数的整除性(兰生复旦中学理科班教程)

第一篇：数的整除性(兰生复旦中学理科班教程)

兰生复旦中学数学练习题(六年级)

数的整除性

1.六位数2003能被99整除，它的最后两位数是？

2.有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是？(abc42(abc),所以3|abc，所以9|abc。又abc24，故abc9,or18。验证得756.)

3.下面这个199位整数

10010010011001

199位

被13除，余数是多少？(1)

4.一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是？(23)

5.一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍.这个三位自然数是？

6.三个连续自然数之和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条

件的最小的三个数是？(38,39,40)

7.如果20052005200501能被11整除，那么n的最小值是？(7)

n个2005

8.有一个六位数，前四位是2857，即2857，这六位数能被11和13整除，请你

算出后两位数.(2857xy,则2857xy是143的倍数，所以14)

9.在下面的方框中各填入一个数字，使六位数1111能被17和19整除，那么方框

中的两位数是？(111117*19*???323*3?7)

10.将1996加上一个正整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所

加的整数是？

11.用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除，这个六位数是？

(768768)

12.在算式中91，已知盖住的是一个能被9整除的两位数，盖住的是7的倍数.问：盖住的是什么数？

13.若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是？(5)

14.如果有一个九位数A1999311B能被72整除，试求A,B两数的差(大减小)？(1)

15.设a、b使得6位数a2000b能被26整除.所有这样的6位数是？(13|a20b,所以

13|4ab7，所以4ab713(0,26舍)。所以a=3,b=8;a=4,b=4;a=5,b=2)

16.一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称“十全数”.现知一个十全数

能被1，2，3，4，5，6，…，18整除，并且前四位数是4876，那么这个十全数是？

17.求一个十全数满足下面两个条件：

(1)能被1，2，3，…，10，11，12整除；

(2)与2004的和能被13整除.符合条件的十全数中，最小的一个是？

18.差为2的两个整数，如果每个数的各位数字之和能被7整除，我们就称它们为一对

幸运数.请你写出100至200范围内找出一对幸运数？

19.一个五位数是54的倍数，并且它的各位数字都不为零.删去它的一位数字后所得的四位数仍然是54的倍数.再删去该四位数的一位数字后所得的三位数还是54的倍数.再删去该三位数所得的两位数还是54的倍数.试求原来的五位数.20.试求所有的这样的四位数：它们都是自己各位数字之和的83倍.21.为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3.在密码

中2的数目比3多，而且密码能被3或者4整除.试求出这个密码.22.求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的最末两位是56，它本身还能被

56整除.23.一个整数与12的和能整除该数的平方，则这个整数的最大可能是？

A2A(A12)12A12(A12)144144AA12解答A12A12A12A12

24.若正整数A使得(A42)能整除(42A1)，那么所有这样的A是？

25.应当在如下的？处填上哪个数码使得这个整数可被7整除？(数码5和6各重复了

50次)

66....66?555...55

26.一梯形面积为1400平方米，高为50米.若两底的米数都是整数并且可被8整除.求

两底？

27.已知9位数2005是2008的倍数，这样的九位数有多少个？

28.在数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和能被11整除的数组共有多少个？

29.在十进制十位数中，有多少个能被9整除，并且各位数字都是0或者5的数？

30.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？

31.一本书的页码共需N个数字来表示，例如一本书11页，页码1～11就需13个数

字表示，小东统计了5本书页码所用数字的个数，分别是109，157，1002，1995，2002.这5个统计数据中错误的数据是？

32.100个船员把一些装有货物的大箱子搬运上岸，每个箱子要7个人抬.船长认为，各

个船员的劳动量相同，因为他们每个人都参与搬运了65个箱子.证明：船长的计算有误.33.试将186拆成3个互不相同的自然数的和，使得这3个加数中任何两个的和都可被

第三个整除.34.在1996年中，某个联盟共和国的15个加盟国的总统都相互祝贺了生日.他们每个

人都在其余每个人生日的那天寄去了生日蛋糕，上面都插着蜡烛，蜡烛数恰好是寿星的岁数.试问：这一年里他们互相赠送的蜡烛总数能否刚好等于1997？

35.能否把正整数1至10摆放到一个圆周上，使得其中任何两个相间一个数的数的和

(aiai2)都是3的倍数？

36.某商场向顾客发出9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001

到9999号，如果号码的前两位数之和等于后两位数之和，则称这张购物券是幸运券.试说明：这个商场发出的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除.解答 配对方法。如果abcd(abcd)是幸运数字，那么cdab也是幸运数字。那么

这样所有的数abcdcdab101(abcd)。如果abcd(abcd)即abab101ab。

字都是101的倍数，数字和自然也是101的倍数。

37.下面的数列是一个等差数列，8，15，22，29，36，…

它们前n-1个数乘积的末尾0的个数比前n个数相乘的积的末尾0的个数少3个.求n的最小值.38.一根红色的长线，将它对折，再对折，…经过m次对折后将所得到的线束从中间

剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线段线束从中间剪断，得到一些白色的短线(m > n).若红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数.问：红色短线至少有多少条？

解答 假设对折一次结成一个线圈，再对折一下，段数加倍，m次之后有2段，剪开后有2，在剪断其中一根，得21。

则50|2m12n11，所以n1，25|2m21，则m210。mmm

第二篇：绝对值-(兰生复旦中学理科班教程)

绝对值

1.当a、b满足什么条件时，下列关系成立：

(1)|ab||a||b|，(2)|ab||a||b|

(3)|ab||a||b|(4)|ab||a||b|

(5)|ab||a||b|(6)|ab||ab|

(7)|ab||ab|(8)|ab||ab|

2.若a,b,c,d均为有理数，且|ab|9,|cd|16,|abcd|25，|ba||dc| 

3.若|x1|1

1000,|y1|1

1000，求xy与xy的取值范围。

4.若|ac|

2,|bc|

2，求证|ab|。

5.解下列关于x的不等式。

(1)|x||x1|(2)1|5x1|4

(3)|x1||x2|4(4)|2x1||3x2|(5)222x2x1(6)(x1)|x1|0(7)x

x1x

x1(7)|2x3|x

(8)|x3|2x1(9)|x3|2x1

(10)|x2|a(11)|x4|2a1

6.求下列不等式的整数解(1)2

x19

10(2)2

x139

7.(1)|x3||x1|的最小值是

(2)|x3||x1|的最大值是

8.求y|2x6||x1|4|x1|的最大值 则

9.若y|x1|2|x||x2|且1x2，求y的最大和最小值。

10.若abcd，则当x取何值时，|xa||xc||xd|取得最小值，最小值是多少？

11.当x取何值时，|x1||x2||x3||x2007|取得最小值，最小值是多少？

12.若|x|1,|y|1且u|xy||y1||2yx4|，则uminumax

13.当x变化时，|x5||xt|有最小值2，则常数t的值为

14.满足(|x|1)(|y|1)2的整数对(x,y)共有多少对？

15.(1)若关于x的不等式|x1||x2|a无解，求a的取值范围。

(2)若关于x的不等式|x1||x2|a恒成立，求a的取值范围。

(3)a取怎样的值时，|x1||x2|2a3对一切实数x恒成立。

(4)a取何值时，|x1||x2|3a无解。

(5)若|xa||x||x1|恒成立，求a的取值范围。

216.三台生产同一种产品的机器M1M2M3在x轴上的位置如图所示。M1M2M3生产该产品的效率之比为2：1：3，它们生产的产品都需要沿着x轴运送到检验台检验，而移动所需费用与移动的距离成正比。问检验台应该设在x轴上的何处，才能使移动产品所花费的费用最省？ M

M3

17.将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数。现将每组两个数中的一个记为a，另一个记为b，代入1(|ab|ab)中进行计算，并求出结果。502

组都代入后，可求得50个值，求这50个值的和的最大值。

18.设n个实数x1,x2,...,xn满足|xi|i1(且1nx1|x2||xn|19|x1x2xn|。

19.设x1,x2,...,xn是1到2007这2007个不同的正整数的一个排列，那么不等式0x1x2x3x20072006是否始终成立？

已知x

3，求

|x1||x2||x3||x4||x5||x11||x12||x13|的值

设abc0,abc0，求bccaab的值 |a||b||c|

a、b、c的大小如图所示，求abbccaabac的值。|ab||bc||ca||abac|

c

满足|xy||xy|1的所有整数对(x,y)有多少对？

c||1d，求|已知a,b,c,d满足a1b0c1d，且|a1||b1|,|1

abcd的值。

已知2ba3,2ab5，求|2ba7||b2a8||ab9|的值。

求|x2||x3||x6||x2000|的最小值。

化简：|x5||x7||x10|。

设x,y,z为整数并且满足|xy|的值。

某环形道上顺次排列有四所学校：A1,A2,A3,A4，它们顺次有彩电15台、8台、5台、12台，为使各校的彩电数相同，允许一些中学从相邻的中学调出彩电。问：怎样调配才能使调出的彩电数最小？并求调出彩电的最小总台数。2001|zx|20021，求|xy|3|yz|3|zx|3

第三篇：数的十进制(兰生复旦中学理科班教程)

兰生复旦中学数学提高练习题(六年级)

数的十进制

1.三个两位数的和是40，如果每一个数的十位数与个位数互换，组成三个新的两位

数，它们的和是？

2.甲乙都是两位数，将甲的十位数与个位数对调得丙(甲丙)，将乙的十位数与个位

数对调得丁，丙丁的乘积等于甲乙的乘积，而甲乙两数的数字全为偶数，并且数字不能完全相同(如24和42)，则甲乙两数之和最大值是？

3.一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位

数字是7，试求它们的差？

4.有些三位数：(1)它的各个数位上的数字互不相同；(2)这个三位数等于组成它的三个数字所能组成的所有两位数的和。那么满足以上两个条件的所有三位数的和是？

5.从1～9这9个数字中取出三个可以组成六个不同的三位数。如果六个三位数的和

是3330，那么这六个三位数中最大的是？

6.用1，2，3，4，5，6，7七个数字组成三个两位数，一个一位数。已知这4个数的各个数位上的数字都不相同，并且4个数的和等于100.如果要求其中最大的两位数尽可能大，那么这个最大的两位数是？

7.有两个三位数，它们的和是999，如果把较大数放在较小数的左边，点一个小数点

在两数之间所成的数，正好等于把较小的数放在较大的数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，那么这两个数的差(大减小)为？

8.用十进制表示某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍。求所有这样的自然

数之和？

9.小明和小麦做猜数游戏。小明要小麦任意写一个四位数，小麦就写了2008，小明

要小麦用这个四位数减去各个数位上的数字和，小麦得到了2008－(2+8)=1998。小明又让小麦圈掉一个数，将剩下的数说出来，小麦圈掉了8，告诉小明剩下的三个数1，9，9.小明一下就猜出了圈掉的是8.小麦感到很奇怪。于是又做了一遍游戏，最后剩下的三个数是6，3，7，这次小麦圈掉的数是？

10.将两个不同的质数接起来可以得到一个四位数，比如由17，19可得到一个四位数

1719；有19，17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，是写出所有这样的四位数。

11.一个整数的个位右边写一个3就得到比原整数多一位新整数。若新整数正好是原

整数的首位加3所得整数的3倍，则原整数最小是？

12.有A、B两个整数，A的各位数字之和为35，B的各位数字之和为26，两数相加

进位三次，那么(A+B)的各位数字之和是？

13.小明写自然数从1到N，所写下的数字(一个三位数就有三个数字，一个四位数有

四个数字)之和是28035，那么N＝

14.用1，2，3，4，5，6，7七个数组成三个两位数，一个一位数，并且使这四个数的和等于100，我们要求最大的两位数尽可能小，那么其中最大的两位数是？

15.已知123n的和的个位数字是3，十位数字是0，百位数字不是0，求n

最小值。

16.试求由1，2，3，4，5五个数字不重复所构成的所有不同的五位数之和。

17.用0，1，2，3，4，5六个数字组成四位数字，四个数字互不相同，求全体这样的四位数的和。

18.有三个不同的数(都不为0)组成的所有三位数的和是1332，这样的三位数中最大的是？

19.将没个四位数的每一位数字增加1或者5，可以将它变为原来的4倍，试求原来的四位数。

20.一个六位数的个位数字是6，如果将这个六位数增加6，它的数字和就减少到原来的1

6。求出所有满足条件的六位数。

21.一张汽车票称谓幸运的如果它的前三数之和等于末三位数字之和。问：应该买多

少张连号的车票，才能保证其中至少有一张是幸运的票？

解答 考虑形如的abcabcabc1001幸运数，则

abc1001,(abc1)1001,(abc2)1001,(abc3)1001,...都是幸运数，且间隔为1001，所以每1001个连续的整数中一定有一个是幸运数，所以要取的号数不多于1001.另一方面，对于000001~001000这1000个连续整数而言，其中没有一个是幸运数，所以至少要取1001个。

22.车票的编号从000000到999999，一张车票称谓幸运的如果前三位数字之和等于后

三位数字之和。证明：幸运的车票的张数等于编号的各位数字之和为27的车票的张数。

解答(1)abcdef是幸运数字，则abc(9d)(9e)(9f)数字和为27；(2)abcdef数字和为27，则abcdef27, abc(9d)(9e)(9f)，所以abc(9d)(9e)(9f)是幸运数字。

第四篇：因式分解--乘法(兰生复旦中学理科班教程)（模版）

因式分解

提取公因式法

5d20de

2pq6pq4pq

完全分解下列各式

14acd21cd7cd

2ab3abc4acd

11pq22pq33pq2x(ab)3y(ab)

232

x(2ab)3y(2ab)3a(x3)6b(x3)2x4y8z papapa pzpzpz

5y(m3n)2z(m3n)nanana

222

3x9xy12xy

abcabcabc9y

2a

222333

3xaa

2a

6x

2x

a

15y

a

4x

2aa

4a

b

2n

8a

b1

n2xx1

b2

aa

a

a

a

b2

aa

b

bb1

a

b1

b2

3x6x9x

a6

2a4a4a

3axy6axy12axy

(2aab)(cd)(3ab2a)(cd)

十字相乘法

x6x53xxy2y

x5x6

acx(adbc)xbd

完全分解下列各式

114x49x pp

1k20k a8ab16b ab14ab49

x10xy25y

2x27xy15y23a210ab7b26x25xy6y2

12x2

10x125p2

13p6

5p2

q2

7pq64a2

7a3

4m2

8mn3n2

6p2

7p20

12p214pq40q2

6a219ab20b2

4x2

22x248x2

y2

44xy481431xy15x2

y2

14m2

29m1510a25ab15b2

4p2

2p

x2

xybxby

完全分解下列各式

xaxy3a3yp2

pq2p2q

2x2y2

7xy15

3a2

10a7

6x2y2

5xy6

5p213pq6q2

5p2

7p6

4a2

7a34m2

8m36p2

7p20

6p27pq20q2

6a2

19a202x2

11x126x2

33xy36y2

1431x15x2

14x2

11xy15y2

6x2

9xy81y2

4m2n2

20mn25分组分解法

x3x2

1x

m2

mbmcbc

axayx2

xy

y3y2

y1

24c2c4c3

e2ep2p2

e

a2

a44a

ax2a2

x3xy3ay8pq3qr12pr2q2

x2

y2

5x2

y5xy2

xy3(3x2y)2

6x4y

a22abb2

a2b2

x2

(ab)xab acx2(adbc)xbd

a3b3

a3

3a2

b3ab2

b3

a3

b3

c3

3abc

(对自然数n)anbn

(对奇数n)anbn

16n28nee2

p2

81q4

完全分解下列各式

x2

64

n2

100m2

121y2

m2

3m3nmn

2c2dd2

dc

3bcac6ab2a2

a3a2

a1

24mnab3an8bm

p2qpqr2pr2r2

m3m2

(2m1)

3a6b(a2b)2

公式法

a22abb2

a3b3

4c28cd4d2

4c2b2

a2b2

1

36x2

y8

222

49cde

22c(d2)

224x4xyy 22e6ef9f

9f

24fg16g 22

25p10pqq

49y42yz9z 14

mmnn

nn94

p

pqq

16x4xy

y

x2xyy 9xy42xyz49z 8xy56xy98xy 225x169xy

4(6a5b)(3ab)

m2mnn 49xy25z

6336

ab

a



4b9

x



yz16

4x

32ab2b

ab

c

64xy

612

2n9

4ab(abc)x8yz6xyz

222222

8x12x6x1 32a1 ax5a

2n1

2n5

aababb

752257

8ax

4m6

16ax

n8

2n11

b20a

b

2m4

20ab

4ababc2(abacbc)

2244

xy3xy1

(x1)(x2)(32x)

333

(abc)abc

添项和拆项

a2a3a2a1 x3x4 x3x3x2

432

2x15x38x39x14 3

x2xy3xy4xyy

43223

m

m

mmm1

963

完全分解下列因式

a64b xy

8abc6abc1xxxx 8x22xy15y

333

2315

aababb1

xyz2xy2xz2yzxy xxy6yx7y26x7xy3y11x3 2x5xy3y7y2

3x7x4 x48x7

x9x26x24 aa1

6x13xy6y22x23y20 2y5xy2xayaxa

x(2a1)x(a2a1)xa1

542322222x(63y)x(29y2y)x3(2y2y)x(9y2y)x6y

16x72xy81y8x18y1

4224

(x1)(x1)(x1)

422422

x

5n

x1

n

xx1

abc2ab2bc2ca

第五篇：数值计算(兰生复旦中学理科班教程)

数值计算(六年级)

1.在1到100中找出十个自然数，使它们的倒数和等于1

2.已知

3.在1，,,4.5.求ab1a是即约分数，a与b是一位数，b的倒数等于，求 b9a2b11231中，选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要选多少个数？ ***999的整数部分是多少？ ***000001

1111***8的整数部分。

6.a

7.581114172023262932

1357991，a与相比较，大小关系是？ 246810010

8.4

4110011

1001442100122

10014499910012999

1001441000100121000

1001 2

9.S13333231990

10.S1

35721992123 22221992

221321421n21(n1)2111.S2 2222213141n1(n1)1

12.S(11990)(119902)(119904)(119902)

13.S1234(1)n1n

14.123234345456101112

n

10432422432434432446432458432415.4 4324164324284324404324524324

16.Sn

1234nn与2的大小关系是 248162

1222223232422002220032

 17.12233420022003