高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)五篇范文

第一篇：高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

数列

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列

通项公式，即anan的第n,那么这个公式叫做这个数列的，且任何一项an与它的前一项an1（或前几an的第一项（或前几项）f(n).3.递推公式：如果已知数列

f(an1)或anf(an1,an2)，那么这个式子叫做数

列an的递推公式.如数列an中，a11,an2an1，其中an2an1是数列an的递推项）间的关系可以用一个式子来表示，即an公式.4.数列的前n项和与通项的公式

S1(n1)①Sna1a2an；②an.SS(n2)n1n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有an

1②递减数列:对于任何nN,均有an1

③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,„„.⑤有界数列:存在正数M使an.an.anM,nN.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得anM.等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d

为公差.⑵前n项和公式Sn

3.等差中项 n(a1an)1或Snna1n(n1)d.2

2A叫做a与b的等差中项.如果a,A,b成等差数列，那么

即：A是a与b的等差中项2Aaba，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法

⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列；

⑵中项法：2an1

⑴数列anan2(nN)an是等差数列.5.等差数列的常用性质 an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd.⑶anam(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，a0)⑷若mn

pq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

1⑸若等差数列

Sn

an的前n项和Sn，则是等差数列；

n；

S偶an1

⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,

S奇an

当项数为2n1(nN)，则S奇

S偶an,S偶n1

.

S奇n

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q列，常数q称为等比数列的公比.0)，这个数列叫做等比数

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式：an

a1qn1，a1为首项，q为公比.1时，Snna1

⑵前n项和公式：①当q

a1(1qn)a1anq

②当q1时，Sn.

1q1q

3.等比中项

如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a，4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

A，b成等差数列G2ab.an1

q（nN，q0是常数）an是等比数列； an

⑵中项法：an1⑴数列

anan2(nN)且an0an是等比数列.5.等比数列的常用性质

an是等比数列，则数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,ank,an2k,an3k,为等

比数列，公比为q.k

amqnm(n,mN)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

⑶an

⑸若等比数列

an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.二、典型例题

A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

2、等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

3、设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，求数列an前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11

2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，3、设Sn是等差数列an的前n项和，若

Sn7n2a，则5.

Tnn3b

5a55S

,则9（）a39S5

Sa2n4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n,则n=（）

Tn3n1bn5、已知Sn为等差数列an的前n项和，Snm,Smn(nm)，则Smn

6、在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a725，则a3a5_______。

7、已知数列an是等差数列，若

a4a7a1017,a4a5a6a12a13a1477且ak13,则k_________。

8、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54，S2n60，则S3n.9、在等差数列an中，若S41,S84，则a17a18a19a20的值为（）

10、在等比数列中，已知a9a10a(a0)，a19a20b，则a99a100.11、已知an为等差数列，a158,a6020，则a75

12、等差数列an中，已知

SS

41,求8.S83S16

B、求数列通项公式

1）给出前几项，求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15, 21,,3，-33,333，-3333,33333„„

2）给出前n项和求通项公式

1、⑴Sn2n23n；⑵Sn3n1.2、设数列an满足a13a23a3…+3an

n-

1n

(nN*)，求数列an的通项公式

33）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an1anf(n)，可利用迭加法或迭代法；

an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a

1例：已知数列an中，a12,anan12n1(n2)，求数列an的通项公式；

aaaaa

b、已知关系式an1anf(n)，可利用迭乘法.annn1n232a

1an1an2an3a2a1

an1

例、已知数列an满足：n(n2),a12，求求数列an的通项公式；

an1n

1c、构造新数列

1°递推关系形如“an1panq”，利用待定系数法求解

2°递推关系形如“，两边同除pn1或待定系数法求解

n，求数列an的通项公式.a1,a2a31n1n例、例、已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.3°递推已知数列an中，关系形如“an2pan1qan”，利用待定系数法求解 例、已知数列an中，a11,a22,an23an12an，求数列an的通项公式.4°递推关系形如"anpan1qanan（1p,q0),两边同除以anan1 例

2、数列an中，a12,an1

d、给出关于Sn和am的关系

例

1、设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3n(nN)，设bnSn3n，求数列bn的通项公式．

2例

2、设Sn是数列an的前n项和，a11，SnanSn

例

1、已知数列an中，anan12anan（an的通项公式.1n2),a12，求数列

2an

(nN)，求数列an的通项公式.4an

⑴求an的通项； ⑵设bn



1

(n2).2

Sn，求数列bn的前n项和Tn.2n

1C、证明数列是等差或等比数列

1)证明数列等差

Sn

(nN).求证：数列bn是等差数列.n

例

2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.例

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，bn

}是等差数列； Sn

2）证明数列等比

求证：{

1

例

1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；

2

例

2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；

例

3、已知Sn为数列an的前n项和，a11，Sn4an2.⑴设数列bn中，bnan12an，求证：bn是等比数列； ⑵设数列cn中，cn

an

an，求证：cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前2n

n

例

4、设Sn为数列an的前n项和，已知ban2b1Sn

n

1⑴证明：当b2时，ann2是等比数列；

n项和.

⑵求an的通项公式

例

5、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).⑴证明：数列an1an是等比数列； ⑵求数列an的通项公式； ⑶若数列bn满足4b114b21...4n

b

1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列.D、求数列的前n项和

基本方法： 1）公式法，2）拆解求和法.例

1、求数列{22n3}的前n项和Sn.n

23，，(n例

2、求数列1，1214181)，的前n项和Sn.n

2例

3、求和：2×5+3×6+4×7+„+n（n+3）

2）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1()；

n(nk)knnk

1nn1

n1n；

111 12123123n1111

例

2、求和：.2124n1n

例

1、求和：S=1+

3）倒序相加法，x

2例、设f(x)，求：

21x⑴f()f()f()f(2)f(3)f(4)；

⑵f()f()f()f(2010).)f()f(2)f(2009

4）错位相减法，例、若数列an的通项an(2n1)3n，求此数列的前n项和Sn.5）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n，求数列{|an|}的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题

例

1、数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n例

2、已知Sn为等差数列an的前n项和，a125,a416.当n为何值时，Sn取得最大值；

例

3、数列an中，an3n228n1，求an取最小值时n的值.例

4、数列an中，annn2，求数列an的最大项和最小项.*

例

5、设数列an的前n项和为Sn．已知a1a，an1Sn3n，nN．

（Ⅰ）设bnSn3n，求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）若an1≥an，nN，求a的取值范围．

例

6、已知Sn为数列an的前n项和，a13，SnSn12an(n2).*

⑴求数列an的通项公式；

⑵数列an中是否存在正整数k，使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.例

7、非等比数列{an}中，前n项和Sn(an1)2，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn

4(nN*)，Tnb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得对任意

n(3an)的n均有Tn

m

总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

32F、有关数列的实际问题

例

1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,„

依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?

例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a1,经过n年后绿化的面积为an1,试用10

an表示an1；

⑵求数列an的第n1项an1；

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:lg20.3010,lg30.4771)

第二篇：高三数学第一轮复习教学计划

高三数学

文科学生基础差，以学生为主体，让每一类同学都有收获，让每一位同学都有提高。为了让优秀学生吃饱吃好，快班老师在讲课中既要重视基础，也要适当拓展加深。

第一轮复习分课时计划

周次

时间

章次

课时

复习内容 1（8.20-8.26）

第一章集合与常用逻辑用语 共6课时

二课时 集合二课时 命题及其关系充分条件与必要条件

二课时 简单的逻辑联结词、量词 2（8.27-9.2）

第二章函数导数及 其应用 共30课时

三课时

函数及其表示 三课时 函数的单调性和最值 二课时 函数的奇偶性和周期性 3（9.3-9.9）

四课时

幂函数与二次函数 三课时 指数与指数函数 一课时 对数与对数函数 4 5（9.10-9.16）

二课时

函数与方程 三课时 函数模型及其应用

三课时习题课1（9.17-9.23）

二课时

变化率与导数、导数的计算

二课时

导数的应用

6（9.24-9.30）

第三章三 角函数、解三角形共20课时

三课时

三角函数的概念、同角三角函数的基 本公式和诱导公式

三课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 7（10.1-10．7）

二课时

简单的三角恒变换

二课时 三角函数的图像和性质

8（10.8-10．14）

三课时 函数y=Asin(x)的图象及三角函 数模型的简单应用 三课时 正弦定理和余弦定理

9（10.15-10.21）

二课时

解三角形的应用举例

二课时

习题课

10（10.15-10.21）第四章平面向量、数系的扩充 与复数的 引入共8课时

二课时平面向量的概念及其线性运算

二课时

平面向量基本定理及其坐标运算

一课时

平面向量的数量积及应用举例 二课时

数系的扩充与复数引入

一课时习题课

11（10.22-10.28）第五章数列

共12课时

二课时

数列的概念及简单表示法 二课时

等差数列及其前n项和 二课时

等比数列及其前n项和

二课时 数列求和 12（10.29-11.4）

二课时

数列的综合应用

二课时习题课

13（11.5-11.11）

第六章不等式、推理与证 明共16课时二课时 二课时 不等关系与不等式 二课时

一元二次不等式及其解法 二课时

二元一次不等式组与简单的线性规划 问题

14（11.12-11.18）

二课时

基本不等式及其应用 二课时

合情推理与演绎推理 三课时 直

接证明与间接证明

二课时 数学归纳法 一课时

习题课

15（11.19-11.25）

第七章立体几何共13课时

三课时 空间几何体的结构、三视图和直观图

三课时 空间几何体的表面积和体积

16（11.26-12.2）

二课时 空间点、直线、平面之间的位置关系 二课时 直线、平面平行的判定和性质 二课时 直线、平面垂直的判定和性质

一课时习题课

17（12.3-12.9）

第八章

平面解析几 何共21课时 三课时

直线与方程

三课时 圆的方程，直线与圆的位置关系

18（12.10-12.16）

三课时

椭圆 三课时

双曲线 三课时

抛物线

19（12.17-12.23）二课时

直线和圆锥曲线的位置关系

二课时 曲线与方程，圆锥曲线的综合运用 二课时

习题课

20（12.24-12.30）

第九章统计、二课时

随机抽样

案例及算法初步共7 课时

二课时 用样本估计总体 二课时 变量间的相关关系与统计案例

一课时 算法初步

21（12.31-1.5）

第十章概率共6课时

二课时

随机事件的概率

二课时 古典概型 二课时

几何概型

22（1.6-1.12）选修系列共8课时

二课时

几何证明选讲 二课时 坐标系与参数方程 23（1.13-1.19）二课时 不等式选讲

二课时

习题课 241.20-1.26）

第三篇：高三数学第一轮复习教学反思

金哲

高考在即，第一轮复习已经接近尾声，这里就一轮复习谈谈自己的一点反思。高考是选拔性的考试，对于数学学科来说，它是在考查学生基础知识的同时，突出能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践创新能力）的考查。因此作为高三数学教师在进行高考复习

时，特别是在第一轮复习时，始终应以夯实“三基”，提高能力为指导思想，使学生 在有限的复习时间内立足基础，在能力的提高上有所突破，以达到应试的要求

和水平。现结合本人的教学实践，谈几点体会:

一、加强高考研究，把握高考方向

随着数学教育改革和素质教育的深入，高考命题也在逐年探索、改革，命题的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新动向，搞好高考复习，不仅能为学生打好扎实的基础，提高学生的整体素质、应试能力和高考成绩，而且也必将提高自己的教学水平，促进素质教育的全面实施。研究高考要研究大纲和考纲，要研究新旧考题的变化，要进行考纲、考题与教材的对比研究。通过对高考的研究，把握复习的尺度，避免挖的过深,拔的过高、范围过大，造成浪费；避免复习落点过低、复习范围窄小，形成缺漏。

二、明确中心思想，做好学习计划

第一轮复习是高考复习的基础，其效果决定高考复习的成败；一轮复习搞的扎实，二轮复习的综合训练才能顺利进行。故制定以下指导思想：全面、扎实、系统、灵活。全面，即全面覆盖，不留空白；扎实，即单元知识的理解、巩固，把握三基务必牢固；系统，即前挂后连，有机结合，注意知识的完整性系统性，初步建立明晰的知识网络；灵活，即增强小综合训练，克服解题的单向性、定向性，培养综合运用、灵活处理问题的能力和探究能力。

第二轮复习是在第一轮复习的基础上，进行强化、巩固的阶段，是考生数学能力及数学成绩大幅度提高的阶段，在一定程度上决定高考的胜败。指导思想是：巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮复习成果，把巩固“三基”放在首位；完善，即通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，即在训练上，减少单一知识点的训练，增强知识的连结点，增强知识交汇点的题目，增强题目的综合性和灵活性；提高，即培养学生的思维能力、概括能力，分析问题、解决问题的能力。

三、重视回归课本，狠抓夯实基础

《考试说明》中强调，数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性、现实性。并明确指出：易、中、难的比例控制在3：5：2左右，即中低档题占总分的80%左右，这就决定了在高考复习中必须抓基础，常抓不懈，只有基础打好了，做中低档题才会概念清楚，得心应手，做难题和综合题才有基本条件。尤其在第一轮复习中应以夯实“三基”为主，对构建的知识网络上每个知识点要弄清概念，了解数学知识和理论的形成过程，以及解决数学问题的思维过程。在第一轮的复习课中，应总结梳理每一章第1页

节的数学知识，基本题型和练习，以利于学生进行复习，在梳理中注重由学生自己去推理数学知识的形成的过程。如在两角和与差的三角函数这一章中公式较多，要求学生证明两角差的余弦这一重要公式，并由次推导三角函数的和角、差角、倍角、半角等三角公式，通过这一练习，不但使学生对三角公式之间的联系十分清楚，记忆加深，而且增强了灵活运用公式的能力。在分章节复习时要以课本知识为本，因为课本是知识与方法的重要载体，课本是高考题的主要来源。纵观近几年的新课程高考试题，不难发现，多数试题源于教材，即使是综合题也是课本例习题的综合、加工与拓展，充分体现了课本的基础作用。复习必须紧紧地围绕课本来进行，只有严守课本，才能摆脱“题海”之苦。课本中有基本题，也有综合题，都在课本的练习题、习题、复习题、例题这“四题”中体现，以这“四题”为中心，既能巩固加深概念的理解，又能帮助掌握各种方法和技巧。在复习中，我觉得应该注意以下几个方面：

（1）课本的某一内容，它涉及了那些技能、技巧，在“四题”中有那些体现，我们以这一内容串通一些“形异质同”的题引导学生重视基本概念、基本公式的应用，增强解题的应变能力。

（2）引导学生对“四题”寻求多种解法，或最优解法，开阔思路，培养灵活性。

（3）分析课本内容，哪些难掌握，哪些易掌握，哪些内容可作不超纲的引申。

（4）应用“四题”构造一些综合题，即变题。注重基本方法和基本技能的应用，巩固基础知识。

四、改革传统教法，讲究学习实效

现阶段的高一，有实行了新课程改革。新课程理念之一是课堂教学观念的转变，首先是教师角色的转变，由讲解者转变为学生学习的组织者、合作者、指导者，其次是学生地位的转变，由单纯听课、被动接收地位转变为主动参与、合作学习、探究发现的主体地位。我觉得高三数学复习课教学也应遵循这一教学理念，它体现了数学教学是数学活动的 教学，是师生之间、学生之间交往互动，共同发展的过程。

我们对某一节知识复习时，通常采用练、改、评的模式。练是有针对性的先让学生做一份练习卷，让学生练习、回顾、讨论，做好知识、内容、方法的复习工作；改是教师及时批改，以摸清学生对所复习内容的掌握情况；评是教师及时评讲，讲评共性问题，夯实“三基”使复习卓有成效。精心选题，发挥例题的最大功能，也是提高复习效率的重要环节。要做到“面中取点，点中求精，精中求活，活中求变”。要具有典型性、梯度性、新颖性、综合性，更应贴近大纲、课本。例题的讲解应克服教师讲、学生听的模式。而应采用师生互动、生生互动的新模式，即一到例题的讲解，当学生审题后，先让学生说思路、说方法，当学生思维受阻时，教师指导受阻的原因启迪前进的方向，以便达到预期的教学效果必要时也可以让学生展开讨论，采用探究性学习的方式进行教学，这是改革复习课教学的重要方面。

总之，在高考数学复习中，我觉得我们应该更新教学观念，用新课程教学理念进行教学设计，使学生在教师创设的问题情景中，主动去探究学习，在问题解决过程中，理解数学概念，掌握基本数学思想方法，提高数学素质，培养数学能力。

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第四篇：高三化学第一轮复习

高三化学第一轮复习

一、第一轮复习的总体思路：

1、善待课本，巩固双基，降低重心、挖掘隐形关系

2、善于总结，把握知识网络，认真对待课堂

3、讲究方法，立足实效、归纳技巧

4、重视化学实验及化学计算复习，加强对实验过程的理解

二、学生存在的主要问题

1、知识遗忘严重

2、基础知识有待于进一步夯实

3、解题方法单一，计算准确率低

4、学习态度不端正

5、解题步骤有待于规范

6、实验探究的方法和技能有待于全面发展

三、应对策略

1、熟记知识框架，也就是目录

2、挑选重点段落阅读课本

3、一边做题，一边反馈到课本的知识点上

4、根据已经反馈出的知识点再读课本，补全以前没有注意到的知识

5、再做题，并且总结最重要的知识点

四、具体做法

1、板块复习，列出相应的知识框架，对相应的知识概念必须了解清楚。

化学是理科中的文科，记的东西散、多，然而化学的特殊性又在于把细化、简单的东西灵活运用。所以，你要对基础知识一个不漏，碰到相关的题，一看就能至少有八分把握要考什么，这样化学基本就没什么问题了！

2、第一轮复习最重要的就是要注重基础，每一本课本，包括配套的练习册都要去反复看一下，不要做别的事了，更不要去做难题目，这样反而会打击自己。

3、不会的知识点弄懂，自己试着把每一块的内容总结一下，一定是自己总结，可以看书总结，但不要看辅导书替你总结的。第一轮不要怕浪费时间，要把基础打好。

4一定要做板块笔记，把知识分板块

5每个知识点都要看

6、老师写的题要记下，一定要有笔记本

7、基础，虽然是老生常谈，但你基础都没搞清楚的话，我保证你到后期会抓狂的如果觉得自己基础掌握不好的话就看下以前的课本以及你做的笔记，与此同时学校会发一些练习，必须按时完成。

8、化学方程式很重要必须要牢记，不然的话你到后面几轮复习会很吃力的。

第五篇：高三第一轮复习教案

高三第一轮复习教案—函数与方程

一．考试说明：

1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。

二．命题走向

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；

（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。

二次函数yaxbxc(a0)的零点：

１）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；

２）△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并

2222

且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0(a,x1)）； ③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）；（4）判断是否达到精度；

即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4。注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； 若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。3．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=(p+q)。

若－b2a

b2ab2a若p≤－

b2a)=m，f(q)=M；

b2a若x0≤－若－b2a

≥q，则f(p)=M，f(q)=m。

2（3）二次方程f(x)=ax+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；

b24ac0,b②二次方程f(x)=0的两根都大于r

r,2aaf(r)0b24ac0,bq,p③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根 2aaf(q)0,af(p)0;④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。

四．典例解析

题型1：函数零点的判定

例1.判断下列函数在给定区间是否存在零点；若存在，判断零点的个数

(1)f(x)x3x18,x[1,8](2)f(x)log2(x2)x,x[1,3] 2变式：判断函数f(x)x3x18,x[1,8]上零点的个数 小结：函数零点的判定方法

（1）解方程

（2）用零点存在性定理。如果判定零点个数，还必修结合函数的图象和性质才能确定

（3）利用函数图象的交点

题型2：函数零点的应用

例2

.m为何值时，f(x)x2mx3m4（1）有且仅有一个零点

变式：在（－2，2）有且仅有一个零点（2）有两个零点且均比－1大

练习：(09山东14)若函数f(x)axa(a＞0），且a1)有两个零点,则实数a的

x232

取值范围是

.2例3.（06浙江16）设f(x)=3ax2bxc.若abc0,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

ab(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个零点.证明：（I）因为f(0)0,f(1)0，所以c0,3a2bc0.由条件abc0，消去b，得 ac0；

由条件abc0，消去c，得 ab0，2ab0.故2ba1.（II）抛物线f(x)3ax2bxc的顶点坐标为(在213b3aba1的两边乘以23132b3a,3acb3a2)，得

.又因为f(0)0,f(1)0，b3aacac3a22而f()0，b3ab3a所以方程f(x)0在区间(0,)与(,1)内分别有一实根。

故方程f(x)0在(0,1)内有两个实根.小结：以二次函数为载体进行函数零点的应用是考查的重点。