初中数学竞赛之数的整除教案

第一篇：初中数学竞赛之数的整除教案

二． 数的整除

设有两个整数a,b(b0)，如果存在另一整数q，使得aqb，则称a能被b整除；或称b能整除a；

b

若b能被a整除，我们称a是b的倍数，b是a的约数，并记作b|a.若a不能被b整除，则记作aŒ我们曾学过下述有关整除的判别法则：

（1）被2或被5整除的数的特征是：末位数字能被2或5整除（2）被4或25整除的数的特征是：最后两位数字能被4或25整除（3）被8或125整除的数的 特征是：最后三位数字能被8或125整除（4）被3或9整除的数的特征是：各位上的数的和能被3或9整除

（5）被11整除的数的特征是：奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除 1.判断下列各数那些可以被4整除？那些可以被25整除？

457565

456575

184062

186240

333325436 2.789789、456456456456、67896789、***819能被11整除吗？

在解题过程中我们常用到下述性质 性质1 若ab，bc，则ac.证明：a|b,b|c

存在正整数p和q，使得bpa，cqb

代入可得cq(pa)(qp)a

a|c

性质2 若证明：a|b,a|c，则a|(bc)

a|b,a|c

 存在正整数p和q，使得bpa，cqa  bcpaqa(pq)a

 a|(bc)

同理我们可以得到：若a|b,a|c，则a|(k1bk2c)，其中k1,k2为整数 性质3 若a,b互质，且abc，则a|c 性质4 若a,b互质，且 a|c,b|c，则ab|c 例1.已知九位数32a35717b能被72整除，求a,b

提示：能被72整除则一定既能被8整除又能被9整除

练习1： 已知七位数13xy45z能被792整除，求x,y,z

例2.|9x5y）已知7|(13x8y)，证明：7（证明：因为9x5y5(13x8y)7(8x5y)又又 7|(13x8y)， 7|5(13x8y)

7|(8x5y)

7|[5(13x8y)7(8x5y)]

|9x5y）即7（注：对于“已知式子A能被数p 整除求证式B能被p”类题目，其思路为：将B表示成被7整除的代数式的形式即可；比如此题，就可以将B表示为：Bk1A7C（其中C为含字母x、y的整式）的形式。其问题在于如何找出k2和C，我们可以采取以下方法：

我们不妨假设9x5yk1(13x8y)7(k2xk3y)

我们知道对任意的x,y 等式左右两边恒等，所以化简成MxNy0的形式后各系数为零 可得：k213k1958k1，k3

由于k2,k3都是整数，所以简单试验可得：

k15,k28,k35

进而得到：9x5y5(13x8y)7(8x5y)

|9xy5）y8 吗？)

思考：反过来，已知7（，你能证明7|(1x3练习2：已知x,y为整数，17|(2a3b)，证明：17|(9a5b)

练习3 已知x,y为整数，且5|(x9y)，证明：5|(8x7y)

练习4 已知a,b,c,d,m,n为整数，n|(mab)且n|(mcd)，证明：n|(adbc)

第二篇：数的整除教案

1、使学生理解自然数与整数的意义．

2、使学生掌握整除、约数与倍数的概念．

3、培养学生抽象概括与观察物的能力． 教学过程

一、建议自然数与整数的概念

1、谈话引入：今天这节课，我们学习数的整除．（板书课题）

2、教师提问：既然是数的整除，自然就与数有关，同学们都学过什么数？

（教师板书：整数、小数、分数）

同学们会数数吧？（学生数数）

（教师板书：1、2、3、4、5、）

继续数下去，能数到头吗？

数不到头，我们可以用一个什么标点符号来表示呢？

（教师板书：“„„”）

3、教师小结：

用来表示物体个数的1、2、3、4、5等等，叫做自然数．（板书：自然数）

提问：最小的自然数是几？有最大的自然数吗？

当一个物体也没有时，我们用几来表示？（板书：0）

二、建立整除的概念

1、教师明确：数的整除，不仅与数有关，还与除有关，一说到除，在家就会想到两个数相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是两个数相除，但是在小学阶段，我们研究整除不包括“0”．

2、出示卡片 1.2÷4

提问：在数的整除中研究这样的两个数相除吗？为什么？

3、再出示卡片：10÷20，16÷5，15÷3，36÷9，24÷2

提问：这几个式子中的被除数和除数都是什么数？

教师明确：被除数和除数都是自然数，这是我们研究数的整除的一个非常重要的条件．

4、教师说明：被除数和除数都是自然数，如：10÷20，我们能不能说10能被20整除呢？还不能，还要看它的商．

组织学生口算出5张卡片的商．（其中16÷5指定回答“商几余几”）

提问：被除数和除数都是自然数，商可能有哪几种情况？

排除没有整除关系的卡片，指15÷3=5一类的卡片，说明：只有这样的，我们才能说15能被3整除．

5、学生举例

6、提问：用字母a表示这样的被除数，用b表示这样的除数，商怎么样，我们就说a能被b整除呢？

这样看来，整除除了被除数和除数都是自然数外，还得有一个什么条件？

教师明确：商是自然数，没有余数是整除的又一个重要的条件．

7、出示卡片（区别整除和除尽）

4÷3=1.3 18÷18=1 7÷5=1.4

4÷0.2=20 42÷6=7

三、建立约数与倍数的概念

1、教师说明：当数a能被数b整除时，a就是b的倍数；b就是a的约数．

2、联想训练：教师说一句由学生说出另外两句．

如：教师：15能被3整除（生：15是3的倍数，3是15的约数）

教师：36是9的倍数（生：36能被9整除，9是36的约）

教师：2是24的约数(生：24能被2整除, 24是2的倍数)

教师：7不能被4整除(生：7不是4的倍数,4又不是7的约数)

3、区分“倍数”与“几倍”

教师提问：能说4是0.2的倍数吗?为什么?

4、判断

12是3的倍数()7是21的约数()

1是25的约数()3.6是3的倍数()

4是约数()（说明：通过此题，深化倍数、约数相互依存的关系）

四、巩固练习

思考题：1，3，6，9，12这几个数中谁与谁之间有约数和倍数的关系？

五、课堂小结

1、数的整除是在自然数范围内讨论的．

2、两个数之间，一旦具备整除关系，那么这两个数之间必定还具有约数、倍数的关系．所以，整除是前提，倍数、约数是在这个前提下必然产生的一种结果．

六、布置作业

1、下面的说法对吗？说出理由．

（1）因为36÷9＝4，所以36是倍数，9是约数．

（2）57是3的倍数．

（3）1是1、2、3、4、5，„„的约数．

2、一个数是42的约数，同时又是3的倍数．这个数可以是多少？

七、板书设计 数的整除

整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）

如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或因数）．

探究活动 把数分类 活动目的

1、使学生掌握奇数、偶数、约数、倍数的交叉关系和区别．

2、帮助学生建立完整的知识结构． 活动题目

桌上有20张卡片，在这些卡片上分别写着1，2，3，„19，20这20个数．请将这20个数加以分类． 活动过程

1、学生以小组为单位讨论．

2、汇报讨论结果．

3、交流收获． 参考答案

要把这20个数分类，首先确定分类标准，不同的标准有不同的分类方法．

1、根据数的奇偶性分类．

奇数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19

偶数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20

2、根据数的位数分类．

一位数：1，2，3，4，5，6，7，8，9

两位数：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

3、根据是否大于8分类．

大于8：9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

不大于8：1，2，3，4，5，6，7，8

4、根据约数个数的多少分类．

一个约数：1

两个约数：2，3，5，7，11，13，17，19

两个以上约数：4，6，8，9，10，12，14，15，16

5、根据约数的个数是否是奇数分类．

约数的个数是奇数：1，4，9，16

约数的个数是偶数：2，3，5，6，7，8，10，11，12，13，14，15，17，18，19，20

第三篇：被9整除的数教案

“创造”的教与学——《能被9整除数的特征》教学案例

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义务教育阶段的数学课程，不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解，增进学好数学的信心。

学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。

一、“创造”的教 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

教材中对于“能被3整除数的特征”的归纳是通过找余数与这个数数位上的数字之间的关系来进行总结的，而任意一个自然数除以3只有余数0、1、2这三种情况。在教学过程中，学生很难通过余数发现与自然数的数位上数字的关系。因此，教师想到了如果先研究“能被9整除数的特征”的特征呢？任意一个自然数除以9有余数0、1、2、……6、7、8九种情况，与所研究的自然数的数位上的数字更容易建立关系，有利于学生的观察与理解。

虽然“能被9整除的数的特征”是教材中没有涉及的部分，但是却能很好的帮助学生通过借助能被9整除数的特征，以及3和9之间的关系，去理解能被3整除数的特征。分散了知识点的难度，同时也渗透了知识间的内在联系。

二、“创造”的学

《新课程标准》提出：“动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学学习活动应是一个活泼的、主动的和富有个性的过程”。这一理念不仅告诉我们创新意识和实践能力紧密想随，而且要使学生的探索经历和获取新发现的体验成为数学学习的重要途径。1．

设“井”激趣数学的学习方式不能再是单一的、枯燥的，以被动听讲和练习为主的方式，它应该是一个充满生命力的过程。【片断一】出示：87602860、51001758、65064345、85992639师：老师这里有几位同学家的电话号码。问：每个电话号码都是一个八位数，这四个数中哪些能被2整除？你怎么判断的？哪些能被5整除？判断的依据是什么？ 生答：87602860、51001758能被2整除，个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除；87602860、65064345这两个数能被5整除，个位上是0或5的数能被5整除。问：哪些数能被9整除呢？你有什么办法吗？生：① 看个位，认为85992639能被9整除。②

算，可以口算、笔算，大数目可以用计算器帮助。③ 各数位上的数字和能否被9整除

师：同学们说了这么多种发法，那就用你们想到的方法来找找看哪些数能被9整除。生：对这四个数进行验证，得出51001758能被9整除。

交流想法：能被9整除的数看个位是不成立的，85992639不能被9整除；如果身边没有计算工具，算起来很不方便；如果各数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除。这个方法比较好，很快捷。生质疑：看“各数位上的数字和能否被9整除”这个方法对于每个数都成立成立吗？为什么成立呢？ 在课上，同学们受“能被2或5整除数的特征”经验的影响，在验证、讨论的过程中，许多不正确的结论被一一否定，而只留下把“各数位上的数字相加求和，看和与9的关系”的方法。这个方法学生们找不到反例，但又迫切的想了解为什么？这样不仅抑制了前面所学知识的负迁移，同时又激发学生的学习欲望。当学生意识到了“各数位上的数字相加求和，看和与9的关系”这个方法时，发现、解决问题的过程就有了目标，为最终问题的解决提供一个可能的方向。创设问题情境，把静态的知识结论转化为动态的探索对象，使学生在经历类似于数学家的探索创造过程中，激发探索意识，养成探索习惯，提高再创造的能力。2． 追根溯源

“学习任何知识的最佳途径是有学生自己去发现。因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的内在规律联系。”

让学生自己去体验，用自己的思维方式去探究，这就是一个再创造的过程。如果离开了学生的学习活动，学生的发展就会落空。

判断一个数能否被9整除，不能只从一个数的某一位上的数来判断，必须把这个数各个数位上的数相加求和，如果和能被9整除，这个数就能被9整除。这一结论与能被2、5整除的数的特征相比而言不容易被发现，不容易理解。因此，就把重点放在了“说理”上，不仅要使学生知其然，还要使他们知其所以然。在分析推理能被9整除的数的特征的过程中，充分重视学生的年龄、心理特点，利用他们已有的知识基础，分层次逐步进行研究。【片断二】⑴先引领学生集体先对整十数和整百数进行分析，找出整十数与

9、整百数与99的关系，作为认识任意自然数能否被9整除数的特征的基础和突破口；问：10能被9整除吗？你怎么知道的？20、30呢？答：10÷9＝1…1，所以10不能被9整除，可以把10写成10=9×1+1。20÷9＝2…2，所以20不能被9整除，可以把20写成20=9×2+2。30÷9＝3…3，所以30不能被9整除，可以把30写成30=9×3+3。生发现：①整十数都可以写成9乘几加几的形式。

②余数正好是整十数十位上的数。问：那判断整十数能否被9整除有更简单的方法吗？答：直接看整十数十位上的数字。过渡：整十数能否被9整除的我们会了，那整百数呢？ 问：100能被9整除吗？2000呢? 你又发现了什么？答：100不能被9整除，因为100÷9＝11…1，所以100去掉1个99还余1。100可以写成99×1+1。200不能被9整除，因为200÷9＝22…2，所以200去掉2个99还余2。200可以写成99×2+2。发现：余数与整百数百位上的数字相同。问：要很快的判断出整百数能被否被9整除看什么？生：看整百数的百位就可以了。⑵再小组合作把几百几十的数变成几个百、几个十的组合形式，与9和99建立联系，分散难点，初步归纳能被9整除数的特征；问：100能被9整除吗？80能被9整除吗？180呢？你能用前面的知识，小组合作研究为什么吗？小组探究：因为，180 100＝99×1 + 1 80＝ 9×8 + 8

能被9整除 1+8＝9 能被9整除

所以，180能被9整除。

发现：余数和与这个数的数位上的数字和是相同的，所以可以看这个数的数位上的数字和。⑶最后当学生发现这种暗含的关系后，他们可以把任意一个自然数变成由几个百、几个

十、几个一的组合形式，与9和99建立联系，重视学生从具体到抽象，从一般中概括推力出结论的能力的培养。问：这有一个三位数216，你能马上判断出它能被9整除吗？怎么判断的？答：能。2+1+6=9能被9整除，216能被9整除。通过观察拆分之后的余数，学生发现余数和与所给数的数位上的数字和相同，所以可以直接看所给数的各个数位上的数字和能否被9整除。在这节课结束的时候，学生根据自己的理解、用自己的语言归纳出了“能被9整除的数的特征”。

课上学生有了充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚的明确自己的思想，并有机会分享自己和他人的想法，在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。在合作交流、与人分享和独立思考的氛围中，倾听、质疑、说明、推广而直至感到豁然开朗。

第四篇：初一数学 数的整除性_答案

专题02

数的整除性

例1

267

提示：333－66＝267．

例2

C

提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3(m－n).例3

a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．

例4

设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)

＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c的系数，应当有，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，则有13

(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，则5a＋7b－22c就能被13整除．

例5

考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1

＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·10k＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10k＋m被7整除，即n＝7．

例6

(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)

(2)a1000＝13＋999＝1

012．

(3)n被4除余数为0或1．

A级

1．1

2．3

143

3．39

798

4．A

5．C

6．B

7．五位数＝10×＋e.又∵为4的倍数．故最值为1

000，又因为为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值为

008.8．324

561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19

提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．

B级

1．2

521

a＝2

520n＋1(n∈N＋)

2．57

3．719

895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．

4．B

5．B

6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．

7．由题意得＋＋＋＋＝3

194，两边加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋

∴222(a＋b＋c)

＝222×14＋86＋．则＋86是222的倍数．

且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．

8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝

－＝(100a＋10b＋c)－

(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．

可知N为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－

459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．

9．设原六位数为，则6×＝，即6×(1000×＋)＝1000×＋，所以994×－5

999×，即142×＝857×，∵(142，857)＝1，∴

142|，857|，而，为三位数，∴＝142，＝857，故＝142857．

10．设这个数为，则1

000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1

999，即1

001a＋101b＋11c＋2d＝1

999，得a＝1，进而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，则11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故这个四位数是1

976．

11．当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n＝5时，设a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一个为5，若中含1，则不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数,矛盾.若中含9,则不含1,于是不含故含4;

不含故含3;

不含故含2;

但是是10的倍数,矛盾.综上所述,n的最小值为5

第五篇：数的整除反思

“数的整除”教学反思

东于中心校水屯营小学校

刘瑞红

在“数的整除”这部分内容中，虽然学生已经学过，但数的整除都是一些纯数学的概念，掌握的情况并不是很理想，针对这种情况，我是先让学生在课前预习，让他们对整除中的概念有一个温习的过程，接着在课堂上在通过老师的引导，让学生系统、全面地把所有的概念结合起来，用图例来让学生认识每一个概念的由来，与其他概念的结合点，最后通过练习进一步加深理解。

在今天的课堂上，出现了很多的问题：

第一，每一概念的出现都是教师硬塞给学生的。课后我也反思了，为什么会这样呢？我觉得问题还是出在我的设计上，如：公倍数出现，教师让学生去找两个数的倍数，然后提出把两个集合图并起来，再得出什么是公倍数，什么是公约数。在这过程中，老师是让学生做什么，学生就去做什么，学生的自主意识完全没了，学生也不知道为什么要这样做，做了之后会得到什么。我想，在我今后的复习课中，应尽量避免这样的情况再次出现，第二，每个概念之间的衔接不恰当，导致学生的思维比较乱。解析：概念多，如：在教学完能被2、3、5整除数的特征后，我是想通过38÷2＝19，让学生通过说，38是2的倍数，2是38的约数，从而引出倍数和约数的概念，但为了让学生理解2的倍数，就是能被2整除的数的特征，再次提到能被2整除的数。再如，如何让学生系统地认识“倍数——公数数——最小公倍数，约数——公约数——最大公约数”这两组概念间的关系。第三，课堂效率并不高，解析：概念联系性强，如：有关约数，可以根据约数的个数可将自然数分成1、质数和合数，同时为了方便，我们可以将合数进行分解质因数，分解后每个因数就是这个合数的质因数，这个质因数一定是个质数，这一连串的关系比较抽象。

另外，在这堂课中的唯一收获，就是总结，在总结中，我是与学生连说每个概念，边把概念与概念之间的联系线板书出来。要这个总结中，才达到了我最后的教学目标，把所有的概念系统化了，让学生全面地认识知识。

改进：学生课前预习，课堂中让学生先说说每个概念及意义，再集体整理。