高二数学选修4-1几何证明选讲练习

第一篇：高二数学选修4-1几何证明选讲练习

高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题

一、选择题:

1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作

圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()

A.15B.30C.45D.60

第1题图 2.在RtABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角

形与ABC相似,则x()

A.0B.1C.2 D.33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为()

4.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知

22PA6,PO12,AB,则

O的半径为()3

A.4B

.6C.6

D.8

5.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CDAB于点D,且AD3DB,设COD,则tan2

2＝()

第5题图 11 A.B.C.4D.3 3

4二、填空题:

6.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且

与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝51,则AC＝

7.如图,AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB3,CD1,则sinAPD=

.O

 D B C 第 6 题图

第7题图

三、解答题:

8.如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是 O上两点,如果E46,DCF32,试求A的度数.9.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P, E为⊙O上一点,AEAC,DE交AB于点F,且AB2BP4, 求PF的长度.EA

C FB OD P

第9题图

第二篇：高二文科数学选修4-1《几何证明选讲》

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高二文科数学选修4-1《几何证明选讲》

班级_姓名座号

1.如图，在四边形ABCD中，EF//BC，FG//AD，则

EFFG.BCAD

2.如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm, BE=1.2cm, CD=1.4cm．则

.B的点，3.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，CDAB，垂足为D，已知AD

2，CB则CD.F 图

204.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，ACB30o，则圆O的面积等于.《中学数学信息网》系列资料www.xiexiebang.com版权所有@《中学数学信息网》

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5.如图，△ABC中，∠C=900，⊙O切AB于D，切BC于E，切AC于F，则 ∠.6.如图，已知圆上的弧ACBD，过C点的圆的切线与BA的 延长线交于 E点，若ACE350，则BCD.7.如图, 已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若ABC30, AC2,则AD的长为.8.如图，圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知

PAPB3,PCPD，则CD.o

BA

D

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9.如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PCOP，PC交⊙O于C，若AP4，PB2，则PC的长是（）

PO

A

B

A．3B

．C．2D

10.如图，圆O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD⊥AE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝.11.如图，割线PBC经过圆心O，PBOB1，PB绕点O逆时 针旋120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE.12.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长 AB和DC相交于点P。

BC

若PB=1，PD=3，则的值为.AD

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13.如图，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点，已知半径为4,PA＝2，点P到O的切线长PT ＝4，则 点O到弦AB的距离为.14.如图,已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则

15.如图,PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT2，PA1，P60o，则圆O的半径r.BD

__________.DA

16.如图, AC和AB分别是圆O的切线，B、C 为切点,且 OC = 3，AB = 4，延长OA到D点，则△ABD的面积 是.17.如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线 PCD经过圆心O，PE是⊙O的切线。已知PA=6，AB=7，PO=12，则O的半径是.参考答案

B

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1.2.3.4.16p5.4506.350

7.8.9.10.11.16

15.112.13.14.16.48

17.9

第三篇：高二文科几何证明选讲(选修4-1)练习案选修4-1)

高二文科数学几何证明选讲编写：乔秉正审核：张养祥

高二文科几何证明选讲(选修4－1)练习案

12012年高考数学 几何证明选讲

一、填空题选择题．（2012年高考（天津文））如图,已知AB和AC是圆的两条弦,6.（201

2年高考（陕西理））如图,在圆O中,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点

D

直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EFDB, 垂足为F,若AB6,AE1, 则DFDB__________.错误！未指定书签。7.（2012年高考（湖南理））如图

F,AF3,FB1,EF

____________.3,则线段CD的长为2

错误！未指定书签。2．（2012年高考（陕西文））如图,在圆O中,直

径AB与弦CD垂直,垂足为E,EFDB,垂足为F,若

AB6,AE1,则DFDB___ ______.．（2012年高考（广东文））(几何证明选讲)如图3所示,直线PB

2,过点P的直线

与圆O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等于_______.错误！未指定书签。8.（2012年高考（湖北理））(选修4-1:几何证明选讲)

如图,点D在O的弦AB上移动,AB4,连接OD,过点D 作OD的垂线交O于点C,则CD的最大值为__________.9.（2012年高考（广东理））(几何证明选讲)如图3,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足ABC30,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA__________.二、解答题

错误！未指定书签。10（2012年高考（辽宁文））选修41:几何证明选讲

与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,PBADBA.若

ADm,ACn,则AB_______.错误！未指定书签。4.（2012年高考（江西理））在直角三角形ABC

中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则

如图,⊙O和⊙O相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长

（）

交⊙O于点E.证明(Ⅰ)ACBDADAB;

/

|PA|2|PB|

2= 2

|PC|

A．2

B．

4C．5 D．10

错误！未指定书签。5.（2012年高考（北京理））如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆

与BC交于点E,则（）A．CE·CB=AD·DB B．CE·CB=AD·AB

C．AD·AB=

(Ⅱ)ACAE.CD

2B

错误！未指定书签。11.（2012年高考（课标文））选修4-1:几何选讲

错误！未指定书签。13.（2012年高考（辽宁理））选修41:几何证明选讲

如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点,若CF∥AB,证明:

(Ⅰ)CD=BC;

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.212.（2012年高考（新课标理））选修4-1:几何证明选讲

如图,⊙O和⊙O/相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明[(Ⅰ)ACBDADAB;(Ⅱ)ACAE.错误！未指定书签。．（2012年高考（江苏））[选修4-1:几何证明选讲]如图,AB是圆O的直径,D,E

如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点,若

CF//AB,证明:

(1)CDBC;

(2)BCDGBD

为圆上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BDDC,连结AC,AE,DE.求证:E

C.G

F

高二文科几何证明选讲(选修4－1)练习案2

一、填空题(每小题6分，共30分)

1．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝

________.4．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝

________.2.(2011·湖南)如图，A、E是半圆周上的两个三等分点，直线BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．

5.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝E，F分

2别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.3．(2011·深圳卷)如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是

a

CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝

________.二、解答题(每小题10分，共70分)

6．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF

.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交

BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD

.(1)求证：B，D，H，E四点共圆；(2)求证：CE平分∠DEF

.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.8．(2011·辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED

.(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2＝GE·GF.(1)证明：CD∥AB；

(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

9．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：

10．(2011·课标)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．

(1)证明：C，B，D，E四点共圆；

(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．

11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形

(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；

(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．

12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K

.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.

第四篇：高二数学几何证明选讲教案

几何证明选讲

（共计10课时）授课类型：新授课

一【教学内容】

1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

二【教学重点、难点】

1． 理解相似三角形的定义与性质定理． 2.掌握以下定理的证明：（1）直角三角形射影定理；（2）圆周角定理；（3）圆的切线判定定理与性质定理；（4）相交弦定理；（5）圆内接四边形的性质定理与判定定理（6）切割线定理

三【教学过程】

第一讲 相似三角形的判定及有关性质

以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，基本数学思想是比例及其性质的应用； 第1课时.基础知识:

平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。例题选讲：

例1 已知：线段ＡＢ

求作：线段ＡＢ的三等分点 作法：

1、作射线AC2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF

3、连结BF4、过点D、E分别作BF的平行线分别交AB于点L、K

点L、K为所求的三等分点

作业练习：课本P5习题1.1第2课时.基础知识:

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________。例题选讲：

例1 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的长.例

2、如图，已知DE//BC，EF//CD，求AD是AB和AF的比例中项。

例3平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

作业练习：课本P9-10习题1.2第3、4课时.［复习提问］

1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）． ［讲解新课］

我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有

三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？

基础知识:

预备定理：平行三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原

三角形相似.判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；

相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

例6如图，锐角△ABC，BC=24cm,BC边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形，如图，求

简单说成：两角对应相等，两三角形相似．

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

可以简单说成：三边对应成比例,两三角形相似。例题选讲：

例2圆内接△ ABC的角平分线CD延长线交圆于一点E。求证： EBDB

EC



CB

这个正方形的边长。Q

D M C

例4已知： D、E、F分别是△ABC三边的中点, 求证： ΔDEF∽ △ABC

基础知识:

定理（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似

(2)如果两个直角三角形两条直角边对应成比例那么这两个三角形相似

作业练习：课本P19-20习题1.3第5课时..直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项； 两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。作业练习：课本P22习题1.4第二讲 直线与圆的位置关系(共5课时)

以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理 基础知识:

1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。

o

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90的圆周角所对的弦是________。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。2.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________

。如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。

3.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________。

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________；经过切点且垂直于切线的直线必经过______。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的__________。

4.相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分_______的夹角。、例题选讲：

例1已知：如图,AD是△ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB.AC=AE.AD

作业练习：课本P26习题2.1例1：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2 交于

点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。

求证：CE∥DF

例2：如图,CF是△ABC的AB边上的高

PFBC,FQAC

E

例2如图，AB与CD相交于一点P。求证：AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.B

F

求证：A,B,P,Q四点共圆.A

作业练习：课本P30习题2.2例1已知： 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC，求证：DE是⊙O的切

线。

E

例2已知： 如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过C点的切线垂直，垂足为D。

求证:AC平分

作业练习：课本P32习题2.3例 1已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D。试说明AC平分∠BAD。

EC

D

作业练习：课本P34习题2.4例 1已知：如图圆内两条相交弦AB,CD相交于圆内一点P，PA=PB=4,PC

PD求CD的长。

A

D

例 2如图E是圆内两条相交弦AB,CD

AD的延长线与F,FG切圆于G。求证：（1）ΔDEF

∽ △EFA;(2)EF=FG

B

F例 4如图AB是⊙O的直径，过A，B引两条弦AD和BE，相交点C.B

求证：ACADBC

BEAB

作业练习：课本P40习题2.5四.【小结】

几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生运用综合几何方法解决问题的能力。

五、【布置作业】

1如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD4,BD8，则圆O的半径等于．1题图

2.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠。

43.如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD4,BD8，则圆O的半径等于．3题图

4.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠

第五篇：高二数学几何证明选讲考点分析

锈钢工作台dbfq

一、几何证明选讲考点分析

①相似三角形的定义与性质；

②平行线截割定理；

③直角三角形射影定理；

④圆周角与圆心角定理；

⑤圆的切线的判定定理及性质定理；

⑥弦切角的性质；

⑦相交弦定理；

⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理；

⑨切割线定理；

但各地试卷对几何证明选读内容的试题要么以圆为载体，要么隐含圆的相关知识，总之，试题均涉及圆的有关平面几何知识。特别地，圆周角定理和圆心角定理的考查频率极高。

2008年：

2009年：

2010年：习题2.4(1)及2.5例

52011年：2.2例

2三、命题方法实例剖析

几何证明选讲高考试题大多以课本中的例题、习题等为源题变化而来而来。这些题目中一些是利用课本 结论，赋予具体的数值而得到，可视为课本源题重现；一些题目是把题目中的条件或结论稍加得到，试题结构并没有改变，可视为课本源题简单变形；还有一些试题的主体结构和课本题目基本一致，但仅从题目外形很难将两者联系起来，可视为课本 源题深层次变形。

⒈课本源题重现：

（2010年广东省高考理科第14题）如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝

______________.2a，∠OAP＝30°，则CP＝

3无锡物流公司dbfq

源题：如图所示，点P为圆O的弦AB上的任意点，连结PO.PC⊥OP，PC交圆于C.求证：PA∙PB＝PC2（P40，习题2.5第3题）

此两题外形基本一致，两题的结构完全相同，该试题在其源题的结论基础上赋予了具体的数值而得到，是一种结论特殊化的过程。

⒉课本源题简单变形

（2010年陕西省高考（文）第15B题）如图，已知RT△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm、4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_________________

源题：如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD＝2，DB＝8，求CD、AC和BC的长（P21，1.4例1）

从命题的角度看，两题的外形稍有不同：在源题中，圆是以直角三角形的斜边为直径，在该试题中，圆是以直角三角形的直角边为直径。其相同之处，两题原理一致，本质直角三角形射影定理，只是射影定理的条件的推导方式不同。该试题是在其源泉题的基础上，把试题的条件圆心，本质内容不变，采用了变换条件的办法。该试题可视为课本源题的简单变形。

⒊课本源题深层次变形

（2010年广东省高考（文）第14题）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝

则EF＝________________

无锡物流公司dbfq a，点E、F分别为线段AB、AD的中点，2源题：如图，OA是圆O的半径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AB相交于D，求证：D是AB的中点（P26，习题2.1第1题）

分析命题方法，两题貌似毫无关联，实际上问题结构有共同之处。在源题中，连结OD、BE，很容易看出四边形OBDE为直角梯形，再取OE、BE中点分别为F、G，连结OB，显然GF＝OBOE＝。至此，可见梯形可以不要求OE＝2

2BE，这个对试题的结论不会产生影响。梯形ODBE内部结构是该试题结构的加强，该试题是从源题的问题结构中提出，并将其特殊化而得到的。

四、对教学的启示：

⒈试题对几何证明选讲内容的考查虽然考点多，但从各省市的试题来看，主要还是集中在对圆的相关内容的考查，而圆中又主要以与切线有关的性质、圆幂定理、四点共圆这几个内容的考查为主，可以说考查难度并不大，所以教学时我们不需要有太多的顾虑；

⒉虽然本书内容主要是由原初三内容改编过来，而在初中，相关内容也已经删去，似乎教师教与学生学都有一定难度，但是由于学生经过两年的高中学习，逻辑性、严密性都有了较大的提高，只要教学得法，学生对这部分的学习应该并不会感到困难，这样，他们考试时对此部分的试题应该有把握正确解答；

⒊教学中应该紧扣课本中的例习题进行教学，要重视各个定理的教学，使学生弄清楚来龙去脉，理解其中渗透的重要的数学思想方法，因为高考试题中所采取的一些方法多来自课本中定理的证明方法及例习题的证明方法；

⒋教学中要重视对课本例习题的拓展，要结合课本中的例题引导学生进行探究，特别是对题目条件、结论进行改编，将其特殊化或一般化，形成新的猜想，获得一些新的结论，在探究中提升学生对问题本质的理解，只有通过这样的训练，学生在解答高考试题时才能游刃有余；

⒌教师应该阅读《几何原本》等书籍，对教材中给出的一些定理、例习题的历史地位及重要作用要有一定的认识，使自己的教学能够站在一定的高度之上，只有这样，才能对高考的命题有更进一步的认识，才能在教学中对高考有更充分的准备。

兰州五十七中 汤敬鹏

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