1.1.2《余弦定理》新授课范文

第一篇：1.1.2《余弦定理》新授课范文

投入时间重在理解加紧训练探究方法收获成功

高一年级数学导学案（必修五）

给自己一个梦想，让自己因为有这个梦想而每天自信、快乐!

第二篇：新授课

“新授课”研究报告

“新授课”研究团队是在学校领导的支持下，以冉少杰老师为组长的带领下组成的研究团队，旨在改善传统课堂教学模式，实现教师教学方式和学生学习方式的转变，提高课堂教学质量，实现学生全面发展和教师专业成长目标。

新授课主要目标是学习新知识、新技能、新思想。由于我校班级人数较多，以教师为中心的讲授式教学仍然是教学的主要形式，这种教学主要弊端为：老师教的累、学生学的苦。学生没有积极思考、发问、质疑的机会，这些都降低了课堂效果。

为改善这一状况，通过借鉴他校课改模式，“新课型”研究团队以《中庸·第二十章》中的“博学之、审问之、慎思之、明辨之、笃行之”为理念，提出“新课型”五要素：新课导入、博学新知、审问慎思、明辨解疑、目标达成。

下面就五要素做主要汇报：

一、新课导入：

课堂“导入”，又称“开场白”或“导课”，是课堂上正式教学的前奏，它是课堂教学开始之前，教师有意识，有目的地引导学生进入新的学习状态的教学组织行为。

1、直接导入法：最简单的导入方式，特点“短、频、快”。

2、温故导入法：

温故导入是根据新旧知识之间的逻辑联系，找准新知识的连接点，以旧知识为基础发展深化，从而引出新的教学内容，达到温故而知新的目的。

3、创设情景法：利用语言、设备、环境、活动、音乐、绘画等各种手段，制造符合教学需要的情境。

4、兴趣导入法：是教师在授课开始之前通过多种方式（观看与本节有关科普知识、组织学生实践操作），引导学生渴求新知识方法。

5、实验导入法： 实验导入法是物理、化学、生物课等让通过学生动手进行实验或观察教师操作实验导入新课的方法。

课堂导入目的是激发学生兴趣，激起学生求知欲；使学生能够把心理调整到进入新课学习的最佳状态，提高教学效率，取得事半功倍的教学效果。

二、博学新知：

“博学新知”是一种自律学习、主动学习。这样能提高学生的主体责任意识，使学生的学习状态发生根本变化，从他律到自律、从被动到主动、从消极到积极。不仅开发了学生的潜能，而且培养了学生学习的责任心。

1、查阅资料法：即引导学生充分利用已有的资料增加对新知识的了解的方法。学生可查阅的资料有字典、学习报、参考书等。

2、小组讨论法：即让学生分成小组分享各自的想法、信息、知识的方法。小组讨论可以达到集思广益，知识共享的效果。

3、师生互动法：教师可以指导预习，按“扶——放”原则，起先可设置“导学提纲”以设计一系列问题的形式，在“学什么”“怎样学”两方面加以引导。

4、借助互联网： 借助互联网进行课前预习。

三、审问慎思：

好的问题，能启迪学生的思维，能够集中学生的注意力，因此为了保证一节课的质量，为了让课堂更加精准、实效，初步设计“审问慎思”环节由教师作为这一环节的主导，作为问题的设计者。

1、层递式提问：对有一定深度和难度的问题进行分层次由浅入深的提问。通过一环扣一环、一层进一层的提问，引导学生的思维向知识的深度和广度发展。

2、列举式提问： 列举日常生活中的实例，这一类问题有利于激发学生积极思考，努力搜寻记忆中的生活知识，在相互启发下，可举出更多的例子。

3、对比式提问：可以诱导学生通过比较发现共性、区别个性、加深理解，有利于发展学生的求异思维和求同思维。

4、引发争论式提问：争论可使学生的思维始终处于活跃状态，通过争论解决的问题，理解特别深刻，其效果是一般性讲解所无法达到的。

5、类比式提问：能帮助学生发生联想、想象，有利于学生形象思维能力的提高。

四、明辨解疑的策略：

1、要注意组员之间的层次性，差异性和互补性：教师要注意组员之间的差异性和互补性，教师应根据不同活动的需要设立不同的角色，并要求小组成员既要积极承担个人责任，又要相互支持。

2、注意问题难易程度，优生带领，中下学生优先，因“生”设问：优等生是小组合作学习的带领者，除了自己积极表达对问题的看法和意见外，还要组织组内的成员围绕目标共同学习，归纳成员的发言要点，鼓励其他成员畅所欲言，与他们交流自己的观点，使学习小组成为学习的共同体。

3、学习任务、要求要明确：教师要把小组内进行合作学习的任务、要求布置清楚，要让每个小组及每个人都明确自己要完成的任务。

4、时间要充足：任课教师要根据“合作学习”的任务、要求，留给学生充分的讨论、探究的时间。

5、养成良好习惯。

五、目标达成：

1、概括总结式：在一节课要结束时，对整堂课的内容进行归纳总结，概括出知识的脉络与主线，深化主旨，强化重点，明确关键性知识，对所学知识的认识形成条理，起到突出主题的作用。

2、分析比较式：为了使学生对课堂所学内容的本质特征有一个明确的认识，教师可以将新学知识的各个部分以及新知识与原有知识进行比较分析，明确它们的内在联系或找出它们各自相同或不同的特点，以起到更准确、深刻理解知识的作用。

3、回顾反思式：课堂结束时,教师可以通过小结与学生一起回顾新知识,加强学生的记忆,巩固新知识。小结时也可以用板书，让学生归纳出有哪些知识点、重点、难点。

4、交流评价式：课堂教学应给学生足够的时间和空间去思考和活动。同时要让学生有机会去畅谈自己的体验评价、感受和收获，有机会表达自己的困惑和喜悦，提出建议和见解。

第三篇：余弦定理新的证明探讨

余弦定理新的证明探讨

摘 要

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，是解决数理学科和前沿科学领域中相关问题的一种有效的重要方法。它是代数学中的重点和难点，在解决三角问题、函数问题等方面发挥了重要的作用。国内外有关余弦定理证明的探讨和应用及其推广的研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。国外对余弦定理的证明与应用的研究主要是由于前沿科学领域及实际生活发展的需要，在教学中寻求新的证明探讨涉及甚少，而国内在寻求其新的证明探讨与应用方面的研究甚为广泛。但余弦定理新的证明方法及推广与应用仍有值得研究的问题。比如：余弦定理通常用于求解三角函数问题，而其用途不仅仅限于此，如：余弦定理证明在数学教学、数学分析、立体几何中的应用等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究其新的证明方法，并将其做相应的推广来解决相关问题，扩宽其应用的范围，使得在运用余弦定理解决代数问题和几何问题方面更加实用方便，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。基于已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广，体现了其不同证明方法的新颖性和优越性.关键词：余弦定理；勾股定理；证明；定理；推论

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目 录 引言···········································································································································1 2 文献综述···································································································································1 2.1国外研究现状·························································································································1 2.2国内研究现状·························································································································1 2.3国内外研究现状评价·············································································································1 2.4提出的问题·····························································································································2 3 余弦定理的数学思想史略·······································································································2 3.1三角学的确立与发展状况·····································································································2 3.2余弦定理的由来·····················································································································2 4 余弦定理及其新的证明···········································································································3 4.1关于余弦定理的注记·············································································································3 4.2余弦定理新的证明·················································································································5 4.2.1从几何角度直观证明余弦定理 ··································································································5 4.2.2角余弦定理的证明与应用 ·········································································································7 4.2.3证明余弦定理又一方法······································································································9 4.2.4立体几何的余弦定理及其证明························································································10 4.2.5 n维余弦定理的新证明·····································································································13 5 总结 ········································································································································15 5.1 主要发现 ·····························································································································15 5.2 启示 ·····································································································································15 5.3 局限性 ·································································································································16 5.4 努力方向 ·····························································································································16 6 参考文献·································································································································16

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1引言

余弦定理的证明及推广应用的发展历程在三角函数、立体几何等数学领域已经凸显出巨大的潜在价值，关于它的研究，已有许多独特而新颖的硕果。余弦定理通常应用于三角问题、函数问题、几何问题及数理天文学问题等方面的求解，国内和国外的研究各有其独到之处。现有对余弦定理的证明方法的探讨及推广应用，体现了其重要性和应用的广泛性，如：余弦定理证明在中学数学教学、数学分析、立体几何中的应用等等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的证明方法，并将其做相应的推广应用来解决相关问题，这样的研究值得深入探究.基于对已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广应用，体现了其证明与应用的新颖性和优越性.2 文献综述

2.1国外研究现状

国外对余弦定理的研究主要是应用于解决数理天文学和其他学科如测量学与地理学方面的问题，而在教学上探讨新的证明则很少涉及.天文学家阿尔.巴塔尼的《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果.在该书中阿尔.巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切[1]；发现球面三角形余弦定理coscosbcoscsinbsinccosA，继而为平面三角形的重要定理—— 正弦定理和余弦定理的发现奠定了基础，其证明的思想方法具有一定新颖性,值得借鉴.2.2国内研究现状

国内有关余弦定理的理论从国外引进，在立体几何、双曲平面上以及现实生活中发挥了重要的作用，国内余弦定理很少谈及学科领域的相关证明问题，但相关的应用有一定发展。如：王书在其编写的数学解题方法与技能中较详细地阐述了利用三角法进行复数的乘方计算，先把复数写成三角函数式后，角按公式[r(cossin)]nrn(cosnsinn)（n是正整数）计算比较容易；刘鸿坤、曾容、李大元等编著的中、美历届数学竞赛试题精编第三十二届美国中学数学竞赛试题（1981年）中的第24题的应用，将超越方程利用三角函数式转化为复数形式求解，说明了余弦定理在数理学科领域的重要性.2.3国内外研究现状的评价

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上述文献中已给出了余弦定理相关的探讨和应用，说明了余弦定理的重要性和应用的广泛性，但其还有值得研究的空间和余地.在余弦定理证明与应用方面的研究国内相对于国外的研究较广泛,而且很多研究问题及结论有很好的借鉴价值,可以作为研究的理论基础；而国外,更多的研究主要在于将余弦定理应用于解决前沿学科（如数理天文学、历法、航海等）的问题.但在学科领域的不同方面能否得到余弦定理的不同的新的证明方法，从而提高余弦定理在理论研究中的有效性，这方面的研究较少.2.4提出问题

鉴于国内外的研究现状，一般的余弦定理的证明不仅只能解决前沿学科中的数理问题，而且该定理在证明运用中有一定的局限性，那么能否弱化余弦定理的局限性，拓宽余弦定理的证明方法的范围，或者将余弦定理新的证明进行推广对教学方法的启示，从而体现余弦定理新的证明的优越性和应用的广泛性，本文针对此类问题作详细探讨.3 余弦定理的数学思想史略

3.1三角学的确立和发展概况

“三角学”原意是三角形测量,也就是解三角形，这是三角学的基本问题之一.后来范围逐渐扩大, 发展为研究三角函数及其应用的一个数学科目.[2]三角学的发展和天文学、几何学有着不可分割的关系，国外对三角学的研究的起源是计算数理天文学方面的精确问题。而正、余弦定理是三角学建立的基础，三角学的确立是以正、余弦定理为标志，因为三角学是寻求边与角的关系来解决三角问题, 正、余弦定理正是把边与角建立起联系.三角学的发展经历从脱离天文学而独立，到以欧拉的《无穷小分析引论》为代表的过程，标志着三角学从研究三角形解法进一步转变为研究三角函数及其应用的一个分析学的分支。

希腊三角学起源于天文学的定量研究,由于球面几何方面的研究的需要，从而球面三角学便开始萌芽。随着生产不断进步,为了修订历法、航海和研究地理, 需要建立定量的天文学, 便产生了三角学的雏形.其代表人物有希帕克、托勒密和梅内劳斯, 在梅内劳斯时期达到顶峰.由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊希腊托勒玫的《大成》、梅内劳斯的《球面学》等古典著作。阿拉伯三角学是在印度天文名著的基础上发展的, 揭示了三角量的性质及其关系, 给出了平面三角形和球面三角形的全部解法, 并制造了一系列的三角函数表.三角学通过阿拉伯学家的工作逐渐从天文学中分化出来发展成为一门独立的学科。其主要的代表人物有阿尔.哈巴士、阿尔.巴塔尼、阿布尔.威发、阿尔.毕鲁尼和纳速.拉丁

欧洲三角学是在阿拉伯数学家纳速.拉丁《论四边形》著作的基础上研究的, 将平面三角、球面几何和球面三角有机地结合起来, 制定更精确的三角函数表,以至于我们现今仍在使用, 使三角学进一步系统化, 成为一个独立的数学分支, 从而确立了三角学.由此, 三角学在天文学及其他学科如测量学方面得到广泛的应用.其代表人物有雷基奥蒙坦、雷提卡斯、韦达.3.2 余弦定理的由来

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平面三角的余弦定理是在欧几里得的《原本》中间接地提出来,平面三角的余弦定理的确立和运用是随航海学和地理学的发展, 而平面三角学是在球面三角学的研究的基础上提出的。随着测量耕种土地的面积、测量长度与测量方位及历法和航海发展等实际的需要，希腊三角学（球面三角学）中包括平面三角的基础内容,平面三角的重要定理——正弦定理和余弦定理在此条件下产生.其数学思想方法和思路如下:

图 1 分析：如图1，△ABC三边CB、CA、AB长度为a、b、c，首先将斜三角形分割成两个直角三角形,再由勾股定理即可证得余弦定理.证明：在RtBCD和RtABD中，根据勾股定理

222  p2a2d2，pc(bd)22222padc(bd)

即c2a2b22bd(1)在RtBCD中，dacosC(2)将（2）带入（1）中，c2a2b22abcosC.阿拉伯数学家阿尔.巴塔尼在进行球面三角研究过程中, 利用平面三角的知识来证明球面余弦定理, 他的方法是通过作出斜三角形某一个边上的高之后, 将问题转化为求直角三角形的解,他研究出余弦定理的结果应用到证明球面三角边的余弦定理.十五世纪前叶，阿拉伯数学家阿尔.卡西给出了平面三角的余弦定2222理的下述形式:a(bccosA)csinA..韦达在1593年给出了平面三角的余弦定理2ab12220的下述形式:abcsin(90C).期内尔在1627年给出了平面三角的余弦定理的2ab1.22下述形式:c(ab)1cosC[3]

4余弦定理及其新的证明

4.1关于余弦定理的注记

余弦定理的证明是运用“向量相乘”的方法进行的，其可化复杂为简便，其是向量式与数量式之间相互转化的常用方法。余弦定理的结论及其证明如下：

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在△ABC中，AB、BC、CA的长为c、a、b，第一边的平方等于另外两边的平方和减去另外两边的2倍乘第一边对角的余弦.如c2a2b22abcosC.图

分析：因为ACCBAB,所以可从以下两方向入手，证明余弦定理并得其推论.定理：(ACCB).(ACCB)AB.AB，由此可推出余弦定理，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积得两倍。即

a2b2c22bccosA[4]222bac2accosB.c2a2b22abcosC证明：

(ACCB)(ACCB)AB.AB，且ABc、ACb、CBaAC.ACCB.CB2AC.CBAB.AB即ACCB2AC.CBcos(C)ABb2a22bacosCc2即c2a2b22abcosC.222

推论:(ACCB).ABAB.AB,可推出平面三角的射影定理，即

abcosCccosB[5] 射影定理bccosAacosC.cacosBbcosA 证明：

(ACCB).ABAB.AB,ABc、CBa、ACb.AC.ABCB.ABAB.ABAC.ABcosACB.ABcosBAB即bccosAaccosBc2bcosAacosBc即cacosBbcosA.2

余弦定理可解决以下两类有关三角形的问题：一类是已知两边和它们的夹角，求解三角形；另一类是已知三边，求解三角形。已知三角形的两边和其中一

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边的对角，因为它不满足三角形全等的条件，故可能有两解、一解、甚至无解，用正弦定理求解心里不踏实；用余弦定理求解则只要看相应的一元二次方程是否有两正数解、一正数解或无正数解即可。

4.2余弦定理新的证明

余弦定理可以用于求值、求角或角的范围、用于化简、判断三角形的形状、用于证明三角不等式、用于研究函数的性质或用于研究函数的最值等等。

4.2.1从几何角度直观证明余弦定理

在平面三角形中, 对于余弦定理这样的基本结果, 我们总是能够从不同的角度来理解它, 下面我们从几何的角度给出该定理的几个直观证明.方法一：应用勾股定理证明.图

图

分析： 此证明方法直接由坐标法的证明演化而来.证明一： 在RtACD中,AC=b、AB=c、BC=a(图 3).ADbsinC,CDbcosC,BCa,ADBC

BDBCCD,即BDabcosC

在RtABD中,根据勾股定理，AB2AD2BD2,即c2(bsinC)2(abcosC)2 整理得c2a2b22abcosC.证明二：在RtACD中，AC=b,ACDC(图 4).CDbcosACD,ADbcosACD,即CDbcos(C),ADbsin(C)CDbcosC,ADbsinC

在RtABD中，根据勾股定理，BDBCCD,AB2AD2BD2 c2(bsinC)2(abcosC)2 整理得c2a2b22abcosC.第 7 页

方法二：应用Ptolemy定理证明.分析：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积, 这就是有名的Ptolemy定理，即AB'.CBAC.B'BB'C.AB.以下用Ptolemy定理来证明余弦定理.图

证明：在△ABC的外接圆里,取AB'CB,且BCa，ABCB'a

ABCCB'A，则BCBAc

'又BB'b2acos(C),根据Ptolemy定理

2C)a2b22abcosC  cc.ca.ab.b2acos(即c2a2b22abcosC

方法三：应用圆幂定理证明.图 6

图 7

分析：如图6和图7,以B为圆心,以a为半径画圆,则有AD.AEAF.AC..其中圆的半径为a，AB=c，AC=b.证明一：在图6里, ABc,BDBCBEa,ADABBD,CF2acosC

AD=a+c,AE=a-c,AF=CF-CA=2acosC-b，根据AD.AEAF.AC.(ac)(ac)(2acosCb).b,即cab2abcosC.222 证明二：在图7里, ABc,BDBCBEBFa,ADABBD,AFACCF

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BCF是等腰三角形，有CF2cos(C),AD=c+a,AE=c-a AFACCFb2acos(C)b2acosC.根据AD.AEAF.AC.222(ca)(ca)(b2acosC).b,即cab2abcosC.4.2.2角余弦定理的证明与应用

角勾股定理与角余弦定理是勾股定理和余弦定理与之相对应的角形式，它们有着广泛的应用，现给出如下证明与应用举例：

定理1：若A、B、C构成一个三角形的三个内角，则

sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosAsin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosBsin2Csin2Asin2B2sinAsinBcosC（4）

证明：在ABC中,设A、B、C所对的边为a、b、c.222 余弦定理为abc2bccosA(5)根据“正弦定理”，有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(6)(6)分别代入5），即(2RsinA)2(2RsinB)2(2RsinC)22(2RsinB)(2RsinC)cosA

sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，证毕.（4）的其余二式同理可证.引伸：当上述公式中的A、B、C为任意角时, 应用诱导公式化为锐角、和的三角函数,若满足条件:1800，定理仍成立。由定理2和引伸,我们又有如下的推论:  推论1：若，则sin2cos2sin22cossincos.2证明：已知，sin2cos2sin22cossincos

2只需证明sin2sin2()sin22sin()sincos即可

22 2()()

222、()、能构成三角形的三个角, 由定理2和引伸知推论1 成立.2推论2：若，则sin2cos2cos22coscoscos 证明：已知，sin2cos2cos22coscoscos

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只需证明sin2cos2()cos22cos()coscos



()()()

()、能构成三角形的三个角, 推论2成立.、例 1，化简cos2Acos2(A)cos2(A)

3解：由推论2，得 原式=

22cos(A)cos(22A)2cos(A)cos(A)cos2cos(A)cos(A)coscos2A333333332123113sin2(coscos2A)cos2A(2cos2A1)cos2A3234422

定理2： 若A、B、C构成三角形的三内角，则：

sin2Acos2Bcos2C2cosBcosCcosA（7）sin2Bcos2Acos2C2cosAcosCcosB sin2Ccos2Acos2B2cosAcosBcosC.222 证明：设M=sinBsinC2sinBsinCcosAsinA 222 N=cosBcosC2cosBcosCcosAsinA

222cosAcos(BC)2sinA 易得：M+N=22 22cosA2sinA0

M-N= cos2Bcos2C2cosAcos(BC)2cos(BC)cos(BC)2cosAcos(BC)2cosAcos(BC)2cosAcos(BC)0 MN0222即sinAcosBcosC2cosBcosCcosA

定理2的其余二式同理可证明.例 2，在锐角△ABC中,sinA3cosBcosC,求A角的范围.2 解：sinA3cosBcosC

第 10 页 cosA13cosBcosC

根据定理2，sin2Acos2Bcos2C2cosBcosCcosA，得

12cosAcosBcosCcos2Acos2Bcos2Ccos2A2cosBcosC1cosBcosC 即12cosAcosBcosC1cosBcosC 2cosAcosBcosCcosBcosC

1cosBcosC0,cosA2，故A的范围是0A.6222 例 3，在△ABC中，cosAcosbcosC1,判断△ABC的形状 222 解：根据定理2，有sinCcosAcosB2cosAcosBcosC

又cos2Acos2Bcos2C1

12cosAcosBcosC1 cosAcosBcosC0

cosA0或cosB0或cosC0A900或B900或C900

△ABC是直角三角形.小结：上述所选的问题, 若用常规解法需要用到和角公式, 倍角公式和和差化积或积化和差公式以及复杂的恒等变形才能完成, 显然利用“ 角勾股定理和角余弦定理”对这类较难的间题迎刃而解, 真是柳暗花明又一村。

4.2.3证明余弦定理又一方法

利用向量统一证明正、余弦定理的方法如下：

图 8

分析：如图8, 在ABC中, a, b, c 分别是A、B、C所对的边, 以三角形外接圆的圆心O为原点,半径OA所在的直线为x轴建立直角坐标系,设外接圆的半径长为R,于是A点坐标为(R,0).由三角函数的定义得B点坐标是(RcosAO,BRsinAO)B,而AOB2C，故B点坐标为(Rcos2C,Rsin2C).同理C点坐标为(RcosAOC,RsinAOC)；而AOC2B,故C点坐标为(Rcos2B,Rsin2B).第 11 页

正弦定理的证明：

AB(Rcos2CR,Rsin2C),1AB1R又(Rcos2CR)2(Rsin2C)222cos2C2RsinC.ABc

c2RsinC.同理可得a2RsinA，b2RsinB abc2R sinAsinBsinC 余弦定理的证明：

AC(Rcos2BR,Rsin2B),AB.AC(Rcos2CR)(Rcos2BR)R2sin2Csin2BR2cos2Ccos2BR2cos2CR2cos2BR2R2sin2Csin2BR2R2cos2CR2cos2BR2cos(2C2B)R2R2cos2CR2cos2BR2cos2A.c2Rcos2CR(12sinC)R2RsinCR.2而 2222222

b2Rcos2BR2 同理可得22a2b2c2a2Rcos2ARAB.AC.2 2 22又由数量积的定义可知: AB.ACbccosA,b2c2a2bccosA.2即a2b2c22bccosA.同理b2a2c22accosB.222 cab2abcosC.小结：此法不但体现了正弦定理的比值常数, 而且反映了正弦定理与余弦定理的相互依存性.正弦定理与余弦定理之间的联系真是千丝万缕!4.2.4立体几何的余弦定理及其证明

设D-ABC是一个任意的四面体(图9),不失一般性,取四面体的底面△ABC 为空间坐标的XOY平面,取过顶点D的高OD为Z轴.取OA为X轴.这样一来,可以设四个

第 12 页

顶点的坐标分别为A(a,0,0)、B(b1,b2,0)、C(c1,c2,c3)、D(0,0,d).图 9 分析：用Sd表示与顶点D相对的侧面△ABC及其面积;同理,其它的三个侧面及其面积用Sa、Sb、Sc来表示.由向量的向量乘积的性质可知,向量AB.ACSd.将AB.AC称为Sd 的法向量,记作nd.因为AB(b1a,b2,0),AC(c1a,c2,0),所以有

ijndAB.ACb1ab2c1ac200b1c2c1b2a(b2c2)k0[(b1a)c2(c1a)b2]k0（1）

由向量乘积定义可知: sd1nd.2（2）

同理可计算Sa面的法向量na , 因为BD(b1,b2,d);DC(c1,c2d), 所以由BD.DC可得：

第 13 页

inab1c1jb2c2kd(c2b2)di(b1c1)dj(b1c2b2c1)kd(c2b2)d(b1c2)dbcbc2112（3）

s1a2na 因为DC(c1,c2,d);DA(a,0,d), 所以有sb的法向量为：

ijknbDC.DAc1c2dc2di(c1a)djac2ka0dc2d(c1a)d,ab2 s1b2nb 因为DA(a,0,d);DB(b1,b1,d)，所以有sc的法向量为

ijkncDA.DBa0db2di(ab1)djab2kb1b2d(7)b2d(ab1)d,ab2s1c2nc.(8)由向量的数量乘积的定义，第 14 页

（4）（5）

（6）

na.nbna.nbcosna.nbcosna.nbcosa|b4sasbcosa|b.其中a|b表示侧面sa和sb形成的二面角.因此有：

SaSbcosa|b0.25na.nb,（9）

SbSccosb|c0.25nb.nc,（10）ScSacosc|a0.25nc.na（11）

立体几何的余弦定理：对任意的四面体D-ABC,有2222sdsasbsc2sasbcosa|b2sbsccosb|c2scsacosc|a.[6]

（12）

证明：利用关系式(4)、(6)和(8)~(11),有

222sasbsc2sasbcosa|b2sbsccosb|c2scsacosc|a12122(nanbnc2na.nb2nb.nc2nc.na)(nanbnc)244(c2b2)dc2db2d012112(b1c1)d(c1a)d(ab1)d0ndsd.44caab4b1c2b2c1bcbc(bc)a22122122

当四面体的四个侧面中,有三个侧面(如Sa,Sb,Sc)两两互相垂直时, 称这样的四面体为直角四面体.在直角四面体中,那个不与其它侧面垂直的侧面(Sd)称为斜侧面.由于直角四面体中有三个二面角为90, 所以cos = cos = cos = 0.0 4.2.5 n维余弦定理的新证明

设V是n维向量空间,对V中任意k个有序向量

1,2,...,k,它们的外积记为12...k,称之为k重向量。所有k重向量在形式上作线性扩张所得到的空kk0C()()n间记为，是一个维向量空间。设()表示实数系, 记

kG()()Y()Y...n(),则G(V)是一个2n维的向量空间。G(V)连同G(V)01''上的外积“”运算称为V上的Grassmann代数。

第 15 页

定义1：两个k重向量a =12...k与b=bb12...bn的内积定义为:(a,b)(a1a2...ak,b1b2...bk)a1.b1a.b21...ak.b1...............a1.bk...a2.bk.........ak.bk(1)k重向量α=12...k的模定义为

aa1a2...ak(a1a2...ak,a1a2...ak)

定义2：由两个k重向量aa1...ak,bb1...bk所确定的两个k维超平面之间的夹角(ab)为:cos(ab)(a1...ak,b1...bk).(2)

a1...ak.b1...bk 引理1: 设pop1...pk是n维欧氏空间En中的k维单形, 记向量

2popiai(i1,2,..k.)， 则有:a1...akk!V(K)(3)

2其中V(k)1...pk的k维体积。是单形pop 下面应用上述Grassmann代数基本知识可简捷地证得n维余弦定理,即: 1...pk是E的中的n维单形。顶点p所对侧面Fi的面积为Vi, 定理1:设popin任意两侧面Fi 与ViVi222i0ilnFj所成内二面角为ij , 则有

ij0ijni,jlVVcosij(l0,1,...,n)

[7]（4）

证明：不失一般性,不妨设l=0记 p0piai(i1,2,...,n)n-1维单形p1p2...pn过顶点p1的诸棱所成的向量为: p1piaial(i2,3,...,n)由引理1，有：

12(aa)(aa)...(aa)(aa)2131n11n1(n1)!2(5)12aa...aaa...a...aa...aaaaa...aa23n13n23n21n23n11(n1)!2V02记n-1重向量

第 16 页

a2a3...an1,a1a3...an2,a2a1a4...an3,...,a2a3...an2a1annk,a2a3...an1a1n，则：（6）(ij)ij(1ijn)

由引理1及定义2,有:

i1Vi(i2,3,...,n)(n1)!（7）

(ij)i.jcos(ij)1ViVjcosij2(n1)!（8）

由(5)、(7)、(8)三式得:

n1Vi2(n1)!i12022()ij1ijnVi22i1n

1ijnVVijcosj故公式(4)对l=0成立,同理可证(4)式对l= 1,2,...,n皆成立。定理1证毕。

5总结

5.1 主要发现

本文从不同角度探究、验证了余弦定理的不同证明方法，列举了其运用在化简求值、证明三角不等式、研究函数的性质或用于研究函数的最值等方面的简洁美，弱化原有余弦定理证明方法的局限性，给出了其相应的推广及定理，拓宽了余弦定理的运用范围，使得在处理三角、函数等问题时更加方便实用，从而体现余弦定理无论在证明上还是在化简求值等方面都有其新颖性和优越性.5.2 启示

通过探讨余弦定理及其推广，体现了一定的优越性和实用性。问题是若能将余弦定理引到其它数学分支中做应用，如：针对运筹学中的最优线性模型的相关问题、数学模型中规划模型的相关问题、复变函数中的相关问题等，将更好地体现余弦定理证明及其应用的广泛性，这是一类值得深讨的问题.第 17 页

5.3 局限性

对于余弦定理的相关定理及其推广与应用，针对余弦定理的论证性较强，在运用中存在一定的局限性，相应的弱化了余弦定理的效能，使局限性弱化后的余弦定理在处理三角、函数等有关问题时，更加方便实用.但没有得到更好的应用，若能进一步将弱化后的余弦定理引到其他数学分支中做应用，如：数学模型中规划模型的相关问题、复变函数中的相关问题等，将更好地体现其研究意义和广泛应用性，对于此问题，限于本人的知识水平有限，未作探讨.5.4 努力方向

在已有知识水平及查阅相关资料的基础上，本文对余弦定理及其推广应用的问题作了一定的探讨，并通过实例，体现了余弦定理在 的问题方面的实用性和优越性.然而，余弦定理的推广应用有一定局限，今后若能针对不同学科知识和相关性质，对余弦定理的局限性进一步弱化，进行合理推广应用，将能更好的促进其应用的深入研究，这些问题，有待今后不断的学习和探讨.参考文献

[1] 李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002：119．

[2] 梁宗臣.世界数学史简编［M］．沈阳：辽宁人民教育出版社，1980：175．

[3] 陈克剩．“余弦定理和正弦定理”的数学思想史略[J]．湖北：数学通讯学报，2004：47． [4] 赵冬梅.正弦定理、余弦定理的证明方法探究[J]．西北成人教育学报，2002:137． [5] 陈谌本，廖志坚，施永红.欧式空间三角理论的进展（I）[J]．广州师院学报（自然科学版），1996:85．

[6] 李慧．立体几何的余弦定理和勾股定理[J]．辽宁：鞍山师范学院学报，2003：36． [7] 杨世国．n维正弦定理和余弦定理的新证明[J]．安徽：太原科技大学学报，2005：144—145．

第 18 页

第四篇：高中物理新授课模式

物理新授课课堂教学模式

一、教学指导思想：“启发式”。启发式，就其指导思想来说，是以学生为学习的主体，相信学生愿意学习，能够学好，同时强调教师的作用，从实际出发，要求学生在各种活动中积极地思考，亲自动手、动脑，完成认识上的两个飞跃。即使是教师讲解，也要引导学生经过分析思考，充分发挥学生学习的主动性和积极性。

具体的教学方法是多种多样的，但是无论哪种方法，都带有不同程度的启发因素。这些因素能否在实际教学中发挥出来，取决于教师运用教学方法的指导思想是不是启发式。

不能把启发式简单地理解为“提问”的方式，这是对启发式的形式主义理解。即使在教学中教师经常提问，也不一定是启发式教学。相反的，在教学过程中教师没有向学生提出问题，而是通过讲授诱导学生积极思考、积极动手操作，也可以是启发式的教学。

启发式指导思想的核心是相信学生学习的积极性、主动性，调动学生通过亲自观察、实验，积极的进行思维活动，达到掌握知识、发展能力的目的。

具体地讲，就是尽最大可能启发学生的学习兴趣、求知欲和热爱科学、勇于攀登高峰、克服困难的意志，启发学生进行观察实验，了解现象，取得资料，发现问题；启发学生积极思维，建立概念，发现规律；启发学生掌握方法，认识本质，运用知识解决问题。

二、教学环节：

1、情境导入：教师应利用故事、音频、视频、实验现象、设问等情境的创设引起学生的有意注意，使学生产生浓厚的兴趣和求知欲，引起学生思维的活跃。导入环节应力求快速有效。

2、探究新知：实验探究、体验感悟。物理实验（演示或学生实验）准备充分,设计合理。学生能带着疑问有目的地观察或操作实验，现象明显,可见度大,效果良好,确实促进学生由物理现象上升为物理概念和规律的思维进程，并培养学生的初步科学探究能力和小组合作意识。

体验交流、教师点拨。学生围绕自身观察体验，发现问题，主动参与小组的合作交流、讨论，会倾听他人观点，会质疑，能及时抓住要点，发表自己的观点；教师能参与到学生的小组讨论过程中，并能适时点拨，使学生的交流讨论更加顺畅，课堂氛围活跃。

师生互动、知识生成。教师引导学生小组汇报交流讨论结果，师生共同总结提炼，归纳出物理知识。

3、拓展迁移：例题和习题的选择应围绕制定的目标，应具有典型性、针对性、有梯度且适度，处理方法得当，有利于培养学生的思维能力、理论联系实际能力。

4、总结归纳：学生在教师的指导下总结归纳出学习收获，引导学生将所学知识系统化，形成知识网络，有利于前后知识的衔接。

三、新课内容特点的概括：

一、概念课，集中体现“形象”二字。在概念的教学中要抓好以下几个环节：

1.创设学习物理概念的环境，在物理概念的教学中，必须首先给学生创造一个适应教学要求、借以引导启发学生发掘问题、思考问题、探索事物的本质属性的物理环境。常用的办法有：a 运用实验，运用实验来展示有关的物理现象和过程，不但较之学生在生活中所感受的要深刻和典型，而且创设的情境愈新颖生动没救愈能引起学生的兴趣和积极主动地思考。b利用学生积累的生活经验，学生在日常生活中，观察和接触过许许多多物理现象和应用物理知识的事例。善于恰当的利用学生已有的生活经验，也能创设良好的物理环境。c 抓新旧知识的逻辑展开 新概念往往与已学过的概念、规律之间存在着有机的联系。抓住新旧知识间的联系，从已有的知识出发，通过逻辑展开，把新概念自然的引申出来，也可以创设学习新概念的良好物理环境。

2.进行思维加工 物理概念是对物理现象、过程等感性材料进行科学抽象的产物。在概念教学中，若只向学生提供形成概念的感性材料，而不同时让学生参与思维加工活动，尽管教师在将概念的文字或者数学表达讲得很清楚，但是对于学生来说，表面联系和内在联系、感性认识和理性认识、生活经验和科学概念仍处在分离的状态。因此，要使学生形成正确的概念，就必须在他们获得足够感性材料的基础上，按照物理学中建立概念的方法，引导他们运用比较、分析、综合等思维方法，对感性材料进行思维加工，进而抽象概况出事物的本质属性，从而使他们形成概念。在此基础上，引导学生用精炼的语句将这个概念的内涵表达出来。

3.运用

当学生初步形成概念后，必须及时给他们提供运用概念的机会，让他们将抽象的概念“返回”到具体的物理现实中去，使他们在运用概念联系实际或解决具体问题的过程中，巩固、深化和活化概念，看到自己在学习中的收获，会更激起进一步学习的兴趣和主动性。同时，特别要注意逐步教给学生正确运用概念去分析、处理和解决物理问题的思路和方法。引导他们在运用已有的概念去面对新的物理现象时，勇于提出问题，勤于思考你，扩大认识范围，逐步提高他们分析、解决物理问题的实际能力。

二、规律课，集中体现“通法”二字。规律课的教学一般包括以下四个有序的步骤： 1.创设便于发现问题、探索规律的物理环境

教师要带领学生学习物理规律，首先要引导学生在物理世界中发现问题。因此，在教学的开始阶段，要创造便于发现问题的物理环境。在中学阶段，一是通过观察、实验发现问题，也可以从分析引申和逻辑展开中发现问题。另一方面，创造的物理环境要有利于引导学生探索规律。

2.带领学生在物理环境中按照物理学的研究方法探索物理规律

在这一过程中，教师应怀着对科学的热爱，对探索的兴趣，对学生的信任，情绪饱满地引导学生去发现问题，思考问题，探索规律。在中学阶段，主要是运用实验归纳法和理论分析法，或者把两者结合起来进行。

3.引导学生对规律进行讨论

a 讨论规律（包括公式和图像）的物理意义，包括对文字表述含义的推敲，对公式和图像含义的明确；

b 讨论和明确规律的适用条件和范围；

c 讨论这一规律与有关概念、规律、公式间的关系。

在讨论的过程中，应当注意针对学生在理解和运用中容易出现的问题，以便是学生对这一物理规律获得比较正确的理解。

4.引导和组织学运用物理规律

在这一过程中，一方面要用典型的问题通过教师的示范和师生共同讨论，使学生结合对世界问题的讨论，深化、活化对物理规律的理解，逐渐领会分析、处理和解决问题的思路和方法。另一方面，更主要的是组织学生进行运用规律的练习。要引导和训练学生善于联系日常生活中的实际问题学习物理规律，经常用学过的规律科学地说明和解释有关的现象；通过训练，是学生逐步学会逻辑地说理和表达。

四、、教学效果的判断标准：判断一节新授课的教学效果怎么样，就要看在新授课过程中是否做到了以下几点，1.教学重、难点突破；教师能够恰当地处理教材，运用有效的方法，使学生完成重点和难点知识的突破。

2.学生的参与度：参与的人数和参与时间达到一定的比例。3.检测反馈：例题应围绕知识与技能目标有针对性、有梯度的制定，难度和题量适当；通过学生基础知识的达标率能反馈出课堂教学目标的达成情况。

4.教师基本功

教学语言生动准确,逻辑性强,无科学性错误；并经常使用表扬鼓励性语言激励学生；

板书规范,条理清晰,概括性强,重点突出,字迹工整；

教态亲切,仪表庄重自然,师生信息交流畅通；

信息技术多媒体教学使用得当，提高教学效率；

依据课标和教材，分析学情，合理地进行教学设计，选择有效的教学方法，并有效地实施；

课堂组织和调控能力强，各环节安排紧凑、衔接得当，时间分配合理，并有一定的应变能力。

第五篇：内能新授课教案

《内能》教案

[教学目标】

一、知识与技能

1．了解内能的概念，能简单描述温度和内能的关系。

2．知道改变物体内能的两种方法。

3．知道热传递过程中，所传递内能的多少叫做热量，热量的单位是焦耳。

4．知道做功可以使物体内能增加或减少的一些事例。

二、过程与方法

1．通过探究、观察、实验找到改变物体内能的两种方法。

2．通过演示实验说明做功与物体内能的变化关系。

三、情感态度与价值观

1．通过探究使学生体验探究的过程，激发学生主动学习的兴趣。

2．通过演示实验培养学生的观察能力，并使学生通过实验理解做功和内能变化的关系。

3．通过分析、类比、学会用类比的方法研究问题。培养良好的科学态度和求实精神，帮助学生树立勇攀科学高峰的理想和志向。【重点难点和关键】

重点：内能概念的建立；改变物体内能的方法。

难点：正确理解内能的概念。

关键：做好探究实验，从实验中分析，总结完成知识的建构。【教学资源】

多媒体电脑、PowerPoint课件、网络视频、酒精灯、铁丝、钳子、布、火柴、热功互换器、压缩空气引火仪、铅笔、砂纸、冰块等 【教学过程】

创设情境: 教师：播放神州八号火箭发射视频。（学生：欣赏视频并交流。）利用视频来激发学生的学习兴趣，同时也让学生为我国有这样的先的进科学技术而自豪。引入新课：（1）神州八号发射时，为什么要携带大量的燃料？

（2）火箭利用那种能量做动力升空呢？（学生思考讨论）引入本课课题：内能 新知建构：1:内能到底是一种什么样的能量呢？

2:结合大屏幕图片提问：什么是动能？什么是势能？什么是机械能？(学生思考并回答)3：应用类比的方法说明分子有“分子动能”、“分子势能”。建立内能的概念，认识内能包含的两种形式

4：内能的大小与哪些因素有关？是什么关系？（引导学生分析分子动能，分子势能有哪些影响因素，从而了解内能的影响因素。）

5:内能与机械能有什么不同？（学生讨论并交流，发表观点）进一步理解内能和机械能是不同形式的能。

6: 改变内能的方法。

提出问题：我们如何能使手的内能增大？、猜想假设：根据事例、生活经验，针对上述问题提出猜想。鼓励学生大胆表达自己的观点。实验探究：分组实验（每两组一个探究问题）

1.如何使一根铁丝烫手？ 2.如何点燃火柴头？ 3.如何使一块冰熔化？ 4.如何使水沸腾？

归纳总结：通过以上实验，讨论、归纳、交流，相互补充，改变内能的方式可以归纳为哪两种？

知识深化：1热传递和热量。

（1）热传递发生的条件是什么？（2）什么是热量？热量的单位是什么？

（3）发生热传递的两个物体的内能是如何变化的？

2做功。

（1）演示1：压缩空气引火仪实验 要求学生仔细观察筒内现象，思考实验现象说明了什么（2）演示2：热功互换实验 1.观察到的现象有哪些？

2.出现水雾是什么现象？ 3.瓶塞跳起说明了什么？

4.这个实验说明了什么? 提出问题，引导学生分析实验得出结论.小结做功改变物体内能的两种情况。

3.做功和热传递的异同点：

课堂小结 ：通过这堂课的学习，你有哪些收获？ 布置作业：请学生完成课后相关练习题 板书设计：

10.2内能

一．内能：物体内部所有分子热运动的动能与分子势能的总和 二．改变物体内能的方法

1．热传递：温度不同的物体相互接触，低温物体温度升高，高温物体温度降低的过程

2.做功：对物体做功物体内能增加;物体对外做功物体内能减少

【教学反思】

内能是个较为抽象的概念，在教学中我采用了类比的方法，希望学生在旧知识的基础上能教好的理解内能概念；这种教学方法是我们物理教学中的重要方法，教会学生掌握这方法意义重大。

本课通过探究活动，使学生体会到了改变物体内能的方式有两种：一是热传递；二是做功。探究实验帮助学生有了一定的感性认识，从而降低了他们学习本课知识的难度。在物理教学中实验探究教学的作用不容忽视，实验探究不但帮助师生攻克教学中的难点而且实验探究方法的设计及小组交流讨论可以培养学生的探究和创造能力及合作精神，本节课就力图让学生通过探究实验及小组讨论来完成本节重要教学内容，在教给学生学习方法的同时，让他们体验到成功的“喜悦”，提高学生学习物理的兴趣，使师生取得良好的教与学的效果。