韩信点兵中的数学故事

第一篇：韩信点兵中的数学故事

韩信点兵中的数学故事

韩信点兵是一个有趣的游戏,如果你随便拿一把棋子（数目在100粒左右）,先3粒3粒数,不满3粒的记下余数；再5粒5粒数,不满5粒的记下余数；最后7粒7粒地数,也把余数记下来.然后根据每次的余数,就可以知道你原来拿的棋子总共有多少.如：3个一数余1粒,5个一数余2粒,7个一数余2粒,那么原有棋子是多少呢? 它的算法很简单,而且在我国古代就有.宋朝周密叫它“鬼谷算”或“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而“韩信点兵”是较通行的名称.至于它的算法,在《孙子算经》上早有说明,后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广,又发现了一种算法,叫“大衍一术”.这就是外国人所称的“中国剩余定理”,是数学史上极有名的问题.那么到底怎样来计算呢? A×70+b×21+c×15-105 其中a、b、c分别为3个、5个、7个一数的余数.如果得出数还是比105大,就再减去105,一直到得数比105小为止.因此你可以很容易地知道,前面问题的答案了 1×70+2×21+2×15-105=37（粒）.那么“韩信点兵”里为什么要3个一数,5个一数,7个一数呢?周其它的数可以吗?我们先研究一下“韩信点兵”的解法“70a+21b+15c-105”.我们先来看一下70、21、15、105这4个数和3、5、7之间的关系：

（1）70=2×5×7,70=3×23+1,所以70是5和7的一个公倍数,它被3除后余数是1.（2）同理,21是3与7的一个公倍数,它被5除后余数是1.（3）15是3与5的一个公倍数,它被7除后余数是1.（4）105=3×5×7,是3、5、7的最小公倍数.根据上面的这些关系,“70a+21b+15c-105”确实是所求的得数.所以,70a+21b+15c-105被3除的余数是1.据同样的道理,这个数被5除后的余数是2,被7除后余数是2.那么,“韩信点兵”里为什么要用3、5、7这三个数呢?我们知道,3、5、7中任意两个数的最大公约数都是1,也就是说是两两互素.于是就可以找到这样一个数,是3、5、7其中两个数的公倍数,而被另一个数除后余数是1,类似70、21、15.这也就是“韩信点兵”中的三个数的要求.那么不是两两互素的数,是不是就一定找不到类似70、21、15的数呢?如4、6、7这三个数,4与6不是互素,它们的最大公约数是2,而6与7的任何一个公倍数都是偶数,被偶数4除后的余数也一定是偶数,而不可能是1,所以是找到与70、21、15相当的三个数的.因此在“韩信点兵”里就不能用.我们也可以不用3、5、7这三个数,而换成其它两两互素的数,如2、3、11.这时的计算式是“33a+22b+12c-66”.不信的话,你可以用上文中的例子试一试,看是不是37粒.

第二篇：古代的数学文化讲解：韩信点兵

古代的数学文化讲解：韩信点兵

小学是我们整个学业生涯的基础，所以小朋友们一定要培养良好的学习习惯，查字典数学网为同学们特别提供了古代的数学文化讲解，希望对大家的学习有所帮助!

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少?

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然後再加3，得9948(人)。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」

答曰：「二十三」

术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」

孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

以上就是古代的数学文化讲解的全部内容，查字典数学网欢迎大家阅读。

第三篇：韩信点兵方法证明

关于韩信点兵问题

公式的证明

设：第一次每排A人，最后剩余a人，第二次每排B人，最后剩余b人，第三次每排C人，最后剩余c人。按照求解方法的步骤是：

第一步

1找到满足下列条件的k1、k2： ○

（B×C）·k1=A·k2+

12将上面的等式两边扩大a(第一次最后剩余人数)倍 ○

1式或：（B×C）·a ·k1=A·a·k2+a，……○

[(B×C）·a ·k1]÷A=a·k2……a第二步同法：

1找到满足下列条件的k3、k4： ○

（A×C）·k3=B·k4+1

2将上面的等式两边扩大b(第二次最后剩余人数)倍 ○

2式或（A×C）·b·k3=B·b·k4+b……○

[(A×C)·b·k3]÷B=b·k4……b第三步同法：

3式或(A×B）·c ·k5 =C·c·k6+c……○

[（A×B）·c ·k5]÷C=c·k6……c

1○2○3式相加，并验证 第四步把○

1式(B×C）·a·k1= A·a·k2+a……○

2式(A×C）·b·k3 = B·b·k4+b……○

3式(A×B）·c·k5= C·c·k6+c……○

1○2○3式左边相加 验证：○

1式说明左边除以A，余a ○

2式说明左边除以A，无余数； ○

3式说明左边除以A，也无余数； ○

1○2○3式相加，和除以A,余数必然是a;把○

同理:

1○2○3式相加，和除以B,余数必然是b;把○

1○2○3式相加，和除以C,余数必然是c;把○

最后总结一下：

该数=(B×C）·a·ka+(A×C）·b·kb+(A×B）·c·kc其中：

ka 满足:(B×C）·ka= An+1取最小 kb 满足:(A×C）·kb = Bn+1取最小 kc 满足:(A×B）·kc= Cn+1取最小

第四篇：趣味数学教案—韩信点兵

韩信点兵

教学目标：

一、让学生在故事中学会带余除法的算法，掌握剩余定理。

二、帮助学生开拓逻辑思维，提前掌握用未知数列方程。

三、在学习中玩，在玩中学习，让学生体验到学习的快乐。

教学重点：

剩余定理，带余除法

教学难点：

多方程解未知数

课前准备：

教学PPT

教学步骤：

一、韩信点兵

汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法.二、唐僧师徒摘桃子

一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？

八戒憨笑着说：师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？

沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？

悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘多少个？

唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数。你知道他们每人摘多少个桃子吗？（61）

三、小题考一考

一个数，被3除余1，被5除余3，被7除余6，被11除余8，这个数是多少？（118）课堂总结

活跃气氛，快乐学习。

第五篇：数学故事中的智慧

数学故事中的智慧 韩信点兵

有一次，韩信去校场清点兵马，手指令旗，调遣军队，只见韩信呼啦啦把旗一挥，发出信号。士兵们的队形马上发生了变化，排成3列横队，前后对的整整齐齐。韩信默默记下了不足三人一排余下的人数。接着，韩信的令旗有一挥，士兵们排成5列横队，每五个人一排也对齐。韩信又记下最后一排不足5人的数。最后，韩信在变一次队形，把整个军队变成7列横队，每七人一排也对齐。韩信就根据这三个数，算出缺席士兵的人数，看上去很容易，很快就完成了。

这道问题运用的是剩余定理

人们把这类问题成为 中国剩余定理或孙子订立，中国古文明的火花闪耀出夺目的光辉。

他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。

1先算3、5、7的最小公倍数3*5*7=105

2再算符合除以3余2，除以5余3，除以7余2的最小值

除以3余2的数：5，8，11，14，17，20，23，26…

除以5余3的数：8，13，18，23，28…

除以7余2的数：9，16，23，30…

由上得出除以3余2，除以5余3，除以7余2的最小值为23

3韩信原有1500名士兵，苦战一场死伤四五百。现剩余士兵应在1000-1100之间，并且现存的士兵数应可以被105整除并且余数是23.所以现存士兵数应该是105×10+23=1073人。

斐波纳奇和兔子

有一对兔子，每一个月可以生下一对小兔子，而且假定小兔子在出生的第二个月便有生育能力，那么过一年后，问一共能有多少对兔子？假设每产一对必须是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能进行相互交配，所生下来的兔子都能保证成活率。

究竟有多少对呢？我们不妨计算一下，一对兔子，在一个月后生出了一对，总数是两对。而在这两对当中，只有第一对兔子有生育能力，因而两个月后一共有三对兔子，三个月后第一第二对兔子都有生育能力，因此又新出生两对兔子，总共有五对兔子，这样依此类推，经过一年（十二个月）后，兔子总数为233对。

我们现在把从1，1开始，两数相加得出后面一个数的数列叫斐波那契数列

斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、有趣的是：前一项除以后一项，愈往后愈接近黄金分割比。而黄金分割比这一漂亮的比例结果早已深入人心，应用十分广泛。

沈括数坛

第二天。这堆酒坛果然吸引了不少顾客，老板望着酒坛，乐不可支。这时，一位衣冠楚楚的青年书生走了过来，面对酒坛，若有所思。老板心想：我昨天为了数清这堆酒坛，花了很大的功夫，这位青年相貌不凡，我倒要考考他看。

“年轻人，你知道这堆酒坛一共有多少个吗?”老板半开玩笑地问道。

“这很容易，只要你告诉我这堆酒坛最上面的那层一共几排，每排多少个，一共有几层。根本不用数，我马上就知道这堆酒坛的数目。”年轻人这么说话，显然有十足的把握。

“噢!”老板心想：这位年轻人真会说大话，不妨把他提的条件告诉他，看看他的能耐到底有多大。于是老板爽快地说：

“最上面那层酒坛是四排，每排8个，第二层是五排，每排9个……”

“好了，一共七层，”年轻人打断了老板的话，不加思索地报出了答案，“一共567个酒坛。对吗?” 沈括回答老板说：“我数这坛子的方法其实非常简单，因为最中间那层共77个，共七层，只要再乘7，最后加上常数28就行了。” 也就是

4*8+5*9+6*10+7*11+8*12+9*13+10*14=4*11-4*3+5*11-5*2+6*10-6*1+7*11+8*11+8+9*11+9*2+10*11+10*3=7*7*11+(-12-10-6+8+18+30)=7*7*11+28=567 沈括数坛的方法就是利用了高阶等差级数求和的方法。数学上还可能碰到数字更大，项数更多的题目 投针试验

试验开始公元1777年的一天，法国科学家D•布丰(D.Buffon 1707～1788)的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值!”

布冯先生的理论后来发展成了概率论。随着电子计算机的发展，按照布冯的思路建立起了我们现在经常用的“蒙特卡洛方法”