根的存在性证明(零点定理)（精选合集）

第一篇：根的存在性证明(零点定理)

根的存在性定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续

f(a)f(b)0,则存在（a,b）使得f()0。

证明利用构造法的思想，将f(x)的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二ababab],[,b]，如果f()0。则定理获证。如果222

ababf()0，)异号，则f(a)和f(b)中必然有一个与f(记这个小区间22

ba为[a1,b1],它满足f(a1)f(b1)0且区间的长度b1-a1。又将[a1,b1]二等2等分为[a,分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为

[a2,b2]，它满足[a,b][a1,b1][a2,b2]，b2a2ba且f(b2)f(a2)0。采22

用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{[an,bn]}，它满足:①

[a,b][a1,b1][a2,b2]；②bnanba；③f(bn)f(an)0。2n

anlimbn[a,b]，如果f()0，由单调有界定理，可以得到limnn

则定理获证。如果f()0，因为f(x)在点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0，使得f(x)在(,)[a,b]上与f()同号。根据所构造的区间的性质②，存在正整数N，当n>N时，[an,bn](,)[a,b]。根据区间的性质③，f(bn)f(an)0，矛盾。

综上所述，只有f()0，且[a,b]。定理获证。

注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而an,bn实际上是函数零点的近似值。

第二篇：零点存在定理的教案

教案

课题：零点存在定理 授课人：

一、内容及内容解析：

本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根.各个内容之间的联系：

方程的根零点零点存在定理



二分法 二、三维目标：

知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解.过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到f(a)f(b)0的特点，并且通过辨析引出定理,得到定理后，还要针对定理中的每一项进行辨析，得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间，为了得到零点的值我们又引入了二分法，从而能近似的求解出零点.情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.三、教学难点与重点：

[难点] 二分法的使用及对定理的理解.[重点] 定理的使用及求解方程的近似根.四、设计教学

上节课我们学习了零点的定义，所以我们知道了如果画出了函数图像，我们就能知道函数是不是有零点，那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办？我们还能知道函数有没有零点吗？通过今天的学习，我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.1、引入定理

通过之前的例题，我们知道函数的零点可能有若干个，为了使问题简化，我们首先考虑函数只有一个零点的情况.请大家思考：若函数y=f(x)是连续不断的函数，且有一个零点，则函数零点两端的函数值有何特征？

因为函数只有一个零点，所以函数图象与x轴只有一个交点。那函数图象与x轴会有哪些位置关系呢？不难想到（无非是两种情况）：一种为函数图象不穿

过x轴；另一种是函数图象穿过x轴。

（1）大家先看第一种情况，函数零点附近函数值有何特征呢？（同学回答）

这种情况下，零点附近函数值同号。那我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积大于0；

（2）我们再看另一种情况，此时零点附近函数值有何特征呢？

（图像在PPT上显示动画过程，让学生观察出图像穿过x轴的过程，然后知道零点附近的值相反.）

无论怎么穿过，都有零点左右函数值异号，同样，我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积就小于0.【分析】

（1）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)>0，那么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？

①（不一定）那好，你能给大家举一个反例吗？

②（一定）好，你先请坐。其他同学有不同意见么？ 如果函数有零点，说明函数图象一定与x轴有交点。条件告诉我们f(a)f(b)>0，那我不妨设f(a)、f(b)同时为正，大家请看，通过这两个点的函数图象一定能与x轴有交点么？

显然是不一定的，比如我举的这个反例。

这就说明满足这样条件的函数，不能确定 函数一定有零点。

（2）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)<0，那我就不妨设f(a)小于0，f(b)大于0，那么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？大家可以在纸上画一画，试试看。

①（一定）好，那其他同学呢？都同意他的观点吗？ ②（不一定）你能为大家说明一下你的理由么？

由于函数的图象是连续不断的，并且端点函数值异号，所以无论怎么画，函数图象一定会与x轴有交点，从而说明函数怎么样？——一定有零点！

这样，我们就得到了判断函数是否有零点的方法，即函数零点存在性定理：

2、零点存在定理

若函数y=f（x）的图象在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。即：存在实数c属于（a，b），使得f（c）=0，其中c为方程f（x）=0的根。

现在我有一个问题：若函数满足在[a,b]上有f(a)f(b)<0,一定能推出（a,b）之间有零点吗？（思考）

如果可以请说明理由，不能的话请同学们举个反例.在这个反例中，f(a)<0, f(b)>0，f(0)=0.5

我们来看，这个定理是我们通过结合函数图象探究而得的，而至于它的严格证明，需要到大学阶段再去研究。

这样，我们通过引入函数的零点，将方程与函数建立起了联系，并且为我们提供了一种新的解决方程问题的途径。此前我们学习过的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是对于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常没有求根公式。而通过函数零点存在性定理，就可以去研究这样一般形式方程根的问题了。

【例】求函数f(x)lnx2x6的零点个数.【解析】因为f(2)0,f(3)0,所以在(2,3)之间有零点，又因为函数f(x)在(0,)上是单调递增的，所以这个函数只有一个零点.根据零点存在定理，我们知道函数是否有零点，但是如果我们想知道零点的值怎么办呢？接下来，我们要学习一个新的求根方法-----二分法.3、二分法（求根的近似值）

我们就以上面的例子来研究，即如何求f(x)lnx2x6的零点呢？ 一个最直观的想法就是：如果我们把零点存在的范围(2,3)尽量缩小，那么在一定的精确范围内，我们就可以得到零点的近似值.那我们如何缩小范围呢？显然最简单、最可行的方法就是“取中点”.接下来，我们解答上面的例子来看看二分法是如何运用的.【解析】应用零点存在定理，我们知道了f(x)lnx2x6在(2,3)之间有一个零点.接下来我们要用“取中点”的方法缩小零点存在的范围.取(2,3)的中点2.5，用计算器计算f(2.5)0.0840，而f(3)0，那么f(2.5)f(3)0，所以在(2.5,3)之间有零点，即缩小了零点所在的范围.再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器计算f(2.75)0.5120，而f(2.5)0，即：f(2.5)f(2.75)0，所以在(2.5,2.75)之间有零点.我们可以看出零点存在的范围越来越小了，如果一直取下去，零点存在的范围会越来越小，这样，在一定的精确度下，我们就可以在有限次重复步骤之后，将所得的零点存在的区间内任意一点作为函数零点的近似值.我们把上面例题缩小区间的过程画在表格中：

如果当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01,所以我们可以将2.532作为函数f(x)lnx2x6的零点近似值，也即方程lnx2x60的近似根.通过这道例题，我们总结一下使用二分法求近似根（给定精确度）的步骤：

1、确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度；

2、求区间(a,b)的中点x1；

3、计算f(x1)的值；

（1）若f(x1)0,则x1就是函数的零点；

（2）若f(a)f(x1)0,则令bx1,此时零点x0(a,x1)；

（3）若f(x1)f(b)0,则令ax1,此时零点x0(x1,b).4、判断是否达到精确度：即若|ab|，则零点的近似值是a(或b）；否

则重复2-4步.【课堂练习】

1、借助计算器，用二分法求方程x3lgx在区间（2,3）的近似解（精确到.0.01）

2、借助计算器，用二分法求函数f(x)lnx到0.1）

【作业】

2在区间（2,3）内的零点.（精确xP108，1、3、4、6和P109，3、4.

第三篇：存在与唯一性定理的证明

Picard存在与唯一性定理的证明

定义：设函数f(x,y)在闭区域上有定义，如果存在常数L0，使对任何(x,y1),(x,y2)均满足不等式f(x,y1)f(x,y2)Ly1y2，则称f(x,y)在上关于y满足Lipschitz条件，称L为

Lipschitz常数

Picard定理：设f(x,y)在闭矩形域：xx0a,yy0b上连续，且关于y满足Lipschitz条

dy

f(x,y)

件，则初值问题dx·········①

y(x0)y0

在区间Ix0h,x0h上有且只有一个解，其中hmin(a,证明：整个证明过程分成如下五个部分

x

b),Mf(x,y)M(x,y)Ⅰ，首先证明求初值①的解等价于求积分方程yy0

x0

·········②的连续解。f(x,y)dx,xI·

d((x))

f(x,(x))

事实上，若y(x)(xI)是初值问题①的解，则有dx,xI

(x0)y0

由此，f(x,(x))在I上连续，从而可积，于是对恒等式

x

d((x))

f(x,(x)),xI积分并利用初始条件，dx

得到(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI即，y(x)(xI)是积分方程②的解

x

反之，设y(x)(xI)是方程②的连续解，即有恒等式(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI

x

因为f(x,(x))在I上连续，故(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI右端是积分上限xI的可微函数，从而

(x)在I可微

x

于是将(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI两边对x求导，得恒等式

d((x))

f(x,(x)),xI，并令xx0得y(x0)y0，因此 dx

y(x)(xI)是初值问题①的解

因此，我们只需证明积分方程②存在唯一定义在区间Ix0h,x0h上的连续解。我们采用Picard的逐次逼近法来证明，基本思路就是在所设条件下构造出一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰是积分方程②的唯一解

Ⅱ，用逐次迭代法在区间I上构造逐次近似的连续函数序列

x



yn1(x)y0f(x,yn(x))dx

·········③ ,xI·x0



y0(x)y0

当n0时，注意到f(x,y0(x))是I上的连续函数，所以由③知

x

y1(x)y0f(x,y0(x)),(xI)在I

x0

上是连续可微的，而且满足不等式

x

y1(x)y0

x0



f(x,y0(x))Mxx0于是在区间I上y1(x)y0Mhb

因此，f(x,y1(x))在I上是连续的，所以由式③知

x

y2(x)y0f(x,y1(x)),(xI)

x0

在区间I上是连续可微的，而且满足

x

y2(x)y0

x0



f(x,y1(x))dxMxx0于是在区间I上y2(x)y0Mhb

以此类推，应用数学归纳法易证： 由③式给出的所谓Picard序列

yn(x)

是区间I上的连续函数序列，而且满足不等式

yn(x)y0Mxx0Mhb,n0,1,....Ⅲ，证明Picard序列yn(x)在区间I上一致收敛

考虑级数

y0y1(x)y0...yn(x)yn1(x)...··········④它的部分和为

y0yk(x)yk1(x)yn(x)，于是，要证明序列yn(x)在区间I上一致收敛，只需证明级数④在I

k1

n

上一致收敛。为此我们归纳证明不等式：

yn1(x)yn(x)ML

n

xx0

n1

(n1)

(n0,1,...)·······⑤在I上成立事实上，当n0时由

x

y1(x)

x0

f(x,0y(x))dx

k1

知式M0xx⑤成立，假设当nk时⑤式成立，即有

yk1(x)yk(x)ML

k

xx0

(k1)

x

(k0,1,...)在I上成立

则由式③知yk2(x)yk1(x)

x0

[f(x,y

k1

(x))f(x,yk(x))]dx根据Lipschitz条件和归纳假设得

x

yk2(x)yk1(x)

x

x0

Ly

k1

(x)yk(x)dx

xx0

k2

MLk1

x0



xx0

k1

(k1)

dxMLk1

(k2)

即当nk1时式⑤也成立，因此有数学归纳法知式⑤得证

hn1

(n0,1,...)因当xI时，xx0h，故由式⑤知yn1(x)yn(x)ML

(n1)

n

hn1

因正项级数ML收敛，故由函数项级数一致收敛的Weierstrass（魏尔斯特拉斯）判别法知级数

(n1)n0



n

④在区间I上一致收敛从而Picard序列yn(x)在区间I上一致收敛 设其极限函数为(x)，即当xI时一致的有limyn(x)(x)

n

则y(x)在I上是连续的且由yn(x)y0b推知(x)y0b,xI Ⅳ，证明y(x),(xI)是积分方程②的解

x

在式③两端令n得到(x)y0lim

n

x0

f(s,y(s))ds

n

x

x

因此问题归结为证明lim

n

x0

f(s,y(s))dsf(s,(s))ds

n

x0

因Picard序列yn(x)在I上一致收敛，则任给0，存在自然数NN()，当nN时，对I中所



Lh

故当xI时，由Lipschitz条件知

有x有yn(x)(x)

x

n

x

x0

f(s,y(s))dsf(x,(x))ds

x0

xx0x





f(s,yn(s))f(s,(x))ds



x0x

Ly(s)(s)ds

n



x0

L

dsLh



xx0hhh

x

x

n

因此式lim

n

x0

f(s,y(s))dsf(s,(s))ds成立

x0

x

因而当xI时有(x)y0

x0

f(s,(s))ds，所以y(x),(xI)是积分方程②的一个连续解

Ⅴ，证明积分方程②的连续解的唯一性

x

设y(x)也是方程②的定义在区间I上的连续解，则(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI于是与步骤Ⅲ类

hn1

(n0,1,...)在I上成立 似，可归纳证明得yn(x)(x)ML

(n1)

n

从而Picard序列yn(x)在区间I上也一致收敛与(x)，因此我们推出(x)(x),xI 所以，积分方程②的连续解是唯一的。至此，定理得证。【注】定理中数hmin{a,b的几何意义 M

dy

f(x,y)的积分曲线上任一点的切线斜率介于Mdx

与M之间。过点p(x0,y0)分别引斜率为M与M的直线B1C和BC1：

因为在闭矩形域上有f(x,y)M，所以方程

yy0M(xx0),yy0M(xx0)，当M

显然方程

bb

时，如图㈠所示；当M时，如图㈡所示 aa

dy

f(x,y)过点p(x0,y0)的积分曲线y(x)(如果存在的话)不可能进入图㈠或㈡所示的两dx

bb

(即a)由图㈠可见解y(x)在整个区间xa,xa上有定义；若

Ma

个阴影区域内。若M

M

bb

(即a)由㈡可见，不能保证解y(x)在xa,xa上有定义。它可能在Ma

xx1(x0x1x0a)或xx2(x0ax2x0)外到达的上边界yy0b或下边界yy0b，于

是，当xx1或xx2时，y(x)没有定义。此时，由于点B1,C1,B,C的横坐标分别为x0

b

及M

x0

bbbb，故可保证解y(x)在区间x0,x0上有定义。综上，只要取hmin{a,，则MMMM

当xx0h时，有(x)(x0)(x)y0Mxx0Mhb，即当xI[x0h,x0h]时，积分曲线y(x)不会跃出闭矩形域

第四篇：案例 零点定理的教学设计

过程与方法是这样体现的！

一、开放的情境更易于引导学生做数学

根据高中学生的认知水平，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，设计了能启发学生思维的“温度连续变化”情境，引导学生得出本节课的重要结论：零点附近两侧的图象特征及代数特征（函数值异号）。这一片段的课堂教学实录如下：

问题1 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？

师：在补充图象的时候请考虑：图象与x轴是否一定相交。师：有哪位同学得到与x轴不相交的图象吗？（所有同学都摇头表示不能画出）师：困难在哪？为什么画不出？

生丁：因为气温的变化连续不断，而且有两个已知的温度是一正一负。师：很好，因为这两个原因使得图象与x轴一定相交。那么，交点可能会在哪儿？

生众：0到12之间。

师：气温变化图其实也是一个函数的图象，它与x轴的交点就是函数的零点，这样我们已经发现了函数存在零点的一种判断方法。

师：函数存在零点的关键是什么？

生众：函数图象是连续不断的；一个点在x轴下方，一个点在x轴上方。

从上述过程可见，通过 “问答”式这种形式引导学生进行探究，实践证明效果较好。但对高中学生来说，数学学习是一个充满价值判断的过程，最有效的是有引导又不受干扰的思考，属于学生自己的独立思考。美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学”，我们认为：让学生以研究者的身份通过动手做来解决这一问题，先做后说，也许效果会更好。鉴于此，我们对这一教学片段重新进行了设计，把如下的修改问题作为学生深度思考的一个源题：

问题2 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？

在课外活动中将印有这个题目的纸张发给学生，要求学生通过研究设计出二种不同的连结方法。

上述的图形连接问题起点低，直观性强，简单而内涵丰富，且结论开放，符合高中学生喜欢动手的特点，适合不同层次学生进行探究。并在动态生成中很自然地“更新”了学习方式：让学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，研究数学。

二、“预设”与“生成”结合的课堂更精彩

原问题给学生一个图，学生会用最方便直接的方法进行连接（一条直线段），在转换了情境问题后，一次就给学生二个相同的图形，要求进行不同的连接，设计第二个图的连接有的学生会面临困难，教师适时提示：“请大家再试着画画看”，“独立思考几分钟”，以更好地激发学生的探究欲，在尝试画图和反复的思索中，—种、两种、三种„„没有预设的连接方法接踵而至，学生在画图过程中，不拘一格大胆思考，使课堂出现“生成”的精彩。学生是聪明的，无穷的遐想和个性化理解给不同的学生带来了不同的收获（下面仅列举一部分成果，课堂上用实物投影展示）。

1．让学生在表述结果中进行数学交流

教师先从连接线的几何和数量特性着手，引领学生进行课堂交流。学生画出的图形是五花八门的：

(1)用线段连接（如图2、3等）。

(2)用曲线段连接，学生给出了很多连接方法，如图4、5、6、7等都是学生给出的。

学生画出的图形为课堂教学提供了丰富的资源，其中包括在区间(a，b)内有单一零点的函数是单调的、不单调的、有多个交点的等。而且也还有因为没有注意到条件要求而画错的图形（如图5），这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差。

实践证明，每一个学生都希望自己是一个发现者、研究者和探索者。学生从这一问题的研究出发，放飞想象，上述这道教师眼里简单的画图题，仅仅在几分钟里，学生通过观察、猜想、尝试，就探索出了这么多种不同的画法，有助于加深对本节课所学知识的理解，为后续学习积累大量的素材，逐步学会思考。

2．课堂研究中的动态生成是灵动的教学资源

构建动态生成的课堂必须把学生置于教学的出发点和核心地位，让学生充分地开展自主学习，课堂才能焕发出勃勃生机，呈现出一道优美、流动的风景线，才能使课堂真正为学生的发展服务。在课堂上要及时合理地捕捉学生研究得到的动态生成，让它多一些真实的美丽，多一些有效的精彩。

（1）学生画出的图形，蕴含着丰富的教学资源。从图象与x轴交点（即零点）的个数看，可以构造出任意有限个零点的连接图。那么，是否存在有无限个零点的连接图？有的学生经过思考后提出：将线段设置为与x轴重合，如图8，其图象是不间断的，显然该函数的零点为一个区间，有无限多个。

给学生几分钟的思考时间，给学生“灵机一动”、“茅塞顿开”的机会，就可能出现“柳暗花明”“出人意料”的结果，进而极大地激发学生的探究欲望，并充分享受发现的喜悦。

（2）从这些图形零点附近图象的代数特征看，可分成四种情形：函数值异号（+－；－+）；函数值同号（++；－－），这样可把学生引向本节课的重要结论的研究。

（3）前面学生研究出的连接图，还可用来协助解决二节观摩课中提出的一系列问题，加深学生对本课内容的理解，如：

问题1 若问题2 若，函数，函数

在区间在区间

上一定没有零点吗？ 上只有一个零点吗？ 内有且只有一个零点？ 问题3 能否增加条件，使得函数在区间是否一定有f(a)f(b)<0? 问题4 若在区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上有一个零点，问题5 若在区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)满足f(a)f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)上零点个数一定是有限个吗? 老师在教学中的做法是：（在《几何画板》直接展示函数的图象，不给出函数解析式，如图9。引导学生改变区间的端点，通过观察，验证问题1、2。

师：所以零点存在性定理可以判断当条件满足时，函数在区间内一定有零点，但不能确定零点的个数。

师：能否增加条件，使得函数在区间生众：单调性。

师：具体说，可以增加这样的条件：函数在区间这里我们利用图7就能回答这几个问题。

这样的生成，让平淡的课堂变得趣味无穷，让平常的课堂情节变得迭宕起伏，不仅将学生在画图过程中动态生成的信息转化为有效的教学资源，并在动态中促

内为单调函数。

内有且只有一个零点？ 使学习内容不断生成，知识不断建构并得到内化，使数学教学成为激情与智慧综合的生成过程的课堂教学。

古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科学高峰的征途中，都会给思考留有一定时间。据说爱因斯坦狭义相对论的建立，经过了“十年的沉思”。他说：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的。”许多教师在课堂教学中，由于没有抓住教学内容的核心，往往堆积了大量细枝末节问题，教师讲得多，给学生思考的时间少，甚至不给学生思考机会，导致学生思维能力得不到培养。因此，教学设计时应给学生预留更多的思考时间和空间。学习的效果最终取决于学生是否真正参与到学习活动中，是否积极主动地思考。如果学生能学会思考和研究，这比什么目标都有意义。

（浙江省衢州市教研室 李世杰）

（摘录自人民教育出版社网站：精彩的生成来自学生的自主研究）

第五篇：构造性证明与存在性证明小议

构造性证明与存在性证明小议

幸 克 坚

（遵义师范学院 贵州 遵义 ５６３００２）

摘 要：构造性证明与存在性证明是数学证明中常见两种证明方法。本文对它们的概念、来历及证明思路和作用与意义，乃至相互之间的关系，作了概略的议论。并主张将它们作为一对哲学范畴，贯穿在数学教学和数学研究之中。

关键词： 构造性存在性证明

中图分类号：O171文献标识码：E文章编号：1009-3583（2004）04-00

一、构造性证明与存在性证明：

在数学中对命题：“存在x，使得命题F(x)成立”的证明，有两种办法：构造性证明与存在性证明。构造性证明就是通过有限步的推导或计算，具体地找（构造）出这样的x；存在性证明则是从逻辑上证明所述对象x确实存在，但x具体是多少？在哪里？并不一定知道。因此，构造性证明不仅要证明所述对象的存在，而且要具体地求出对象的位置或多少（大小），而存在性证明则只需要证明该对象的存在即可。简言之,构造性证明相信“眼见为实”，而存在性证明只是证明了“没有被看到的”的存在，是一种理性的承认。

二、构造性证明的来历及思路分析

从历史的渊源上看，构造性证明的基本思路可以说源于我国古代数学。我国古代数学有两大特点：其一是典型的算法体系，一切结论只是通过计算结果来说明，以汉代的《九章算术》为典型代表，将九类问题总结出九类算法，算法比较机械，有相对固定的步骤（既我们今天常说的程序），每前进一步后，都有有限多个确定的可供选择的下一步，这样沿着一条有规律的刻板的道路一直往前走就可以得出结果；另一个特点是宋元时期，把许多几何问题转化为代数方程与方程组的求解问题，创造了相当于现代多项式的概念，建立了“天元法、四元法”等代数工具，进一步丰富了算法的内容。这都体现了显著的“构造性”或称作“可操作性”特色。

现代意义上的构造性证明则来源与一种被称为“构造性数学”的数学哲学观点（流派），它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个x满足性质Ａ”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质Ａ的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质Ａ的这个x来。如果进一步追溯下去，构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根

基金项目：遵义师范学院科研基金项目（200418）

收稿日期：2004-12-16

作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学哲学和数学史研究 1

据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”

由于构造性证明不仅要证明所述对象的存在，而且要通过有限的步骤具体地计算或推导求出对象的位置或多少（大小）。所以，在证明过程中就具有鲜明的“构造性”或“可操作性”。如一元二次方程的求解⑴

bb24ac就是要具体地得出用方程的系数表示解的求根公式：x，而这个结果是通过配方一步步2a

得到的。

构造性证明基本上都是直接证明，是通过式子的变换一步步“构造”出命题的结论所描述的对象。因此，“构造”时往往具有较高的技巧和灵活性，对相关知识和方法的掌握运用要比较熟练。

三、存在性证明的来历及思路分析

存在性证明应该说源于经典数学的“公理化”思想方法，起源于古希腊。希腊是一个特别喜好追溯理性、探究一般性真理的民族，他们总是力图将一切知识体系建立在一个相对比较精练的理论基础和一套严谨的逻辑推理规则上，欧几里得《几何原本》就是这方面的代表作，它创造了一套用定义、公理、定理构成的逻辑演绎体系。而现代意义上的存在性证明当首推“数学王子”高斯，高斯发现了代数基本定理并给出存在性证明，是对代数学的重要贡献，也可以说是开创了数学研究的新途径。但真正第一个认识到存在性证明的深刻价值和意义的人是“现代数学的巨人”希尔伯特，希尔伯特在解决代数不变式问题时，采用直接的、非算法的方法，证明了不变式系的有限整基的存在性定理。

顾名思义，存在性命题证明的关键是证明其存在性，它与构造性证明不同，由于相应命题所述对象的不可构造或不易构造，一般只能从逻辑和理论上证明所述对象确实存在，但不能具体求出。因此，其证明常常表现为间接证明，即假定所述对象不存在，就会导致矛盾；有时候必须依靠一种紧密联系的“逻辑链”才能说明其存在性。如微分学中有两组定理：其一是三条中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理都属于存在性命题，证明罗尔定理时的依据是最大值最小值定理，然后对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明则是构造辅助函数： ⑵

(x)f(x)f(a)

把问题转化为利用罗尔定理的结论上来。f(b)f(a)(xa)ba

类似的逻辑链式的定理还有：用实数的构造理论想法构造数列证明了单调有界定理——区间套定理——确界存在定理——最大值和最小值定理——介值定理,这几条定理都属于存在性命题，其证明也是逻辑上紧密联系的，并且都是构造一系列区间套，“套”出结论中的对象——那一个点。这种逻辑上的极强前后连贯性（或称为依赖性），很好地体现了公理化方法的特色。

四、构造性证明与存在性证明的评价及哲学意义

对构造性证明与存在性证明,有两种比较偏颇的观点：

第一种观点认为构造性证明才合理而存在性证明则不合理。如希尔伯特在研究不变量理论时给出一个存在性证明，当时曾引起一场轩然大波。德国的克罗内克认为：“没有构造就不算是存在”；还说：“上帝⑶

创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。不变量之王果尔丹甚至说：“这不是数学，是神学”。

希尔伯特坚持这样的观点：只要能证明一个概念的属性绝不会引出矛盾，那么就自然确定了这个数学概念在数学上是存在的，克莱因支持并赞美这种证明，说：“非常简单，在逻辑上是不可抗拒的。”„„希尔伯特指出：“纯粹的存在性证明之价值恰恰在于，通过它们就可以不必去考虑个别的构造，而且各种不同的构造包括于同一个基本思想之下，使得对证明来说是最本质的东西清楚地突现出来；达到思想的简洁和经济，就是存在性证明生存的理由„禁止存在性证明„等于废弃了数学科学。”

第二种观点则认为数学应该注重理论上和思想上的价值，从这个意义上说，存在性证明才有说服力。只有建立在古希腊的逻辑、公理体系上的存在性证明才是一种理性思维成果，构造性证明思想实际上是一种相信数学的理念，对数学真理性的认识包括了相当的非理性成分。在这种观念指导下，在相当长的一段时期和较大的范围内，存在着这样一种观点：建立在算法基础之上的中国古代数学只是一种“术”——即只停留在技术层面上、功利性地偏重于实用的操作技能，算不上科学。并且以此为理由在数学史中全面否定中国古代数学。

事实上，构造性证明体现了一种所谓的“机械化”思想，即按部就班有步骤地进行，这确实是中国古代数学的特征；“机械化”是相对于“公理化”而言的。公理化思想起源于古希腊，19世纪以来，希尔伯特等一批数学家和哲学家在建立数学基础的工作中，进一步明确和强调了这种思想。应该说，这确实是中西传统数学的各自特点，各有其长处，在现代数学体系中也起到了各自的作用。不应该狭隘地看待。

例如，就构造性证明而言，作为人类智慧新成果之一的数学定理的机器证明，就是我国著名数学家和数学史家吴文俊院士继承我国古代数学传统开创的数学机械化工作的一部分，吴文俊先生以其深厚的几何学和拓扑学功底，吸收了我国古代数学的上述两大特点之后，将几何问题用代数方程表达，用之于计算机。1977年先在平面几何定理的机器证明方面取得成功；1978年推广到微分几何；1983年我国留美青年学者周咸青在全美定理机器证明学术会议上介绍了吴（文俊）方法，并且自编软件，一鼓作气证明了500多条难度颇高的几何定理，轰动了国际数学界。

而存在性证明那种“非常简单，在逻辑上不可抗拒”，雄辩地让人无可辩驳的“理性的承认”确实体现了人类理性思维的威力。如中值定理使我们确实相信“中值”的存在，代数基本定理中我们确实相信“任何一个n（n＞0）次多项式f(x)在复数域内有n个根。其关键是证明其“确实存在”，并没有回答 “等于多少”或“在什么位置”？甚至在多数情况下，最终也无法回答这个问题。但丝毫不影响对命题结论可靠性的信服和运用。例如，正是立足于代数基本定理的结论，才得到与多项式因式分解理论相关的一系列成果，数学分析中有理函数的不定积分可以说是解决得十分完善的，也得益于这一结果。

而且，存在性证明与构造性证明是常常是紧密相依、相辅相成、互为补充的。首先，在一定意义上说，构造性证明中已经包含了“存在”——不但存在，而且已经找出。其次，存在性的证明往往也需构造，如上述微积分中两组重要定理的存在性，也是用构造法证明的；再次，有些存在性命题也能够具体的求出结果，从而转化为构造性命题，如我们熟知的数列极限、函数极限的“ε—N”、“ε—δ”定义，本身显然是存在性命题，但对于具体的问题和给定的具体的ε，如果需要的话，也可以求出相应的N和δ。所以可以说“构造中蕴涵着存在，有存在才可能构造”。又如十七世纪产生的将运动变化的辨证法引入数学的微积分、被称为 “数学中的转折点”，就充分体现了构造性证明与存在性证明的完美结合：如极限存在的两个准则——夹逼准则和单调有界准则中夹逼准则“anbncn”需要求出liman与limbn，属于构造nn⑸⑷⑴

性证明，而单调有界准则则是从逻辑上确信其极限存在，属于存在性证明；又如“求导”过程：从依定义

求了一小部分基本初等函数的导数入手，经过讨论导数的运算性质、反函数、复合函数、隐函数的求导法则，十分彻底地解决了整个庞大的初等函数类的求导问题，既解决得十分彻底，又在逻辑上前后紧紧相依，密切联系，是典型的构造性结果；积分法中的换元与分部乃至特殊函数的积分，也体现出明显的构造性色彩，具有很强的可操作性。而上述中值定理和区间套定理等两组重要定理，则可以说是存在性证明的典型例子。

综上所述，存在性证明与构造性证明之间有紧密的相依关系，二者是互为补充而不是互相对立、互不兼容的关系。从哲学的观点来看，存在性命题与构造性命题可以作为一对哲学范畴，它们之间体现了一种对立统一关系。按希尔伯特的上述说法，还呈现为一般与特殊、抽象与具体的关系。应该把这种观点带到数学教学和研究之中：在向学生传授具体的数学知识的同时，将存在性证明与构造性证明及其作用与关系结合具体例子介绍，逐步给他们一定的数学哲学、数学史和数学方法论方面的知识。在用这种观点从事数学研究，有可能使自己看问题更加客观、全面。

参考文献：

⑴ 郝宁湘．构造性数学及其哲学意义［J］http:// 2004年12月4日

⑵ 杜瑞芝．数学史辞典［M］．济南∶山东教育出版社．2000．170

⑶ 华东师范大学数学系．数学分析（上）［Z］．北京∶人民教育出版社．1980．197-216

⑷ 张顺燕．数学的源与流［Z］．北京∶高等教育出版社．2000．44

⑸ 席泽宗．科学史十论［M］．上海∶复旦大学出版社．2003．4—5