八年级下册因式分解

第一篇：八年级下册因式分解

第二章因式分解练习题

1.因式分解：9a24b24bcc2_________

2.分解因式：a3c4a2bc4ab2c_________

3.若|x2|x2xy1y20，则x＝_______，y＝________ 4

4.若a99，b98，则a22abb25a5b_________

5.计算12798.0125.0125.4798.________

6.若ab5，ab14，则a3a2bab2b3__________

mm1(a)a(a)7.的值是（）

m1D.(1)A.1B.-1C.0

228.若n为任意整数，(n11)n的值总可以被k整除，则k等于（）

A.11B.22C.11或22D.11的倍数

x3x21x4229、把下列各式分解因式：（1）x44xy4y（2）

32x(x1)x(x1)x(x1)x1（5）

24.计算：

99832222004220042002 12（）（）2101210020043200422005

25.已知mn3，mn2，求m3nm2n2mn3的值。（10分）3

第二篇：八年级数学《因式分解》说课稿

八年级数学《因式分解》说课稿

八年级数学《因式分解》说课稿

各位评委老师：

上午好！我是最后一号，非常不好意思，因为我让大家痛苦而充实的等到现在。我今天说课的课题是因式分解（板书课题§4.1因式分解）。我将主要从教材分析，教法分析，学法指导，教学过程及补充说明等五个方面来具体阐述这节课。下面开始我的说课。

一、教材分析

（一）教材的地位与作用

本节课是初中数学人教北师大版八年级下册第四章第一节的内容。在此之前，学生已经学习了整式乘法的相关知识，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用。同时本节课也为后续知识一元二次方程求解方法的学习奠定一定的作用，因此在教材中本节课起着承上启下的过渡作用，而且本节课镶嵌着深刻的数形结合思想、类比思想，有利于学生思维的深化。

（二）教学目标

根据以上对教材的认识分析和学生的实际情况，结合数学新课标，我制定如下教学目标：

1、知识与技能

（1）了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。

（3）培养和提高学生分析、解决问题的能力

2、过程与方法

通过因式分解的学习，让学生经历因式分解概念的探索过程，感知、了解数学概念形成的方法，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。

3、情感态度与价值观

鼓励学生积极主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；让学生体会数形结合的数学思想；领会数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于质疑的优良品质。

（三）教学重点、难点

根据新课程标准，在吃透教材的基础上，我将本节课的重难点确立为因式分解的概念，通过多层次展示，多角度分析，多方面练习，以达到突出重点，突破难点的目的。

二、教法分析

数学是思维的体操，是一门以培养人的思维，发展人的思维为目的的重要学科，因此，在教学中，教师不仅要使学生“知其然”，更要使学生“知其所以然”。

我们在师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取知识和方法的思维过程。基于本节课的特点和学生的实际情况，主要采用启发诱导、自主学习、合作探疑相结合等教学方法。

三、学法指导

现代的文盲不再是不识字的人，而是不会学习的人。数学课重在让学生逐渐学会自主学习，养成良好的学习习惯和规范的数学思维方式、方法。基于此，在学生的学习过程中，教师要对学生顺势启发、恰当点拨，以达到优化学生学习结构的目的。

结合教材、教法和学情，本节课借助多媒体课件、活页学案等辅助手段进行，以达到增加课堂直观效果，打造高效课堂的目的。

四、教学过程

结合《数学新课标》和学生已有的知识及生活经验，根据新课改的理念，本节课我主要设计以下几个教学环节：①温故知新（3分钟）②探究新知（25分钟）③基础过关（7分钟）④课堂小结（3分钟）⑤课堂自测（5分钟）⑥课堂质疑（2分钟）

接着，我再细说一下这几个环节

（一）温故知新

给出以下两个抢答题

这一环节的目的既达到温习乘法分配律，又起到预热学生思维的目的，以保证学生尽快进入课堂学习的角色。

（二）探究新知

1、因式分解的概念

（1）想一想

能被 整除吗？还能被哪些数整除？你是怎么得出来的？

（2）议一议

你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.（3）拼一拼

分别写出箭头两边的面积

_____________________________=___________________

第三篇：数学北师大版八年级下册公式法因式分解法

第四章

因式分解

3．公式法

（二）一．教学目标：

1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．

2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。

教学重难点

学习重点：让学生掌握完全平方公式因式的方法。

学习难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。

教学方法：讲练结合

咸阳道北中学 翟肖锋

二．教学过程

第一环节

学习新知

活动内容：提问：1．整式乘法中的完全平方公式是_______________；

活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．

注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．

a2–2ab+b2=（a–b）

2a2+2ab+b2=（a+b）2

活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如a22abb2的多项式称为完全平方式．

注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

第二环节

落实基础 活动内容：

1．判别下列各式是不是完全平方式．

(1)x2y2；(2)x22xyy2；(3)x22xyy2；(4)x22xyy2；(5)x22xyy2．2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．

12345x2_____y2；4a29b2______；x2_____4y2；1a2_____b2；4x42x2y_____．结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，a2–2ab+b2=（a–b）

2a2+2ab+b2=（a+b）2

活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫． 注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．

第三环节 范例学习活动内容：

例1．把下列各式因式分解：

(1)x214x492(3)(mn)6(mn)9(2)4a212ab9b2(4)(m2n)22(2nm)(mn)(mn)2活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；

（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．

注意事项：灵活掌握完全平方式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键，在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。活动内容：

例2．把下列各式因式分解：(1)3ax26axy3ay2(2)x24y24xy活动目的：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．

注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.第四环节

随堂练习活动内容：

1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a、b 各表示什么？(1)x26x9；

(2)14a2；(3)x22x4；(4)4x24x1；(5)1mm；4

(6)4y212xy9x2．

2、把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2

（2）16a4+24a2b2+9b4

(3）–2xy–x2–y2

（4）4–12（x–y）+9（x–y)2

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：当完全平方公式中的a与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导． 2第五环节

自主小结

（1）形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。（2）因式分解通常先考虑______________方法。再考虑____________方法。（3）因式分解要_________

课后作业：完成课后习题；103页 1.2题

三．教学设计反思

本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号。

把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止。

运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高。本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力。同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的。

第四篇：八年级数学14章因式分解教案

复习：

一、去括号法则：a+（b+c）=a+b+c a-（b+c）=a-b-c 添括号法则：a+b+c=a+（b+c）a+b+c=a-（-b-c）

二、乘法公式的深化应用．

例：计算（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c）（3）（x+3）2-x2

（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）

423534（5）28xy÷7x（6）-5abc÷15ab

23243 42（7）（2xy）·（-7xy）÷12xy（8）5（2a+b）÷（2a+b）

§15．5．1 提公因式法（1）20×（-3）+60×（-3）（2）101-9922（3）57+2×57×43+43（学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）解：（1）20×（-3）+60×（-3）

=20×9+60×-3 =180-180=0 2 或20×（-3）+60×（-3）=20×（-3）+20×3×（-3）=20×（-3）（-3+3）=-60×0=0．（2）101-99=（101+99）（101-99）

=200×2=400 22（3）57+2×57×43+4322 =（57+43）=100 =10000．

在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，•有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．

把下列多项式写成整式的乘积的形式（1）x+x=_________ 2（2）x-1=_________（3）am+bm+cm=__________ 根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：（1）x+x=x（x+1）（2）x-1=（x+1）（x-1）

（3）am+bm+cm=m（a+b+c）

[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．

可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．

再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．

我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？

因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．

于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，•像这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2．例题教学，运用新知． [例1]把8ab-12abc分解因式．

[例2]把2a（b+c）-3（b+c）分解因式． [例3]把3x-6xy+x分解因式．

[例4]把-4a+16a-18a分解因式．

[例5]把6（x-2）+x（2-x）分解因式．

323 [例1]分析：先找出8ab与12abc的公因式，再提出公因式．•我们看这两项的系

323数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分ab与abc都含有字母a和b．其中a

22的最低次数是1，b的最低次数是2．我们选定4ab为要提出的公因式．提出公因式4ab后，2•另一个因式2a+3bc就不再有公因式了．

32222222 解：8ab+12abc=4ab·2a+4ab·3bc=4ab（2a+3bc）．

总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止． [例2]分析：（b+c）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．

解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）． [例3]解：3x-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）． 注意：x（3x-6y+1）=3x-6xy+x，而x（3x-6y）=3x-6xy，•所以原多项式因式分解为x（3x-6xy+1）而不是x（3x-6y）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，•但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1．

[例4]解：-4a+16a-18a 32 =-（4a-16a+18a）=-2a（2a-8a+9）

注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．

[例5]分析：先找6（x-2）与x（2-x）的公因式，再提取公因式．因为2-x=-（x-2），•所以x-2即公因式．

解：6（x-2）+x（2-x）

=6（x-2）-x（x-2）=（x-2）（6-x）．

总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，•但可以发现公因式，然后再提取公因式．

§15．5．2．1 公式法

（一）问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？ 问题3：你能将a-b分解因式吗？你是如何思考的？

1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，•也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，•就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．

3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解． 要将a-b进行因式分解，可以发现它没有公因式，•不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式： 323 a-b=（a+b）（a-b）．

多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．

观察平方差公式：a-b=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？

（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．

（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，•“平方差”是得分解因式的多项式．

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．

[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．•也可以对积

22的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a=（4a）•这一类错误] 填空：（1）4a=（）；

（2）22422b=（）； 94（3）0.16a=（）；

222（4）1.21ab=（）；

142x=（）； 44422（6）5xy=（）．（5）2 例题解析：

[例1]分解因式

222443（1）4x-9（2）（x+p）-（x+q）（1）x-y（2）ab-ab 可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．

[师生共析] [例1]（1）

中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b•可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）

442222 [例2]（1）x-y可以写成（x）-（y）的形式，这样就可以利用平方差公式进行因

2222式分解了．但分解到（x+y）（x-y）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，•让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现ab-ab•有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．

解：（1）x-y2222 =（x+y）（x-y）=（x+y）（x+y）（x-y）．

32（2）ab-ab=ab（a-1）=ab（a+1）（a-1）．

把下列各式分解因式 2（1）36（x+y）-49（x-y）（2）（x-1）+b（1-x）

(xy)2(xy)2（3）（x+x+1）-1（4）-．

4422

§15．5．3．2 公式法

（二）问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

问题2：把下列各式分解因式． 22（1）a+2ab+b（2）a-2ab+b 将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．

两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．

22222 问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a+2ab+b=（a+b），a-2ab+b（a-b）2．

[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．

下列各式是不是完全平方式？（1）a-4a+4 22（2）x+4x+4y（3）4a+2ab+22 212 b4（4）a-ab+b2（5）x-6x-9 2（6）a+a+0.25 2222 结果：（1）a-4a+4=a-2×2·a+2=（a-2）（3）4a+2ab+2212111222 b=（2a）+2×2a·b+（b）=（2a+b）42222

2（6）a+a+0.25=a+2·a·0.5+0.5=（a+0.5）[例1]分解因式：

222（1）16x+24x+9（2）-x+4xy-4y222（1）3ax+6axy+3ay（2）（a+b）-12（a+b）+36

2222 [例1]（1）分析：在（1）中，16x=（4x），9=3，24x=2·4x·3，所以16x+12x+9是一个完全平方式，即

解：（1）16x+24x+9 22 =（4x）+2·4x·3+32 =（4x+3）．

（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后

22再考虑完全平方公式，因为4y=（2y），4xy=2·x·2y．

所以： 2

解：-x+4xy-4y=-（x-4xy+4y）=-[x-2·x·2y+（2y）]2 =-（x-2y）．

练一练：

把下列多项式分解因式：

222（1）6a-a-9；（2）-8ab-16a-b；

23222（3）2a-a-a；（4）4x+20（x-x）+25（1-x）

第五篇：八年级数学下册 第二章因式分解教案 北师大版（xiexiebang推荐）

第二章 分解因式§2.1 分解因式教学目标

1.使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.2.通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.教学重点

1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.教学难点

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.教学目标

一、创设问题情境,引入新课

计算（a+b）（a－b）a2－b2=（a+b）（a－b）成立吗？那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.二、讲授新课

31.讨论99－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.399－99能被100整除.32因为99－99=99×99－99 2=99×（99－1）=99×9800=99×98×100

33其中有一个因数为100，所以99－99能被100整除.99－99还能被哪些正整数整除？ 还能被99，98,980,990,9702等整除.从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议

3你能尝试把a－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.33观察a－a与99－99这两个代数式.3.做一做

（1）计算下列各式： ①（m+4）（m－4）=__________;2②（y－3）=__________;③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;⑤a（a+1）（a－1）=__________.（2）根据上面的算式填空：

2①3x－3x=（）（）;2②m－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;22④y－6y+9=（）.能分析一下两个题中的形式变换吗？

在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a－a的变形是什么运算？由a－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？

33由a（a+1）（a－1）得到a－a的变形是整式乘法，由a－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.2222由（a+b）（a－b）=a－b可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a－b=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.如：（1）m（a+b+c）=ma+mb+mc（2）ma+mb+mc=m（a+b+c）

联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mc m（a+b+c）.33所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

2（1）4a（a+2b）=4a+8ab;2（2）6ax－3ax=3ax（2－x）;2（3）a－4=（a+2）（a－2）;2（4）x－3x+2=x（x－3）+2.（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，不是因式分解；

（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；（4）是因式分解.三、课堂练习连一连

解：

四.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.五、课后作业习题2.1

六、教学反思：分解因式的概念，不能体现出分解因式的要求。学生还不要学习一些很严格的定义，他们只要从直观上知道这么一回事就可以的了。但那利不严格的概念与数学的严谨性不相符。我们班不少学生常常会拿这个概念去问我:“为什么这种明明是完全合符了概念的要求，但老师你又说是不正确的。”我认为，应该对概念的严格定义在书末处列出。这样做对一部分以后从事也数学相关性很大的职业的学生非常有利。

§2.2.1 提公因式法

（一）教学目标

（一）知识认知要求

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.（二）能力训练要求

通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求

在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点

能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.教学难点

让学生识别多项式的公因式.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为面积.3371，，宽都是,求这块场地的4242131317337× + × + × =++=2 242224848***解法二：S=× + × + × =（++）=×4=2 24222424242解法一：S=从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.二、新课讲解

1.公因式与提公因式法分解因式的概念.将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？

等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解

［例1］将下列各式分解因式：（1）3x+6;2（2）7x－21x;323（3）8ab－12abc+abc

32（4）－24x－12x+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.3 解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;2（2）7x－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;323（3）8ab－12abc+abc 22=8ab·ab－12bc·ab+ab·c

22=ab（8ab－12bc+c）

32（4）－24x－12x+28x

2=－4x（6x+3x－7）3.议一议

过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想

从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？ 提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.三、课堂练习

（一）随堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（m）（2）4kx－8ky（4k）

322（3）5y+20y（5y）

22（4）ab－2ab+ab（ab）2.把下列各式分解因式（1）8x－72=8（x－9）

2（2）ab－5ab=ab（a－5）

322（3）4m－6m=2m（2m－3）

22（4）ab－5ab+9b=b（a－5a+9）

（二）补充练习

2把3x－6xy+x分解因式 四.课时小结

1.提公因式法分解因式的一般形式，如： ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.五.课后作业习题2.2 4 六.活动与探究

利用分解因式计算：

20042003（1）3－3;101100（2）（－2）+（－2）.20042003解：（1）3－3 2003=3×（3－1）20032003=3×2=2×3

101100（2）（－2）+（－2）

100=（－2）×（－2+1）

100=（－2）×（－1）

100=－（－2）

=－

2七、教学反思：

班中有一位男学生数学成绩是倒数的，平时又特别调皮，经常上课不认真听讲。今天他居然举手上黑板板演，而且做对了！我及时表扬了他，看来他对学习有兴趣了，希望他能继 续努力。

§2.2.2 提公因式法

（二）教学目标

（一）知识认知要求

进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力训练要求

进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.教学难点

准确找出公因式，并能正确进行分解因式.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.二、新课讲解

［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）

从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ ［例3］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;32（2）6（m－n）－12（n－m）.分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.解：（1）a（x－y）+b（y－x）=a（x－y）－b（x－y）=（x－y）（a－b）

32（2）6（m－n）－12（n－m）

32=6（m－n）－12［－（m－n）］

32=6（m－n）－12（m－n）

2=6（m－n）（m－n－2）.二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;22（4）（b－a）=__________（a－b）;（5）－m－n=__________－（m+n）;2222（6）－s+t=__________（s－t）.解：（1）2－a=－（a－2）;（2）y－x=－（x－y）;（3）b+a=+（a+b）;22（4）（b－a）=+（a－b）;（5）－m－n=－（m+n）;2222（6）－s+t=－（s－t）.三、课堂练习

1.把下列各式分解因式：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x－y）－（x－y）

2（3）6（p+q）－12（q+p）（4）a（m－2）+b（2－m）

2（5）2（y－x）+3（x－y）

2（6）mn（m－n）－m（n－m）2.补充练习：把下列各式分解因式

32（1）5（x－y）+10（y－x）（2）m（a－b）－n（b－a）（3）m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）

2（4）（b－a）+a（a－b）+b（b－a）四.课时小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.五、课后作业习题2.3 六.活动与探究

把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.解：原式=（a+b－c）（a－b+c）－（b－a+c）（a－b+c）=（a－b+c）［（a+b－c）－（b－a+c）］ =（a－b+c）（a+b－c－b+a－c）=（a－b+c）（2a－2c）=2（a－b+c）（a－c）

七、教学反思：

⒈《数学课程标准》提出学生是学习数学的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课以开放式的课堂形式组织教学，让学生进行合作学习，共同操作与探索，共同探究、解决问题．在教学中能注意充分调动学生的学习积极性、主动性，坚持做到以人为本，以学生为先，立足于让学生先看、先想、先说、先练，根据自己的体验，用自己的思维方式，通过实验、思考、合作、交流学好知识．

2.探究、发现中，让学生分组讨论，合作、交流，培养了学生新的学习方法，加强了学生团结、协作的能力；讨论中充分展示学生语言的零乱性，培养了学生良好的思维能力、语言运用能力。适时对学生积极评价，体现了平等的师生关系，张扬了学生的个性，体现了《标准》的人文化。

§2.3.1 运用公式法

（一）教学目标

（一）知识认知要求

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求

1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.教学重点

让学生掌握运用平方差公式分解因式.教学难点

将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.二、新课讲解

1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a－b（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b）（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否 是因式分解？

符合因式分解的定义，因此是因式分解.对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解

22请大家观察式子a－b,找出它的特点.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.222如x－16=（x）－4=（x+4）（x－4）.22229 m－4n=（3 m）－（2n）=（3 m +2n）（3 m －2n）3.例题讲解

［例1］把下列各式分解因式：

（1）25－16x;（2）9a－解：（1）25－16x=5－（4x）=（5+4x）（5－4x）;

2222

b.4121b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a－2［例2］把下列各式分解因式: 22（1）9（m+n）－（m－n）;3（2）2x－8x.22解：（1）9（m +n）－（m－n）

22=［3（m +n）］－（m－n）=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）

32（2）2x－8x=2x（x－4）=2x（x+2）（x－2）

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题：判断下列分解因式是否正确.22222（1）（a+b）－c=a+2ab+b－c.42222（2）a－1=（a）－1=（a+1）·（a－1）.解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.2（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为a－1=（a+1）（a－1）=（a+1）（a+1）（a－1）.三、课堂练习

（一）随堂练习1.判断正误

2222（1）x+y=（x+y）（x－y）;

（2）x－y=（x+y）（x－y）;

2222（3）－x+y=（－x+y）（－x－y）;（4）－x－y=－（x+y）（x－y）.2.把下列各式分解因式

222解：（1）ab－m

22（2）（m－a）－（n+b）

22（3）x－（a+b－c）

44（4）－16x+81y

（二）补充练习：把下列各式分解因式

22（1）36（x+y）－49（x－y）;2（2）（x－1）+b（1－x）;22（3）（x+x+1）－1.四.课时小结

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五.课后作业习题2.4 六.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

2222=abc+a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）－abc=a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）

2=（b+c）［a+bc+a（b+c）］

2=（b+c）［a+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

§2.3.2 运用公式法

（二）教学目标

（一）知识认知要求

1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.4222教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.教学过程

一、创设问题情境，引入新课

因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学习了平方差公式

22（a+b）（a－b）=a－b 而且还学习了完全平方公式

222（a±b）=a±2ab+b本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.二、讲授新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？ 将完全平方公式倒写： a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.请大家互相交流，找出这个多项式的特点.从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.2222形如a+2ab+b或a－2ab+b的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.练一练.下列各式是不是完全平方式？

2（1）a－4a+4;22（2）x+4x+4y;（3）4a+2ab+2212b;42（4）a－ab+b;2.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

2（1）x+14x+49;2（2）（m+n）－6（m +n）+9.分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.2222解：（1）x+14x+49=x+2×7x+7=（x+7）

2222（2）（m +n）－6（m +n）+9=（m +n）－2·（m +n）×3+3=［（m +n）－3］=（m +n －3）.［例2］把下列各式分解因式：

2222（1）3ax+6axy+3ay;（2）－x－4y+4xy.分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.22解：（1）3ax+6axy+3ay

22=3a（x+2xy+y）

2=3a（x+y）

22（2）－x－4y+4xy

22=－（x－4xy+4y）

22=－［x－2·x·2y+（2y）］

2=－（x－2y）

三、课堂练习

1.随堂练习见书本

2.补充练习：把下列各式分解因式：

2（1）（x+y）+6（x+y）+9;2mn2m2（2）－+n;6144（3）4（2a+b）－12（2a+b）+9;212y24（4）xy－x－

5100四.课时小结

这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.五.课后作业习题2.5 六.活动与探究

写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③提公因式后，再用公式法分解.参考答案： 32234ab－4ab+ab

22=ab（4a－4ab+b）=ab（2a－b）

七、教学反思：

本节课通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；在运用公式法分解因式中，要有意识的引导学生，再熟悉乘法公 11 式的来历，以及乘法公式的结构，多注意培养学生认真观察地良好习惯。基本完成了既定的教学目标，是一堂较成功的新课。

§2.4 回顾与思考

教学目标

（一）知识认知要求

1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.2.熟悉本章的知识结构图.（二）能力训练要求

通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感与价值观要求

通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.教学重点

综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.教学难点

利用分解因式进行计算及讨论.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.二、新课讲解

（一）讨论推导本章知识结构图

请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）分解因式与整式乘法的关系.（3）分解因式的方法.很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）

（二）重点知识讲解

下面请大家把重点知识回顾一下.1.举例说明什么是分解因式.3222322如15xy+5xy－20xy=5xy（3xy+1－4y）

3222322把多项式15xy+5xy－20xy分解成为因式5xy与3xy+1－4y的乘积的形式,就是把多32223项式15xy+5xy－20xy分解因式.学习因式分解的概念应注意以下几点:（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.2.分解因式与整式乘法有什么关系? 分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.3.分解因式常用的方法有哪些? 提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c）a2－b2=（a+b）（a－b）a2±2ab+b2=（a±b）2 4.例题讲解

［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.2（1）x+3x+4=（x+2）（x+1）+2 232（2）6xy=3xy·2xy

2（3）（3x－2）（2x+1）=6x－x－2（4）4ab+2ac=2a（2b+c）分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.23（2）不是因式分解,因为6xy不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.（3）不是因式分解,而是整式乘法.（4）是因式分解.［例2］将下列各式分解因式.433425（1）8ab－4ab+2ab;2233（2）－9ab+18ab－27ab;（3）112－x;49

22（4）9（x+y）－4（x－y）;433425解:（1）8ab－4ab+2ab 2322=2ab（4a－2ab+b）;2233（2）－9ab+18ab－27ab

2233=－（9ab－18ab+27ab）

22=－9ab（1－2ab+3ab）;1121212－x=（）－（x）49231111=（+ x）（－x）;2323（3）（4）9（x+y）－4（x－y）

22=［3（x+y）］－［2（x－y）］ =［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］ =（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）=（5x+y）（x+5y）;［例3］把下列各式分解因式: 7333（1）xy－xy;4224（2）16x－72xy+81y;2

213 解:（1）xy－xy 334=xy（x－1）3322=xy（x+1）（x－1）332=xy（x+1）（x+1）（x－1）

4224（2）16x－72xy+81y

222222=（4x）－2·4x·9y+（9y）

222=（4x－9y）

2=［（2x+3y）（2x－3y）］

22=（2x+3y）（2x－3y）.从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? 分解因式的一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.三、课堂练习1.把下列各式分解因式

22（1）16a－9b;222（2）（x+4）－（x+3）;22（3）－4a－9b+12ab;2（4）（x+y）+25－10（x+y）2.利用因式分解进行计算（1）9x+12xy+4y,其中x=（2）（22733

341,y=－;32ab2ab21）－（）,其中a=－,b=2.228四.课时小结

1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.2.利用因式分解简化某些计算.五、课后作业 复习题 A组

六、活动与探究

22求满足4x－9y=31的正整数解.22分析:因为4x－9y可分解为（2x+3y）（2x－3y）（x、y为正整数），而31为质数.2x3y312x3y1所以有或

2x3y12x3y31解：∵4x－9y=31 ∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31 ∴222x3y312x3y1或

2x3y12x3y31x8x8或

y5y5解得因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5.七、教学反思：

本节课采用先个人、后小组、再全班学习的形式；重视引导每个学生都参与复习过程，并把思维训练落实到全班每个学生身上。给学生充分的时间进行独立、自由的回顾思考。新教材提出了一个严峻的问题：课堂教学的重心必须转变，由教向学的转变。过去是“以教为主”，现在要“以学为主”；过去是“重教”，现在要“重学”；过去提倡“为教服务”，现在鼓励“为学服务”。过去老师们是带着知识走向学生，现在则要带着学生走向知识。