的最大值为arcsin15

22，的最小值为arcsin。33最大值与最小值均存在当1时，sin最小为

第二篇：高考数学空间图形位置的几何证明测试(含答案)

高考攻略 黄冈第二轮复习新思维数学

专题八空间图形位置的几何证明命题人；董德松易赏

一、选择题

1.若a、b是异面直线，则以下命题正确的是

A.至多有一条直线与a、b都垂直

C.过a至少有一个平面平行与bB.至多有一个平面分别与a、b平行D.过a至少有一个平面垂直与b

2.直线a与平面a成角，a是平面a的斜线，b是平面a内与a异面的任意直线，则a与b所成的角

A.最小值为，最大值为

C.最小值为，无最大值

A.mn，m∥，n∥

C.m∥n，n，m

上的动点，则直线PO、AE的位置关系

A.平行

B.最小值为2 D.23.对于直线m、n和平面、，的一个充分条件是B.mn，m，nD.m∥n，m，n4.如图28，正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，E是D1D的中点，P是A1B1B.垂直C.相交但不垂直D.异面但不垂直

5.如图直线l、m与平面、、满足：l，l∥，m和m，那么必有

A.且lmB.且m∥C.m∥且lm

D.∥且6.若平面，l，且点P，Pl，则下列命题中的假命题是

A.过点P且垂直于的直线平行于

C.过点P且垂直于的直线在内的一个条件是

A.a∥且b　∥B.a∥且bC.a且b∥D.a且bB.过点P且垂直于l的直线在内D.过点P且垂直与l的平面垂直与

7.已知l是大小确定的一个二面角，若a，b是空间两条直线，则能是a、b所成的角为定值

8.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题

①若ab，a，则b∥

③a，，则a∥

其中正确的命题个数是

A.0个B.1个C.2个D.3个

9.在下列命题中，真命题是

A.若直线m，n都平行于平面，则m∥n

B.若直线m，n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n在内或与平面平行

C.设二面角l是直二面角，若直线ml，则m

D.设m，n是异面直线，若m与平面平行，则n与相交

10.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b

A.一定是异面直线

C.不可能是平行直线

二、填空题

11.在ABC中，C90，AB8，ABC30，PC面ABC，PC4，P'是AB上一动点，则PP'的最小值为

12.如图30所示，已知三棱锥PABC中，PAPC，BC平面PAC，下列五个结论正确的是

①平面PAB平面PBC

③平面PAC平面ABC

⑤平面PBC平面ABC

13.如图31.正方体ABCDA1B1C1D1中过点A做截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成角相等，试写出满足这样条件的一个截面

（只需写出一个截面即可）

②若a∥，，则④若ab，a，b，则B.一定是相交直线D.不可能是相交直线②平面PAB平面ABC④平面PAC平面PAB

三、解答题

14.已知矩形ABCD中，AB1，BCa(a0),PA平面ABCD，且PA

1（1）问BC边上是否存在一点Q，使得PQQD，并说明理由

（2）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD，求这时二面角QPDA的大小

15.直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出|AF|若不存在，说明理由

16.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，如图3

4（1）求证：A1CBD

（2）设P为正方体对角线A1C上任意一点，问A1C与平面PEB1所成的角是否有最大值和最小值，若有，请求出；若没有，请说明理由

专题八空间图形位置的几何证明（答案）

一、1.C2.B3.C4.B5.A6.B7.D8.B9.B10.C

二、11.2三、12.①③13.平面AD1C或平面AB1D1或平面AB1C

14.解：(1)设BQx.则QCax,QPQBBAAP,QDQCCD

由（（x(ax)1x2ax10欲使这个方程有解，必须a240

因此，当a2时，点Q存在；当a2时，只存在一个点

当0a2时，这样的点不存在(2)当存在唯一点Q时，a2.此时，由x22x10得x1，即Q点恰为BC之中点，由于平面PAD法向量是，设平面PQD的法向量为nn()(QCCD)120

及n()()40

11解得,2,n2,记二面角为2

2则cos

1146

615.解析：以B为坐标原点，以BA、BC、BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系AC2a,ABC90,ABBC2a

B(0,0,0),C(0,2a,0),A(2a,0,0),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),B1(0,0,3a)

假设存在点F，要使CF平面B1DF，只要CFB1F，且CFB1D，不妨设|AF|b，则F(2a,0,b),CF(2a,2a,b),B1F(2a,0,b3a),B1D（B1a2a20,B1恒成立

B12a2b(b3a)0ba或b2a

故当|AF|a或2a时，CF平面B1DF

16.解：(1)证明：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则：

1A1(1,0,0),B1(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1)E(1，0)2

A1C(1,1,1),BD(1,1,0)

A1CBD(1,1,1),BD(1,1,0)

A1CBD

22a,a,0)22

(2)令A1PA1C,[0,1]

11BE1(0，1),EA1(0,,1),A1(1,1,1)22

1EA1A1(,,1)2

平面PEB1的法向量n(23,2,)

设A1C与平面PEB1所成角为，则sin|ACn|

123103()277

3210210当时，sin最大值为，的最大值为arcsin71515

22当1时，sin最小为，的最小值为arcsin。33

最大值与最小值均存在

第三篇：几何证明

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于

_________________；

相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.

第四篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

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C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

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第五篇：几何证明

几何证明

1.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度数

2.已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系

3.如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。

4.如图，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF

AEFCD B

5.如图，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于F,CFEE。求证：

AD//BC。

6.如图，已知AB//CD，B40，CN是BCE的平分线，

A

D

F

B

C

E

CMCN，求BCM的度数。

7.如图若FD//BE，求123的度数

A

N

M

C

D

E

第三题

o

8.如图已知CAOC，OC平分AOD，OCOEC63求D，BOF的度

数

第四题

9.已知如图DB//FG//EC，若ABD60，ACE36AP平分BAC求PAG的度数

第五题

10.，已知如图AC//DE，DC//FE，CD平分BCA，那么EF平分BED？为什么？

B

11.1）已知三角形三边长分别是4,5,6-x,求x的取值范围

（2）已知三角形三边长分别是m，m-1，m+1，求m的取值范围

oo

12.在ABC中，B70BAC:BCA3:2，CDAD垂足为D且ACD35

oo

求BAE的度数

A50oD44 13.已知AC，BD交与O，BE，CE分别平分ABD,ACD且交与E，o

求E的度数。

E

o

14.ACE90AC=CE，B为AE上的一点，EDCB于D，AFCB交CB的延长

线于F，求证：AF=CD

第22题

15，已知AB=CD，BC=DA，E，F为AC上的两个点，且AE=CF，求证BF//DE

第23题

16.AD，BC交于D，BEAD于E,DFBC于F且AO=CO,BE=DF,求证 ＡＢ＝ＣＤ

o

17.中AB=AC，BAC90分别过BC做过A点的直线的垂线，垂足为D,E,求证DE=BD+CE

第25题