初中几何证明练习题

第一篇：初中几何证明练习题

初中几何证明练习题

1.如图，在△ABC中，BF⊥AC,CG⊥AD,F、G是垂足，D、E分别是BC、FG的中点，求证：DE⊥FG

2.如图，AE∥BC,D是BC的中点，ED交AC于Q，ED的延长线交AB的延长线于P，求证：PD·QE=PE·QD

求证：PAC～PDB

3.如图，已知点P是圆O的直径AB上任一点，APCBPD，其中C，D为圆上的点，O B

P

4.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG 求证：S△ABCS△AEG

5.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

6.设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．

7、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．

8.设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD

9.如图，⊙O中弦AC，BD交于F，过F点作EF∥AB，交DC延 切线EG，G为切点，求证：EF=EG

10.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG 求证：

（1）BE=CG（2）BE⊥CG

11.如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．

A

2CB2

A

1DD

C

12.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE

M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点 求证：四边形MNPQ是正方形

第二篇：几何证明练习题

几何证明

1、已知：在⊿ABC中，AB=AC，延长AB到D，使AB=BD，E是AB的中点。求证：CD=2CE。

C2、已知：在⊿ABC中，作∠FBC=∠ECB=

2∠A。求证：BE=CF。

B

C3、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。

C

B4、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。

5、如图甲，RtABC中，AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AMBD，垂足为M，AM的延长线

交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F。

（1）试判断DEF的形状，并加以证明。

（2）如图乙，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并加以证明。A

B

B

D6、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA。

C7、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．

A

D

PEB图⑴C8、△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点，就下面给出的三种情况，如图8中的①②③，先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度．并利用图③证明你的结论．

①

②

③

图

89、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明

你的结论。

A M B

(第9题图)

10、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE11、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。

12、如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE||AC,EF⊥AD交BC延长线于F。求证： ∠FAC=∠B

F

第三篇：初中几何证明口诀

初中几何证明口诀

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦

第四篇：初中几何证明技巧

初中几何证明技巧（分类）

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明 角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

6.利用比利式或等积式化得。

证明四点共圆

*1.对角互补的四边形的顶点共圆。

*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。

*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

*5.到顶点距离相等的各点共圆

第五篇：几何证明选讲练习题

选修4-1几何证明选讲综合练习题

1.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE＝AC ,DE交AB于点F,且AB2BP4,（1）求PF的长度.（2）若圆F且与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度。解：（1）连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得CDEAOC, 又CDEPPFD,AOCPOCP, 从而PFDOCP,故PFD∽PCO,E A F B 证明：（Ⅰ）AB为切线，AE为割线, AB2ADAE又 ABAC(2)由（1）有

ADAEAC2--------------5分

ADC~ACE

ADAC

又EACDACACAE

ADCACE 又ADCEGF EGFACE GF//AC

PFPD,…………4 PCPO

PCPD1

23.…………6 由割线定理知PCPDPAPB12,故PF

E PO

4（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF2r1即r

1A

所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

2F B

5．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P，（I）求证：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。22.解：（Ⅰ）连接AB，AC是⊙O1的切线，BACD，又BACE，DEAD//EC……………4分（Ⅱ）PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，PA2PBPD,则PT

PBPO248，即PT…………10

2.三角形ABC内接于圆O，P在BC的延长线上，PA切圆O于A，D为AB的中点，PD交AC于E,AE3EC,求

PA

.PC

62PB(PB9)PB3又⊙O2中由相交弦定理，得PAPCBPPE PE4AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，AD2DBDE916，AD12.………………10分

6．如图，已知⊙O和⊙M相交于A,B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD中点，连结AG分别交⊙O,BD于点E,F，连结CE，PA2PA2PBPCPB

解析：由PAPCPB,()，

PCPCPC2PC2

过C作CH//AB，交PD于H，因为BDAD，PBBDADAEPA

3，故3 所以有

PCCHCHECPC

GFEF2

（Ⅰ）求证：AGEFCEGD；（Ⅱ）求证：。AGCE2

证明：（I）连结AB，AC，∵AD为M的直径，∴ABD90，3．(本小题满分12分)选修4－1：几何证明选讲如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是ACB的平分线并交AE于点F，交AB于D点，求ADF的大小。

解：如图，连接AO，因为AC是圆O的切线，则OAC900，因DC是ACB的平分线，又OAOB，设ACDECD1,ABOBAO2，在ABC中，∴AC为O的直径，∴CEFAGD90．…………2分 ∵DFGCFE，∴ECFGDF，∵G为弧BD中点，∴DAGGDF．…………4分 ∵ECBBAG，∴DAGECF，∴CEF∽AGD．…………5分

∴

CEAG

，∴AGEFCEGD．…………6分 EFGD

（II）由（I）知DAGGDF，GG，2221900180012450，而在ADC中，ADF1290，故ADF45° …………10分

∴DFG∽AGD，∴DG2AGGF．………8分

EF2GD2GFEF2

由（I）知，∴．………10分 222

CEAGAGCE

4.如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE,CFD,CGE

都是⊙O的割线，已知ACAB，（Ⅰ）证明：ADAEAC；（Ⅱ）证明：FG//AC。

7．如图，在ABC中，ABC900，以BC为直径的圆O交AC于点D，设E为AB的中点。（1）求证：直线DE为圆O的切线；（2）设CE交圆

O于点F，求证：CDCACFCE。

O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于10．(本小题满分10分)如图，ABC内接于⊙

点D，且AB2APAD。（1）求证：ABAC；

O的半径为1，（2）如果ABC600，⊙

且P为弧AC的中点，求AD的长。

8．在ABC中，ABAC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

PCPD

（1）求证：；（2）若AC3，求APAD的值。

ACBD

解：（1）CPDABC,DD，DPC～DBA，11．如右上图，ABC是直角三角形，ABC900，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC

边的中点，连OD交圆O于点M，（Ⅰ）求证：O,B,D,E四点共圆；（Ⅱ）求证：2DE2DMACDMAB。

D

PCPDPCPD

又ABAC,（5分）

ABBDACBD

（2）ACDAPC,CAPCAP,APC～ACD APAC，AC2APAD9………（10分）

ACAD

9．(本小题满分12分)已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，CD是ACB的平分线且交AE于点F，交AB于点D。（1）求ADF的度数；（2）若ABAC，求

AC的值。

BC

12．如图，ABC的外角EAC的平分线AD交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB,FC。

（1）求证：FB2FAFD；

（2）若AB是ABC外接圆的直径，且EAC120,BC6，求线段AD的长。

可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFEFBFCFEFCF

∴BFEF．∵G是AD的中点，∴DGAG．∴∴．．

DGAGDGCGAGCG

（Ⅱ）连结AO，AB．∵BC是O的直径，∴BAC90°．

在Rt△BAE中，由（Ⅰ）得知F是斜边BE的中点，∴AFFBEF．

∴FBAFAB．又∵OAOB，∴ABOBAO．∵BE是O的切线，∴EBO90°．∵EBOFBAABOFABBAOFAO90°，∴PA是O的切线．

15．如图，⊙O是ABC的外接圆，D是弧AC的中点，BD交AC于E。（I）求证：CD2DEDB。（II）若CDO到AC的距离为1，求⊙O的半径。

AB1，圆O的2

割线MDC交圆O于点D,C，过点M作AM的垂线交直线AD,AC分别于点E,F，证明：（Ⅰ）MEDMCF；（Ⅱ）MEMF3。

13．如图：AB是圆O的直径（O为圆心），M是AB延长线上的一点，且MB证明：（Ⅰ）连接BC得ACB90，所以ACBBMF90，∴B,C,F,M四点共圆，∴CBACFM，又∵CBACDAEDM ∴EDMCFM，在EDM与CFM中可知MEDMCF。6分（Ⅱ）由MEDMCF，得E,F,C,D四点共圆，∴MEMFMDMC，又∵MDMCMBMA3，∴MEMF3。┈┈┈┈┈10分

A

F



C

D

E

16．如图所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，D为O上的点，且AD=AC，AD，M

O

14.如图, 点A是以线段BC为直径的圆O上一点,ADBC于点D,BC相交于点E。（Ⅰ）求证：AP//CD；（Ⅱ）设F为CE上的一点，且EDFP，求证：CEEBFE

EP.过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E, 点G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F, 延长AF与CB的延长线相交于点P.（Ⅰ）求证:BFEF；

（Ⅱ）求证:PA是圆O的切线；

证明：（Ⅰ）∵BC是O的直径，BE是O的切线，∴EBBC．又∵ADBC，∴AD∥BE．