第一篇:几何证明选讲(广东文数)
选修4-1 《几何证明选讲》复习讲义
一、广东高考考试大纲说明的具体要求:
(1)了解平行线截割定理,会证直角三角形射影定理.(2)会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.(3)会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.二、基础知识梳理:
1.相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______;
相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________; 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________;
2.直角三角形的射影定理:
如图,Rt
2ABC中,A为直角,AD为斜边BC上的高,则22AD=___________,AB__________,AC__________
_A
_B
_C
3.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。圆心角定理:圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角_________;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧______。推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是_______;90的圆周角所对的弦是________。弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的______________。o
圆内接四边形的性质与判定定理
4.圆中的比例线段
三、常见题型
题型一.相似三角形的性质、直角三角形的射影定理等 例1.如图,在四边形ABCD中,EF//BC,FG//AD,则
变式练习.在ABC中,DE//BC,DE将
DE:BC__________
例2.如图,在ABC中,AD是BC边上中线,AE是BC边上的高,DABDB,AAB18,BE12,则CE__________.EFFG
. BCAD
ABC分成面积相等的两部分,那么
题型二.与圆角度相关问题
例1.如图,AB是直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,若CD切⊙O于C点,则∠CAB的度数
为,∠DCB的度数为,∠ECA的度数为___.变式练习.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延 长线上,BD=OB,CD与⊙O切于C,那么 ∠CAB==________.例2.如图:EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=460,∠DCF=320,则∠A的度数是____
变式练习.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆
O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为________
题型三.切割线定理
例1.如图,从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则AB=__。
变式练习.如图,AB是O的直径,D是O上一点,E为BD的中点,O的弦AD与BE的延长线相交于C,若
AB18BC,12则,AD__________
例2.已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径, PC与圆O交于点B,PB=1, 则圆O的半径R=_______.变式练习.如图,圆O是ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CDABBC3.则BD的长__,AC的长_______.
题型四.相交弦定理
例1.如图所示,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为________.
变式练习.如图,半径为2的⊙O中,∠AOB=90°,D为OB的中
点,AD的延长线交⊙O于点E,则线段DE的长为________.
四、课堂作业
1.如图,AB是⊙ O的直径,AC,BC是⊙ O的弦,PC是⊙ O的切线,切点为 C,∠BAC=350,那么∠ACP等于______
2.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE交BC于F,则
BF
.FC
3.如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD4,BD8,则圆O的半径等于
4.如图,从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC,已知ADAC6,圆O的半径为3,则圆心O到AC的距离为 ___ .
D
《几何证明选讲》练习
1.在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且AE:EB1:2,DE与AC交于点F,若AEF的面积为6cm,则ABC的面积为cm.
AE
2.如图,从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则∠CBD=__。
3.如图5所示,圆O的直径AB6,C为圆周上一点,BC3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E,则∠DAC=____,线段AE的长为__.4.如图,PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC4,PB8,则CD________._5.如图所示, 圆O上一点C在直径AB上的射影为D, CD4,BD8, 则圆O的半径等于
_
DA_
_O
6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径,MN切⊙O于A,B
P
_B
MAB25,则D
7.如图,AB是圆O的直径,直线CE和圆O相切于点C,ADCE于D,若AD=1,ABC30,则圆O的面积是______。
8.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC∥EF,E是AB的中点,EF交BD于G,交AC于H。若AD=5,BC=7,则GH=________.9.如图,⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点,割线PCD经过圆心O,PE是⊙O的切线。已知PA=6,AB=7 ⊙O的半径是_________.10.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EFDB,垂足为F,若AB6,AE1,则DFDB.,PO=12,则PE=________,3a
11.如图3,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CBAB,AB=AD=a,CD=2,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF= _____
12.如图,AB、CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD2a
=OAP=30°,则CP=________.3
13.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径,MN与⊙O相切,切点为A,∠MAB=35°,则∠D=________.14.如图4,过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB, 则AB=________。
15.如图2,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F,则AF的长为_______。
第二篇:几何证明选讲专题
几何证明选讲
几何证明选讲专题
一、基础知识填空:
1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的________________成比例.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______;相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_______________; 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________;
4.直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理:圆心角的度数等于_______________的度数.推论1:同弧或等弧所对的圆周角_________;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧_______.o推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是____;90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理:
圆的内接四边形的对角______;圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点______;如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的__________.推论:经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______;经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦,_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长____;
圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题:
1.(梅州一模文)如图所示,在四边形ABCD中,EFFG+=. EF//BC,FG//AD,则D BCAD
C
2.(广州一模文、理)在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且AE:EB=1:2,DE与AC交于
点F,若△AEF的面积为6cm2,则△ABC的面积为
B cm2.
3.(广州一模文、理)如图所示,圆O上
一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则圆O的半径等于.
4.(深圳二模文)如图所示,从圆O外一点P 作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4,PC=5,CD=3,则∠CBD=__ 第1页
5.(广东文、理)已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B,PB=1,则圆O的半径R=_______.6.(广东文、理)如图所示,圆O的直径
AB=6,C圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点 D、E,则∠DAC=,线段AE的长为
三、基础训练: 1.(韶关一模理)
如图所示,PC切⊙O于
点C,割线
PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于 点E,PC=4,PB=8,则CD=________.2.(深圳调研文)如图所示,从圆O外一点A 引圆的切线AD和割线ABC,已知AD=
AC=6,圆O的半径为3,则圆心O到AC的距 离为________.3.(东莞调研文、理)如图所示,圆O上一
点C
在直径AB上的射影为D,CD=4,则圆O的半径等于.
4.(韶关调研理)如图所示,圆O是
△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=AB=BC=3.则BD的长______,AC的长_______.5.(韶关二模理)如图,⊙O′和
⊙O相交于A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q和M,交AB的延长线于N,MN=3,NQ=15,则 PN=______.
6.(广州二模文、理)如图所示, 圆的内接
△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E,连接BE,已知BD=3,CE=7,BC=5,则线段.N7.(湛江一模文)如图,四边形ABCD内接
于⊙O,BC是直径,MN切⊙O于A,∠MAB=25则∠D=___.8.(湛江一模理)如图,在△ABC中,D 是AC的中点,E是BD的中点,AE交BC
BF=于F,则
FC
第2页
9.(惠州一模理)如图:EB、EC是⊙O的两
条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=460,∠DCF=320,则∠A的度数是.10.(汕头一模理)如图,AB是圆O的直径,直线CE和圆O相切于点C,AD⊥CE于D,若AD=1,∠ABC=300,则圆O的面积是______.11.(佛山一模理)如图,AB、CD是圆O的两条弦,C
且AB是线段CD的中垂线,已知AB=6,CD=25,则线段AC的长度为.
12.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC∥EF,E是AB的中点,EF交BD于G,交AC于H.若 AD=5,BC=7,则GH=________.13.如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.C
AD=2,AC= 25,则AB=____
14.如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的 割线,且PB=
B
1PABC,则的值是________.2PB
15.如图,⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点,割线
PCD经过圆心O,PE是⊙O的切线。已知PA=6,AB=7,PO=12,则PE=____O的半径是_______.3答 案
二、经典试题:
1.1 ;2.72;3.5 ;4.30o;5.;6.30°,3.三、基础训练:
243
.5.3..3.5.4.4,522116..7.115o.8..9.99O.10.4.25
11..12.1.13.10,4.14..15.4, 8.1.第3页
第三篇:几何证明选讲
几何证明选讲
2007年:
15.(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB6,C为圆周上一点,BC3,过C作圆的切线l,过A作l的 垂线AD,垂足为D,则DAC
A
2008年:
15.(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于B点,PB=1,则圆O的半径R=
图
4l
2009年:
15.(几何证明选讲选做题)如下图,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,ACB30,则圆O的面积等于
o
2010年:
14.(几何证明选讲选做题)如上图3,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=
a,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF=2
2011年:
15.(几何证明选讲选做题)如图,在梯形ABCD中,AB//CAD,B4,CD2,分别为E,F,上的点,且ADBC,
3EF,EFAB
则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为
A
2012年:
15.(几何证明选讲选做题)如图3,直线PB与圆O相切与点B,D是弦AC上的点,PBADBA,若ADm,ACn,则AB
图3
2013年:
15.(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD
中,ABBC3,BEAC,垂足为E,则ED
图3
第四篇:几何证明选讲专题)
几何证明选讲专题1.了解平行线截割定理,会证直角三角形射影定理.2.会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.一、基础知识填空:
1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段 推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的________________成比例.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______;相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________; 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________;
4.直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理:圆心角的度数等于_______________的度数.推论1:同弧或等弧所对的圆周角_________;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧_______.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是____;90o的圆周角所对的弦是________.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理:
圆的内接四边形的对角______;圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点______;如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的__________.推论:经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______;经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦,_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长____;圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题:
1.(梅州一模文)如图所示,在四边形ABCD中,EF//BC,FG//AD,则
EFBC+FG
AD
= D
2.(广州一模文、理)在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且AE:EB=1:2,DE与AC交于
点F,若△AEF的面积为6cm2,则△ABC的面积为
2. B
第1页
3.(广州一模文、理)如图所示,圆O上
一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则圆O的半径等于.
4.(深圳二模文)如图所示,从圆O外一点P 作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4,PC=5,CD=3,则∠CBD=__
5.(广东文、理)已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B,PB=1,则圆O的半径R=_______.6.(广东文、理)
如图所示,圆O的直径
AB=6,C圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线
AD,AD分别与直线l、圆交于点 D、E,则∠DAC=,线段AE的长为
三、基础训练:
1.(韶关一模理)如图所示,PC切⊙O于
点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于
点E,PC=4,PB=8,则CD=________.2.(深圳调研文)如图所示,从圆O外一点A
引圆的切线AD和割线ABC,已知AD=,AC=6,圆O的半径为3,则圆心O到AC的距 离为________.3.(东莞调研文、理)如图所示,圆O上一
点C在直径AB上的射影为D,CD=4,则圆O的半径等于.
4.(韶关调研理)如图所示,圆O是
△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=AB=BC=3.则BD的长______,AC的长_______.
5.(韶关二模理)如图,⊙O′和
⊙O相交于A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q和M,交AB的延长线于N,MN=3,NQ=15,则 PN=______.
6.(广州二模文、理)如图所示, 圆的内接
△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E,连接BE,已知BD=3,CE=7,BC=5,则线段
N 7.(湛江一模文)如图,四边形ABCD内接
于⊙O,BC是直径,MN切⊙O于A,∠MAB=250,则∠D=___.8.(湛江一模理)如图,在△ABC中,D 是AC的中点,E是BD的中点,AE交BC
D
于F,则
BFFC=.9.(惠州一模理)如图:EB、EC是⊙O的两 条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=460,∠DCF=320,则∠A的度数是.C
10.(汕头一模理)如图,AB是圆O的直径,直线CE和圆O相切于点C,AD⊥CE于D,若AD=1,∠ABC=300,则圆O的面积是______.11.(佛山一模理)如图,AB、CD是圆O的两条弦,且AB是线段CD的中垂线,已知AB=6,CD=2,则线段AC的长度为. C
12.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC∥EF,E是AB的中点,EF交BD于G,交AC于H.若
AD=5,BC=7,则GH=________.BC
13.如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,AC= 2,则AB=______,CD=_____.14.如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的第2页
割线,且PB=12BC,则PA
PB的值是________.15.如图,⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点,割线
PCD经过圆心O,PE是⊙O的切线。已知PA=6,AB=7,PO=12,则PE=____⊙O
3的半径是_______.答 案
二、经典试题:
1.1 ;2.72;3.5 ;4.30o;5.;6.30°,3.三、基础训练:
1.245.3.5.4.4,2.5.3.6.21
5.7.115o.8.12.9.99O.10.4.11.30.12.1.13.10,4.14.3.15.4, 8.1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作 圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()A.15B.30C.45D.60
2.在RtABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角形与ABC相似,则x()A.0B.1C.2 D.33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为()A.11cmB.33cmC.66cmD.99cm
4.如图,在ABC和DBE中,ABDBBCBEACDE53,若ABC与
DBE的周长之差为10cm,则ABC的周长为()A.20cmB.254cmC.50
cm D.25cm
E 第4题图 5.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知
PA6,PO12,AB2
2,则O的半径为()
A.4B
.6C.612.如图,用与底面成30角的平面截圆柱得一椭圆截线, D.8
6.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CDAB于点D, 且AD3DB,设COD,则tan2
=()
A.13
B.1C.4D.3
7.在ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE//BC,ADE的面积是2cm2,梯形
DBCE的面积为6
cm,则DE:BC的值为()
A.B.1:2C.1:3D.1:
48.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作()个.A.2B.3C.4D.5 9.如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD中A度数为()
第9题图
A.30B.45C.60D.75
10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力
把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面 留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm,若所 用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为()
A.1mmB.2 mmC.3mmD.4 mm
第10题图
11.如图,设P,Q为ABC内的两点,且AP2AB1
5AC,AQ=
23AB+1
AC,则
ABP的面积与ABQ的面积之比为()
1A.5B.45C.11
4D.3
第11题图
第3页
则该椭圆的离心率为()A.1
B
2.3C.2
D.非上述结论 第12题图
13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是
________
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=720,⊙O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC
O
D
交于点D,连结BD,若BC=51,则AC=B
C
第 15.如图,14 题图
AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB3,CD1,则sinAPD=16.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值是
第15题图
第16题图
17.如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是
O上两点,如果E46,
DCF32,试求A的度数.18.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O
上一点,AEAC,DE交AB于点F,且AB2BP4,求PF的长度.E
A FB O
C
D
P
第18题图
第17题图 19.已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E.
求证:(1)△ABC≌△DCB(2)DE·DC=AE·BD.
20.如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB,BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE•PF.
E
C
第19题图
第20题图
21.如图,A是以BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,G 是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于 点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.C
(1)求证:BFEF;(2)求证:PA是O(3)若FGBF,且O的半径长为求BD第21题图
第4页
22.如图1,点C将线段AB分成两.
部分,如果ACABBC
AC,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割
线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为SS11,S2,如果SS2
S,那么称直线l为该图形的黄1
金分割线.(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.第22题图
第五篇:几何证明选讲习题
几何证明选讲
已知正方形ABCD,E、F分别为BC、AB边上的点,且BE=BF,BH⊥CF于H,连结DH.求证:DH⊥EH.已知AD⊥BC于D,AE:ED=CD:BD,DF⊥BE于F,求证:AF⊥CF.已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点,AE=3CE,F为AB边中点,求证:DE⊥EF.F
B
如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,BACAGF90,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点
A旋转,AF,AG与边BC的交点分别为D,E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BEm,CDn.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明;(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围;
(3)以△ABC的斜边BC所在直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图2).在边BC上找一点D,使BDCE,求出D点的坐标,并通过计算
验证BDCEDE.
(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BDCEDE是否始终成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
A
C G
2F 图
1图2
如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. 解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为.
F
E
A
E
C
B
图乙
FEC
B图甲
图丙
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.
试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(3)若AC
=BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,ABAC,ADAE,BACDAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BECD;②△AMN是等腰三角形.
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;
△PBD∽△AMN.(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:
C
B
D
B
E
图② A
如图,已知:Rt△ABC中,C90,ACBC2,将一块三角尺的直角顶点与斜边
A 图①
AB的中点M重合,当三角尺绕着点M旋转时,两直角边始终保持分别与边BC,AC交于D,E两点(D,E不与B,A重合).(1)求证:MDME;
(2)求四边形MDCE的面积;
(3)若只将原题目中的“ACBC2”改为“BCa,ACb(ab)”其它都不变,请你探究:MD和ME还相等吗?如果相等,请证明;如果不相等,请求出MD:ME的值.B
D
M
C
E
A