【内容概述】
能被2，3，4，5，8，9，11整除的数的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题，乘积末尾零的个数的计算．
1.整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)，记作b︱a．如:15÷5=3，所以15能被5整除(5能整除15)，记作5︱15．
反之，则称为不能整除，用“”表示，如715.如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数．如15是5的倍数，5是15的约数．
特别的，注意0÷b=0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数．
还有0÷1=0，所以说1能整除任何整数，1是任何整数的约数．
因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数．
2．整除的性质：
性质1.如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．
如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被C整除．
性质2.如果bc︱a，那么b︱a，c︱a．
如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．
性质3.如果b︱a，c︱a，且b、c互质，那么bc︱a．
如果b、c都能整除，且b和c互质，那么b与c的积能整除a．
性质4.如果c︱b，b︱a，那么c︱a．
如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．
3.一些质数整除的数字特征(约数只有1和它本身的数，称为质数)：
(1)能被2整除的数，其末位数字只能是0，2，4，6，8；
(2)能被3整除的数，其各位的数字和能被3整除；
(3)能被5整除的数，其末位数字只能是0，5；
(4)能被7整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与的差(大减小)能被7整除(即能被7整除，7︱-或7︱-)；
(5)能被11整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与的差(大减小)能被11整除(即能被11整除11︱-或11︱)或者，其所得的差能被11整除；
表示这是一个多位数，而不是q与p、o、c、b、a等数的乘积，下同．
4．对于合数，先把合数分解质因数，再一个一个的考察．这样就化归为质数整除问题，对于分解质因数，详见《质数、合数与分解质因数》．
5．对于一些特殊的合数的判断方法．
能被4整除的数，末两位数能被4整除；
能被8整除的数，末三位数能被8整除；
能被25整除的数，末两位数能被25整除；
能被125整除的数，末三位能被125整除；
能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．
范例1
在公元9世纪，有个印度数学家——花拉子米写有一本《花拉子米算术》，他们计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算过程丢失而经常检验加法运算是否正确．所以后来人把这种算法称为“土盘算法”．
如：1234+1898+18922+678967+178902=889923．他们看1234的数字和为，10除以9余1，1898的数字和除以9余8，18922的数字和除以9余4，678967的数字和除以9余7，178902的数字和除以9余0，余数的和除以9余2；而等式的右边889923除以9的余数为3．所以上面的加法算式一定是错误的．
为什么呢?
6．若干个数相乘，求其末尾有多少个连续的0，只要把这个乘积中的因数2与5的个数分别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾连续的0的个数．
范例2
试求1981×1982×1983×1984×1985×…×2005这25个数相乘，积的末尾有多少个连续的“0”?
【分析与解】其中1985，1990，1995，2000，2005含有因数5分别有1，1，1，3，1个，所以共有l+1+1+3+1=7个因数5；
其中1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004含有因数2，分别有1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2个，所以共有1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25个因数2．
其中因数5较少，含有7个，所以题中25个数的乘积末尾连续的0的个数为7．
评注：多数情况下，若干个连续的数相乘，需求其末尾连续0的个数．因为因数2的个数远多于因数5的个数，所以只考虑因数5的个数即可．
7.还有一种很重要的方法：试除法．如【典型问题】1、2、3、5、6等类问题都可以使用试除法．
如果一个数能同时被多个整数整除，那么一定能被这些数的最小公倍数整除，而求多个数的最小公倍数，则可以采用如下两种方法：
①短除法
求两个或以上数的最小公倍数，可以使用短除法．
范例3
试求120、180、300的最小公倍数．
【分析与解】
于是(120，180，300)=30×2×2×3×5=1800．
②分解质因数
将一组数的每个数严格分解质因数，然后提出每个质因数的最高次所对应的数，将这些提出的数相乘，求出积就是最小公倍数．
8．有时也可以将问题视为数字谜问题，如【典型问题】5、6类问题．
1．173口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?
【分析与解】方法一：利用整除特征
注意能被9，11，6整除的数的特征：
能被9整除的数，其数字和是9的倍数；
能被11整除的数，其和与的差为11的倍数；或将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是11的倍数；
能被6整除的数，其数字和是3的倍数，且末位为0，2，4，6，8的其中之一.1+7+3=ll，当口内填入7时，1735的数字和为18，为9的倍数，所以当口内填7所组成的数为9的倍数；
173口的奇数位数字和为7+口，偶位数数字和为1+3=4，所以当口内填11+4-7=8时，和与的差为11，所组成的数为11的倍数；
1+7+3=11，当口内填入l，4，7时，为3的倍数，但只有4为偶数，所以当口内填入4组成的数为6的倍数．
所以，这三种情况下填人口内的数字的和为7+8+4=19．
方法二：采用试除法
用1730试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．
所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．
所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．
2．如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?
【分析与解】
因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．
而能被7整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是7的倍数；
能被5整数的数，其末位只能是0或5．
方法一：利用整除特征
末位只能为0或5．
①
如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+口+0=21+口，要求数字和是3的倍数，所以口可以为0，3，6，9，验证均不是200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有9l是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90．
②如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征．
所以，题中数的末两位只能是90．
方法二：采用试除法
用199200试除，199200÷105=1897……15，余15可以看成不足(105-15=)90．所以补上90，即在末两位的方格内填人90即可．
3．某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?
【分析与解】
方法一：利用整除特征
因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．
在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80．
又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，，的数字和分别为24+A，26+B，28+C，30+D，对应的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．
而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．
因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．
显然，其末三位依次为3，2，0．
方法二：采用试除法
一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被××5×7=8×9×5×7=2520整除．
用1993000试除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．
4．从0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?
【分析与解】
因为[3，5，7，13]=1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645(100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，有99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185．
所以，满足题意的5位数最大为94185．
5．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少?
【分析与解】
方法一：采用试除法
823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．
有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．
方法二：视作数字谜
假设改动数位不是首位与末位，那么我们考虑3口口口3除以823的商：
30003÷823=36……375；39993÷823=48……489．
所以商在37～48之间，而823的个位3只有与1相乘所得的积才是3，所以这个商的尾数为1，这样的数字在37～48之问，只有41．
有823×41=33743．所以改动31743的千位为3即可．
6．在六位数11口口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?
【分析与解】方法一：采用试除法
如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．
110011÷323=340……191，余191也可以看成不足(323-191=)132．
所以当132+323n是100的倍数时，才能保证在只改动110011的千位、百位数字，而得到323的倍数．
所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，…
验证有n=16时，132+323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．
方法二：视为数字谜
因为[17，19]=323，所以有：
注意，第3行的个位数字为1，于是乘数的个位数字只能为7，所以第3行为323×7=2261；
于是有
所以第4行的末位为10+1-6=5，所以乘数的十位数字只能为5，于是第4行为323×5=1615；
于是有，所以第5行在(110011-16150-2261=)91600～(119911-16150-2261=)101500之间，又是323×100的倍数，所以只能为32300×3=96900；
于是最终有
.所以题中的方框内应填入5，3这两个数字．
7．已知四十一位数55…5口99…9(其中5和9各有20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?
【分析与解】
我们知道这样的六位数一定能整除7、11、13；
下面就可用这个性质来试着求解：
由上知的末6位数999999必定整除7；
有=×1000000+999999；于是只用考察：
×1000000，又因为1000000，7互质，所以1000000对整除7没有影响，所以要求一定是7的倍数．
注意到，实际上我们已经将末尾的6个9除去；
这样，我们将数字9、5均6个一组除去，最后剩下的数为口，即55口99．
我们只用计算55口99当“口”取何值时能被7整除，有口为6时满足.评注：对于含有类似的多位数，考察其整除7、11、13情况时，可以将一组一组的除去，直接考察剩下的数．
8．用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少?
【分析与解】
因为168=20×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．
能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．
在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由上题知形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，口口口688的口不管怎么填都得不到7的倍数．
至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值，必须满足，不然本题无解．
当然验证的确满足．
所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数．
9．将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：***13…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少?
【分析与解】
因为72=×，所以这个数必须是8的倍数，即后三位必须是8的倍数(也一定有后二位为4的倍数，末位为偶数)，且数字和是9的倍数.有456，312，516，920，324，728，132，536…均是4的倍数，但是只有456，920，728，536是8的倍数．
验证这些数对应的自然数的数字和：
456对应123456，数字和为2l，920对应123…91011…1920，数字和为102，728对应123…91011…192021…28，数字和为154，536对应123…91011…192021…293031…36，数字和为207，所以在上面这些数中，只有536对应的123…91011…192021…293031…36既是8的倍数，又是9的倍数．
所以，满足题意的自然数为36．
10．1至9这9个数字，按图4-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在l和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?
【分析与解】
在解这道题之前我们先看一个规律：的差一定是
(如：12365为原序数，那么它对应的反序数为56321，它们的差43956是99的倍数．对于上面的规律想想为什么?)
那么互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．
而396=99×4，所以我们只用考察它能否能被4整除．
于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能．
注意图中的具体数字，有(3，4)处、(8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．
而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．
进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为43-19=24，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之差为62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．
所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．
(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为27，8，12，48，35，9．
11．有15位同学，每位同学都有编号，他们是l号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：
(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．
【分析与解】
(1)列出这14个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15.注意到如果这个数不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，显然超过两个自然数；类。似这种情况的还有3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…；
若不能被7整除，那么一定不能被14整除，而这两个自然数不连续；
若不能被12整除，那么4和3中至少有一个不能整除1号所说的自然数，而12与3、4均不连续；类似这种情况的还有10(对应2和5)；14(对应2和7)；15(对应3和5)；
这样只剩下8、9、11、13，而连续的只有8、9．
所以说的不对的两位同学的编号为8、9这两个连续的自然数．
(2)由(1)知，这个五位数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．
所以[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=×3×5×7×11×13=60060．
所以1号写出的五位数为60060．
12．找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少?
【分析与解】
我们设这四个数中最小的一个数为a，要求4个最大的数与最小的数的和尽可能小，则先尽量让a最小．
当a=1，设4个数中另外三个数中某个数为b，有等必须为整数，而=1+，则2能被(b-1)整除，显然(b-1)只能为2或1，对应b只能是3或2，但是题中要求a至少能与三个数存在差能被和整除的关系，所以不满足．
当a=2，设4个数中另外三个数中某个数为c，有必须为整数，而=l+，则4能被(c-2)整除，有(c-2)可以为4、2、1，对应c可以为6、4或3．
验证6、4、3、2是满足条件的数组，它们的中间两个数的和为4+3=7即为题中条件下的和．
试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．
【试题分析】
取六个数1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到15个和：
1+2，l+3，…，5+6．
这15个和的最小公倍数是：
×××5×7×11=27720．
把它依次乘所取的六个数得：27720，55440，83160，110880，138600及166320.这六个数就满足题目的要求．
13．把若干个自然数1，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?
【分析与解】
方法一：要求乘积的末十三位均是0，那么这个乘积至少含有13个质因数2，13个质因数5．
连续的自然数中2的倍数的个数远大于5的倍数的个数．所以只用考虑质因数5的个数，有：13×5=65，而1～65中，25、50均含有2个质因数5．
所以只需连乘到(13-2)×5=55即可．也就是说1×2×3×…的积的末十三位均是0，那么最后出现的自然数最小应是55．
方法二：我们分段考虑质因数5的出现的情况：
在1至9中，有5本身，出现1次因数5；
在10至19中，有10、15，出现2次因数5；
在20至29中，有20、25，由于25=5×5，5出现了2次，所以共出现3次因数5；
在30至39、40至49中，各出现2次5的因子，至此共出现了l+2+3+2+2=10次5的因子．
在50至59中，有50、55、50=2×5×5出现了两次5的次因子，所以这里共有3个5的因子．
所以到55为止，共出现13次5的因子，55为出现的最小自然数，使得2乘到它的结果中末尾有13个0．
14.975×935×972×口，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数?
【分析与解】
975含有2个质因数5，935含有1个质因数5，972含有2个质因数2．而975×935×972×口的乘积最后4个数都是0．
那么，至少需要4个质因数5，4个质因数2．
所以，口至少含有1个质因数5，2个质因数2，即最小为5×2×2=20．
15．如图4-2，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数．可以连续地数出几个零?
【分析与解】
如下图，我们在图中标出每个数含有质因数2、5的个数，除第一行外，每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数2、5的个数也都是上一行左、右上方两数含有质因数2、5个数的和．
所以，最后一行的一个数含有10个质因数2，15个质因数5．
而一个数末尾含有连续0的个数决定于质因数2、5个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾含有10个连续的0．
习题1
1～9九个数字按图4-3所示的次序排成一个圆圈，请在某两个数之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开?
习题2
有20位同学，每位同学都有编号，他们是1号到20号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：
(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你，1号写的数是七位数，请求出这个数．
习题1
【分析与解】
在解这道题之前我们先看一个规律：
与的差一定是
(如：12365为原序数，那么它对应的反序数为56321，它们的差43956是99的倍数．对于上面的规律想想为什么?)
那么互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．
而396=99×4，所以我们只用考察它能否能被4整除．
于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能．
注意图中的具体数字，有(3，8)处、(8，1)处、(1，6)处、(4，9)处、(9，2)处、(2，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．
而(6，4)处、(5，7)处、(7，3)处奇偶性相同，有可能满足．
进一步验证，有(6，4)处剪开的末两位数字之差为94-16=78，不是4的倍数，不满足．
(5，7)处剪开则有末两位数字之差为37-25=12，是4的倍数，满足．
(7，3)处剪开则有末两位数字之差为83-57=26，不是4的倍数，不满足．
所以只能从5、7处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．
习题2
【分析与解】(1)列出这19个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20．24、6、8、10、12、14、16、18、20，所以一定能被2整除；36、9、12、15、18，所以一定能被3整除：48、12、16、20，所以一定能被4整除；510、15、20，所以一定能被5整除；
612、18，所以一定能被6整除；
714，但是7、14不连续，所以一定能被7整除；
816，但是8、16不连续，所以一定能被8整除；
918，但是9、18不连续，所以一定能被9整除；
1020，但是10、20不连续，所以一定能被20整除：
11，保留；
12不能被3或4整除，它们又不连续，所以一定能被12整除；
13，保留；
14不能被2或7整除，它们又不连续，所以一定能被14整除；
15不能被3或5整除，它们又不连续，所以一定能被15整除；
16，保留；
17，保留；
18不能被2或9整除，它们又不连续，所以一定能被18整除；
19，保留；
20不能被4或5整除，它们又不连续，所以一定能被20整除．
其中，保留的数有11，13，16，17，19，但是只有16、17两个数连续，所以说得不对的两个同学的编号为16、17．
(2)由(1)知，这个七位数能被2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20整除．如下所示：
[2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20]=××5×7×11×13×19=6846840．
所以1号写出的七位数为6846840．
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