圆的认识知识点总结

第一篇：圆的认识知识点总结

圆的认识知识点总结

 圆的定义：

圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

相关定义: 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。

圆的集合定义：

圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

 圆的字母表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。圆—⊙ ；

半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒ ； 直径—d ；

扇形弧长—L ； 周长—C ； 面积—S。

圆的性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理

① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

 点、线、圆与圆的位置关系：

点和圆位置关系

①P在圆O外，则 PO>r。②P在圆O上，则 PO=r。③P在圆O内，则 0≤PO

直线和圆位置关系

①直线和圆无公共点，称相离。AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）

圆和圆位置关系

①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P 圆的计算公式: 1.圆的周长C=2πr=或C=πd 2.圆的面积S=πr2 3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径 d=2r 6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）

7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）

圆的方程:

1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。

特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。

2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有： ①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D2+E2-4F）/2为半径的圆； ②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）； ③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ,（其中θ为参数）

圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x2+y2=r2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r2

在圆（x2+y2=r2）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。

 圆的历史: 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。

会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。

任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说“周三径一”，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。

第二篇：小学圆知识点总结

第一单元

圆

一、圆的概念和性质

1、圆是由一条曲线围成的平面图形。

（以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）

2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；

连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；

通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。

在同一个圆里，有无数条半径和直径。

在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。

3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。

画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。

4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r,r

=d÷2）

5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。

6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

7、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积

画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。

8、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径

画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。

9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。

二、圆的周长

10、圆围成的长度就是圆的周长。

车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。

每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数

11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653……

我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.1412、如果用C表示圆的周长，那么C＝πd或C

=

2πr13、求圆的半径或直径的方法：d

=

C÷π

r

=

C÷

π÷2=

C÷2π

14、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。

C半圆=

πr＋2r=5.14r

C半圆=

πd÷2＋d=2.57d15、常用的3.14的倍数：

3.14×2＝6.28

3.14×3＝9.42

3.14×4＝12.56

3.14×5＝15.7

3.14×6＝18.84

3.14×7＝21.98

3.14×8＝25.12

3.14×9＝28.26

3.14×12＝37.68

3.14×14＝43.96

3.14×16＝50.24

3.14×18＝56.52

3.14×24＝75.36

3.14×25＝78.5

3.14×36＝113.04

3.14×49＝153.86

3.14×64＝200.96

3.14×81=254.34

三、圆的面积

16、圆所占(平方)的大小就是圆的面积。

圆的面积公式：S=πr2。圆的面积是半径平方的π倍。

17、圆的面积推导：

圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S长方形＝S圆）；

长方形的宽是圆的半径（即b＝r）；

长方形的长是圆周长的一半（即a＝C÷2=πr）。

即：S长方形＝

a

×

b

↓

↓

S圆＝

πr

×

r

＝

πr2

所以，S圆

＝

π

r218、半圆的面积是圆面积的一半。S半圆＝πr2÷2

四、补充

19、大小两个圆比较，半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数，面积的倍数＝半径倍数的平方

（即r扩大n倍，直径扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n2倍）

20、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；

面积相等的平面图形中，圆的周长最短。

21、求阴影部分的面积的常用方法有割补法、和差和等分法等。

22、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长（如图）

几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的周长

n23、常用的平方数：112＝121

122＝144

132＝169

142＝196

152＝225

162＝256

172＝289

182＝324

192＝361

202＝400

第三篇：圆的知识点归纳总结

圆的知识点归纳总结

1.圆是由一条曲线围成的平面图形。

（以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）2.画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； 连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；

通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。

3.圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。4.圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。

5.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。6.在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=d÷2。7.圆的周长是指围成圆的曲线的长。

8.圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母∏表示，计算时通常取3.14.9.圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=∏d或C=2∏r。10.圆的周长计算公式的应用：

已知圆的半径，求圆的周长：C=2∏r。

已知圆的直径，求圆的周长：C=∏d。

已知圆的周长，求圆的半径：r=C ÷2∏。已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷ ∏。

11.圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。

12.如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= ∏r2。13.圆的面积计算公式的应用：

已知圆的半径，求圆的面积：S= ∏r2。

已知圆的直径，求圆的面积：r= d÷2，S= ∏r2。已知圆的周长，求圆的面积：r=C ÷2∏，S= ∏r2。14.正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径； 长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径。15.同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。16.车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。

每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数。17.半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。

C半圆= πr＋2r=5.14r

C半圆= πd÷2＋d=2.57d 半圆的面积是圆面积的一半。S半圆= S= ∏r2÷2.18.两个同心圆形成一个圆环。

设小圆和大圆（或内圆和外圆）的半径和直径分别为r和R。（R﹥r）

S圆环=∏R2-∏r2=∏(R2-r2).19.一个圆的半径扩大若干倍，则它的直径也扩大相同的倍数，周长也扩大相同的倍数，而面积扩大倍数的平方倍。

20.在周长相等的长方形，正方形和圆中，（圆）的面积大一些。

21.常用的3.14的倍数：

3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96 3.14×16＝50.24

3.14×18＝56.52

3.14×24＝75.36

3.14×25＝78.5 3.14×36＝113.04 3.14×49＝153.86

3.14×64＝200.96 3.14×81=254.34

第四篇：初中圆知识点总结

初中圆知识点总结

1、圆是到定点的距离等于定长的点组成的图形。

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点组成的图形。

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点组成的图形。

4、同圆或等圆的半径相等。

5、到定点的距离等于定长的点组成的图形，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

6、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。

7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

8、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

9、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

10、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形。

11、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆周角相等，所对的弦的弦心距相等。

12、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

13、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

14、推论：

1、同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

15、推论：

2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

16、推论：

3、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（注：这是用来证明三角形是直角三角形的一种方法）

17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（这个定理现在的书上没有）。

21、直线和圆的位置关系：

①直线L和⊙O相交d﹤r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d﹥r

（其中：d表示直线到圆心的距离，r表示圆的半径）

18、切线的判定定理：经过半径的外端（或者直径的一端）并且垂直于这条半径（或这条直径）的直线是圆的切线。

19、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径（或直径）。

20、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

21、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

注：小结为过圆心、过切点，垂直于切线，22、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆

心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（这个定理书上没有）

23、定理：圆的外切四边形的两组对边的和相等。（这个定理书上没有）

24、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。（这个定理书上没有）

25、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（这个定理书上没有）

26、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上（其中：d表示圆心距，R表示大圆的半径，r表示小圆的半径）

27、①两圆外离d﹥R+r

②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内切d=R-r(R﹥r)

⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

28、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

29、扇形弧长计算公式：L=n兀R／180（其中：L表示弧长，n表示圆心角的度数，R表示扇形的半径）

30、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2（其中：L表示弧长，n表示圆心角的度数，R表示扇形的半径）

31、圆锥的侧面积公式：S侧=S扇形 =（1/2）×扇形半径 × 扇形弧长=π rL（其中：r表示底面圆的半径，L表示扇形的半径：即圆锥的母线长）

32、圆锥的全面积：S全= S侧+ S底面圆=π rL+π r2

注：（圆的知识中的几条经常作的重要的辅助线：①连接圆心和圆上的点（构成半径），②过圆心作弦的弦心距，(以便利用垂径定理)，③作直径所对的圆周角，（以便得到直径所对的圆周角是直角）④连接圆心和切点(以便利用切线的性质定理)⑤两圆相切时作两圆的连心线和公切线，（以便利用相切两圆的性质），⑥两圆相交时作两圆的连心线和公共弦。（以便利用相交两圆的性质）。

第五篇：初中圆知识点精华总结

初中关于圆的知识是重要内容，以下是小编收集的相关知识点，仅供大家阅读参考!

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等

8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9.定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等

10.推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角

12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 dr

13.切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14.切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18.圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角

19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

20.①两圆外离 dR+r ②两圆外切 d=R+r

③.两圆相交 R-rr)

④.两圆内切 d=R-r(Rr)⑤两圆内含dr)

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