专题02
数的整除性
例1
267
提示：333－66＝267．
例2
C
提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3(m－n).例3
a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．
例4
设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)
＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c的系数，应当有，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，则有13
(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，则5a＋7b－22c就能被13整除．
例5
考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1
＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·10k＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10k＋m被7整除，即n＝7．
例6
(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)
(2)a1000＝13＋999＝1
012．
(3)n被4除余数为0或1．
A级
1．1
2．3
143
3．39
798
4．A
5．C
6．B
7．五位数＝10×＋e.又∵为4的倍数．故最值为1
000，又因为为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值为
008.8．324
561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19
提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．
B级
1．2
521
a＝2
520n＋1(n∈N＋)
2．57
3．719
895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．
4．B
5．B
6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．
7．由题意得＋＋＋＋＝3
194，两边加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋
∴222(a＋b＋c)
＝222×14＋86＋．则＋86是222的倍数．
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝
－＝(100a＋10b＋c)－
(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．
可知N为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－
459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．
9．设原六位数为，则6×＝，即6×(1000×＋)＝1000×＋，所以994×－5
999×，即142×＝857×，∵(142，857)＝1，∴
142|，857|，而，为三位数，∴＝142，＝857，故＝142857．
10．设这个数为，则1
000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1
999，即1
001a＋101b＋11c＋2d＝1
999，得a＝1，进而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，则11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故这个四位数是1
976．
11．当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n＝5时，设a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一个为5，若中含1，则不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数,矛盾.若中含9,则不含1,于是不含故含4;
不含故含3;
不含故含2;
但是是10的倍数,矛盾.综上所述,n的最小值为5
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