一道不等式证明题的研究[五篇范文]

第一篇：一道不等式证明题的研究

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一道不等式证明题的研究

作者：丛俐

来源：《数理化学习·高一二版》2012年第12期

摘要：不等式的证明对逻辑推理能力要求较高，历来是高考中学生公认的难点.教学中如何高效引导学生对不等式的证明进行有效地思维，一直是数学教师“永远的痛”，笔者结合一道经典的例题给出了完整的思维过程，对推动这一难点的研究尽一点微薄之力.关键词：求比法；变形的求差法；变形的基本不等式法；放缩法；导数法

不等式的证明，是高中数学中对逻辑推理能力要求较高的内容.因题型广、起点高、证法活、难度大等方面的原因，不少省编教材已将其列入理科生的选学内容.不等式的证明只要掌握正确的思维过程，学生的畏惧心理就会得到有效的调节.思维过程依次为①比较法（求差或求比都可以考虑）；②基本不等式法（常用的几个不等式最好能牢记）；③分析综合法（二者往往同时出现）；④其他方法（放缩法、数学归纳法等）.如果再注意表达严谨，得分率就可能有明显提高了.这里，笔者结合一道不等式的证明题的思维过程，具体谈谈不等式证明的相关要点.这道证明题，在各类教材辅导用书中出现的概率比较大.其原因有三：一是作为试题，该题在考查相关知识点的考卷中出现的频率高；二是考生对该题普遍出现“动手率高、得分率低”的怪状，有一定的指导价值；三是二次根式是学生的薄弱环节，对提高学生的数学运算能力大有帮助.面对这道习题，学生理所当然地首先考虑比较法.众所周知，比较法的关键在于对“差”或“比”进行变形，变形的方法较多，常用的有配方法、因式分解法、有理化法.本题求差还是求比？观察到两边都是绝对值，利用求比也就比较合乎常理了.

第二篇：三角形三边关系不等式的证明题

三角形边角不等式关系练习题

一、边的不等关系证明

1、如图1，在△ABC的边AB上截取AD=AC，连结CD，（1）说明2AD＞CD的理由（填空）；

解：∵AD+AC＞CD（）又∵AD=AC（）

∴AD+AD＞CD（）

A ∴2AD＞CD（2）说明BD＜BC的理由。

D解：∵_______＜BC（）

又∵AD=AC（）B图1 C ∴AB–AD＜BC（）

而AB–AD=BD A ∴BD＜BC（）

2、如图2，△ABC中，AB=BC，D是AB延长线上的点，说明AD＞DC的理由。

B DC 图2

2、如图3，已知P是△ABC内任意一点，则有AB+AC＞PB+PC.图3

3.如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD>AC+BC成立吗？•说明你的理由．4.如图，已知△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD－BC＜AD－AB．

5．如图，△ABC中，D是AB上一点．求证：（1）AB＋BC＋CA＞2CD；（2）AB＋2CD＞AC＋BC．

6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证：AB+AE+证明：∵AD⊥BC()∴AB＞AD()在△AEC中，AE+EC>AC()又∵AE为中线()∴EC=

1BC>AD+AC 211BC()即AE+BC>AC()221BC＞AD+AC 2 ∴AB+AE+7.已知如图：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.参考答案

A2.解：延长BP交AC于E，在△PEC中，PE+EC＞PC ∴BP+EP+EC＞BP+PC 即BE+EC＞BP+PC.在△ABE中，AE+AB＞BE∴AE+EC+AB＞BE+EC，即AC+AB＞BE+EC，∴AB+AC＞PB+PC P

4.AD－AB＝AC＋CD－AB＝CD，∵ BD－BC＜CD，∴ BD－BC＜AD－AB． B

5.（1）AC＋AD＞CD，BC＋BD＞CD，两式相加：AB＋BC＋CA＞2CD．（2）AD＋CD＞AC，BD＋CD＞BC，两式相加：AB＋2CD＞AC＋BC． 7.（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

AA

F MDEGN

DE

BCB 图11图12C

EC3

第三篇：高二数学----不等式的证明题及解答

不等式的证明训练题及解答

一、选择题

(1)若logab为整数,且loga1122>logablogba,那么下列四个结论①>b>a②logab+logba=0bb

③0

x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|=

1+(3)若x,y∈R,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（）11

)xy

(4)若x>0,y>0,且xy≤axy成立,则a的最小值是（）

2(5)已知a,b∈R,则下列各式中成立的是（）

22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb

222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b

+(6)设a,b∈R,且ab-a-b≥1,则有（）++b≥2(2+1)+b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1)

二、填空题

22(7)已知x+y=1,则3x+4y2(8)设x=y,则x+y(9)若11≤a≤5,则a+5a(10)A=1+111与n(n∈N)2n

(11)实数x=x-y,则xy

三、解答证明题

2422(12)用分析法证明:3(1+a+a)≥(1+a+a)

(13)用分析法证明:ab+cd≤

a2c2(14)用分析法证明下列不等式:

(1)求证:71(2)求证:x1(3)求证:a,b,c∈R,求证:2（+

x2x3x4(x≥4)

ababc)3(abc)23

(15)若a,b>0,2c>a+b,求证:(1)c>ab；（2）c-c2ab2,求证:

+

1x1y

与中至少有一个小于yx

(17)设a,b,c∈R,证明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥(18)已知1≤x+y≤2,求证:

122

≤x+xy+y≤2

n(n1)(n1)2

an(19)设an=223n(n1)(n∈N),求证:对所有n(n22

*

∈N)2

(20)已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明:(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的证明训练题参考答案：

1．A2．B3．D4．B5．A6．A

*

7．58．-19．［2,26

］10．A≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5

12．证明:要证3(1+a+a)≥(1+a+a)

222222222

只需证3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即证3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a)≧1+a+a=(a+

123)+>0 24

只需证3(1+a-a)≥1+a+a，展开得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422

故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．证明:①当ab+cd<0时,ab+cd

②当ab+cd≥0时,欲证ab+cd≤acbd

2222

只需证(ab+cd)≤(a2c2b2d2)

展开得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)

***2

即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc

22222

只需证ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0

因为(ad-bc)≥0ab+cd≥0时,ab+cd≤a2c2b2d22

22222222

综合①②可知:ab+cd≤a2c2b2d214．证明:(1)欲证71 只需证()2(1)2

展开得12+235>16+2,即2>4+2 只需证(2)>(4+2)，即4>这显然成立

故71(2)欲证x1只需证x1即证(x1

x2x3x4(x≥4)x4x3x2(x≥4)

x4)2(x3x2)2(x≥4)

展开得2x-5+2x1x42x52x3x2 即x1)(x4)(x3)(x2)

只需证［x1)(x4)］<［(x3)(x2)］

即证x-5x+4

x1x2x3x4(x≥4)(3)欲证2（ababcab)≤3(abc)23

只需证a+b-2ab≤a+b+c-3

即证c+2ab≥3

+

≧a,b,c∈R，≨c+2ab=c+ab+ab≥3cabab3

≨c+2ab≥3abc15．证明:（1）≧ab≤（ab222)

（2）欲证c-c2ab

只需证-c2ab

只需证a(a+b)<2ac

≧a>0,只要证a+b<2c(已知)16．证明:(反证法):假设

1y1x1y1x

与均不小于2,即≥2,≥2,≨1+x≥2y,1+y≥2xyxy

两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾, 故

1x1y

与中至少有一个小于yx

17．证明:目标不等式左边整理成关于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222

判别式Δ=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0

222

当Δ=0时,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02

18．证明:设x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2

sin2θ)2

13212222

≧sin2θ∈［-1,1］≨k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222

n(n1)2

19．证明:≧n(n1)n=n,≨an>1+2+3+…+n=

1223n(n1)2(12n)nn(n1)n又an

222222

≨x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+

n(n2)n22n1(n1)2

,故命题对n∈N222

20．证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等价

于证明|α|<2,|β|<22|α+β|<4+αβ,且|αβ444

222222

441604()(4)244

2

(4)(4)0

44

2

4或24242444



2或24



22,2.

2

22



第四篇：数学论文 一道不等式证明题所引起的思考

一道不等式证明题所引起的思考

王伟卿洛阳市第四十六中学

原问题：设a,b,x,yR,且a2b21,x2y21,试求ax+by1.这是洛阳市2010——2011学年第二学期期中考试高二数学（理）试卷的第19题。考查范围是人教A版选修2—2第二章《推理证明》相关的不等式证明问题。笔者在批改试卷时发现学生在处理本道题时采用了许多种不同的方法，虽然有些方法还不成熟，还存在一些问题，但让我还是感到了欣喜。

高中数学新课程标准中指出：培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的重要途径。因此，在新课标下数学的学习要注重学生思维，创造力的培养，一题多解恰恰可以体现学生发散性思维的创造力，运用以前学过的知识解决问题。

就本题而言，学生完全可以采用选修2—2第二章《推理证明》中所讲到的综合法、分析法、反证法来做。下面列举学生的以下处理方法。

（一）综合法：

证明：由题意a2b2x2y2

2又a2x22axb2y22by

2ax2bya2b2x2y22

即axby

1又ax+byaxby

ax+by1

此种方法应该在处理上和理解上都没有什么问题，而且简单明了。而在实际考试中，很少同学可以想到运用此种方法，即使想到的，也存在对绝对值符号的运用问题，不理想。

（二）分析法：

证明：要证明ax+by1成立

只需证ax+by1

即a2x22axbyb2y21

又a2b2x2y21

只需证a2x22axbyb2y2a2b2x2y2

即2axbya2y2b2x2

即a2y22axbyb2x20

即aybx0恒成立

ax+by1成立

此种方法是大部分同学采用的，也很好理解，只是在“1”的代换上可能还不够熟练，有些同学解题过程有些问题。建议老师在处理此种方法时一定要让学生充分体会“1”的代换上的妙用。

（三）反证法： 22

证明：假设ax+by1

则ax+by1

即a2x22axbyb2y21

又a2b2x2y21

a2x22axbyb2y2a2b2x2y2

即2axbyaybx

222222即a2y22axbyb2x20即aybx0

与事实上aybx0相矛盾

原命题 ax+by1成立

在学习过反证法后，很多学生认为什么证明题目都可以用反证法，尤其在不等式证明题中。当然此题用反证法也不错。

以上这些都是基本的常规方法，学生应当掌握。下面让我看看学生采用的向量法、三角还原法。实在不错，值得推广。

（四）向量法： 2证明：设m(a,b),n(x,y)

又a2b21x2y21 m1n1又m nax+by，且m nmncosm,ncosm,nax+bycosm,n又cosm,n

1ax+by1

（五）三角还原法：

证明：由题意：设a=sin,b=cos;

x=sin,y=cos

ax+by=sinsincoscos

=cos()

又cos()1

ax+by1

对于同一道题目，从不同的角度去分析研究，可以引发出多种不同的解法，是学生在处理问题时，充分运用所学的基本不等式，三角函数、向量知识等等来解决问题，不仅可以达到对知识的活学活用，也让学生感受到学习数学的兴趣和喜悦。在一定程度上开拓了学生的思维空间。

第五篇：证明题

一、听力部分

1—5 ACACB6—10 ABCBC11—15 ACABC16—20 CABAA

二、单选

21—25 ABBCC26—30 DBACC31—35 DCCDB

三、完形填空

36—40 BACCD41—45 AABAB

四、阅读理解

46-50 ABBCD51—55 BBABD56—60 DADCD 61—65 TFTFF

五、综合填空

66.hear67.advice

71.discuss72.angry

六、情景交际

76—80CFAED

七 作文

该卷分工情况

第五大题：史永利

第七答题：孙荣花68.how to73.them董丽萍 陈志宏69.understanding70.feel74.true75.goes 周婷平晓蕾