勾股定理复习小结

第一篇：勾股定理复习小结

勾股定理知识小结

一、知识结构

1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b=c）

要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

在⊿ABC中，∠C=90 º，则c=ab，b=c-b，a=c-a）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若a+b=c，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c> a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c﹤a+b，则△ABC为锐角三角形）。（定理中a+b=c只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a+ c = b，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形，但是b为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

规律方法指导

1)勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2）．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3）．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4）.勾股定理的逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法，应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

5）勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

名人堂：众名人带你感

******受他们的驱动人生马云任志强李嘉诚柳传志史玉柱

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

二.知识点回顾

1、勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形

（1）先确定最大边（如c）

（2）验证a+b与c是否具有相等关系

（3）若具有相等关系，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若不具有相等关系 则△ABC不是直角三角形。2223、勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a+b=c中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 41„（7）前面各组数的整式倍如3n，4n，5n（n是正整数）； ③用含字母的代数式表示n组勾股数：

2n,n-1, n+1（n＞2n为正整数）；例如

8，15，17（第一个数是偶数）2n+1, 2n+2n, 2n+2n+1（n为正整数）例如 9, 40, 41（第一个数是奇数）m-n,2mn,m+n（,m﹥nm，n为正整数）222222222224、练习题

1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（）

A.第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25

B、14

C、7

D、7或25 3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1.5，b=2, c=3

B、a=7,b=24,c=25 C、a=6，b=8, c=10 D、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形;

B.钝角三角形;C.直角三角形;

D.锐角三角形.4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A．4

B．

C.D． 5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、24cm2

B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2

6、直角三角形中，斜边长为5cm，周长为12cm，则它的面积为（）。

A．12

B．6

C．8

D．9 7．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（）A、56

B、48

C、40

D、32 8．Rt△一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt△的周长为（）A、121 B、120

C、90 D、不能确定

9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里

B、30海里

C、35海里 D、40海里

10.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若

小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）。

A、600米

B、800米

C、1000米

D、不能确定

12.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为36，64，则以斜边为边长的正方形的面积为__________.13.在△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则++=__________.14.一个三角形的三边之比为3：4：5，这个三角形的形状是__________.15．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

16、直角三角形的三边长为连续偶数，则其这三个数分别为__________.17.一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处．旗杆折断之前有__________米.18.如果梯子的底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可以到达建筑物的高度是__________m.19.若直角三角形的两边长为12和5，求以第三边为边长的正方形的面积是________.。20．在△ABC中，∠C=90°，AB=m+2，BC=m-2，AC=m，求△ABC三边的长。

三、勾股定理单元试卷

一、填空题（每小题2分，共24分）

1.如图，在长方形ABCD中，已知BC=10cm，AB=5cm，则对角线BD=

cm。2.如图，在正方形ABCD中，对角线为2，则正方形边长为。

3.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的。4.三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是

三角形。

5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行

千米。6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a=，b=

。7.已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为。

8.如图所示，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么AF=。

9.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是

。10.如图，数轴上有两个Rt△ABC、Rt△ABC，OA、OC是斜边，且 OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O为圆心，OA、OC为半径 画弧交x轴于E、F，则E、F分别对应的数是。

11.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距

海里。

12.所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个自然数。我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数。请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和

组成一组勾股数。

二、选择题（每小题3分，共18分）13.在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（）

（A）a2+b2=c2

（B）b2+c2=a2（C）a2-b2=c2（D）a2-c2=b2 14.在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（）

（A）108cm2

（B）90cm2

（C）180cm2

（D）54cm2 15.在直角坐标系中，点P（-2，3）到原点的距离是

（）

（A）

（B）

（C）

（D）2 16.池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（）

（A）3.75尺

（B）3.25尺

（C）4.25尺

（D）3.5尺

17.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股园方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为

（）

（A）13

（B）19

（C）25

（D）169 18.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B下降至B′，那么BB′（）

（A）等于1m

（B）小于1m

（C）大于1m

（D）以上都不对

三、解答题（共58分）

19.（8分）如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

20.（8分）三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由。

21.（12分）求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？ 22.（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。

23.（10分）如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD和BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了有刻度的卷尺。

（1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD长30厘米，AB长40厘米，BD长50厘米，则AD边垂直于AB边吗？

24.（8分）观察下列各式，你有什么发现？

32=4+5，52=12+13，72=24+25

92=40+41......这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132=

+（2）请写出你发现的规律。

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。

参考答案

一、填空题

1.5

2.2

3.2倍

4.直角

5.540

6.12、16 7.5或

8.10

9.12cm≤a≤13cm

10.-、11.30

12.13

二、选择题

13.A

14.D

15.B

16.A

17.C

18.B

三、解答题19.13米20.△ABC一定是直角三角形。理由略。

21.学校需投入7200元购买草皮。22.3cm23.（1）用卷尺分别测量AD、AB、BD的长，然后计算AD2+AB2，看是否与BD2相等，如果相等，则△ABC是直角三角形，AD⊥AB；否则不是直角三角形，DA不垂直AB，同理，可判断BC与AB是否垂直。（2）∵AD2+AB2=302+402=502=BD2 ∴∠DAB=90°

∴AD边垂直AB边 24.（1）132=84+85（2）任意一个大于1的奇数的平方可拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数。

（3）略

第二篇：勾股定理复习

《勾股定理复习》说课稿

李小英

一、教学内容与学情分析

1、本课内容在教材、新课标中的地位和作用

本节内容是《勾股定理》的复习。本章是以“勾股定理——平方根——立方根——实数——近似数与有效数字——勾股定理的应用”为线索展开的，沟通勾股定理、平方根、立方根、实数之间的联系，力图体现本套教材“数与代数”和“空间与图形”内容整合设计思路，本节是复习的第一课时，主要内容是勾股定理的复习。

勾股定理是初中数学中的重要内容，它不仅沟通了数与形之间的联系，而且也是解决其他许多数学问题和实际问题的有力工具，历来都是考试的重要知识点。新课标对这一内容明确要求：会运用勾股定理解决简单问题；会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。因此，学生对这一内容的熟练掌握是至关重要的。

2、学生已有的知识基础和学习新知的障

本章新授内容共14课时，其中勾股定理及其应用占4课时，学生对基础知识基本掌握，但可能时间隔的比较长会有所遗忘，不能构建知识体系；另外本章的应用问题非常多，也非常重要，而学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意。因此如何通过本节课帮助学生进一步巩固基础知识，构建知识体系；提高学生分析解决实际问题的能力是本节课所要面临的两大问题。学生解答问题的条理性，书写的规范性也是一个问题。

二、目标的设定

1、目标的设定 根据本课在教材及新课标中的地位和作用，结合学生现有的知识基础将本节课的教学目标设定如下：

（1）知识与技能：掌握勾股定理和勾股定理的逆定理以及简单应用；（2）过程与方法：通过对本节内容的复习，培养学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力；感悟数形结合的数学思想。

（3）情感、态度与价值观：通过简单的基础题的训练，提高学生学数学的信心和热情；通过师生间的互动调动学生学习的积极性，让学生体会成功的快乐。

2、重、难点的确立及依据

基于本节课所复习的内容的重要地位，将本节课的重点设定为：运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题。由于学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意，故将本节课难点设定为：综合运用知识分析问题和解决问题

三、教法选择：

1、教学结构及教学基本思路

用导学案的形式组织教学，通过学生课前对几道基础题的训练，使学生对勾股定理和勾股定理的逆定理及其简单应用有一定的认识；然后再通过对四个例题的分析和总结，使学生体会和解决问题的一般方法和思路；最后在时间允许的情况下，完成部分达标测试题加以巩固和提高。基本思路：①学生分析基础训练题，教师点评和归纳；

②黑板显示典型例题，师生合作共同分析，学生板演解题过程，教师评讲，并及时总结解题思路和方法；

③学生总结本节课所复习的内容以及有何收获； ④学生完成部分达标测试题，教师评讲并及时进行补标。

2、重难点的突破方法： 运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题是本节课的重点，因此，课前完成的训练题复习勾股定理和勾股定理的逆定理及其简单应用，通过四个例题的分析和解决突出重点，并突破难点。由于学生的分析问题和解决问题的能力欠缺，所以通过师生合作共同分析解决问题的策略，并及时总结解题方法，进一步突破难点。通过达标测试来消化重点和难点。

3、导入和过渡的设计

由学生的课前对几道基础题的训练来复习勾股定理及其逆定理导入本课，使学生体会到本节课所复习的主要内容，过渡到典型例题的讲解师生合作共同分析解题的方法和技巧，并及时总结。最后通过达标测试进一步巩固所学的知识。各个环节环环相扣，有机的形成一个整体。

4、教辅手段的使用

本节课用导学案的形式组织教学，先做后导，提高教学效果，增大课堂容量。用小黑板展示例题，有利于学生集中精力进行观察分析问题。

5、尊重学生个体差异，因材施教

由于学生间存在较大的差异，因此课堂教学中注重激发学生的学习兴趣和参与热情，鼓励学生大胆发言，尊重学生的差异，让每个学生都有所发展，增强他们学习的兴趣。

四、学法指导

勾股定理学生已经学过，因此通过课前训练让学生自己回忆出勾股定理和勾股定理的逆定理，使学生自己进入复习的角色。学生可能遇到的障碍是如何构建直角三角形然后利用勾股定理解决，先由学生讨论并请个别学生进行分析，教师作适当的补充和说明，突破学生的障碍。

五、作业设计

一组基础题的训练帮助学生回忆和复习知识点；达标测试中的大部分题目是巩固所复习的知识，个别题用来提高学生综合运用知识解决问题的能力。

第三篇：勾股定理复习课教学反思

本节课首先由口答引入相关知识点,激起本单元知识的初步回顾,再借小题夯实基础知识点,构建本单元知识的结构框架,然后运用例题规范知识点应用,梳理本单元的数学思想方法,接着通过对课本习题延伸,拓宽学生分析问题的视野和思路,最后分层设计课堂练习,让所有学生都能获得成功的体验。整个设计体现了以教师为主导、学生为主体,以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。在经历解决问题的过程中,培养了学生分类、探究、归纳等能力。通过本节课的复习,学生对勾股定理及其逆定理有关概念及其相关知识有了更深更新的认识。

本单元复习课的设计着重体现把学生作为主动的人而不是接受知识的容器,强调学生对知识的建构和注重提升全体学生的科学素养,激发了学生对知识继续探求的动力。在复习时给于了学生不同题目的类型，使他们能够充分了解勾股定理及其逆定理的重通过复习，让学生能对本单元所学知识系统化，加强前后各部分知识之间的联系，综合运用所学知识分析解决问题，反思本节复习课的教学，大致有以下几点成功之处：

1.开始设计的问题：①勾股定理的图形证明，②直角三角形的判定及联想，③知识综合应用。通过对这些问题的回答，达到梳理本章内容，建立一定知识体系的目的。关注了学生运用例子说明自己对有关知识的理解，而不是简单复述教科书上的结论。

2.设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况，又注重了综合课的特点，注重对所学知识的综合利用。

3.设计的问题尽量与实际问题有联系，体现了数学来源于实际，又应用于生活实际，这一点符合新课标的要求。

不足之处：

1.设计题目多，不够精，时间紧，没能按时完成。

2.教师不善于运用激励性的语言去激发学生学习的兴趣，导致有些学生还是没有掌握相关的知识点。

3.教师在课堂灵活处理上还是有许多不足之处，需要在日常教学中学习完善。

第四篇：勾股定理的应用方法小结

勾股定理的应用方法小结

绵竹市紫岩雨润中学

岳关芬

谈到勾股定理，学数学的学生以及经常使用数学知识的科研技术人员都非常的熟悉。它的具体内容就是：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这个重要的结论为我们解决直角三角形中线段长度的计算带来很大的方便。

但是作为一名从事数学教学工作的教师，在教学的过程当中，仍然发现有许多学生在涉及到这个方面的问题是，还是不明白该如何入手解决问题。所以在此把自己总结的一些经验与大家分享，共同学习。

在直角三角形中：

（一）：直接变式法

已知两条边的具体的值，求第三边。例1：已知：在⊿ABC中:∠C=90°

(1)AC=4, BC=3 , 求AB的长。

(2)AB=13，AC=12，求BC的长

小结：像这个题，他就是勾股定理的一个直接的应用。

（二）设未知数法

已知一条边具体的值，同时已知另外两边的关系，求边长。例2：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，（1）AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC的长。

（2）AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的长。

小结：像这两个小题，它需要根据勾股定理结合条件

把它转化成带有一个未知数的方程来解决问题。以（1）为例，设AC = x,则

BC=7-x,那么x+(7-x)= 25,就可以找出线段的值。

变式训练：

已知：小红用一张举行纸片惊醒折纸。已知该纸片的宽AB为8厘米，长BC为10厘米，当小红折叠时，顶点D落在边BC上的点F处（折痕为）。想一想，此时CE有多长?

(三)面积法

已知两直角边的长，求斜边上的高。2例3：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，AC =3, BC=4，求AB边上的高CD。

小结：这个题目先利用勾股定理求出斜边，再结合三角形的面积求可以求出斜边上的高。

变式训练

已知；在在⊿ABC中:∠C=90°，AC=7，BC=24，P是⊿ABC内的一点，并且P到三角形三边的距离相等，求这个距离。

(四)构建等式法

例4：已知：铁路上A,B两点相距25㎞，C, D为两村庄，已知：AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,已知：AD=15㎞，BC=10㎞。现在要在铁路AB上修建一个土特品收购站E，使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多远处？

小结：这个题目单独利用直角三角形ADE没有办法解决问题，恰好⊿ADE和⊿BCE都是2222直角三角形，并且相等的边DE和CE,于是设AE=x,BE=25-x,得15+x=10+(25-x).即可找出线段的长。变式训练：

已知：在正方形ABCD中，E为BC的中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后折痕为MN,则提醒ADMN与BCMN的面积之比为________.

第五篇：七年级数学勾股定理全章复习

勾股定理全章复习

一、复习要求：

1．体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

2．会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。

3．会用勾股定理解决有关的实际问题。

二、知识网络：

三、知识梳理：

1、勾股定理

(1)重视勾股定理的三种叙述形式：

①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)．

②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积．

③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和．

从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2)定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为的线段。

勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为，„„的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。

(3)勾股定理的证明：

经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。(4)勾股定理的应用：

勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。

2、勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过

构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。

(2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤：

①首先确定最大的边(如c)

②验证：

若

当

当

与

是否具有相等关系：，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。时，△ABC是锐角三角形； 时，△ABC是钝角三角形。

(4)通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，4l；„„以及这些数组的倍数组成的数组。勾股数组的一般规律：

丢番图发现的：式子

毕达哥拉斯发现的：

柏拉图发现的：，，(，的整数)

(的正整数)(的整数)

3、注意总结直角三角形的性质与判定。

(1)直角三角形的性质：

角的关系：直角三角形两锐角互余。

边的关系：直角三角形斜边大于直角边。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

双垂图中的线段关系。

(2)直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。(最长的边的平方等于另外两边的平方和的三角形是直角三角形)

4、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

设直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，由勾股定理知道：得：，。变形，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。

5、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边。

(1)含有30°的直角三角形的三边的比为：1：1：2：3，则三边

的比为1：：2)。

：2。(一个三角形的三个内角的比为

(2)含有45°的直角三角形的三边的比为：1：1：

(3)等边三角形的边长为，则高为，面积为。

6、典型方法的总结：

(1)斜三角形转化为直角三角形

(2)图形的割、补、拼接

(3)面积法与代数方法证明几何问题

四、例题分析

1．如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠，D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△如图乙．这时AB与

(1)求

(2)求线段

(3)若把三角板

相交于点O，与AB相交于点F． 的度数： 的长．

绕着点C顺时针再旋转30°得，这时点B在的内部、外部、还是边上?证明你的判断．

解：(1)∵ ∠2=15°，∠

=90°，∴ ∠1=75°．又∵ ∠B=45°，∴

(2)连结

∵

又∵

∴

又∵

∴。，． ,，.，∵

又∵

在(3)点B在，∴，∴ 中，内部。

于点。。

理由如下：设BC(或延长线)交

∵，在中，又∵，即，∴ 点B在内部。

2．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

解：(1)猜想：AP=CQ

证明：在△ABP与△CBQ中，∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°

∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ

∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ

(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a

连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°

∴ △PBQ为正三角形 ∴ PQ=4a

于是在△PQC中，∵

∴ △PQC是直角三角形

3．如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图(2)所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．

(1)求在该展开图中可画出最长线段的长度?这样的线段可画几条?

(2)试比较立体图中∠BAC与平面展开图中的大小关系?

解：(1)在平面展开图中可画出最长的线段长为

如图(1)中的∵

∴，在中，由勾股定理得：

。．

答：这样的线段可画4条(另三条用虚线标出)．

(2)∵ 立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴ ∠BAC=45°．

在平面展开图中，连接线段

又∵

由勾股定理的逆定理可得

又∵

∴ △，为等腰直角三角形． ∴

．，为直角三角形．，由勾股定理可得：。

所以∠BAC与相等．