数学分析前三章总结---熊思U201114176

第一篇：数学分析前三章总结---熊思U201114176

U201114176计算机卓越工程师班熊思数学分析前三章总结

在开篇之前，在此，我不得不坦白承认，这两个多月学习数学分析的日子是我有史以来

最为痛苦的日子，其痛苦程度绝不亚于高考的失利。在此，我会一一陈述我亲自体会得来的痛苦之源。

首先，是学科思维的强烈变差与教学重点及要求的变更。在高中，数学主要是以计算为

主的方法和工具，掌握了这种工具我们便可在题海中畅游无阻，在考场上游刃有余；而如今，到了大学，其重点已不再是书上的几个枯燥乏味的定理与公式，取而代之的是推导该定理与公式过程中所涉及的思维方法与技巧，它要求我们从中汲取营养以去证明更多有益于实际的推论与定理。

其次，便是主要题型的改变。在高中，令我最畏惧也是我最讨厌的题型便是证明题，可

如今满试卷都是证明题啊，分值占了一大半，可叫我如何不郁闷如何不痛苦啊！唉，没办法，只得入乡随俗了！

第三，那就是对数学语言的模糊不清。进入大学，我学习了各种语言，有英语、汉语、图纸语言、C语言，还有便就是数学语言了。其中大量令人头疼的符号、特殊函数名称有时会让我连题目都无法看懂，更别谈去解这道题了。你说，这叫我如何不痛苦啊？？！

最后，那边是不知如何运用数学语言去阐述自己内心的想法。其实我们都还是很聪明的，有时候并不是那道题太难使我们不会做，而是明明知道意思却无法去表达出来，真是哑巴吃黄连---有口难言啊！！奈何，奈何啊？？！

我在此并不是想向谁埋怨，我只是想我这些痛苦能够及时得到解脱，以便能更加愉快专心的学好这门课程。其实，学习数学分析也挺有意思的，特别是一道弄了很久也搞不出来的题目一下子被你解出来了，难道这不足以让你高兴三天三夜吗？？嘿嘿，天道酬勤，只要你不畏惧，踏实的学下去，数学分析又何足惧焉？？

第二篇：计算机网络前三章总结全解

计算机网络前三章总结 第一章：计算机网络概述

1.1计算机网络与因特网的产生与发展：

计算机网络技术发展的历程：

第一阶段：20世纪50年代，计算机网络开始形成。

第二阶段：20世纪60年代，实现了分组交换网。

第三阶段：20世纪70年代，因特网开始形成。

第四阶段：20世纪90年代，计算机网络出现了大发展。具体表现为以下几个方面：

1.因特网迅速扩展与快速发展 2.无线局域网和无线城域网快速发展 3.三网融合促进了宽带城域网的出现

三网融合：计算机网络 电信网 广播电视网

4．物联网技术的形成与发展 1.2计算机网络的定义和拓扑结构

1.2.1计算机网络的定义：计算机网是“以能够相互共享资源的方式互联的自治计算机系统的集合“

1.2.2计算机网络拓扑结构

连接到网络中的计算机等各种设备称为结点，把结点连成网络可以有多种结构，我们称之为网络拓扑。基本的网络拓扑有5种：

1.总线形：在总线形拓扑结构中，所有结点连接在一条作为公共传输介质的总线上。

2.星形：在星形拓扑结构中，结点通过点-点通信线路与中心结点连接，所以增减结点非常方便。

3.树形：在树形拓扑结构中，结点按层次进行连接，信息交换主要在上、下结点之间进行。4.环形：在环形拓扑结构中，结点通过点-点通信线路连接成闭合环路。5.网状：网状拓扑又被称为无规则型。在网状拓扑结构中，结点之间的连接是任意的，没有规律的。

1.3计算机网络分类

按覆盖的地理范围进行分类，计算机网络可以分为：个人区域网（PAN 0~10m）局域网（LAN 10m~10km）

城域网（MAN 10km~100km）

广域网（WAN 100km~1000km）。

局域网、城域网与广域网三网融合 1.4分组交换技术

计算机网络的数据交换方式基本上可以分为电路交换和存储转发交换。存储转发交换方式又可分为报文交换和分组交换。分组交换又进一步分成数据报和虚电路方式。

1.4.1交换方式

1.电路交换：电路交换方式与电话交换的工作过程类似。这里，电话换成计算机（称为主机），电话交换机换成了数据交换机，电话交换网变成了通信子网。

2.报文交换：将需要传输的数据封装成一个包，这个包称为报文。报文交换就是在网络中直接传输报文。但与电路交换不同，它一段一段占用通信线路。

3.分组交换：分组交换技术就是分组、路由选择与存储转发。分组交换将需要传输的数据预先分成多个短的、有固定格式的分组。

1.4.2数据报方式与虚电路方式

分组交换技术可以分为：数据报（DG）方式与虚电路（VC）方式。

1.数据报方式：数据报是报文分组存储转发的一种形式。在数据报方式中，分组传输钱不需要预先在与源主机与目的主机之间建立“线路连接“。2.虚电路方式：虚电路方式试图将数据报方式与电路交换方式结合起来，发挥这两种方法各自的优点，以达到最佳的数据交换效果。1.4.3面向连接服务与无连接服务

计算机网络通信服务是至通信子网对通信主机之间数据传输的效率和可靠性所提供的保证机制。通信服务可以分为两大类：面向连接服务和无连接服务。

1.5 OSI和TCP/IP

1.5.1协议与划分层次

1.5.2 OSI（开放系统互联）参考模型

1.OSI参考模型 2.OSI环境数据传输过程

1.5.3TCP/IP协议

1.TCP/IP与OSI

TCP/IP协议分为4个层次：应用层、传输层、网际层、网络、接口层 3.TCP/IP协议各层功能

1.5.4因特网组织、管理机构与RFC文档

第二章：网络基础

2.1通信线路类型及物理层协议

1.点—点通信线路及物理层协议

2.广播通信线路及物理层协议 2.2数据通信的基本概念

2.2.1信息、数据与信号

1、信息：组建计算机网络的目的是实现信息共享。

2、数据：计算机存储与处理是二进制数据。

3、信号：在通信系统中，计算机表达的二进制代码序列必须变成信号之后才能够通过传输介质进行传输。

2.2.2数据通信方式

1.串行通信与并行通信：在数据通信中，将表示一个字符的二进制代码按由

低到高的顺序依次发送的方式称为串行通信；将表示一个字符的8位二进 制代码同时通过8条并行的通信信道发送，每次发送一个字符代码的方式 称为并行通信。

2.单工、半双工与全双工通信：按照信号传送方向与时间的关系，数据通信

可以分为3种类型：单工通信、半双工通信与全双工通信。

单工通信方式中，信号只能向一个方向传输，任何时候都不能改变信号的 传送方向；

半双工通信方式中，信号可以双向传送，但必须是交替进行，一个时间只 能向一个方向传送；

全双工通信方式中，信号可以同时双向传送；

4.同步技术：同步是要求通信双方在时间基准上保持一致的过程。数据通信 的同步包括位同步和字符同步。

（1）位同步：曼切斯特编码就是自含时钟编码的方法。（2）字符同步：实现方法主要有两种：同步传输和异步传输。

2.2.3 传输的信号类型

传输的信号类型模拟信号与数字信号。

2.2.4 网络传输参数的数据校验方法

1.延时：延时（又称时延）是描述网络性能的重要参数之一。

网络延时包括发送延时、传播延时、排队延时与处理延时。

发送延时：主机发送速率是一定的，主机发送一个数据分组的第一位到最

后一位需要一定的时间，这个时间叫做“发送延时“。

传播延时：传播延时就是电磁波在传输介质中传输需要的时间。排队延时：当分组从一个输入端口进入路由器等待处理，以及在输出队列中

等待转发所需要的时间叫做排队延时。

2.比特率： 数据传输速率是指主机向传输介质发送数据的速率，即每秒发送的二进制比特数。因此也可以称为比特率。

3.带宽：带宽本来指信号具有的频带宽度，单位是赫（或千赫、兆赫、吉赫等）。现在带宽指数字信道所能传送的“最高数据速率“的同义语。

4.校验方法：在计算机网络传输的帧中，发送方在发送数据后面跟上发送数据校验码（FCS），以便接收方通过它来判断接收到数据的正确性。

2.3传输介质

传输介质是网络中连接收发双发的物理通路，也是通信中实际传送信息的载体。网络中常用的传输介质有：同轴电缆、双绞线、光纤、无线与卫星通信信道。

2.3.1同轴电缆：同轴电缆由内导体铜质芯线、绝缘层、网状编织的外导体屏蔽层

以及保护塑料外层所组成。

粗缆传输距离可达到500m

细缆传输距离可达到185m

2.3.2双绞线（使用最广泛）：双绞线可以由1对、2对或4对相互绝缘的铜导

线组成。一条导线可以作为一条通信线路。每条导线相互绞合的目的是为了使通信线路之间的电磁干扰达到最小。

局域网中所使用的双绞线分为两类：屏蔽双绞线（STP）与非屏蔽双绞

线（UTP）。

2.3.3 光纤

1.光纤通信：光纤通信就是利用光导纤维（简称光纤）传递光脉冲进行

通信。有光脉冲表示1，没有光脉冲表示0。

2.光波传输

3.光电转换

2.3.4 无线与卫星通信

1.无线通信

2.微波通信

3.蜂窝无线通信

4.卫星通信 2.4频带传输技术

将发送端的数字信号变换成模拟信号的过程称为“调制“，接收端的模拟信号还原成数字信号的过程称为”解调“。同时具备调制与解调功能的设备称为调试解调器（Modem）【猫】。1.振幅键控 2.移频键控 3.移相键控 2.5基带传输技术

2.5.1数字信号编码方法：1.非归零码

2曼切斯特编码

2.5.2模拟信号数字化：PCM（脉冲编码调制）包括采、量化与编码3步 2.6多路复用技术

2.6.1多路复用的基本概念

2.6.2时分多路复用：TDM：1.同步时分多路复用2.统计时分多路复用

2.6.3频分多路复用：FDM

2.6.4波分多路复用：WDM

2.6.5码分多址复用：CDMA 2.7同步光纤网与同步数字体系

2.7.1基本速率标准：Tx/Ex :1.T1载波速率 ：T1=193/(125*10-6)=1.544Mbps

2.E1载波速率：E2=256/(125*10-6)=2.048Mbps

2.7.2 SDH速率体系：1.STS速率、OS速率与STM速率 2.OC、STS与STM速

率对应关系 第三章：以太网 3.1以太网的发展和网卡

1.以太网的发展

2.网卡（NIC）也叫网络适配器，是计算机及其连接网络的接口。

网卡分为有线网卡和无线网卡。网卡的主要功能分为发送和接收：

（1）发送。就是将需要传输的数据先缓存，然后组织成以太网帧发送出去，其中包括加入帧头、自动生成校验数据作为帧尾。

（2）接收。就是接收传输介质上的信号，变成数据帧。3.2总线形以太网

3.2.1基本组成与工作原理

3.2.2数据传输的基本单元：MAC帧:DIX V2标准定义帧成为MAC帧

以太网的帧分为三个部分：第一部分（目的地址、源地址、类型[判断是

否为IP数据包]）

第二部分（数据）

第三部分（帧校验字段[FCS]）

DIX V2帧各部分说明如下： 1.前同步码与帧开始定界符

2.目的地址和源地址字段分别表示帧的接受结点与发送结点的MAC地址。

源地址始终是单播地址，因为任何帧都只能来自一个帧。

目的地址有可能是单播（第一个字节最低位是0）、多播（第一个字节最低位是1）或者广播地址（是多播的一种特殊形式，一个广播地址就是由48个1形成的地址）。

3.类型字段：表示网络层使用的协议类型。

当类型字段值等于0x0800时，表示网络层使用IP协议； 当类型字段值等于0x0806时，表示网络层使用ARP协议；

当类型字段值等于0x0800时，表示网络层使用NetWare的IPX协议； 4.数据字段：是结点待发送的数据部分。数据长度在46~1500字节之间。5.帧校验字段（FCS）是为了检测网卡接收的MAC帧有无差错而专门设置的。

校验范围：目的地址、源地址、类型、数据字段，并不包括前同步码与帧开始定界符。

3.2.3总线以太网扩展：中继器

1.使用中继器延长总的距离：信号在粗缆上可传输500m，在细缆上只能传输

185m。

2.以太网最小帧长度限制总的距离：通常在一个网络中，最多可以分为5个

电缆段，用4个中继器连接。这样，粗以太网延长后的最大总线长度为2500m。

最大传输距离（称为冲突域或者碰撞域）：64*8/发送速率=2L/信号传播

速率（0.7C）

3.2.4发送和接收数据：CSMA/CD协议

CSMA/CD的发送流程可以简单概括为4点：先听后发，边听边发，冲

突停止，延时重发

3.3共享以太网

3.3.1集线器及其传输介质

1.集线器：是具有多个端口的中继器

2.双绞线连接：直通线两端顺序一致

交叉线1与3连接，2与6连接，其他顺序一致。

3.光纤连接：光纤以太网也呈星形结构，所不同的只是网络中心为光集线器。

光纤的一端与光集线器连接，另一端与网卡连接。

3.3.2网络的拓扑

基于集线器组成的网络虽然物理上是星形结构，但逻辑上仍是总线结构，因为集线器是没有鉴别能力的设备。

基于集线器的以太网常称为共享式以太网，即所有端口共享信道带宽。3.3.3集线器的级联

1.级联

2.堆叠

3.冲突域

3.3.4半双工工作方式 3.4网桥

1.网桥的内部结构：最简单的网桥有两个端口。网桥的每个端口与一个局域网网段相连。

2.通过自学习建立转发表

3.透明网桥

4.使用网桥扩展以太网的优缺点 3.5交换式以太网

用以太网交换机作为核心设备组建的以太网就是交换式以太网

3.5.1以太网交换机是交换式以太网的核心构件，其功能类似网桥。网桥的端口数很少，而以太网交换机通常有几十个端口。因此，它实质上就是一个多端口的网桥。

1.工作原理：多端口网桥

2.交换机的种类：（1）企业级交换机：支持500个信息点

（2）部门级交换机：支持300个信息点

（3）工作组级交换机：支持100个信息点

（4）小型（办公室或家庭）交换机：带宽在100Mbps及以下

3.背板带宽

4.全双工工作方式

3.5.2虚拟局域网

3.6快速以太网：它放弃了总线拓扑结构，而仅保留了星形拓扑结构。1.MAC子层

2.工作方式：快速以太网支持半双工和全双工工作方式 3.自动协商 4.实现方式

3.7千兆以太网又称吉比特以太网（GE）.MAC子层

2.工作方式：半双工模式 3.实现方式

3.8万兆以太网（10GE）3.9十万兆以太网（40/100GE）

第三篇：产业经济学前三章知识总结

产业经济学前三章知识总结

导论中，我们研究了产业经济学的产生和发展，其中最重要的理论是贝恩在《产业组织》中提出的SCP范式，作为传统的产业组织理论，它侧重于研究市场结构S、厂商行为C、市场绩效P及其之间的关系。他们认为：市场结构决定市场中的行为，厂商行为决定了市场绩效。通过导论我们简单了解了产业经济学，并且开始深入的研究，其研究方法分为案例研究法、计量经济研究法、博弈论研究法、投入产出研究法、新经济地理研究法等。我国的经济活动分为第一产业、第二产业、第三产业。

第一章，我们开始了市场结构的学习。市场结构是指某一经济市场的组织特征，而最重要的组织特征是那些影响竞争性质及市场价格确定的因素。经济学家一般把市场分为了四种类型：完全竞争、完全垄断、垄断竞争和寡头垄断。完全竞争是指竞争不受任何阻碍和干扰的市场结构。例如：玉米市场 完全垄断是指整个行业中只有一个生产者的市场结构。例如：中国移动 垄断竞争是指是指许多厂商生产和销售有差别的同类产品，市场中既有竞争因素又有垄断因素存在的市场结构。例如：化妆品市场

寡头垄断是指少数几个厂商控制着整个市场中的生产和销售的市场结构。例如：汽车市场

除此之外，我们还通过赫希曼—赫芬达尔指数、勒纳指数、交叉弹性、贝恩指数来分析市场结构集中度

第二章，我们学习的是价格行为。

价格歧视分三种类型，市场中的成人票，团体票，学生票等同一种商品卖出时不同价格的行为即是价格歧视。产生价格歧视的根源是：消费者偏好的异质性和可变性。不可否认，价格歧视有利于商品的销售，但是恶意的价格歧视可能会导致市场秩序的混乱。捆绑销售和搭配销售是营销方法的重大突破。捆绑销售就是可将分立的商品或服务捆绑在一起向买方出售。如温州奥康皮鞋和温州农行的联合捆绑营销，即持农行卡的顾客在奥康专卖店可以得到一定的优惠。搭配销售是指经营者利用其经济和技术的优势地位。违背顾客的意愿，在向顾客供应一种商品或服务的同时，有要求其购买另一种商品或服务。例如，十字绣店再卖十字绣的同时提供十字绣画框的服务。高考录取通知书搭配银行卡等

价格竞争是市场竞争的一种重要体现，取得价格上的优势，就是取得利益上的优势。非价格竞争是劲歌竞争的一种发展，体现了营销观念的转化。其策略有：产品创新策略、产品品牌个性化、产品服务竞争策略、战略联盟、广告策略。

第四篇：数学分析知识点总结

第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：

(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：

引 言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质 1、实数 ． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：

对于正有限小数其中，记；

对于正整数则记；

对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为 0＝ 例：

；

利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数，.其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；

若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；

称为实数的位过剩近似，.对于负实数，其位不足近似；

位过剩近似.注：实数的不足近似当增大时不减，即有；

过剩近似当n增大时不增，即有． 命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）． 命题应用 例1．设为实数，证明存在有理数，满足． 证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且 ．即． 3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）． 1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数． 2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：，． 4）阿基米德性：使得． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． 6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设，证明：若对任何正数，有，则．（提示：反证法．利用“有序性”，取）二、绝对值与不等式 1、绝对值的定义 实数的绝对值的定义为． 2、几何意义 从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示就是数轴上点与之间的距离． 3、性质 1）（非负性）；

2）；

3），；

4）对任何有（三角不等式）；

5）；

6）（）． 三、几个重要不等式 1、2、均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:即：

等号当且仅当时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式 当且,且时,有严格不等式 证：由且 4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式 有 上式右端任何一项.［练习］P4．5 ［课堂小结］：实数：.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3 §2数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：

(1)掌握邻域的概念；

(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；

此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何有：(1)；

(2).（）（）2、证明：.3、设，证明：若对任何正数有，则.4、设，证明：存在有理数满足.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；

理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；

③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：

1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域；

2、讨论有界集与无界集；

3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域 1、区间（用来表示变量的变化范围）设且.，其中 2、邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于的对称区间”；

如何用数学语言来表达呢？（1）的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即.其中（2）点的空心邻域.（3）的右邻域和点的空心右邻域（4）点的左邻域和点的空心左邻域（5）邻域，邻域，邻域（其中M为充分大的正数）；

二、有界集与无界集 1、定义1（上、下界）：设为中的一个数集.若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界的数集.数称为S的上界（下界）；

若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.等都是无界数集, 集合 也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；

2）上（下）界与S的关系如何？看下例：

例1 讨论数集的有界性.解：任取，显然有，所以有下界1；

但无上界.因为假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；

（2）无限区间都是无界集；

（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).三、确界与确界原理 1、定义 定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数满足：(1)对一切 有（即是S的上界）;(2)对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作 从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1 充要条件 1）；

2）.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则，与是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设不是的上确界，即是上界，但.令，由2），使得，与是的上界矛盾.定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；

（2）对任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2 的充要条件：

1）；

2）＞0，＜ 上确界与下确界统称为确界.例3（1）则 1 ；

0.（2）则 1 ；

0.注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设，且，则不妨设 有 对，使，矛盾.例：，则有.开区间与闭区间有相同的上确界与下确界 例4设和是非空数集，且有则有.例5设和是非空数集.若对和都有则有 证明：是的上界,是的下界, 例6和为非空数集,试证明: 证明：有或由和分别是和的下界,有 或 即是数集的下界, 又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有 于是有.综上,有.1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2.确界与最值的关系:设 为数集.（1）的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若存在,必有对下确界有类似的结论.4.确界原理: Th1.1(确界原理).设非空的数集.若有上界，则必有上确界；

若有下界，则必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 非空，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界.然后我们遍查和，我们可以找到一个，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小数，如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得 1），有；

2）存在，有；

把区间10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在，使得 1），有；；

2）存在，使得． 再对开区间10等分，同理存在，使得 1）对任何，有；

2）存在，使 继续重复此步骤，知对任何，存在使得 1）对任何，；

2）存在，． 因此得到．以下证明．（ⅰ）对任意，；

（ⅱ）对任何，存在使． ［作业］：P9 1（1），（2）；

2；

4（2）、（4）；

７ §3函数概念 授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：

（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；

（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：

引 言 关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义 １．定义１ 设，如果存在对应法则，使对，存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作.数集称为函数的定义域，所对应的，称为在点的函数值，记为.全体函数值的集合称为函数的值域，记作.即.２．几点说明（1）函数定义的记号中“”表示按法则建立到的函数关系，表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作.习惯上称自变量，为因变量.（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数.即“函数”或“函数”.（4）“映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下的象.称为的原象.（5）函数定义中，只能有唯一的一个值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个值，可以对应多于一个值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二、函数的表示方法 1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2 可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.例如，（符号函数）（借助于sgnx可表示即）.2）用语言叙述的函数.（注意；

以下函数不是分段函数）例 １）（取整函数）比如：

[3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 , 即.与此有关一个的函数（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet）函数 这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman）函数 三 函数的四则运算 给定两个函数，记，并设，定义与在上的和、差、积运算如下：

；；

.若在中除去使的值，即令，可在上定义与的商运算如下；

.注：１）若，则与不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数与的和、差、积、商常分别写为：.四、复合运算 １．引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m的物体自由下落，速度为v，则功率为.抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数，把代入，即得.这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；

.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2．定义（复合函数）设有两个函数，若，则对每一个，通过对应内唯一一个值，而又通过对应唯一一个值，这就确定了一个定义在上的函数，它以为自变量，因变量，记作或.简记为.称为函数和的复合函数，并称为外函数，为内函数，为中间变量.3.例子 例 求 并求定义域.例 ⑴ ⑵ 则 A.B.C.D.例 讨论函数与函数能否进行复合，求复合函数.4 说明 １）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：，复合成：.２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.① ② ③ 五、反函数 １.引言 在函数中把叫做自变量，叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：

那么对于来讲是自变量，但对来讲，是因变量.习惯上说函数中是自变量，是因变量，是基于随的变化现时变化.但有时我们不仅要研究随的变化状况，也要研究随的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.２.反函数概念 定义设R是一函数，如果，, 由(或由)，则称在上是 1-1 的.若，称为满的.若 是满的 1-1 的，则称为1-1对应.R是1-1 的意味着对固定至多有一个解，是1-1 的意味着对，有且仅有一个解.定义 设是1-1对应., 由唯一确定一个, 由这种对应法则所确定的函数称为的反函数，记为.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 显然有(恒等变换）(恒等变换).0 x y 从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 , 这样它的图形与 的图形是关于对角线对称的.严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子 它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：

1.确定 的定义域和值域，考虑 1-1对应条件.固定，解方程 得出.2.按习惯，自变量、因变量互换，得.例 求 ：R R的反函数.解 固定，为解，令，方程变为(舍去)得，即，称为反双曲正弦.定理 给定函数，其定义域和值域分别记为和，若在上存在函数，使得 , 则有.分析：要证两层结论：一是的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；

二是要证. 证 要证的反函数存在，只要证是到的 1-1 对应.，若，则由定理条件，我们有，即 是 1-1 对应.再证.，使得.由反函数定义，再由定理条件.例，若存在唯一（）不动点，则也不动点.证 存在性，设，即是的不动点，由唯一性，即存在的不动点.唯一性：

设，说明 是的不动点，由唯一性，=.从映射的观点看函数.设函数.满足：对于值域中的每一个值，Ｄ中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作 或.３、注释 a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数有反函数，意味着是Ｄ与之间的一个一一映射，称为映射的逆映射，它把；

b)函数与互为反函数，并有: c)在反函数的表示中，是以为自变量，为因变量.若按习惯做法用做为自变量的记号，作为因变量的记号，则函数的反函数可以改写为 应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六、初等函数 1.基本初等函数（６类）常量函数（Ｃ为常数）；

幂函数；

指数函数；

对数函数；

三角函数；

反三角函数.注：幂函数和指数函数都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义２．给定实数，设为无理数，我们规定：

这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义的缺陷． [问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？” ２．初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数 如：

不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求下列函数的定义域.（１）；

（２）3.初等函数的几个特例: 设函数和都是初等函数, 则（1）是初等函数, 因为（2）和 都是初等函数, 因为 ,.（3）幂指函数 是初等函数,因为 ［作业］ ：　3；

4:（２）、（３）；

5:（２）；

7:（３）； §4具有某些特性的函数 授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数 教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；

理解奇偶函数、周期函数的定义；

会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成.教学程序：

引 言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数 1、有上界函数、有下界函数的定义 定义1设为定义在D上的函数，若存在数，使得对每一个有，则称为D上的有上（下）界函数，称为在D上的一个上（下）界.注：（1）在D上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；

（2）又若为在D上的一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；

任何大于1的数都可作为其上界；

（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；

（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：

在D上有界是一个有界集在D上既有上界又有下界在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.2、有界函数定义 定义2设为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个有，则称为D上的有界函数.注：（1）几何意义：为D上的有界函数，则的图象完全落在和之间；

（2）在D上有界在D上既有上界又有下界；

例子：；

（3）关于函数在D上无上界、无下界或无界的定义.3、例题 例1 证明有界的充要条件为：,，使得对,.证明 如果有界，按定义>0，有，即,取,即可.反之如果,使得，令，则，即，使得对有，即有界.例2．证明　为上的无上界函数.例3．设为D上的有界函数.证明：（1）；

（2）.例4验证函数 在内有界.解法一 由当时,有 , 对 总有 即在内有界.解法二 令 关于的二次方程 有实数根.解法三 令 对应 于是 二、单调函数 定义3设为定义在D上的函数，（1）若，则称为D上的增函数；

若，则称为D上的严格增函数.（2）若，则称为D上的减函数；

若，则称为D上的严格减函数.例5．证明：在上是严格增函数.证明：设，如，则 如，则 故即得证.例6．讨论函数在上的单调性.，当时，有，但此函数在上的不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；

2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：

定理1．设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数.证明：设在上严格增函数.对.下面证明这样的只有一个.事实上，对于内任一由于在上严格增函数，当时，当时，总之.即，从而 例7　讨论函数在上反函数的存在性；

如果在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数否？ 结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：当时在Ｒ上严格增，当时在上严格递减.三、奇函数和偶函数 定义4.设D为对称于原点的数集，为定义在D上的函数.若对每一个有（1），则称为D上的奇函数；

（2），则称为D上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；

（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：；

（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数 1、定义 设为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期.2、几点说明：

（1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一.如.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本周期”，简称“周期”.如，周期为；

（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1），不是周期函数；

2）（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限 引 言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1，然后为如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（已知：），但这两个公式从何而来？ 要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；

就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正边形.易知，正边形周长为 显然，这个不会等于.然而，从几何直观上可以看出，只要正边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长.越大，近似程度越高.但是，不论多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.为了从近似值过渡到精确值，我们自然让无限地增大，记为.直观上很明显，当时，记成.——极限思想.即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出来了，称为“割圆术”.其方法就是——无限分割.以直代曲；

其思想在于“极限”.除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.§1数列极限的概念 教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；

会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题.教学要求：使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明数列的有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.教学重点：数列极限的概念.教学难点：数列极限的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：

一、什么是数列 1 数列的定义 数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；

若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列.注：1）根据函数的记号，数列也可记为；

2）记，则数列就可写作为：，简记为，即；

3）不严格的说法：说是一个数列.2 数列的例子（1）；

（2）；

（3）；

（4）二、什么是数列极限 1．引言 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）；

第1天截下，第2天截下，第3天截下，第天截下，得到一个数列：

不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零.一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.据此可以说，数列是收敛数列，0是它的极限.数列都是发散的数列.需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.以为例，可观察出该数列具以下特性：

随着的无限增大，无限地接近于1随着的无限增大，与1的距离无限减少随着的无限增大，无限减少会任意小，只要充分大.如：要使，只要即可；

要使，只要即可；

任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，.即，当时，.如何找Ｎ？（或存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可.这样当时，.综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任意给定正数，总存在正整数，当时，有.此即以1为极限的精确定义，记作或.2.数列极限的定义 定义1 设为数列, 为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于,实数称为数列的极限,并记作 或.(读作:当趋于无穷大时,的极限等于或趋于).由于限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.[问题]：如何表述没有极限？ 3.举例说明如何用定义来验证数列极限 例1.证明:.证明: 不妨设,要使 |－0|<<.只要,取N= 则当n>N时,有 |－0|=≤< 例2 求证.证明: 不妨设，要使，只要（注意这里），只要.取，则当 时，就有，即.例3 求证.证法1 先设，要使，只要，只要，只要.取，当 时，就有，即.对，令，则.证法2 令，则，, 要使, 只要，取，只要，就有，即.例4 证.证明: 因为，要使，只要，取，则只要，就有，即.例5 证明: 注意到对任何正整数时有 就有 于是，对 取 例6 证法一 令 有 用Bernoulli不等式，有 或 证法二（用均值不等式）例7 证一：

时，证二：

（二项式展开）因此，取，则当时就有 即 附：此题请注意以下的错误做法：

（注意 不趋于零）例8：证明 证明：由于（）（*）因此，只要取 便有 由于（*）式是在的条件下成立的，故应取，当时就有 即 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；

要取舍合理，不能放大得过份.4 关于数列的极限的定义的几点说明（1）关于：① 的任意性.定义1中的正数的作用在于衡量数列通项与常数的接近程度，越小，表示接近得越好；

而正数可以任意小，说明与常数可以接近到任何程度；

②的暂时固定性.尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出；

③的多值性.既是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小的正数，因此定义1中的不等式中的可用等来代替.从而“”可用“”代替；

④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数.（2）关于：① 相应性，一般地，随的变小而变大，因此常把定作，来强调是依赖于的；

一经给定，就可以找到一个；

②多值性.的相应性并不意味着是由唯一确定的，因为对给定的，若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立.所以不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的也不必限于自然数，只要是正数即可；

而且把“”改为“”也无妨.（3）数列极限的几何理解：在定义1中，“当时有”“当时有” “当时有” 所有下标大于的项都落在邻域内；

而在之外，数列 中的项至多只有个（有限个）.反之，任给，若在之外数列中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为，则当时有，即当时有，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：

定义 任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限.由此可见：1）若存在某个，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以为极限；

2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关.所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响.例1．证明和都是发散数列.例2．设，作数列如下：.证明.例3．设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明：数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等.三、无穷小数列 在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：

定义2　若，则称为无穷小数列.如都是无穷小数列.数列收敛于的充要条件：

定理2.1　数列收敛于 的充要条件是为无穷小数列.[作业] 教材P27 3，4，5，7，8⑵.§2　收敛数列的性质 教学内容：第二章 数列极限——§2　收敛数列的性质.教学目的：熟悉收敛数列的性质；

掌握求数列极限的常用方法.教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用.教学难点：数列极限的计算.教学方法：讲练结合.教学程序：

引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质 性质1（极限唯一性）若数列收敛，则它的极限唯一.证一：假设都是数列的极限，则由极限定义，对，当 时，有 ；

时，有 取，则当时有 由的任意性，上式仅当时才成立.证二：（反证）假设极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为，且故不妨设，取 由定义，当时有       又，当时有 因此，当时有 矛盾，因此极限值必唯一.性质2（有界性）如果数列收敛，则必为有界数列.即，使对有 证明：设取，使得当时有 即  令 则有对 即数列有界 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如 ②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则随在变，找到的也随在变，界的意义就不明确了.性质3（保序性）设，（1）若，则存在使得当时有（2）若存在，当时有，则（不等式性质）证明：（1）取，则存在，当时 从而 又存在，当时 当时（2）（反证）如，则由⑴知必当时这与已知矛盾 推论（保号性）若则，当时.特别地，若，则，当时与同号.思考：如把上述定理中的换成，能否把结论改成？ 例：设（），若，则 证明：由保序性定理可得 若，则，当时有即 若，则，当时有 数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则）若、都收敛，则、、也都收敛，且，特别地，为常数如再有则也收敛，且 证明：由于，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.设，，当时 ；，当时 取，则当时上两式同时成立.（1）由收敛数列的有界性，对有 故当时，有 由的任意性知（2）由保号性，及，对有（如可令）取，则当时有 由的任意性得 用归纳法，可得有限个序列的四则运算：

，.但将上述换成，一般不成立.事实上或本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列、、，如，当时有，且，则 证明：，当时，；

当时，取，则当时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有时 即 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.推论：若，当时有（或）且，则 例：求证（）证明：使得，从而当时有 由于由推论即可得结论 例：设，…，是个正数，证明 证明：设，则，由迫敛性得结论.例1：

在证明中, 令，得，由此推出.由此例也看出由和, 也推出.例2：

证明.证明：

令 ,，两边夹推出，即.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例；

例3：

求极限 解.例4：

求极限.解.例5：

例6：求，，解：原式 即：有理式的极限 如 例7：

例8：设，证明.证明：

.二 数列的子列 1、引言 极限是个有效的分析工具.但当数列的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.2、子列的定义 定义1 设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列 称为数列的一个子列，简记为.注1 由定义可见，的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序.简单地讲，从中取出无限多项，按照其在中的顺序排成一个数列，就是的一个子列（或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2 子列中的表示是中的第项，表示 是中的第k项，即中的第k项就是中的第项，故总有.特别地，若，则，即.注3 数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称为的平凡子列；

不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列.如都是的非平凡子列.由上节例知：数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：

定理2.8 数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛． 证明：

必要性 设是的任一子列．任给，存在正数N，使得当时有由于故当时有，从而也有，这就证明了收敛（且与有相同的极限）． 充分性 考虑的非平凡子列，与．按假设，它们都收敛．由于既是，又是的子列，故由刚才证明的必要性，（9）又既是又是的子列，同样可得（10）（9）式与（10）式给出 ． 所以由课本例7可知收敛． 由定理2．8的证明可见，若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与必收敛于同一个极限．于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散．例如数列其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于，从而发散．再如数列，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具． §3　数列极限存在的条件 教学内容：第二章 数列极限 ——§3　数列极限存在的条件 教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具.教学要求：（1）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；

（2）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性.教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用.教学难点：相关定理的应用.教学方法：讲练结合.教学程序：

引 言 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；

若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当充分大时，能充分接近其极限，故可用作为的近似值.本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.从收敛数列的有界性可知：若收敛，则为有界数列；

但反之不一定对，即有界不足以保证收敛.例如.但直观看来，若有界，又随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列.一、单调数列 定义　若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列． 例如：为递减数列；

为递增数列；

不是单调数列.二、单调有界定理 〔问题〕（1）单调数列一定收敛吗？；

（2）收敛数列一定单调吗？ 一个数列，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限.几何解释：单调数列只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点沿数轴移向无穷远；

（2）无限趋于某一个定点，即.证明：不妨设单调增加有上界，把看作集合，有确界原理，存在 即：（1），；

（2），使 由于单调增加，故当时有 即当时 亦即 # 例1：，证明数列，，……，……收敛，并求其极限.证明：从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的.易见，且，…，… 从而 两端除以得，故有界即得极限存在 设，对等式两边取极限，则有 因为正数列，故，因此取即为所求极限 例2：求（为一定数，）解：记，则且，则，当时，故后，单调递减，又有 极限一定存在，设为 由 两边取极限得（）例3 设 证明数列{}收敛.例4 求(计算的逐次逼近法, 亦即迭代法).解：由均值不等式, 有有下界;注意到对有 有 ↘, 三、柯西收敛准则 1、引言 单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则.2、Cauchy收敛准则 定理（Ｃauchy收敛准则）数列收敛的充分必要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有.证明：“” 收敛，则存在极限，设，则，当时有当时有 “”先证有界性，取，则，特别地，时 设，则，再由致密性定理知，有收敛子列，设，，取，当时有 故 列、基本列（满足收敛准则的数列）收敛准则的另一表示形式：，当时，对有 3、说明 a)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.b)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.c)Cauchy准则把定义中与a的之差换成与之差.其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.例：如数列满足（）且，证明数列收敛.证明：令，（不妨设），取，则当时，对任给自然数有.故由收敛准则知数列收敛.例：证明数列 发散 证明：要证：，对，必有，使得 设则                      因此，如，则 这样，对，不管多大，如取，则，且，这说明不是一个数列.4、应用 例5 证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列 收敛.其中是中的数.证明：

令 有 …… 例6：

设 试证明数列{收敛.关于极限 证明留在下节进行.例7：

例8：

例9：

[作业] 教材P38—39 1，3，5，6，10，11；

教材P40—41 1（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.（P38 3（4）提示：考虑用双逼原理可求得）附：

数列单调有界证法欣赏: Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（Riemann最先给出这一证法）设 应用二项式展开，得，+ 注意到 且比多一项 即↗.有界.综上, 数列{}单调有界.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式 为正整数), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 ↗.为证{}上方有界, 考虑数列 可类证↘.事实上,(此处利用了Bernoulli不等式)↘.显然有 有 即数列{}有上界.证法三(利用均值不等式)在均值不等式 中, 令 就有 即 ↗.令 可仿上证得 时↗,(时无意义, 时诸=, 不能用均值不等式.)当时, 由 由 ↗ ↘.< 4.注: 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22.证法四(仍利用均值不等式)< 即 ↗.有界性证法可参阅上述各证法.注: 证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”.证法五 先证明：对 和正整数，有不等式 事实上，< 该不等式又可变形为(为正整数)在此不等式中, 取 则有 就有 ↗.取 又有 对成立，又由 注: 这一证法可参阅《The American Mathematical Monthly》 1974.Vol 81.№9 P10—11 第三章 函数极限 引 言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；

数列极限是函数极限的特例.通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即;或　或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势.此处函数的自变量只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即.但是，如果代之正整数变量而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？ 为此，考虑下列函数: 类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；

除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；

还可考虑自变量时，的变化趋势；

还可考虑自变量时，的变化趋势, 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.§1函数极限的概念 教学内容：第三章 函数极限——§1函数极限的概念 教学目的：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限． 教学要求：掌握当；；

；；

；

时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限． 教学建议：

本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函 教学过程：

一、时函数的极限 1、引言 设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质.例如　无限增大时，无限地接近于0；

无限增大时，无限地接近于；

无限增大时，与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势.我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数的函数称为“当时有极限”.[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定义 定义1　设为定义在上的函数，为实数.若对任给的，存在正数，使得当时有 , 则称函数当时以为极限.记作 或.3、几点注记（1）定义1中作用与数列极限中作用相同，衡量与的接近程度，正数的作用与数列极限定义中相类似，表明充分大的程度；

但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数n.的邻域描述：当时，（2）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以为中心线，以为宽的带形区域.“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内.如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；

但无论带形区域如何窄，总存在正数，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.（3）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数，则称当或时时以为极限，分别记作，或，或.这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：

当时，当时，.（5）推论：设为定义在上的函数，则.4．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例 例1　证明.例2　证明　1）；

2）.二、时函数的极限 1、引言 上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数.本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，.现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列.先看下面几个例子：

例1.（是定义在上的函数，当时，）例2.（是定义在上的函数，当时，）例3.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；

但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当时，的变化趋势.我们称上述的第一类函数为当时以为极限，记作.和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？ 作如下分析：

“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数”只要充分接近，函数值和的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了.即对，当时，都有.此即.2、时函数极限的定义 定义2　设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当 趋于时以为极限（或称Ａ为时的极限），记作 或（.3、函数极限的定义的几点说明：

（1）是结论，是条件，即由推出.（2）是表示函数与的接近程度的.为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于，必须是任意的.这即的第一个特性——任意性，即是变量；

但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了.以便通过寻找，使得当时成立.这即的第二特性——暂时固定性.即在寻找的过程中是常量；

另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色.也即的第三个特性——多值性；

（）(3)是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ.它的第一个特性是相应性.即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；

一般说来，越小，越小.但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的.这即的第二个特性——多值性.（4）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”.（5）定义中的不等式；

.从而定义2，当时，都有，使得.（6）定义的几何意义.例1． 设，证明：.例2． 设，讨论时的极限.例3． 证明　1）；

2）.例4． 证明.例5． 证明.例6． 证明.例7．证明.证明：

注意到，要想它任意小，可任意小，却不能任意小，当时，它必须远离零点.当时，就远离零点了., 取，则当时, 有.例8． 证明.证明：

先设，要证，要使, 取，则当时，有，即.再设，, 要使，注意到，只要, 且，取，则当时，有，即.例9． 验证 证明：

例10．验证 证明：

由 = 为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有 练习：1）证明;2）证明.三、单侧极限 1．引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如.这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论在时的极限.要在的左右两侧分别讨论.即当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；

当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；

而对，只能在点的右侧，即而趋于0时来考察.为此，引进“单侧极限”的概念.2．单侧极限的定义 定义3 设函数在内有定义，为定数.若对任给的，使得当时有, 则称数为函数当趋于时的右极限，记作 或或.类似可给出左极限定义（，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限.3．例子 例1　讨论函数在的左、右极限.例2　讨论在的左、右极限.例3　讨论函数在处的单侧极限.4．函数极限与的关系.定理3.1.证明：

必要性，, 由, , 使得当时，有，特别地当时，有，故.同理当时，也有, 故.充分性，, 由，, 使得当时，有, 又由, , 使得当时，有.令, 当时，有，故.注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：.还可说明某些函数极限不存在，如由例2知不存在.2），可能毫无关系，如例2.[作业] 教材P47—48 2—7.§3函数极限存在条件 教学章节：第三章函数极限——§3函数极限存在条件 教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性.教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路.教学重点：海涅定理及柯西准则.教学难点：海涅定理及柯西准则运用.教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用.教学程序：

引 言 在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务.本节的结论只对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的.首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）.一、归结原则 定理1（Heine定理）设在内有定义，存在对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.证：必要性 在中任取序列且，要证.，由，使得当时，有.对于，由，使得当时，有，于是当时，有，即.充分性，如果不然，即时，不以为极限，则，，使得.令，则，使得.对于序列，，但，显然与条件矛盾.判断不存在之方法：在中找到两个序列和都趋向于，两个极限和都存在，但不相等，这实际上是充要条件，充分性的证明用本节定理就行了，必要性的证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我们目前也只用到它的充分性.注1 是数列，是数列的极限.所以这个定理把函数的极限归结为数列的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质.注2从Heine定理可以得到一个说明不存在的方法，即“若可找到一个数列，使得不存在；

”或“找到两个都以为极限的数列，使都存在但不相等，则不存在.例1证明不存在.证明：令，, 当然趋于，,当然趋于，故当时没极限.注3．对于这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式.如当时有：

定理2设函数在的某空心邻域内有定义，对任何以为极限的递减数列，有.二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以这种类型为例叙述如下: 定理3　设为定义有上的单调有界函数，则右极限存在.注：定理3可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若（1）在上递增有下界，则存在，且；

（2）在上递减有上界，则存在，且.更一般的有：

定理 设在上定义，且单调上升，则存在且等于.证明：

令, 当集合 有上界时,，当它无上界时，.1）, 由上确界定义，,使得,取，则当时，由函数单调上升得,再由上确界定义 ,或,即.2)因集合无上界，对, , 使得.取，则当时, 有, 即.类似地我们有:在定义，且单调下降,则, 以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明.三函数极限的Cauchy收敛准则 定理４（Cauchy准则）设函数在内有定义，存在任给，存在正数，使得对任何有.证：(利用极限的定义)设.则，（）当时有.从而当，时有(利用Heine归并原则)设且，由假设，（），只要，对此，当时有，从而由数列的收敛准则，存在设为设为另一数列，且则同上可得存在设为 考虑数列易见且 如上所证，存在，作为的两个子列、必收敛于同一极限，即 因此由归结原则得.注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对任意，存在使得.例：用Cauchy准则说明不存在.证明：

取 例5 设在[上函数↘.则极限存在,在 [上有界.(简证,留为作业).综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的工具.[作业] 教材P55 1，2，3，4，6.提示: 第1题用反证法, 第4题用Heine归并原则.

第五篇：《数学分析2》期末考试总结

2012-2013学年第1学期《数学分析2》期末考试总结

本校于2013年01月22日对12级数学与应用数学（2）（3）班的学生进行了数学分析2的期末考试。本次考试采取自命题的方式，多数试题难度适中，少量题目难度颇高，题量适中，具有相当的全面灵活性，符合大纲要求。本试卷各部分内容所占比例为：基础知识占80%，综合分析题目占20%。题型分别为：选择题、叙述定义定理、计算题、证明题等。

本次阅卷采取独立阅卷方式进行，按照参考答案与评分标准给分，证明题则考虑到不同的有效证明思路，做到对每个学生负责。

本次考试的成绩分布情况如下：

优秀：90~100分3人，占5.17%；

良好：80~89分7人，占12.07%；

中等：70~79分14人，占24.14%；

及格：60~69分22人，占37.93%；

不及格：60分以下12人，占20.69%。

从本试卷的各类题型的得分情况来看，综合基础性的选择题和叙述定义定理不太理想，反映了中学阶段的应试教育的训练造成了现阶段的难点，也反映了个别同学对学习不够努力，但对数学专业的学生而言，主动进行学习和全面进行思考，这是基本要求和基本训练。在今后的教学过程中要继续强调这方面的要求。其它方面的得分比较正常。

总之，本试卷全面地反映了学生的学习情况、学习能动性及其真实水平。

任课教师：周颂平

2013-3-1