第一篇：初中几何技能修炼策略（共）
初中“几何技能”修炼策略
崇州市崇庆中学初中校区：余首成
传说几何很困难，尤其难在辅助线。辅助线条如何建？有些作法是习惯，听闻见识学着干；定理推论和概念，图形修补最关键；基本模型多总结，图中提取可识别；融进综合与分析，破题思路可告捷。
初一下期期末复习时，学生应该具备（或尽量具备）下列知识：平行线的判定与性质；三角形的角的关系、边的关系，三角形的外角性质；三角形的四心概念；一般三角形全等的判定方法，直角三角形全等的判定方法；等腰三角形的性质和判定方法；等边三角形的性质和判定方法；轴对称图形的性质和判定方法，中垂线的性质和判定方法，角平分线的性质和判定方法。以上知识学生要结合图形熟练掌握，得到如数家珍的程度。尽管这些知识到初二又会开始重修，但这种重修并非简单的由零开始，而是提高了思维要求之后的旧知识的新应用，所以从初二上册开始要重视引导和培养学生分阶推进以下各个环节：
1、学会结合基本图形来背记概念、公理、定理和推论，通过扎实几何基础来实现“能先看懂解题过程，再尝试重现和模仿”的目标；
2、学会怎样去安排和书写解题过程，做到详略得当、格式得体，这样既能在解题中避免“会而不对，对而不全”的遗憾，又能稍微减少一些书写时间和书写空间，以追求最终能在真正意义上去实现解题书写的那种“既适时，又适度”的灵活与自由；
3、学会总结题型、确定方法，并能在解题实践中识破题型、想到对策；
4、学会总结重要的基本几何模型，并能在复杂图形中提取识别帮助思考；
5、学会运用综合思维和分析思维来帮助思考，缩短打通解题思路的时间；
6、学会对解题思路作出自我评价、合理推断，从而知道应该坚定沿路前进，还是应该果断倒车绕行；
7、学会恰当地添加辅助线继而去实现基本图形的修补和几何图形的构造，从而能以较为快速和较为合理的方式去解决几何问题；
8、学会尝试调整辅助线的“设定与意图”的先后顺序，来摆脱解题思路陷入“很难推证相关意图”的尴尬境地。
其中第1、2两点是属于“几何入门”的阶段，它涉及到基础知识的记忆和基本技能的模仿，不管是记忆的内化升华，还是技能的熟练灵活都需经历解题实践来使之完善臻美。课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，而动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。我想《标准》显然并没有否定“模仿与记忆”的作用，实际上“合作交流”的前提是“自主探索”，而“自主探索”的手段是“动脑思考”、“动手实践”，而我们“动脑思考”、“动手实践”的出发点自然存在于我们“认知的最近发展区”。我们认知活动的根本出发点又存在于何处呢？一方面存在于我们对定义、公理的理解和记忆中（至于定理和推论，我们本来可以不必理睬，但为了让思维更活跃，让解题更高效，我们也欣然接受了这些思维的“垫脚石”）；另一方面也存在于我们对各类方法与技能在思维本质上的理解和书写形式上的模仿中，所以可以把基础知识的记忆和基本技能的模仿视为几何入门的必备钥匙。
第3、4两点是属于“实践熟练”的阶段，它既涉及到问题类型的判断识别与应对策略（这正是基本技能的熟练灵活，俗称考试抓分又快又准！），更涉及到待解问题所呈现出的已知信息对人脑的条件刺激继而在人脑的认
知系统中所激活的解题经验水花、过程体验涟漪。经验图形被条件刺激所激活时，思维火花便开始闪烁，而过程体验被条件刺激所调动后，思路水纹却早已开始波动，二者往往于不知不觉中化作无声润剂，让人直觉萌动，念头丛生（其实这正好印证了在探索几何问题解题方法的道路上，我们除了需要普遍的基本技能和方法之外，还需要有无声润滑的基本图形、模型，更需要有活跃的直觉和可试的念头！）。可见平时所积攒的“经验图形与模型，以及在获取方法与技能过程中的心智体验”犹如催化剂一般，在以后的解题探索中对于解题念头的“由境而生”，乃至解题念头的“波动丛生”都潜移默化地起着推波助澜的作用。
第5、6两点是属于“数学思维”的阶段，它涉及到思维的方式和策略，更涉及到“元认知”力量对解题思维的调控和导航作用。
最后的第7、8两点是属于“数学创造”的阶段，它涉足到几何精神的高层境界，那就是：用辅助线去补形、造形！解题念头自然流露，辅线尝试水到渠成，在试错中拨动数学创造的玄妙音符，在微调中弹奏数学创造的美妙旋律。
总而言之，学习过程中我们应该学会模仿和继承曾经见识过的作法，学会修补和构造曾经记忆过的重要图形。因为只有见识过才谈得上继承，也只有记忆过才谈得上修补，所以学与习、记与忆贯穿了数学学科（包括任何一门学科和学问）的整个过程。波利亚说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本，良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要”。于是我相信有一种主观的几何精神是：见识后模仿继承，记忆后修补构造；更相信有一种自然的法道规律是：天道总酬勤，厚积才薄发！
下面特意给同学们提供一些建议和引导：
一、学好几何的八个要点，总结成口诀如下：
学好几何有八点，一点一阶迈向前：
1、背记定理与概念，图形结论记心间；
2、书写详略别随便，格式逻辑都关键；
3、题型方法多总结，识别出来好下笔；
4、重要模型要熟练，提取识别多胜算；
5、分析综合兼顾选，困难再多也会减；
6、思路过程感到难，别钻牛角死向前，评估思路作推断，前进倒车容易选；
7、真心体悟辅助线，几何精神现其间；
8、辅线设定有意图，若遇推证路难走，对调设定与意图，思路微调易结果。
二、关于“三角形专题”的解题思路和辅助线方法总结成口诀（以下有一部分内容借鉴于网络，感谢原创作者！）如下：
角平分线要过关，四种模型记心间： 图中有角平分线，可向两边作垂线； 也可翻折试试看，对称截取全等现；
角平分线平行线，等腰三角找找看，三者经常相结伴，若有其二可盼三； 两线合一要警惕，等腰三角有气息： 线段垂直平分线，可向两端把线连； 角平分线加垂线，等腰三角添来看，角平分线加中线，也向两边作垂线，直角三角全等看，等腰三角成必然。
线段和差与倍半，截长补短搞试验； 线段和差不等式，移到同一三角试。
三角一边有中点，加倍中线类中线。三角两边有中点，连接得到中位线。
辅助线条乃虚线，画图注意勿改变。基本作图很关键，平时掌握要熟练。图形条件较分散，三大变换去试验。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。课余刻苦加钻研，体悟规律要实践，天道酬勤需苦练，厚积薄发成心愿！
第二篇：初中几何证明题
初中几何证明题
己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。
求证:BD+CE≥DE。
1.延长EM至F,使MF=EM,连BF.∵BM=CM,∠BMF=∠CME,∴△BFM≌△CEM(SAS),∴BF=CE，又DM⊥EM，MF=EM,∴DE=DF
而∠DBF=∠ABC+∠MBF=∠ABC+∠ACB<180°，∴BD+BF>DF，∴BD+CE>DE。
2.己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。
求证:BD+CE≥DE
如图
过点C作AB的平行线，交DM的延长线于点F;连接EF
因为CF//AB
所以，∠B=∠FCM
已知M为BC中点，所以BM=CM
又，∠BMD=∠CMF
所以，△BMD≌△CMF(ASA)
所以，BD=CF
那么，BD+CE=CF+CE……………………………………………(1)
且，DM=FM
而，EM⊥DM
所以，EM为线段DF的中垂线
所以，DE=EF
在△CEF中，很明显有CE+CF>EF………………………………(2)
所以，BD+CE>DE
当点D与点B重合，或者点E与点C重合时，仍然采用上述方法，可以得到BD+CE=DE
综上就有：BD+CE≥DE。
3.证明因为∠DME=90°，∠BMD<90°，过M作∠BMD=∠FMD，则∠CME=∠FME。
截取BF=BC/2=BM=CM。连结DF,EF。
易证△BMD≌△FMD，△CME≌△FME
所以BD=DF，CE=EF。
在△DFE中，DF+EF≥DE，即BD+CE≥DE。
当F点落在DE时取等号。
另证
延长EM到F使MF=ME，连结DF，BF。
∵MB=MC，∠BMF=∠CME，∴△MBF≌△MCE，∴BF=CE，DF=DE，在三角形BDF中，BD+BF≥DF，即BD+CE≥DE。
分析已知、求证与图形，探索证明的思路。
对于证明题，有三种思考方式：
(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。
(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
第三篇：初中几何教学.
各位老师大家好, 离吃饭还有一段时间。我就我自己对初二几何教学的理解在此和大家 交流一次。
几何,特别是初二几何,是初中生普遍认为难学的一部分内容。首先是初二几何为什么难:
1、数学研究对象:初中数学是一个从小学的 “形象数学”到高中的“抽象数学”的过 度阶段。
2、几何逻辑推理:初中几何对学生的要求不仅是计算,更多是要求学生能进行逻辑推 理,而这是小学段未曾涉足的。
3、语言表达形式:初中数学语言表达方式,是一个从“生活语言”到“数学语言”的 转换过程。
而以上三方面转变过程最明显的是初二。对比初一与初三, 我们可以感受到教学内容及 教学方式上的区别明显。很多老师都常会说这样一句话“初三的学生就不举手的啦!” 我觉 得这不仅仅是学生的问题。这个问题与教学内容、教学方式都有关系;初一的教学内容更多 是直接面对生活的、直观的,到了初三其内容更多的是高于生活的、抽象的。初一学生对数 学课堂的兴趣可以是来自对生活的兴趣(温度计、教堂 , 而初三学生则不是, 初三学生对数 学课堂的兴趣, 他更多的是来自对数学自身的兴趣。简单的说就是 “因为我喜欢数学、所以 喜欢数学课”。
对于这些问题下面我说说的解决方案:
1、对于研究对象改变的问题: 新课时:应重视“节前语”的教学,创设学生感兴趣的生活情景,通过实践活动让学生 经历从实际问题抽象成数学模型, 感受抽象的数学是来自直观的生活。通过这些活动让学生 从喜欢生活逐步转变成喜欢数学。
试题讲解课:则努力将抽象问题形象化。当然必须让同学们对问题先有一个抽象思考的 过程。即让学生自己先抽象思考,然后再通过多媒体等教学手段使问题形象化。
例:如图,等腰直角三角形中,∠ABC=90°, AB=BC=4, AC=P 从点 A 开始沿 AC 边以每秒 2个单位的速度运动, 点 P 运动到点 C 即止。求几秒后, ⊿ ABP 成为等腰三角形?(本身是个抽象的动态过程,通过多媒体手段,使问题变 得形象、直观。但是考试的时候是没有几何画板给学生观。所以需学生自己先思考解得一番,再给学生看演示动画。这样才能提高兴趣的同时也提高学生抽象的空间想象力。
A
2、对于学生几何逻辑推理的培养: 一方面从初一开始就逐步开始渗透三种思维方式:(1正向思维。从已知条件出发,探究能得出什么样结论。这个思想方法是最常用的, 贯穿着我们初中三年几何问题的始末。
(2逆向思维。这个思维方式,也是我们常用的思维方式。但它却未必是学生常用的思 维方式, 在三年的教学中只有初二下的中存在一个课时。但是逆向思维在解难题时却是最为 有效。特别是题目给你的已知条件复杂多样时, 能使学生快且更准的找到切入口。所以我在 接触几何之初就开始慢慢的渗透。
(3正逆结合。从已知条件中看根据已知能得出什么结论,再想想为了得出结论,需要 什么样的条件,它们是否正好能对应的上。这一方法一般较少使用,主要用于解各种难题。
例如:已知:如图 , △ ABC 中 , ∠ C=90°, AD 是∠ BAC 的平分线, DE ⊥ AB ,垂足为 E , F在 AC 上, BD=DF.求证:CF=EB.另一方面我注重学生对简单几何图形结构的深入认知。这样学生在解题时更容易形成思路, 并节约大量的思考时间。
例如:“等腰三角形三线合一”。进一步探究可以发现, 若三角形二线合一也必然是等腰三角 形。
(金华 2011 如图,在平面直角坐标系中,点 A(10, 0 ,以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C ,点 B 是
该半圆周上一动点,连接 OB、AB ,并延长 AB 至 点 D ,使 DB=AB,过点 D 作 x 轴垂线,分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F ,点 E 为垂足,连接 CF.(1当∠ AOB=30°时,求弧 AB 的长度;(2当 DE=8时,求线段 EF 的长;(看见中点及垂直先想得等腰三角形的存在
再如:“等腰直角三角形与正方形的关系” ,有正方形必然有等腰直角三角形,反之有等 腰直角三角形,才可能够成正方形。
(2011江西已知:抛物线 2(2 y a x b =-+(0 ab <的顶点 为 A ,与 x 轴的交点为 B , C(点 B 在点 C 的左侧.(1直接写出抛物线对称轴方程;(2若抛物线经过原点,且△ ABC 为直角三角形, 求 a , b 的值;(3若 D 为抛物线对称轴上一点,则以 A , B , C , D 为顶点 的四边形能否为正方形?若能,请写出 a , b 满足的关系式;A C B D E
若不能,说明理由。
3、几何语言表述难的问题
问题一:∵两直线平行同位角相等 ∴ ∠ 1=∠ 2 问题二∶∵ ∠ 1=∠ 2
∴ BC=AC 问题三:有很多学生作辅助线时,一条线常常让其满足两个或两个以上的条件。
例如∶连结 AD 使 A D ⊥ BC。
问题四:∵ ∠ 1=∠ 2 ∴ BC=AC(等腰三角形的两底角相等
在书写证明题过程中, 学生有各种各样的错误书写和看不懂的证明过程大量存在。这些 问题的出现, 我想并不能简单地说是我们的学生努力不够, 没有认真学习造成的, 它的形成 原因很多。很多时候是我们强调的不够,解释的不清晰造成。
我认为第一我们应重视定理的双语教学∶文字语言、几何语言。例如∶① 文字语言∶在同一个三角形中,等角对等边
② 几何语言∶∵在△ ABC 中,∠ A=∠ B ∴ AB=AC 当然几何语言必须建立在图形基础上, 建议任何定理在教学时, 板书都能画出符合文字 语言意思的图形, 并将定理的文字语言转化为几何语言。我们在证明题书写中, 用的是定理 的几何语言而非文字语言;“ 问题一 ” 的写法,主要原因就是不清楚这一点。
第二、让学生知道各种定理的条件个数和结论个数有不同的对应关系∶ ①一对一 ∶ ∵ AB=AC ∴∠ B=∠ C ②一对多∶ ∵ △ ABC ≌△ DEF ∴ AB=DE,∠ A=∠ D, „„ ③多对一∶ ∵ AB=DE,BC=EF,AC=DF ∴ △ ABC ≌△ DEF ④多对多∶ ∵ AB=AC,BD=CD ∴ AD ⊥ BC, ∠ BAD=∠ CAD C O
当然多条结论时, 结论部分不用全部摆出。一般是此证明题后面需哪些条件, 则摆哪些, 不需要的不用摆出。
第三、通过对比教学,加深对部分判断定理与性质定理这些互逆定理的认识。
∵ AB ∥ CD ∵ ∠ 1=∠ 2(∴ ∠ 1=∠ 2(∴ AB ∥ CD 第四、连结:线段已经唯一存在了不可再有其它条件,延长方向已经确定了,只能在长 度上可加以限定。
第五、注意课堂板书, 对于学生学习都是从模仿开始的!就像刚才金老师课堂中分类讨 论的板书,就十分必要、也十分的到位。
第六、勤发现、勤纠正、勤强调。作业批改一定要细,尽量挤时间对学生一一面对面纠 错。舍得花功夫在批改作业中;对学生作业中出现的各种各样问题, 一定要及时纠正强调指 出。其实这些问题大多学生只要有一两次的予以指出他们还是能很快的改进的。只要有几天 的坚持,作业就会有明显的改观。
以上这些是我个人对初二几何教学的一些看法, 不一定都正确, 但它都是我这几年对教 学认知不断深入后的认识,给大家分享,有不同看法或有更好的方法希望大家也不要吝啬, 回头通过 QQ 和我说说。
B C B C
第四篇：初中几何教学大纲
初中几何是在小学数学中几何初步知识的基础上，使学生进一步学习基本的平面几何图形知识，向他们直观地介绍一些空间几何图形知识。初中几何将逻辑性与直观性相结合，通过各种图形的概念、性质、作（画）图及运算等方面的教学，发展学生的思维能力、空间观念和运算能力，并使他们初步获得研究几何图形的基本方法。
初中几何的教学要求是：
1．使学生理解有关相交线、平行线、三角形、四边形、圆，以及全等三角形、相似三角形的概念和性质，掌握用这些概念和性质对简单图形进行论证和计算的方法。了解关于轴对称、中心对称的概念和性质。理解锐角三角函数的意义，会用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形。
2．使学生会用直尺、圆规、刻度尺、三角尺、量角器等工具作和画几何图形。
3．使学生通过具体模型，了解空间的直线、平面的平行与垂直关系，并会用展开图和面积公式计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积。
4．逐步培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力，逐步使学生掌握简单的推理方法，从而提高学生的思维能力。
5．通过辨认图形、画图和论证的教学，进一步培养学生的空间观念。
6．通过揭示几何知识来源于实践又应用于实践的关系，以及几何概念、性质之间的联系和图形的运动、变化，对学生进行辩证唯物主义的教育。利用有关的几何史料和社会主义建设成就，对学生进行思想教育。通过论证与画图的教学，逐步培养学生严谨的科学态度，并使他们获得美的感受。
教学内容及其具体要求如下：
（一）线段、角
1．几何图形
几何体、几何图形、点、直线、平面。 具体要求：
（1）通过具体模型（如长方体）了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等。（2）了解几何图形的有关概念。了解几何的研究对象。
（3）通过几何史料的介绍，对学生进行几何知识来源于实践的教育和爱国主义教育，使学生了解学习几何的必要性，从而激发他们学习几何的热情。
2．线段
两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段大小的比较、线段的和与差、线段的中点。
具体要求：
（1）掌握两点确定一条直线的性质。了解两条相交直线确定一个交点。（2）了解直线、线段和射线等概念的区别。
（3）理解线段的和与差及线段的中点等概念，会比较线段的大小。（4）理解两点间的距离的概念，会度量两点间的距离。 3．角
角、角的度量。
具体要求：
(1)理解角的概念。会比较角的大小，会用量角器画一个角等于已知角。(2)掌握度、分、秒的换算。会计算角度的和、差、倍、分。(3)掌握角的平分线的概念。会画角的平分线。
(4)掌握几何图形的符号表示法。会根据几何语句画出相应的图形，会用几何语句描述简单的几何图形。
（二）相交、平行 1．相交线
对顶角、邻角、补角。 垂线、点到直线的距离。 同位角、内错角、同旁内角。 具体要求：
（1）理解对顶角的概念。理解对顶角的性质和它的推证过程，会用它进行推理和计算。
（2）理解补角、邻补角的概念，理解同角或等角的补角相等的性质和它的推证过程，会用它进行推理和计算。（3）掌握垂线、垂线段等概念；会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。了解斜线、斜线段等概念，了解垂线段最短的性质。
（4）掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。（5）会识别同位角、内错角和同旁内角。 2．平行线
平行线、平行线的性质及判定。 具体要求：
（1）了解平行线的概念及平行线的基本性质。会用平行关系的传递性进行推理。
（2）会用一直线截两平行直线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算；会用同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补判定两条直线平行。（3）会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
（4）理解学过的描述图形形状和位置关系的语句，并会用这些语句描述简单的图形和根据语句画图。
3．空间直线、平面的位置关系
直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系。 探究性活动：例如长方体和它的表面。 具体要求：
（1）通过长方体的棱、对角线和各面之间的位置关系，了解直线与直线的平行、相交、异面的关系，以及直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系。（2）通过对长方体和它的表面的探究，制作长方体纸盒，并在剪开纸片前先进行美术设计。4．命题、公理、定理 定理的证明。 具体要求：（1）了解命题的概念，会区分命题的条件（题设）和结论（题断），会把命题改写成“如果……那么……”的形式。
（2）了解公理、定理的概念。
（3）了解证明的必要性和用综合法证明的格式。
（三）三 角 形
1．三角形
三角形、三角形的角平分线、中线、高，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和。三角形的分类。 具体要求：
（1）理解三角形，三角形的顶点、边、内角、外角、角平分线、中线和高等概念。了解三角形的稳定性。会画出任意三角形的角平分线、中线和高。（2）理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质。会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。
（3）掌握三角形的内角和定理，三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质。
（4）会按角的大小和边长的关系对三角形进行分类。 2．全等三角形
全等形。全等三角形及其性质。三角形全等的判定。 具体要求：
等形、全等三角形的概念和性质，能够辨认全等形中的对应元素。
（2）能够灵活运用“边角边SAS”“角边角ASA”“角角边AAS”“边边边SSS”等来判定三角形全等；会证明“角角边AAS”定理。
（3）会用三角形全等的判定定理来证明简单的有关问题，并会进行有关的计算。 3．等腰三角形
等腰三角形的性质和判定。等边三角形的性质和判定。 具体要求：
（1）掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质以及它的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。能够灵活运用它们进行有关的论证和计算。
（2）掌握等边三角形的各角都是60°的性质以及它的判定定理：三个角都相等的三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。能够灵活运用它们进行有关的论证和计算。（3）理解等腰三角形和等边三角形的性质定理之间的联系，理解等腰三角形和等边三角形的判定定理之间的联系。 4．直角三角形
余角。直角三角形全等的判定。
逆命题，逆定理。勾股定理。勾股定理的逆定理。 具体要求：
（1）理解余角的概念，掌握同角或等角的余角相等、直角三角形中两锐角互余等性质，会用它们进行有关的论证和计算。
（2）会用“斜边直角边HL”定理判定直角三角形全等。
（3）了解逆命题和逆定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题。
（4）掌握勾股定理，会用勾股定理由直角三角形两边的长求其第三边的长；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
（5）初步掌握根据题设和概念的意义、公理、定理进行推理论证。
（6）通过介绍我国古代数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。 5．轴对称
角平分线的性质，线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质。轴对称：轴对称图形及轴对称图形的性质。 具体要求：
（1）掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上的定理。
（2）理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上的定理。
（3）了解轴对称、轴对称图形的概念。了解关于轴对称的两个图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分的性质。了解关于轴对称的两条直线或平行，或相交于对称轴上的一点的性质。（4）会画线段、角、等腰三角形等轴对称图形的对称轴，会画与已知图形成轴对称的图形。通过对对称图形的观察和认识，获得美的感受。 6．基本作图
基本作图。利用基本作图作三角形。 具体要求：
（1）会用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过定点作已知直线的垂线。
（2）利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边及斜边作直角三角形。
（3）了解作图的步骤。对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
（四）四 边 形
1．多边形
多边形。多边形的内角和与外角和。
具体要求：
（1）理解多边形，多边形的顶点、边、内角、外角和对角线等概念。
（2）理解多边形的内角和定理，外角和定理。掌握四边形的内角和与外角和都等于360°的性质。
2．平行四边形
平行四边形。平行四边形的性质和判定。两条平行线间的距离。
矩形、菱形、正方形的性质和判定。
具体要求：
（1）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形等概念；理解两条平行线间的距离的概念，会度量两条平行线间的距离；了解两点间的距离、点到直线的距离与两条平行线间的距离三者之间的联系。
（2）掌握平行四边形的以下性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分。掌握平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形。会用它们进行有关的论证和计算。 了解平行四边形不稳定性的应用。
（3）掌握矩形的以下性质：四个角都是直角，对角线相等。掌握矩形的判定定理：三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形。掌握菱形的以下性质：四条边相等，对角线互相垂直。掌握菱形的判定定理：四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。掌握正方形具有矩形和菱形的一切性质。会画矩形、菱形、正方形的对称轴。
（4）通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻求论证思路的分析法与综合法，进一步提高分析问题，解决问题的能力。
（5）通过分析有关四边形的概念和性质之间的联系和区别，对学生进行辩证唯物主义教育。
3．中心对称
中心对称。中心对称图形。中心对称图形的性质。
实习作业。
具体要求：
（1）了解中心对称、中心对称图形的概念。了解以下性质：关于中心对称图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（2）能找出线段、平行四边形的对称中心。会画与已知图形成中心对称的图形。
（3）通过实习作业，使学生了解对称在图形设计中的作用以及这类图形的美术价值。
4．梯形
梯形。等腰梯形。直角梯形。等腰梯形的性质和判定。
四边形的分类。不规则多边形的面积。
平行线等分线段。三角形、梯形的中位线。
具体要求：
（1）掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等概念。掌握等腰梯形的以下性质：同一底上的两底角相等，两条对角线相等。掌握等腰梯形的判定定理：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。能够运用它们进行有关的论证和计算。
（2）掌握平行线等分线段定理
会用它等分一条已知线段。
（3）掌握三角形中位线定理和梯形中位线定理，过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理。会用它们进行有关的论证和计算。
（4）会将四边形分类。
（5）能够计算特殊的四边形的面积，会通过把不规则多边形分割成三角形和特殊的四边形的方法计算多边形面积。
（五）相 似 形
1．比例线段
比与比例。比例的基本性质。合比性质。等比性质。
两条线段的比。成比例的线段。
平行线分线段成比例。截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定。
具体要求：
（1）理解比与比例的概念。能够说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项。
（2）掌握比例的基本性质定理、合比性质和等比性质。会用它们进行简单的比例变形。
（3）理解线段的比、成比例线段的概念。会判断线段是否成比例。了解黄金分割。
（4）了解平行线分线段成比例定理及截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定定理的证明；会用它们证明线段成比例、线段平行等问题，并会进行有关的计算。会分线段成已知比。
2．相似形
相似三角形。三角形相似的判定。直角三角形相似的判定。相似三角形的性质。
具体要求：
（1）理解相似三角形的概念。
（2）灵活运用两对对应角相等、或一对对应角相等且夹边成比例、或三对边之比相等则两三角形相似的判定定理，以及一对直角边和斜边成比例则两直角三角形相似的判定定理。
（3）理解相似比的概念和相似三角形的对应高的比等于相似比的性质。
（4）会按已知相似比作一个三角形与已知三角形相似。
（六）解直角三角形
1．锐角三角函数
锐角三角函数。锐角三角函数值。30°，45°，60°角的三角函数值。
具体要求：
（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确地应用表示直角三角形中两边的比。
（2）会用科学计算器（尚无条件的学校可使用算表）由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。
(3)熟记30°，45°，60°角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数式的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它对应的角度。
2．解直角三角形
解直角三角形。解直角三角形的应用。
实习作业。
具体要求：
（1）掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
（2）会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题。
（3）通过与三角形或四边形有关的实习作业，培养学生解决实际问题的能力和用数学的意识。
（七）圆
1．圆的有关性质
圆。圆的对称性。点和圆的位置关系。不在同一直线上的三点确定一个圆。三角形的外接圆。
垂径定理及其逆定理。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。圆周角定理。圆内接四边形的性质。
*轨迹。*反证法。 具体要求：
（1）理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性。（2）掌握点和圆的位置关系。
（3）会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。了解三角形的外心的概念。
（4）掌握垂径定理及其逆定理（平分非直径的弦的直径垂直于弦且平分弦所对的弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，弦的垂直平分线经过圆心等性质）。
（5）掌握圆心角、弧、弦、弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径等性质，并会用它们进行论证和计算，会作两条线段的比例中项。
（6）掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。 *（7）了解轨迹的概念和几个简单轨迹。 *（8）了解反证法。 2．直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系。切线的判定和性质。三角形的内切圆。 *切线长定理。*弦切角定理。*相交弦定理。*切割线定理。 具体要求：
（1）掌握直线和圆的位置关系。
（2）掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，切点和圆心的连线与切线垂直等性质。
（3）会过一点画圆的切线。会用尺规作三角形的内切圆。了解三角形内心的概念。 *（4）掌握切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理，并会利用它们进行有关的计算。
（5）通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法。 3．圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系。两圆的连心线的性质。两圆的公切线。 相切在作图中的应用。 具体要求：
（1）掌握圆和圆的位置关系。
（2）掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，相切两圆的连心线经过切点等性质。（3）会画两圆的内、外公切线；了解两圆的外公切线的长相等，两圆的内公切线的长相等等性质，了解两圆公切线长的求法。
*（4）掌握两圆的外公切线的长相等、内公切线的长相等的性质。
（5）会利用直线和圆相切、圆和圆相切的性质，画出直线和圆弧、圆弧和圆弧连接的图形。（6）通过点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系的教学，对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育。 4．正多边形和圆
正多边形和圆。正多边形的有关计算。等分圆周。 探究性活动：例如镶嵌。 圆周长。弧长。
圆的面积。扇形的面积。圆柱和圆锥的侧面展开图、侧面积。 具体要求：
（1）理解正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。会将正多边形边长、半径、边心距和中心角的有关计算的问题转变为解直角三角形的问题。
（2）了解用量角器等分圆心角来等分圆周的方法，会用尺规作圆内接正方形和正六边形。（3）通过对镶嵌平面图形的探究，了解正多边形在镶嵌中所起的作用。运用多种平面图形进行镶嵌设计，拓宽学生的数学和美术知识。
（4）会计算圆的周长、弧长及简单组合图形的周长。
（5）会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积。
（6）了解圆住、圆锥的侧面展开图分别是矩形和扇形，会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积。
（7）通过圆和正多边形的教学，进一步提高综合运用知识发现、提出、分析和解决问题的能力。
△5．识图初步 正投影。视图。
基本几何体的视图。 简单零件图。 具体要求：
（1）了解正投影，视图 主视图、俯视图、左视图的意义。（2）会画基本几何体的二视图或三视图。
（3）会描绘含有直线和圆弧，圆弧和圆弧连接的轮廓线的简单零件图。
第五篇：初中几何证明题
(1)如图，在三角形ABC中，BD,CE是高，FG分别为ED,BC的中点，O是外心，求证AO∥FG 问题补充：
证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;
又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)
连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点
延长LM至E，使LM＝ME。
∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。
延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。
∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。
由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。
由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。
由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。
∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。
(3)如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交
AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ
取BC中点为H
连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点
由于H，F均为中点
易得：
HM‖AC,HN‖AB
HF=CE/2,HG=BD/
2得到：
∠BMH=∠A
∠CNH=∠A
又：BD=CE
于是得：
HF=HG
在△HFG中即得：
∠HFG=∠HGF
即：∠PFM=∠QGN
于是在△PFM中得：
∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN
在△QNG中得：
∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN
即证得：
∠APQ=∠AQP
在△APQ中易得到： AP=AQ
(4)ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123
41234
已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。
设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；
则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。
设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。
由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；
由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；
∴MQ·MA = ME·MO，即MQ∶MO = ME∶MA ；
又∵ ∠OMQ = ∠AME，∴△OMQ ∽ △AME，可得：∠MOQ = ∠MAE。
设OM和圆O相交于点D，连接AD。
∵弧BD = 弧CD，∴∠BAD = ∠CAD。
∵∠DAQ =(1/2)∠MOQ =(1/2)∠MAE，∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD-∠DAQ = ∠CAM。
设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为O，OE⊥EC，OD⊥DC，则CDOE四点共圆，由圆周角定理，∠ODE=∠OCE。
CF⊥FC，AD⊥DC，则ACDF四点共圆，由圆周角定理，∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，AD平分∠EDF。
其他同理。
平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA
过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH
∴四边形AHPD是平行四边形
∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//=BC
∴HP//=BC
∴四边形PHBC是平行四边形
∴∠PHB=∠PCB
又∠PAB=∠PCB
∴∠PAB=∠PHB
∴A、H、B、P四点共圆
∴∠PHA=∠PBA
∴∠PBA＝∠PDA
补充：
补充：
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）
只说左边2式子 其他一样
OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得
(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简
得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)
移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0
即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直
同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心
设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．
作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG． 易证∠HCB=∠BCG，从而△HCD≌△GCD．
故CH=GC．
又显然有∠BAP=∠DAC，从而GC=BP．
从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．
同理可证AH2+BC2=BH2+AC2=4R2．
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