平行线证明题讲义

第一篇：平行线证明题讲义

上海市重点中学七年级数学精讲精练

平行线证明题

1．已知：如图，AE是一条直线，O是AE上一点，OB、OD分别是∠AOC、∠EOC的平分线。求证：OB⊥OD

第1题图

2．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠AMD=104°, ∠BAC=76°

求证：∠BEF=∠

ADM

第2题图第3题图

3．（1）画图：（保留画图痕迹，不写作法）

①过C点作CD⊥AB，垂足为D；

②过D点作DE∥BC，交AC于E；

③取BC的中点G，作GF⊥AB，垂足为F。

（2）用量角器量一量∠CDE和∠BGF，它们相等吗？如果相等，请加以证明。（根据画图，写出已知，求证和证明）

4．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°.求证：AB∥CD。

第4题图第5题图

5．已知：如图，AD∥BC。求证：∠B+∠C+∠BAC=180°。

6.如图已知：AD∥BC，DC∥BE，∠A=∠D。

求证：∠CBE=∠ABC。

第6题图

7.根据下列证明过程填空：

如下图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，且∠1=∠4，求证：∠ADG=∠C

图7

证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC()

∴∠2=∠3=90°

∴BD∥EF()

∴∠4=_____()

∵∠1=∠4()

∴∠1=_____()

∴DG∥BC()

∴∠ADG=∠C()

8.阅读下面的证明过程，指出其错误.图8

已知△ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：过A作DE∥BC，且使∠1=∠C

∵DE∥BC(画图)

∴∠2=∠B(两直线平行，内错角相等)

∵∠1=∠C(画图)

∴∠B+∠C+∠3=∠2+∠1+∠3=180°

即∠BAC+∠B+∠C=180°

9.已知：如图22，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°，求证：DA⊥AB.图9

第二篇：平行线证明题

一次函数的应用 专题练习题

1．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．

2．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，求∠B的度数

3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．

4．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．

5．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．

6．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．

7．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= ；若∠A=n°，则∠BEC= ．

【探究】

（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= ；（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请

说明理由；

（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

第三篇：平行线证明题

平行线

平行线的判定总共有六种：

1.同位角相等,两直线平行.2.内错角相等,两直线平行.3.同旁内角互补,两直线平行.4.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.（平行公理的推论，也叫平行的传递性）

5.如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行.(平行线的判定公理的推论)

6.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线

平行线的性质；

1.两直线平行，同位角相等。

2.两直线平行，内错角相等。

3.两直线平行，同旁内角互补。

4.在同一平面内的两线平行并且不在一条直线上的直线。

辅助线：一般会画平行线，来确定角的关系！

1．如图1，延长BC，过C作CE∥AB

2．如图2，过A作EF∥AB

3．如图3，过A作AD∥BC。利用同旁内角之和为180度

4．如图4，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，DF∥AC。

[一]、平行线的判定

一、填空

1．如图１，若A=3，则∥；若2=E，则∥；

若+= 180°，则∥．c d A a E a 52 23 b B b C A B图４ 图３ 图１ 图２

2．若a⊥c，b⊥c，则ab．

3．如图２，写出一个能判定直线l1∥l2的条件：．

4．在四边形ABCD中，∠A +∠B = 180°，则∥（）．

5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则∥。

6．如图４，∠

1、∠

2、∠

3、∠

4、∠5中，同位角有；

（第1页，共3页）

内错角有；同旁内角有． 7．如图５，填空并在括号中填理由：

（1）由∠ABD =∠CDB得∥（）；（2）由∠CAD =∠ACB得∥（）；

（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得∥（）A D Dl1 2 14 5 3l2 C B C

图７ 图５ 图６

8．如图６，尽可能多地写出直线l1∥l2的条件：．

9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD的条件来：． 10．如图８，推理填空：

（1）∵∠A =∠（已知），A∴AC∥ED（）；

（2）∵∠2 =∠（已知），2∴AC∥ED（）；（3）∵∠A +∠= 180°（已知），B D C∴AB∥FD（）；

图８

（4）∵∠2 +∠= 180°（已知），∴AC∥ED（）；

二、解答下列各题

11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．

D

F

B图９

12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4，∠AFE =60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说

明理由．

C

图10

13．如图11，直线AB、CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ．

E

B

[二]、平行线的性质

（第2页，共3页）

P

F

Q 图1

1D

一、填空

1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 =，∠3 =，∠4 =． 2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE =．C

F 1 BB ED DF

B C A B D

图1 图2 图4 图

33．如图3所示

（1）若EF∥AC，则∠A +∠= 180°，∠F + ∠= 180°（）．（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．

（3）若∠A +∠= 180°，则AE∥BF．

4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 =．

5．如图5，AB∥CD，EG⊥AB于G，∠1 = 50°，则∠E =．

E C

l

1A2 F B F G

l2D F D C C A G

图6 图7 图8图

56．如图6，直线l1∥l2，AB⊥l1于O，BC与l2交于E，∠1 = 43°，则∠2 =． 7．如图7，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有． 8．如图8，AB∥EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有个．

二、解答下列各题

9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．A CF

D 10．如图10，DE∥BC，∠D∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB的度数．

图9

E

B C

图10 11．如图11，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）

（第3页，共3页）

E

图1

1B

C D

12．如图12，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1 +∠2 = 90°．

求证：（1）AB∥CD；（2）∠2 +∠3 = 90°．

BA

D C F

图

25．如图，△ABC中，∠B=∠ACB，CD是高，求证．∠BCD=

∠A． 2

6．已知，如图，△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC． 求证．∠DAE=

（∠C－∠B）． 2

例2.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F，∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠AFB=120°．求证：BE⊥AC．

19、已知如图，O是四边形ABCD的两条对角线的交点，过点O作OE∥CD，交AD于E，作OF∥ BC，交AB于F，连接EF。求证：EF∥BD

（第4页，共3页）

第四篇：平行线证明题

平行线证明题

直线AB和直线CD平行

因为,∠AEF=∠EFD.所以AB平行于CD

内错角相等，两直线平行

EM与FN平行因为EM是∠AEF的平分线,FN是∠EFD的平分线,所以角MEF=1/2角AEF,角EFN=1/2角EFD

因为,∠AEF=∠EFD，所以角MEF=角EFN

所以EM与FN平行，内错角相等，两直线平行

2第五章相交线与平行线试卷

一、填空题：

1、平面内两条直线的位置关系可能是或。

2、“两直线平行，同位角相等”的题设是，结论是。

3、∠A和∠B是邻补角，且∠A比∠B大200，则∠A=度，∠B=度。

4、如图1，O是直线AB上的点，OD是∠COB的平分线，若∠AOC=400，则∠BOD=

0。

5、如图2，如果AB‖CD，那么∠B+∠F+∠E+∠D=0。

6、如图3，图中ABCD-是一个正方体，则图中与BC所在的直线平行的直线有条。

7、如图4，直线‖，且∠1=280，∠2=500，则∠ACB=0。

8、如图5，若A是直线DE上一点，且BC‖DE，则∠2+∠4+∠5=0。

9、在同一平面内，如果直线‖，‖，则与的位置关系是。

10、如图6，∠ABC=1200，∠BCD=850，AB‖ED，则∠CDE0。

二、选择题：各小题只有唯一一个正确答案，请将正确答案的代号填在题后的括号内

11、已知：如图7，∠1=600，∠2=1200，∠3=700，则∠4的度数是()

A、700B、600C、500D、40012、已知：如图8，下列条件中，不能判断直线‖的是()

A、∠1=∠3B、∠2=∠3C、∠4=∠5D、∠2+∠4=180013、如图9，已知AB‖CD，HI‖FG，EF⊥CD于F，∠1=400，那么∠EHI=()

A、400B、450C、500D、55014、一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角()

A、相等B、相等或互补C、互补D、不能确定

15、下列语句中，是假命题的个数是()

①过点p作直线BC的垂线;②延长线段MN;③直线没有延长线;④射线有延长线。

A、0个B、1个C、2个D、3个

16、两条直线被第三条直线所截，则()

A、同位角相等B、内错角相等

C、同旁内角互补D、以上结论都不对

17、如图10，AB‖CD，则()

A、∠BAD+∠BCD=1800B、∠ABC+∠BAD=1800

C、∠ABC+∠BCD=1800D、∠ABC+∠ADC=180018、如图11，∠ABC=900，BD⊥AC，下列关系式中不一定成立的是()

A、AB>ADB、AC>BCC、BD+CD>BCD、CD>BD19、如图12，下面给出四个判断：①∠1和∠3是同位角;②∠1和∠5是同位角;③∠1和∠2是同旁内角;④∠1和∠4是内错角。其中错误的是()

A、①②B、①②③C、②④D、③④

三、完成下面的证明推理过程，并在括号里填上根据

21、已知，如图13，CD平分∠ACB，DE‖BC，∠AED=820。求∠EDC的度数。

证明：∵DE‖BC(已知)

∴∠ACB=∠AED()

∠EDC=∠DCB()

又∵CD平分∠ACB(已知)

∴∠DCB=∠ACB()

又∵∠AED=820(已知)

∴∠ACB=820()

∴∠DCB==410()

∴∠EDC=410()

22、如图14，已知AOB为直线，OC平分∠BOD，EO⊥OC于O。试说明：OE平分∠AOD。

解：∵AOB是直线(已知)

∴∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOA=1800()

又∵EO⊥OC于O(已知)

∴∠COD+∠DOE=900()

∴∠BOC+∠EOA=900()

又∵OC平分∠BOD(已知)

∴∠BOC=∠COD()

∴∠DOE=∠EOA()

∴OE平分∠AOD()

四、解答题：

23、已知，如图16，AB‖CD，GH是相交于直线AB、EF的直线，且∠1+∠2=1800。试说明：CD‖EF。

24、如图18，已知AB‖CD，∠A=600，∠ECD=1200。求∠ECA的度数。

五、探索题(第27、28题各4分，本大题共8分)

25、如图19，已知AB‖DE，∠ABC=800，∠CDE=1400。请你探索出一种(只须一种)添加辅助线求出∠BCD度数的方法，并求出∠BCD的度数。

26、阅读下面的材料，并完成后面提出的问题。

(1)已知，如图20，AB‖DF，请你探究一下∠BCF与∠B、∠F的数量有何关系，并说明理由。

(2)在图20中，当点C向左移动到图21所示的位置时，∠BCF与∠B、∠F又有怎样的数量关系呢?

(3)在图20中，当点C向上移动到图22所示的位置时，∠BCF与∠B、∠F又有怎样的数量关系呢?

(4)在图20中，当点C向下移动到图23所示的位置时，∠BCF与∠B、∠F又有怎样的数量关系呢?

分析与探究的过程如下：

在图20中，过点C作CE‖AB

∵CE‖AB(作图)

AB‖DF(已知)

∴AB‖EC‖DF(平行于同一条直线的两条直线平行)

∴∠B+∠1=∠F+∠2=1800(两直线平行，同旁内角互补)

∴∠B+∠1+∠2+∠F=3600(等式的性质)

即∠BCF+∠B+∠F=3600

在图21中，过点C作CE‖AB

∵CE‖AB(作图)

AB‖DF(已知)

∴AB‖EC‖DF(平行于同一条直线的两条直线平行)

∴∠B=∠1，∠F=∠2(两直线平行，内错角相等)

∴∠B+∠F=∠1+∠2(等式的性质)

即∠BCF=∠B+∠F

直接写出第(3)小题的结论：(不须证明)。

由上面的探索过程可知，点C的位置不同，∠BCF与∠B、∠F的数量关系就不同，请你仿照前面的推理过程，自己完成第(4)小题的推理过程。

第五篇：初一平行线证明题

初一平行线证明题

用反证法

A平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为p

B平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为Q

假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

所以A一定平行于B

证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O又因为a‖b,a‖c所以过O有b、c两条直线平行于a这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。因为a‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推论)

2“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有:1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行.2、三角形或梯形的中位线定理.3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.4、平行四边形的性质定理.5、若一直线上有两点在另一直线的同旁).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选C认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JLZE一B/（一、图月一飞/匕一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行.例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B).例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF.(l)求证:EF//Bc

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3.两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

1.两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：

(1)平行—没有公共点;

(2)相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2.两个平面平行的判定定理表述为：

4.两个平面平行具有如下性质：

(1)两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

(3)如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等

用反证法

A平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为p

B平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为Q

假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

所以A一定平行于B