数学总结4

第一篇：数学总结4

2012-2013学年下学期四年级

数 学 教 学 总 结

鸣鹫镇中心学校樊保芬

匆匆的一学期结束了，本学期，我从各方面严格要求自己，结合本校的实际条件和学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，有计划、有组织地开展教学工作。为使今后的工作取得更大的进步，现对本学期教学工作做出总结，以促进教学工作更上一层楼。

（一）加强理论学习，提高思想认识

新课标的出台对每一位老师都提出了新的要求和挑战，本学期我认真学习新《数学课程标准》，钻研业务，探索教育教学规律，改进教育教学方法，提高教育教学水平，及时主动的更新教育观念，转变教师角色，树立以学生为本的基本理念，建立民主、平等、和谐的师生关系，采用互动的课堂教学模式，激发学生的创造动机，启迪学生的创新精神，促进学生基本技能、数学知识、情感态度、学习策略等素养的整体发展。

（二）注重学生思维灵活性和独创性的培养

新课程下的小学数学教学，要求教师必须具备新的教学理念。能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多层次、多侧面进行认识。在教学中能自始到终、持之以恒地培养学生多角度、全方位的解题思路，突破单一的思维模式，诱导他们转换角度，灵活思维，探索多种解题方法，形成基本技能和技巧。

思维的独创性指敢于突破传统习惯的束缚，摆脱原有范围的羁绊和思维定势，把头脑中已有的知识信息重新组合，产生具有进步意义的新设想、新发现。在解题过程中我着力引导学生敢于突破陈规，提出大胆、独特的见解，鼓励他们标新立异、另辟蹊径，探寻到具有创新意识的简捷妙法，达到培养独创性思维之目的。

在教学中，我按照知识本身的结构规律，结合学生的实际不断更新教法。通过类比迁移，把所学的知识由点变线，由线变成面，逐步扩展成网络，完善学生的认识结构。这样，学生才能正确运用已有的知识和经验解决新问题，使思维品质得到更好地培养和提高。深入课题研究，优化课堂教学

（三）让情境“活化”数学

1、让学生在合作情境中交流互动。

新课改倡导学生在合作、交流中学会学习，懂得合作。对于中年级学生，伙伴之间通过倾听、分享、交流、互助与反思，使每个人都可以从同伴那里获得信息和启示，进而丰富个体的情感 和认识，促进学生顺利地自我构建知识和创造知识。

2、让学生在生活情境中亲近数学。

只有从生活中来的数学才是有意义的数学。数学课程内容的呈现应该是贴近学生的生活现实，使学生体会到数学与现实的联系，认识数学的价值，增进数学的理解和应用数学的信心，激起学生亲近数学的热情，让课堂真正成为生活化的课程。

3、情境教学在数学新课程教学中已显出了旺盛的生命力。我在课堂教学中积极为学生创设各种情境，使课堂成为生活性、趣味性、活动性的课堂，让学生产生浓厚的学习兴趣，积极去发现、去创造，真正实现知识、能力、情感、态度、价值观的全面发展。

（四）改变教学评价，注重评价实效

改变以往的单一的教学评价，采用多形式、多渠道的评价方法，建立开放、宽松的评价氛围。注重学生在评价中的主体地位，让家长、学生、教师共同参与评价。引导学生在学习中反思，在反思中学习，有效地增进他们的自我评价意识，使学生在学习过程中不断体验进步与成功，认识自我，建立自信。同时强调以形成性评价为主，以学生平时参与各种教学活动的表现和合作能力为主权依据，坚持主人的正面鼓励和激励作用，注重评价的实际效果，以利于学生的终身学习和发展。

（五）注重对学生自主学习习惯的培养

除了在课堂上加强对学生自主学习能力的培养，我还注重对学生课前预习能力和家里学习作业能力的培养。教给他们自学的方法，引导他们怎样进行课前预习，把遇到的疑难问题记录下来，以便在课堂上与老师和同学一起探讨，提高学习效率。并通过“手机短信”常与家长联系，及时交换信息，共同关注孩子的成长。使他们的学习自信心和学习兴趣有了一定的提高。在备好学生、备好教材、备好练习，上好课的基础上，精编习题。习题设计（或选编习题）紧扣重点、难点、疑点和热点，面向大多数学生，符合学生的认知规律，有利于巩固“双基”，有利于启发学生思维；习题讲评注意增加信息程度，围绕重点，增加强度，引到学生高度注意，有利于学生学会解答；解答习题注意多角度，一题多解，一题多变，多题一解，扩展思路，培养学生思维的灵活性，培养学生思维的广阔性和变通性；解题训练注意“精”，精选构思巧妙，新颖灵活的典型题，有代表性和针对性的题，练不在数量而在质量，训练多样化。因此各种不同程度的学生都能获得不同的发展。本学期，培优补差初见成效，比如王美珍、周建斌、王黄佳等学生的成绩比以前有进步。

（六）积极开展教研活动，不断反思提高

我平时积极参加学校组织的教研活动，严格执行互听互评课制度，在上课、听课、评课活动中，取长补短，不断提高自己的业务水平。

总之，“金无足赤，人无完人”，在教学工作中难免有缺陷，例如，课堂上有些同学没能及时掌握，课后没能做好后进生的转 化工作。在今后的教育教学工作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点，开拓前进，为美好的明天奉献自己的力量。

2013-6-29

第二篇：初中数学教学工作个人总结4

初中数学教学工作个人总结

潭口中学邓义琪

一学期的工作又将结束了，可以说紧张忙碌而收获多多。回顾这学期的工作，工作中有收获和快乐，也有不尽如人意的地方，为了更好地总结经验，吸取教训，使以后的工作能够有效、有序地进行，现工作总结如下：

一、热爱教师工作，思想进步，团结同志，每天早来晚走，无私奉献，能全面贯彻党的教育方针，以党员的要求严格要求自己，认真完成学校交给的任务和工作，严格遵守学校的各项规章制度，做到不迟到，不早退，不请病、事假，脚踏实地地执行学校的各项要求。

二、积极参加各类学习培训，努力提高自己的教育教学水平

本我们每位教师都要参加县里教师业务能力考试，结合自身特点制定了业务学习计划，本学期我严格按照学习计划，有序有效地进行了学习，我觉得自己的业务水平又上了一个新的台阶，特别是我又认真学习了几本教育教学丛书，我觉得自己有了很大的提升。在平时我阅读了《蔡林深与洋思教育》等书，领悟其中的教学艺术，努力提高自己的教育教学水平，并能在日常教学工作中很好的应用。

三、教学工作和科研工作

在教学工作方面，在备课过程中认真钻研教材，深刻理解教材，灵活运用教材，根据教材的特点及学生的实际情况设计教案，认真地上好每一节课。备课深入细致。平时认真研究教材，多方参阅各种资料，力求深入理解教材，准确把握难重点。在制定教学目的时，非常注意学生的实际情况。教案编写认真，并不断归纳总结经验教训。教学中，我重视学生的思维能力、自学能力的培养，一面自觉学习先进教育思想方法、优秀教学方法等，一面继续进行“课堂教学”的分层教学研究，着力点放在激发兴趣---教给方法---养成习惯---培养能力---形成品格上，改革教学方法、手段，增大课堂容量，提高学习兴趣，实现“后进生转化，中等生优化，优秀生提高，各类学生都得到应有发展”的目标。对于班级的学困生，给予特殊的关照，课堂上多提问，多巡视，多辅导，在课堂上对他们的点滴进步给予适当的表扬，课后多找他们谈心，使他们树立起他们的信心和激发他们学习数学的兴趣，并发动班上的优等生做学困生们的辅导老师，组成“一帮二”小组，根据各自的情况给学困生定出目标，让他们双方都朝着那个目标前进。常思考，常研究，常总结，促进学生全面发展，打好基础，培养学生创新能力”，以“自主——创新”课堂教学模式的研究与运用为重点，努力实现教学高质量，课堂高效率。

第三篇：数学工作总结4

小学数学四年级上册教学工作总结

本学期，我担任四年级数学教学工作，在一学期的实际教学中，我按照教学大纲的要求，结合本班学生的实际情况，勤勤恳恳、兢兢业业，使教学工作有计划、有组织、有步骤地开展。全面实施素质教育，圆满地完成了教学任务。同时努力提高自身的业务水平和教学能力。为了发扬优点，克服不足，总结经验，使今后的工作更上一层楼，现对本学期教学工作做出如下总结：

一、深入细致的备好每一节课。

备好课是上好课的有力保证。我充分利用数学组活动这一平台，和同级数学老师相互交流，集聚教师集体的智慧，优化课堂教学设计，弥补了新课程标准下我的独立思维。个性化补充中我又结合教材的内容和学生的实际情况，精心设计每一堂课的教学过程，设计教学时，敢于突破教材，不但要考虑知识的相互联系，而且拟定采用的教学方法，以及各教学环节的自然衔接；既要突出本节课的难点，又要突破本节课的重点。真正做到每一课都“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时对课堂做出总结。

二、认真上好每一节课。

课堂是学生学习的主阵地。上课时注重学生主动性的发挥，发散学生的思维，提高教学质量。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，强化他们探究合作意识，充分体现学生学得容易，学得轻松，学得愉快，培养学生多动口、动手、动脑的能力。对于每一节课新知识的学习，我通过联系现实生活，让学生们在生活中感知数学、学习数学、运用数学；通过小组交流活动，让学生在探究合作中动手操作、掌握方法、体验成功等。从而，把课堂还给了学生，使学生成了学习的主人。学生通过联系生活实际，细致观察身边的教室，相互交流。联系生活、贴近生活，从身边生活中走向学生视野，进入课堂，使之产生亲近感，使学生主动地动手、动口、动脑，想办法来探索知识的形成过程，获得成功的喜悦感。

三、认真批改作业.作业是课堂教学的延伸，是反馈教学信息的最好见证。对于学生作业的布置，我本着“适中适量”的原则进行，既要使作业有基础性，针对性，综合性，又要考虑学生不同的基础，突出层次性，坚决不做毫无意义的作业。学生的每次作业批改及时、认真，并做到数学书面作业、练习与测试、家庭作业全批全改，考卷一单元一考，个别错题，当面讲解，及时改正，对于大面积错题，我认真做出分析，并进行集体讲评、订正

四、认真做好后进行转化工作。

本学期，我除了在课堂上多照顾他们外，课后还为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，同时加大了对后进生的辅导的力度，从心理上疏导他们，拉近我们师生之间的距离，让他们意识到学习的重要性和必要性，使他们对数学学习萌发兴趣，建立了自信心。对于他们遗漏的知识，我主动为他们弥补，对于新学内容，我耐心为他们讲解，并让他们每天为自己制定一个目标，同时我还对他们的点滴进步及时给予鼓励表扬，激发了他们的求知欲和上进心，使他们对数学产生了兴趣，也取得了较好的成绩。

五、数学课题的研究

本学期我积极参与学校的教育教学研讨，在研讨中我密切联系学生的生活，努力反映学生身边的事和感兴趣的事，提高学生对数学的兴趣，引导学生用数学的眼光观察生活，发现问题，从而培养学生的问题意识，培养学生处理信息的能力。同时，不断反思、实践、探索、总结经验，撰写教学论文、教学反思。

六、工作中的不足

1、对于新课标的学习不够深入，学习兴趣培养得不够好。教学中既要让学生掌握知识，又要激发学生学习热情，培养学生学习兴趣，但在激发学生学习数学的兴趣方面存在缺憾。

2、小组合作学习应用得不够得体

新课标提得最响的是大力提倡小组合作学习。要真正落实好小组合作学习，把它体现在课堂上，也不是一件很难的事，关键是能不能体现得体。在平时的数学课堂教学中，我试图让学生小组合作学习，但收效甚微，可能是我组织的不得体，使得自己处于被动局面，是小组学习没有真正起到应用的价值。

3、学生课堂提问者太少

新课标提倡，课堂教学要以学生为主体，面向全体学生。教学中要调动学生的学习积极性，要问题让学生提，规律让学生找，结论让学生下。我在教学中，发现会提问题的同学很少，虽然我多次鼓励提问，说错都没关系，只要你敢发表自己的见解就是好样的。但是总有学生表现不够主动，致使课堂教学中经常会出现“冷场”现象。

总之，一学期的教学工作，既有成功的喜悦，也有失败的困惑，虽然取得了一定的成绩，但也存在不少的缺点。在今后教学中我不断加强学习，多听课，从别人的好课中汲取养料，反思自己教学中的课堂评价，调整自己的教学。从别人失败的课堂教学中，吸取教训，引以为戒，提高业务素质，增强教学机智，灵活运用教学方法，提高自身素质，为以后的教学工作打下良好的基础，力争取得更好的成绩。

第四篇：3升4数学

找规律填数

（一）例1： 找出下列各数列的规律，并按其规律在（）里填上合适的数。

① 1，2，4，8，16，（）

② 4，7，10，13，（）

③ 1，4，9，16，（），（）

④ 84，78，72，66，（），（）

⑤ 625，125，25，（），（）

例2：找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数。

①1，2，2，3，3，4，（），（）

②4，6，10，16，26，（）

③1，3，3，9，27，（）

④2，5，14，41，122，（），1094

⑤ 15，6，13，7，11，8，（），（）

⑥ 16，18，22，28，36，（），（）

拓展1 找规律，在（）内填上合适的数。

①1，4，7，10，（），16，19

②4，8，16，32，64，（），256

③9，11，15，21，29，（），（）

拓展2 找规律，在()内填上合适的数。

①45，55，66，78，（）

②35，28，22，17，13，（），（）

③ 1，2，5，10，17，26，（），50

拓展3 找规律，在（）内填上合适的数。

①729，243，（），27，9，3

②100，121，144，169，（），（），256

③ 81，64，（），（），25，16，9，4.平均数

（一）例1 一辆货车从甲城开往乙城，每小时行60千米，12小时到达乙城。又顺原路返回甲城，返回时每小时40千米。求这辆货车往返一次的平均速度。

例2 四年级甲，乙两班共有100位同学，甲班比乙班多4人。一次语文测验，两个班全体同学的平均分为82分，甲班比乙班的平均分高5分，两个班的平均分各是多少？

拓展1食品商店进了两种水果糖，甲种水果糖每千克12元，共40千克，乙种水果糖每千克8元，共为60千克，为了便于销售，将这两种糖混合成什锦水果糖，每千克价格应该怎样定？

拓展3 甲数是240，乙数比甲数的3倍少30，丙数比乙数的2倍少180。求：这三个数的平均数是多少？

拓展4四年级A班有学生50人，男，女生各25人。一次数学测验，全班同学平均分为85分。如果男，女生分开计算，女生比男生的平均分高2分，男，女生得平均分各是多少？

差倍问题

例1 小红和小明都爱画画，两人各有若干支水彩笔。如果小红给小明8支，小明的水彩笔是小红的3倍。如果小明给小红8支，则两人的水彩笔一样多。小红和小明原来各有多少支水彩笔？

拓展1 父亲今年47岁，徐红今年11岁。问： 几年前父亲的年龄是徐红年龄的5倍？

拓展2 学校食堂买来两桶油，大桶的油有150千克，小桶的油有120千克，两桶用去同样多的油后，大桶剩的油刚好是小桶所剩的的油的4倍，两桶油各剩多少千克？食堂共用去多少油？

拓展3大猴子和小猴子采摘桃子，大猴子比小猴子多采桃26个，后来小猴子弄丢了6个桃子，大猴子又采了7个，这时大猴子的桃子比小猴子的桃子多3倍。问：原来大猴子和小猴子各采了几个桃子？

拓展4有两个书架，如果从第一个书架拿出7本书放到第二个书架，两个书架的书本数相等； 如果从第二个书架拿出12本书放到第一个书架，则第一个书架的书本数是第二个书架的书本数的2倍，每个书架原来各有几本书？

和差问题

例1 一群松鼠共108只，在一起吃草莓，每只大松鼠分到15个草莓，每只小松鼠分到12个草

莓。草莓刚分完，小松鼠很快就把草莓吃完了，又要求再给每只小松鼠分3个草莓，每只大松鼠只得拿出3个草莓，满足每只小松鼠再吃3个草莓的要求之后，还剩余24个草莓。这群松鼠一共有多少个草莓？

拓展1王亮期中考试语文和数学的平均分是94分，数学没考好，语文比数学多8分。问：小明的语文和数学各得了多少分？

拓展2两筐橘子共180千克，从甲筐中取出30千克放入乙筐，两筐橘子的重量就相等了。原来两筐中各有橘子多少千克？

拓展3四个人年龄之和是89岁，最小的是10岁，她与最大的年龄之和比另外两个年龄之和大9岁，最大的年龄是几岁？

拓展4某保险公司为奖励工作成绩好的职工，决定将4200元奖金分给三名优秀职工，已知第一名比第二名多的800元，第二名比第三名多得500元，三名优秀职工各得多少元奖金？

归一问题

例1 四年级甲班六一儿童节去玄武湖划船，全班分成A, B, C 三组，共租了11只船，租船费由三

个小组平摊。A 组先付了7只船的租金，B 组付了4只船的租金，C 组暂时没付。第二天老师结算了一下，C 组应交22元。问：C 组交来的钱应该分别还给A，B组各多少？

例2 甲，乙两地相距600千米，一列客车和一列货车同时由甲地开往乙地，客车比货车早到4个

小时，客车到达乙地时货车行了400千米，客车的速度比货车的速度快多少？

拓展1丁亚东在超市买6本练习本，共付12元，现在要买8本练习本应付多少元？若有26元钱，可以买几本这样的练习本？

拓展27只鸡8天要喂饲料8400克，照这样计算，有饲料720千克，可供应多少只鸡吃12天？

拓展3某厂计划做5120个零件，16个工人工作8小时完成了任务的一半，余下的任务要求在4小时内完成，至少要增加几个工人？

拓展48个人每天工作8小时，4天内铺修了长64米，宽20米的道路。问： 30人每天工作6小时，经过几天才能普修一条长900米，宽20米的道路？

归总问题

例1 学校食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划每千克6元的鸡蛋买70千克，结果鸡蛋价格下

调，用这笔钱多买了5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后每千克是多少元？

例2 18人参加搬一堆砖的劳动，计划8小时可以办完，实际劳动2小时后，有6人被调走，余

下的砖还需要多少小时才能搬完？

拓展1电视机厂装一批电视机，每天装80台，15天可完成任务，如果要提前3天完成，每天要多装多少台？

拓展2某厂每天节约煤76千克，如每6千克煤可发电13度，照这样计算，该厂9月份节约的煤可发电多少度？

拓展3某车间计划20人每天工作8小时，8天完成一批定货，后来要提前交货，改由32人工作，限4天内完成，每天需工作几小时？

拓展4学校总务处张老师去商店采购学生用练习本，练习本定价每本4元8角，带去买1200本的钱。由于买的多，可以优惠，每本便宜了3角钱，张老师一共买回多少本练习本？

20植树问题

例在一条拓宽新建的长240米的马路两旁各栽一行树，起点和终点都栽一棵，一共栽了122棵树，每相邻两棵树之间距离相等。求：相邻两棵树之间相隔多少米？

拓展1在一个正方形花圃四周放花盆，四个顶点都放一盆，每边放了6盆，这个花圃共放了多少盆花？

拓展2一座楼房，每上一层要走18级台阶，王老师回家要走90级台阶，她家住几楼？

拓展3 有36根粗木料，打算把每根锯成5段，每锯开一处，需要10分钟。锯木工人一天工作6小时，需要干几天？

拓展4植树节，同学们参加路边种树，每6棵树间的距离是15米，照这样计算，种15棵树的距离是多少米？如果在原栽15棵树的这段距离上，改成每隔2米栽一棵树，可以栽多少棵树？加减法的错中求解

例1老师让小林和小禾同算一道两数相加的算术题，小林的732，计算正确，小禾的507，计算错误。小禾急忙检查，发现算错的原因是把其中一个加数的末尾的0漏掉了。你知道这两个加数各是多少吗？

例2小禾做减法算术题时，又由于粗心大意，把被减数个位上的1写成7，把十位上得6写成9，又把减数末尾的0写成8，这样算的差是247，正确的差应该是多少？

拓展1 小亚同学在做加法算术题时，把一个加数的个位与十位写颠倒了，写成了93，又把另一个加数的末尾0写成8，这样得到的和是141。这道题的正确答案应该是多少？

拓展2小磊同学在计算一道减法题时，把被减数末尾的8错写成6，把减数2558错写成2585，这样得到的差是5321。正确的差应是多少？

拓展3小敏同学在计算试题（2400 – O）÷ 25 + 632 时,没有注意算式里的括号,先用O里的数除以25,然后按加,减运算顺序计算, 得数是3000, 他认为这个整千数的答案一定没错,就没仔细检查,结果这题扣了10分。这道题应该得多少呢？

拓展4小敏和小磊同做一道减法题，小敏的计算结果是9044，小磊的计算结果是1556.经验算小敏的答案是对的，小磊由于把减数的末尾多写了一个“0”，所以出错。这道题中得被减数，减数各是多少？乘除法的错中求解

例1小马虎在计算除法算题时，把除数37写成了73，结果得到商是10，还余47。请你帮忙算一算，正确的商应该是多少？

例2小马虎在计算三位数乘三位数的试题时，又犯了粗心的毛病，把其中的一个乘数的个位数8错当作3，乘得的结果是26010，实际的积应是26860。问：这两个三位数各是多少？

拓展1一个数乘以5，小马虎在抄题目时把乘号误写成加号，得到的结果是127，正确的积应该是多少？

拓展2小马虎在计算除法时，把余数760末尾的 “0”漏写了，结果得到的商80，正确的商应该是多少？

拓展3 在计算一道除数是三位数的除法算题时，由于漏写除数十位数上的“0”，除数变成48，结果得到商是272。这道题正确的商应该是多少？

拓展4 东东在做两位数乘两位数的乘法题时，把一个乘数的个位数7看做9，乘得结果是2842，实际应为2646，这两个乘数各是多少？

①

②

③

④

⑤

⑥

第五篇：金融数学4

价格向上变动的次数i为服从二项分布的随机变量；价格向下变动的次数ni也服从同样的分布。因此我们说，价格过程服从二叉树。对于n期二叉树所有状况的集合，在每一个时段上涨或者下跌共有2个元素。例如，两时段股票价格二叉树如图33所示；三时段二叉树如图34所示。

n

为简单起见，假设在这两个图中，S(0)1。

练习3.13 如果S(1)的可能值为87美元和76美元，S(2)的最大可能值为92美元，计算u和d。

练习3.14 假设在连续复合之下，无风险收益率为14%，时段为1个月，S(0)22美元，d0.01，计算与条件3.2一致的S(2)的中间值的范围。

练习3.15 假设28美元、32美元和x美元是S(2)可能值，计算x。假设股票价格服从二叉树，你能画出这棵树吗？画法是否唯一？

练习3.16 假设股票价格服从二叉树模型，S(2)的可能值是121美元、110美元和100美元。当S(0)100美元时，计算u和d；当S(0)104美元时，计算u和d。

3.2.1 风险中性概率

在二叉树模型中，即使不知道股票未来的确切价值，也可以计算出股票的期望价格。然后可将这些期望价格与无风险投资进行比较。我们可以将这个简单的思想应用于衍生证券（例如期权、远期、期货）中，这些应用是广泛且令人惊奇的，我们将在以后各章研究这个问题。

首先，我们研究股票价格期望E(S(n))的动态变化。当n1时，有

E(S(1))pS(0)(1u)(1p)S(0)(1d)

S(0)(1E(K(1)))式中，E(K(1))pu(1p)d

是单收益的期望，下面我们将其扩展到任意的n的情形。命题3.4 当n0,1,2,时，股票价格的期望为

nE(S(n))S(0)(1E(K(1)))

证明

因为单期收益K(1),K(2),是不相关的，于是随机变量1K(1),1K(2),也是不相关的，由此得出

E(S(n))E(S(0)(1(K(1))(1K(2))(1K(n)))

S(0)E(1K(1))E(1K(2))E(1K(n))

S(0)(1E(K(1)))(1E(K(2)))(1E(K(n)))

因为K(n)是同分布的，其期望相同，即

E(K(1))E(K(2))E(K(n))

于是我们就证明了E(S(n))的公式。

如果将S(0)的金额在时间0投资于无风险资产，n个时段以后，它将增长为S(0)(1r)。显然，要比较E(S(n))和S(0)(1r)，我们只须比较E(K(1))和r 即可。

股票投资存在风险，因为价格S(n)预先是未知的。一个典型的风险厌恶的投资者要求E(K(1))r，因为他认为应该有更高的回报作为对风险的补偿。反之，当E(K(1))r时，如

nn果收益高的非零概率很小，收益低的非零概率很大（典型的例子是彩票，其收益为负），对某些投资者而言仍然有吸引力，我们称这样的投资者是风险偏好者。我们将在第5章讨论此问题，并给出风险的准确定义。市场的边缘情况，此时E(K(1))r，被认为是风险中性的。为方便起见，我们对风险中性引入特殊的概率符号p*以及相应的取数学期望的符号E*，满足条件

E*(K(1))p*u(1p*)dr

（3.4）

由式（3.4）即可推导出 p*rdud

我们称p*为风险中性概率；E*为风险中性期望。弄清楚p* 是一个抽象的数学概念，它可以不等于市场的实际概率p很重要，即仅在风险中性的市场上有pp*。风险中性概率p*甚至于可以与真实概率p没有任何关系；当出于衍生证券估值目的时，我们假设合适的不是p而是p*。这是风险中性概率的重要应用，我们将在第8章中详细讨论。

练习3.17 令u210和r110，研究作为d的函数的p*的性质。

练习3.18时

证明当且仅当0p*1，dru。条件（3.4）意味着

p*(ur)(1p*)(dr)0

在几何意义上，这意味着把二元组(p*,1p*)看做是平面R中的向量，它垂直于坐

2标为(ur,dr)的向量。向量(ur,dr)表示如果投资者可能的收益或损失，如图3——5所示。连接点（1，0）和（0，1）线上的所有点的坐标为(p,1p)，其中0p1。这些点中的一个点对应于市场的真实概率，另一个点对应于风险中性概率。

风险中性概率的条件（3.4）的另一个含义如图3——6所示。如果把质量p*和1p*放在实轴上坐标为u和d的点上，那么质心在r。

3.2.2 鞅性质

由命题3.4可知，S(n)对于风险中性概率p*的期望为

E*(S(n))S(0)(1r)

（3.5）

因为rE*(K(1))。例 3.6 考虑一个两时段二叉树模型，S(0)1000美元，u0.2，d0.1，r0.1。那么，p*为风险中性概率，两个时段之后，股票价格的数学期望为

E*(S(2))S(0)(1r)1211（美元）2n23一个时段以后，股票价格上升和下降已知，我们要重新计算S(2)的期望。假设一个时段以后，股票价格上升到120美元，在这样的情况下，可能状况集合会简化为S(1)120美元的那些状况，股票价格树会简化为3—7中的子树。给定S(1)1200美元，S(2)的风险中性2313期望将是 144108132 美元，等于120(1r)。形式上，可以写成给定S(1)120美元，S(2)的条件期望【1】

E*(S(2)|S(1)120)120(1r)

类似地，如果股票价格一个时段之后下降到90美元，则可能状况集合就会简化为S(1)90 美元的那些状况，股票价格树会简化为图3—8所示的子树。给定S(1)90美

2313元，则S(2)的风险中性期望为1088199，等于90(1r)，这可以写为

E*(S(2)|S(1)90)90(1r)

根据上面的两个公式，条件期望可以写成一个公式，非常容易理解，即

E*(S(2)|S(1))S(1)(1r)

这个分析可扩展到二叉树模型的任何阶段。假设n时段已经过去，股票价格变为S(n)，则下一个时段以后，价格S(n1)的风险中性期望是什么？

命题3.5 假设股票在时间n的价格S(n)是已知的，S(n1)的风险中性条件期望是

E*(S(n1)|S(n))S(n)(1r)证明

假设n时段之后S(n)x，于是有

E*(S(n1)|S(n)x)p*x(1u)(1p*)x(1d)

因为S(n1)取值x(1u)的概率为p*，取值x(1d)的概率为1p*，且由式（3.4）可知p*(1u)(1p*)(1d)(1r)，于是有

E*(S(n1)|S(n)x)x(1r)对S(n)的任意可能值x成立，证毕。

将命题3.5的等式的两边除以(1r)~nS(n)S(n)(1r)的重要结论。

n1，我们就可以得到下面关于股票折现价格

推论 3.6（鞅性质）对任意的n0, 1, 2，有

E*(S(n1)|S(n)x)S(n)

则股票的折现价格S(n)在风险中性概率之下会形成一个鞅，风险中性概率p*被认为是鞅概率。

练习3.19 假设r0.2，在给定S(2)110美元，计算S(3)的风险中性条件期望。~~~3.3 其他模型

在第一次阅读时，本节可以跳过，因为本节的主要思想与本章中论述的模型无关。

3.3.1 三叉树模型

二叉树模型的一个自然推广是将单时段收益K(n)的可能值的范围