函数背景下的不等式证明（大全5篇）

第一篇：函数背景下的不等式证明

函数背景下的不等式证明

郑文龙

（广东汕尾海丰彭湃中学516400）

给出一个特定的函数，先研究其单调性、极值或恒成立等问题，以此为基础，最后证明一个不等式，我们不妨把该类问题称为函数背景下的不等式证明问题。函数与不等式相结合的综合问题在近几年的高考试题中大量出现，已经成为高考的热点题型。学生解答时颇感棘手，为此本文对此类题的解题方法略作探讨，供读者参考。

一、利用函数最值构造不等式证明

例1已知函数f(x)lnx1． x

（1）试判断函数f(x)的单调性；

1n1n(2)试证明：对nN，不等式ln恒成立． nn*e

1n，问题可转化为证明lnxex，n

lnx1lnxlnx1，联系到函数f(x)1，实际上要证1f(x)1，由即证xexxe分析：观察不等式左右两边的形式，令x

此求出函数f(x)的最大值，问题便可解决。

解：（１）∵f(x)1lnx x

2令f(x)0，得xe，当0xe时f(x)0，当xe时f(x)0，∴函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减。

（2）由（1）知当x(0,)时，f(x)maxf(e)

∴在(0,)上恒有f(x)

即lnx111，xe11 elnx1当且仅当xe时等号成立，xe

1∴对任意的x(0,)恒有lnxx e

1n1n1n

0且e，nnn1n11nln

nen

令x

1n1n即ln 

nn

1n1n

所以，对nN*，不等式ln恒成立． 

nn例2已知函数f(x)exx（e为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的最小值；

e

e

e12n1n

（2）若nN*，证明： 

e1nnnn

e

与某个n项和的形式联系起e

1来，则不等式可以转化为比较项与项之间的大小关系。注意到，问题(1)暗示本

nnnn

分析：不等式左边是n项和的形式，若能把

题可以从最小值入手，即exx1突破项与项之间的大小关系。

解：（1）f(x)exx，f(x)ex1,，令f(x)0，得x0． ∴当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0．

∴函数f(x)exx在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增． ∴当x0时，f(x)有最小值1．

（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有exx1，即exx1．

kk*

令xnN,k1,2,,n1，则01en，nn



k

n

kkkn(k1,2,,n1)．ee∴1n

n

nkk

即e(k1,2,,n1)．n

n

12n1n(n1)∴e(n2)e2e11 ennnn

1en1e 11

e11e1e

nnnn

e12n1n

∴． 

e1nnnn

nnnn

二、构造辅助函数证明

例3（07山东理科22题）设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0．（Ⅰ）当b

时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

2（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

11

1（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式ln123都成立．

nnn

分析：观察不等式的形式，令x，不等式就是ln(x1)x2x3，即n

x3x2ln(x1)，结合函数f(x)x2bln(x1)的形式，当b1时，即证x3f(x)，可以通过构造辅助函数h(x)x3f(x)，只要h(x)的最小值大于0即可。解：（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）证明：当b1时，函数f(x)x2ln(x1)，令函数h(x)x3f(x)x3x2ln(x1)，13x3(x1)2

则h(x)3x2x． x1x1

当x[0,)时，h(x)0，所以函数h(x)在[0,)上单调递增，又h(0)0，x(0,)时，恒有h(x)h(0)0，即x3x2ln(x1)恒成立．

故当x(0,)时，有ln(x1)x2x3． 对任意正整数n，取x

1111

(0,)，则有ln123． nnnn

所以结论成立．

三、利用恒成立构造适当不等式证明

例4已知函数f(x)

lnx1

。xx

k

恒成立，求实数k的取值范围； x1

（2）求证：n1!n1en2，nN*

（1）如果当x1时，不等式f(x)



分析：要证n1!n1en2，即证ln12232n2(n1)n2，不等式的左边可以转化为是n项和的形式，若能把n2与n项和的形式联系起来，则不等式可以转化为比较项与项之间的大小关系。问题(1)暗示可从恒成立问题中构造出适当不等式解决项与项之间的大小比较问题。

k(x1)(1lnx)(x1)(1lnx)

k，记g(x)解：（1）f(x) 

x1xx



(x1)(1lnx)x(x1)(1lnx)xlnx

则g(x) 

x2x2

令h(x)xlnx，则h(x)1

x

x1，h(x)0

h(x)在[1,)上单调递增，h(x)h(1)10，从而g(x)0

g(x)在[1,)上也单调递增，g(x)g(1)2，当x1时，g(x)k恒成立，只须k2，故实数k的取值范围为(,2]。

2x122

11（2）由（1）知f(x)恒成立，即lnx

x1x1x1x

令xn(n1)，则lnn(n1)1

n(n1)

222

ln(12)1，ln(23)1，……，lnn(n1)1

1223n(n1)

叠加后，得

111

ln12232n2(n1)n2n(n1)1223

11

n21n2 n2

n1n1

12232n2(n1)en2









n1!n1en2nN*

（07福建理科22）已知函数f(x)ekx,xR．

x

（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）设函数F(x)f(x)f(x)，求证：F(1)F(2)F(n)e解：（Ⅲ）∵F(x)f(x)f(x)exex



n1

2，nN*．



n



F(x1)F(x2)ex1x2e(x1x2)ex1x2ex1x2ex1x2e(x1x2)2ex1x22

∴F(1)F(n)en12，F(2)F(n1)en12，…………………………F(n)F(1)en12 由此得，F(1)F(2)F(n)2F(1)F(n)F(2)F(n1)F(n)F(1)en12n

故F(1)F(2)F(n)e



n1

2，nN*．



n2



第二篇：《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

摘 要

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.-i

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第一章 绪论

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.-

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第二章 预备知识

定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；

矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩； 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域P上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：

（1）以数域P中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个sn矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行列交叉点上的k2个元素按原来的次序组成的k级行列式称为A的一个k级子式.定义5设A为mn矩阵,称线性方程组Ax0的解空间为A的零空间(即核空间)，记作NA,即NAxAx0.引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 n阶方阵A可逆A0.111证明:充分性:当dA0,由A(A*)(A*)AE知A可逆，且A1A*.ddd必要性:如果A可逆，那么有A1使AA1E.两边取列式，得AA1E1，因而A0.引理4[1] 矩阵的秩是r的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为0，同时所有的r1级子式全为0.引理5[1] 如果向量组可以由向量组线性表出，那么的秩不超过的秩.证明：根据已知可知向量组极大线性无关组可由的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组极大线性无关组的向量个数不超过的极大线性无关组的向量个数，即的秩不超过的秩.引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为nr，这里r表示系数矩阵的秩，nr也是自由未知量的个数.-

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第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1 rArAT．

证明：由矩阵转置的定义,A的行向量组就是AT的列向量组，因此A的行秩就是AT的列秩，又由引理1知rArAT，命题证毕.命题3.2 rkArA（其中k0）.证明：kA的行向量组可由A的行向量组线性表出，A的行向量组也可由kA的行向量组线性表出，因此kA的行向量组与A的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知kA与A的秩相等,命题证毕.命题3.3 A是一个sn矩阵，如果P是ss可逆矩阵，Q是nn可逆矩阵，那么rArPArAQ.证明：令BPA,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知rBrA,但是由AP1A，又有rArB．

所以rArBrPA.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.n,如rAn命题3.4[2] 设A是一个n阶方阵，则rA*1,如rAn1

0,如rAn2.证明：若rAn，由引理3，A0，知A可逆，A*AA1可逆，故rAn． 若rAn1，由引理4，A存在n1阶子式不为0，因此A*0,rA1，又因为AA*AE0，有rArA*n，即rA*nrA1，从而rA*1．

若rAn2，则由引理4，A存在n1阶子式全为0，于是A*=0，即rA*0．命题证毕.从这个命题可以得出rA*rA的结论.-

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命题3.5［３］ 设A是一个mn矩阵，任取A的s行t列,交叉处的st个元素按原来的相对位置构成st子矩阵C，则rCmnrAst．

证明:设D为A的s行所构成的st子矩阵，它由C所在的s行确定.设rDd.则A的任意一个大于dms阶的子式M必须至少有d1行出现在D中.根据行列式的性质，对这个子式M按出现在D中的那些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个M可以表示成D的一些阶子式的线性组合，其中k为某个大于d的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于dms阶子式M必须等于零.由秩的定义,rArDms.由行与列的对称性类似地可推出rDrCnt,两式相加即可得到

rCmnrAst，命题证毕.命题3.6［４］ 设A,B都是n阶矩阵,证明:rABABrArB.证明:rABABrABEBrABEBrArB，命题证毕.例3.1 设A为n阶方阵，求证必存在正整数m使得rAmrAm1.证明:由于A为n阶方阵，则nrArA2rAi0,其中i为正整数,而n是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数m使得rAmrAm1.例3.2设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，证明

rABErAErBE.证明:因为ABEAEABE,所以

rABErAEABErAErABErAErBE.命题3.7设A为n阶矩阵，证明:如果A2E,那么rAErAEn.证明： 因为AEAEA2AAEEE0,由命题5.3知

rAErAEn.①

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又 rAErAErAEAEr2ArA

而A2E，所以A21,即A0，rAn.因此

rAErAEn.②

由①，② 可得rAErAEn.例3.3[5] 设A,B为n阶方阵,且ABA=B1,则rEABrEABn.证明:因为ABAB1,所以AB2E.由命题3.7知

rABErABEn(1)由 rEABrABE，rEABrABE(2)由(1),(2)知有rEABrEABn成立.例3.4设A为n阶矩阵,且A2A,证明rArAEn.证明：由A2A，可得 AAE0.rArAEn ①

又因为EA和AE 有相同的秩,所以

nrErAEArArEA ②

由①，② 可得rArAEn.-

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第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式

本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射．

命题4.1 A设为n阶方阵，如果A的列向量所生成的Rn的子空间RA与A的零空间（即核空间）NA的直和为Rn，则rArA2.证明:根据引理6，要证rArA2，只要证AX0与A2X0同解．

AX0的解显然为方程组A2X0的解.下面我们用反证法证明A2X0的任一解Y同时也是A2X0的解.若AY0，因AAY0,故AYNA.另一方面，AYyiiRA，其中

i1nA1,2,,n，Yy1,y2,,yn, 从而 0AYRANA, 这与RnRANA矛盾,所以A2X0的任一解同时也是AX0的解,于是它们同解,故rArA2.命题4.2 设A为mn矩阵，B为n1矩阵，证明Sylrester公式：

TrA+rB-nrAB.证明:设A为mn矩阵，B为n1矩阵, x1y1ABX0(1)考虑X，Y, 方程组BX0(2), xy(3)AY0nn设（1）（2）（3）的解空间分别为VAB，VB，VA，则dimVAnrA，将三者联系起来，作BXxVAB，则它为VA的子空间，从而

dimBXxVABdimVAnrA，-

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又VB为VAB的子空间，作：

VABVBW

一方面dimWdimVABdimVB1rAB1rBrBrAB 下证WBXXVAB

定义 f:WBXXVAB

fB

易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.dimWdimBXXVABrBrAB

但上面：

dimBXXVABdimVAnrA.因此 nrArBrAB，即 rArBnrAB．

命题4.3 设A为mn，B为nm矩阵，ABBA．证rABrArBrAB． 证明:设w1,w2,w3,w4分别为A,B,AB,AB行空间,那么

dimw1rA, dimw2rB dimw3rAB, dimw4rAB

由于w3w1w2,并由维数公式得: dimw3dimw1w2dimw1dimw2dimw1w2即得: rABrArBdimw1w2(1)由于AB的行向量是B的行向量的线性组合,所以有w4w2,又ABBA,所以有w4w1,因此有w4w1w2,所以有

rABdimw1w2(2).-

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将(2)代入(1)即得: rABrArBrAB.命题4.4 若rABrB，证明rABCrBC.证明：设方程组ABX0与BX0的解空间分别为VAB，VB.若rABrB，则根据引理6知dimVABdimVB

① 又因为满足BX0解向量也满足ABX0,所以VABVB

② 由① ②可推出VABVB.要证rABCrBC，只要证ABCX0与BCX0同解.设方程组ABCX0与BCX0的解空间分别为VABC，VBC.显然VABCVBC,只要证VABCVBC.由ABCX0知CXVABVB,即BCX0，因此VABCVBC，命题得证.此例是一个有价值的结论.例4.1 n阶矩阵A满足A2A当且仅当rArAEn.12A0 1证明：先证明必要性.由AA知A相似于形如0的对角阵，其中1的个数为rA,又EA与EA0相似，从而有相同的秩，而

1，EA010其中0的个数为A的秩，1的个数nrA.所以

rArEArArEA0rAnrA0.充分性.只要证明对任意X均有A2XAX即可.由rArEAn说

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明,AX10的解空间V1与EAX20的解空间V2满足V1V2Rn,从而对任意X存在唯一分解

XX1X2其中X1V1X2V2,所以

A2XA2X1X2AAX1AAX20AAX20X2AX1AX2AX1X2

AX

综上即证A2A.命题4.5设A,B分别是mm,mn矩阵，其中A为可逆矩阵,证明r(AB)r(B).证明：设ABQ,A(1,2,...,m),B(1,2,...,n),Q(1,2,...,n)，则(1,2,...,m)11,(1,2,...,m)22,...,(1,2,...,m)nn 因为A为可逆矩阵，秩为m，故可将(1,2,...,m)看做m维线性空间的一组基，则向量1,2,...,n在这组基下的坐标向量分别为1,2,...,n.作

l(1,2,...,n),l(1,2,...,n)，在这两个线性空间中构造映射，将l(1,2,...,n)中的每个向量映射到在基(1,2,...,m)下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此l(1,2,...,n),l(1,2,...,n)这两个线性空间同构，所以

dim(l(1,2,...,n))dim(l(1,2,...,n))，而dim(l(1,2,...,n))r(B),dim(l(1,2,...,n))r(AB).所以r(AB)r(B).同理可证明当B为可逆矩阵时,r(AB)r(A).这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.-

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第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式

本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.B是mp矩阵,则rA或rBrABrArB.命题5.1设A是mn矩阵，证明：AB列向量组向量的个数比A和B多，所以rA或rBrAB． 下面证明rABrArB.不妨设Ai1,Ai2,Air1与Bj1,Bj2,Bjr2分别是A与B的列向量组的极大线性无关组,则AB的每个列向量均可用向量组

Ai1,Ai2,Air1,Bj1,Bj2,Bjr2

线性表出,根据引理5可知

rABrAi1,Ai2,Air1,Bj1,Bj2,Bjr2r1r2rArB.命题证毕.命题5.2设A,B是mn矩阵，rArBrABrArB.证明：先证明rABrArB.设

AA1,A2,AnBB1,B2,Bn ，则

ABA1B1,A2B2,AnBn.不妨设Ai1,Ai2,Air1与Bj1,Bj2,Bjr2分别是A与B的列向量组的极大线性无关组，则有

Ask1Ai1k2Ai2kr1Air1s1,2,,n

Bsl1Bi1l2Bi2lr2Bir2

AsBsk1Ai1k2Ai2kr1Air1l1Bi1l2Bi2lr2Bir2

即AB的列向量可以由Ai1,Ai2,Air1,Bj1,Bj2,Bjr2线性表出，由引理5知

rABrAi1,Ai2,Air1,Bj1,Bj2,Bjr2r1r2rArB.0

-湖南科技大学2011届本科生毕业论文

再证明rArBrAB.由刚证明的结论rABrArB可知

rArABBrABrBrABrB, 移项得到

rArBrAB, 同理可得rBrArAB,因此rArBrAB.综上所述我们证明了rArBrABrArB，对于rArBrABrArB，只要把以上证明过程的B改成B即可得证，命题证毕.由命题3.1rArAT,命题3.2rkArA（其中k0）和本命题可推知

rkAlBrArB（其中kl0）.例5.1设A,B是mn矩阵,证明:rABrAB.证明:先证明rABrAB.设AA1,A2,An BB1,B2,Bn, 则ABA1B1,A2B2,AnBn ABA1,A2,An,B1,B2,Bn.不妨设Ai1,Ai2,Air1与Bj1,Bj2,Bjr2分别是A与B的列向量组的极大线性无关组，则有

Ask1Ai1k2Ai2kr1Air1s1,2,,n

Bsl1Bi1l2Bi2lr2Bir2

AsBsk1Ai1k2Ai2kr1Air1l1Bi1l2Bi2lr2Bir2

即AB的列向量可以由Ai1,Ai2,Air1,Bj1,Bj2,Bjr2线性表出,由于

Ai1,Ai2,Air1,Bj1,Bj2,Bjr2

也是来自于AB的列向量组的向量,所以AB的列向量也可以由AB的列向量组线性表出,根据引理5可知rABrAB.对于rABrAB, 只要把以上证

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明过程的B改成B即可得证，命题证毕.命题5.3设A是mn矩阵，B是np矩阵，如果AB0，则rArBn.证明：设 BB1,B2,,Bp，则ABAB1,AB2,,ABp0.故有AB1AB2ABp0,即齐次方程组AX0有p个解B1,B2,,Bp.若rAr，则根据引理6,B1,B2,,Bp可由nr个解向量组成的基础解系线性表出.根据引理5有rBnr,rArBrnrn,命题证毕.例5.2 A是mn矩阵，则rATArAATrArAT.证明：由命题3.1知rArAT.下面我们先证明rATArA.只要证明ATAX0与AX0同解便可得到rATArA.一方面，满足AX0解向量也满足ATAX0；

另一方面，由ATAX0两边同时左乘XT得到XTATAX0，即AXTAX0，k1T20,所以ki0i1,2,,n，AX0，设AX,那么AXAXk12knkn满足ATAX0的解也满足AX0．

综上所述ATAX0与AX0同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知

nrATAnrA，rATArA.对rAATrAT证明过程与此类似，所以rATArAATrArAT，命题证毕.例5.3 证明：若线性方程组AX0的解均为BX0的解，则rArB.证明：设方程组AX0与BX0的解空间分别为VA,VB，若线性方程组AX0的解均为BX0的解，则

VAVB,dimVAdimVB-12

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根据引理6有nrAnrB,即rArB，命题得证.例5.4设A为mn矩阵，B为n1矩阵，证明ABX0与BX0同解的充分必要条件为rABrB.证明：设方程组ABX0,BX0解空间分别为VAB,VB.必要性：若VABVB，dimVABdimVB,根据引理6可知

nrABnrB, 可以推出rABrB.充分性：若rABrB，则根据引理6知

dimVABdimVB ①

又因为满足BX0解向量也满足ABX0,所以

VABVB ②

由① ②可推出VABVB.命题证毕.命题5.4设A是数域P上nm矩阵，B是数域P上ms矩阵，证明rABminrA,rB即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明: 构造齐次线性方程组ABX0与BX0,设方程组ABX0与BX0的解空间分别为VAB,VB.显然，满足BX0解向量也满足ABX0,所以VABVB,dimVABdimVB, 根据引理6知rABrB.再构造齐次线性方程组BTATX0与ATX0，同理可得rBTATrAT,即rABrA.综上所述rABminrA,rB.此命题用归纳法可以推广为：如果AA1A2Am那么秩(A)min秩(Aj).1jm例5.4 如果mn方程组AX0的解为方程b1x1b2x2bnxn0的解，其中

A'Xx1,x2,,xn，求证rrA.b,b,,bn12-13

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A证明：由已知可知AX0与X0同解，根据引理6它们的系数矩阵

b1,b2,,bnA的秩相等,所以 rrA.b,b,,bn12-14

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第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例6.1[4] 设A是数域P上nm矩阵，B是数域P上ms矩阵，求证rABminrA,rB,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩．

a11a12aa证明：设A2122an1an2a1mb11ba2m，B21banmm1

b12b1sb22b2s

bm2bms令B1,B2,,Bm表示B的行向量，C1,C2,,Cn表示CAB的行向量。由于Ci的第j个分量和ai1B1ai2B2aimBm的第j个分量都等于aikbkj，因而

k1mCiai1B1ai2B2aimBm(i1,2,,n)，即矩阵AB的行向量组C1,C2,,Cn可经B的行向量组线性表出,所以AB的秩不超过B的秩，即rABrB.同样，令A1,A2,,Am表示A的列向量，D1,D2,,Ds表示CAB的列向量，则有

Dib1iA1b2iA2bmiAm(i1,2,,s).AB的列向量组可经矩阵A的列向量组线性表出，所以rABrA，也就是

rABminrA,rB.例6.2设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，求证

rABErAErBE.AE证明:因为0BEBEB0ABE0, E0BE0BEr(AE)r(BE).BEABE0AE故r(ABE)rrBE00因此rABErAErBE.5

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命题6.1设A，B是mn矩阵，则rABrArB.A0证明：构造分块矩阵，对其施行用广义初等变换可得

0BA0ABAAB.0B0B0B根据初等变换不改变矩阵的秩可以推出

A0AABABrrrrAB

①

B0B0BA0又由于 rrAB

②

0B由①,②即得

rABrArB.命题6.2[2]

设A，B分别为sn,nm矩阵,则rArBnrAB.0EnE证明:由nAEsA可推出

BEn00BEnEm00En0En，且，ABAEs0B可逆EmErnAEn但rABEnr000rEnrABnrAB.ABBrArB,即 0nrABrArB.所以rArBnrAB.这个公式代数里称为Sylverster(薛尔佛斯特)公式.命题6.3设A，B分别为sn,nm矩阵,则rArBnrAB的充要条件为

A0A0rr.EB0BEAA0EB0ABEB0AB证明:由，B0EE00EEB0EE-16

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根据矩阵秩的性质，可以得到等式

A00ABrrrABn ① EBEBA0而 rrArB

②

0BA0A0充分性：若rr，由① ②可知rABnrArB，即

EB0BrArBnrAB.必要性：若rArBnrAB则rABnrArB, 由① ②可知

A0A0rr.EB0B综上所述,命题得证.例6.3 设A，B分别为sn,nm矩阵,则rArBnrAB的充分必要条件为存在矩阵X，Y，使得XABYEn.证明：由上一个命题可知rArBnrAB的充要条件为

A0A0A0A0rr，那么我们只要证明rr的充要条件为存在矩阵EB0BEB0BX，Y，使得XABYEn，即可完成本命题的证明.下面就此进行证明.充分性.E由m-X0AEnEn0EnB-Y0AEm-AX0EnB-Y0AEmEn-XA-BY0 BA0A0可知当XABYEn时，rr.EB0B再根据命题6.3可推出等式

rArBnrAB.必要性.Er设 P1AQ100ES,P2BQ200-17

0, 0湖南科技大学2011届本科生毕业论文

其中P1,P均为可逆矩阵.2,Q1,Q2P则 10Er0000A0Q10P0Q10P1A1AQ10Q0PB0Q0P20B22200000ES000000P2BQ2

01

P2BQ2 00A0Q10P0Q10PP11A1AQ10QPPB0QPQ0PEB2222221Er0C1C300C2C400ES000002

对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去C1，C2，C3.若

rArBnrAB，A0A0根据命题6.3有r，式（2）右端方阵秩相等，故r，因此式（1）EB0BF1为在消去C1，C2，C3时也消去了C4，对式（2）右端分块记C0 其中 F2ErF100ES，F2000C1C2C ，CC043.于是上述消去C1的行变换相当于

C10Er0000C1C200C3C4C3C2 C4,消去其余C2,C3,C4有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使

SF1+F2T+C=0,即SPAQ11P2BQ2TPQ210，进行变形整理,从而有

P121SP1ABQ2TQ1En.11令XP,，便得到XABYEn，命题得证.2SP1YQ2TQ1-18

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命题6.4设A1,A2,,Ap都是n阶矩阵，A1A2Ap0.证明:这p个矩阵秩之和不大于p1n.这p个矩阵秩之和不大于p1n.证明：由命题6.2的Sylverster(薛尔佛斯特)公式可得

0rA1A2AprA1rA2ApnrA1rA2rA3Ap2nrA1rA2rApp1n，移项即得

rA1rA2rApp1n.例6.4设A,B，C依次为sn，nm，mt的矩阵,证明

rABCrABrBCrB.证明:设rBr,那么存在n阶可逆矩阵P，m阶可逆矩阵Q，使得

EBPr0把P，Q适当分块PM0Q ① 0NS,Q，其中M为nr矩阵,N为rm矩阵．

T0NMN.0T由①式有BMESr0所以rABCrAMNC,再由命题6.2的Sylverster(薛尔佛斯特)公式可得

rABCrAMNCrAMrNCrrAMNrMNCrB

rABrBCrB, 从而rABCrABrBCrB,命题得证.这个公式也称为Frobenius(佛罗扁尼斯)公式.例6.5 设B为rs矩阵，A为秩为r的mr的列满秩矩阵mr,C为秩为s的st的行满秩矩阵st,证明:rABrBCrB．证明:先证明rABrB.9

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E因为rAr,所以存在m阶可逆矩阵P和r阶可逆矩阵Q，使得PAQr,即

0Er1Q1PAQ，00再根据矩阵乘以可逆矩阵不改变秩的大小可得

Q1Q1BrABrPABrBrrQ1BrB.00同理可证rBCrB.因此有rABrBCrB,命题得证.命题6.5设A,B，C分别为sn，nm，mt矩阵,rBr,而B的一个满秩分解mr是BHL，即H是列满秩矩阵,L是行满秩矩阵,则

rABCrABrBCrB的充要条件是存在矩阵X,Y,使得

XAHLCYEr.证明：因为BHL是满秩分解,H是列满秩矩阵,L 是行满秩矩阵,所以根据例题6.5有

rABrAHLrBC和rBCrHLCrLC, 则

rABCrABrBCrBrAHLCrABHrLCr.又由例题6.3得

rAHLCrABHrLCr矩阵X,Y使得 XAHLCYEr, 命题得证.这是例题6.4 Frobenius(佛罗扁尼斯)公式等号成立的充要条件.例6.6证明:rA3rA2rA2.证明:由例题6.4的Sylverster(薛尔佛斯特)公式可知

rA3rAAArA2rA2rA.移项即rA3rA2rA2得,命题得证.例6.7设A，C均为mn矩阵B，D均为ns矩阵，证明

rABCDrACrBD.0

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证明：根据分块矩阵的乘法可知

Em0CAC0EnEnBD00BACEs0ABCD

BDAC由此易知rACrBD0ABCDr(ABCD)，BD从而得到rABCDrACrBD,命题得证.例6.8设A,B都是nn矩阵，如果AB0，则rArBn.BE证明:构造分块矩阵，对其做初等变换

0AEBE0EBEB 0AAB00000BE0EBE可推出r,但rnrrArB,所以rArBn.0A000A这个命题的一般形式为：设A是mn矩阵，B是np矩阵，如果AB0，则rArBn,已经在命题5.3中用线性方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩的关系方法证明了.本命题只是它的特殊形式.例6.9设Q为k阶方阵，m，n为非负整数，则（1）rQnrQm2nrQmnrQ2n（2）rQmrQm2n2rQmn

证明：（1）设AQm,BQn,CQn由佛罗扁尼斯（Frobenius）不等式，rQm2nrQmnrQ2nrQn，即得：

rQnrQm2nrQmnrQ2n

（2）设AQn,BQm,CQn由佛罗扁尼斯（Frobenius）不等式，rQm2nrABrBCrB，即得：

rQmrQm2n2rQmn.-21

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命题6.6设A为ssn矩阵，则rEnAArEsAAns.Es 证明:0AEsAEs0EsAA0 EnAEnAEn0EnEsA 由命题3.3，则rrEsAAn.AEnE同理rsAArEnAAs.所以 rEnAArEsAAns.En矩阵的分块是种有效的解决矩阵有关问题的方法，值得好好体会.尤其是有些难题，矩阵分块是简便分方法.本章利用矩阵分块的方法证明了一些典型的矩阵等式和不等式命题，很有借鉴意义.2

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第七章 小结

矩阵的秩的等式、不等式的证明及它应用非常广泛。在本文中，主要讨论了矩阵的秩，以及它的等式及不等式命题的证明方法，较之前的研究，更加全面。文中讨论了利用线性空间同构、向量组维数理论及矩阵分块等一些理论来证明了矩阵的秩的等式、不等式的相关命题。运用这些方法，我们可以更加快捷的判断矩阵的秩是否相等，或者证明不同矩阵的秩之间的联系，有了这些方法和结论，就可以将矩阵的秩的等式及不等式的命题更好的应用到实际中来。当然，对于矩阵秩的研究，虽然本人已经进行了充分的搜集、总结及研究，但是，仍会有不足之处，对于它的研究以及应用仍然不够，这一点将是我们以后必须致力研究的工作。

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参考文献

[1] 北京大学数学系前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 钱吉林.高等代数题解精粹修订版[M].北京:中央民族大学出版社,2006.[3] 苏育才,姜翠波,张跃辉.矩阵理论[M].北京:科学出版社,2006.[4] 同济大学数学系.线性代数第五版[M].北京:高等教育出版社,2007.[5] 王宝存.运用AZ=Q证明矩阵秩的不等式与等式[J].淮南师专学报,2000,2(3):90-91.4

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致

谢

从论文选题到搜集资料，从提纲的完成到正文的反复修改，我经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中，心情是如此复杂。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。

我要感谢我的导师李世群老师。她为人随和热情，治学严谨细心。从选题、定题、撰写提纲，到论文的反复修改、润色直至定稿，李老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导。在论文写作期间，李老师多次对我作一对一的指导，对我的论文写作的方向提出了宝贵的建议。正是有了李老师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才得以顺利完成。

在此，我还要感谢大学四年中我的任课教师，是他们让我学到了许多丰富的数学知识，才使我今天有能力来完成这项艰巨的任务。

最后还要感谢四年里陪伴我的同学、朋友们，有了他们我的人生才丰富，有了他们我在奋斗的路上才不孤独。感谢他们在论文排版和设计上都给我很多宝贵意见和建议，让我能够做的更好，谢谢他们。

第三篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第四篇：如何用配方法证明等式

如何用配方法证明等式

配方法是中学数学中的一个最基本的数学方法,通过它对代数式的恒等变形,使许多复杂的问题得以简单化.现在我们就用配方法来证明恒等式和条件等式.一.通过配方直接证明等式成立

例1 求证

(abc)(xyz)(axbycz)

(bxay)(cxaz)(cybz)222222222

2证明左边=(a2x2a2y2a2z2b2x2b2y2b2z2c2x2c2y2

cz)(axbycz2axby2axcz2bycz)22222222

bx2axbyaycx2axczazcy2byczbz

(bxay)(cxaz)(cybz)***

所以左边=右边

即:(abc)(xyz)(axbycz)

(bxay)(cxaz)(cybz)2222222222

例2 已知(ca)24(ab)(bc)0，求证a、b、c成等差数列（即证明 a2bc0）

证明c22aca24ab4ac4b24bc0

c4ba4ab4bc2ac0

(a2bc)0222

2a2bc0

bac

2所以a、b、c成等差数列

二.通过配方,把已知的等式化为几个实数的平方和等于零的形式，就是说化为a2+b2+c2=0则

a=b=c=0从而从而使所求的等式成立．

例3已知a、b、c、x、y、z都是非零实数，且abcxyzaxbycz，求证x

ay

bz

c22222

2222222证明由已知条件可以得到：abcxyz2ax2by2cz0

即：(xa)(yb)(zc)0222

xa0xa

yb0yb

zc0zc

而a、b、c都不等于零，所以

例4 xaybzc 已知a、b、m、n都是正数，并且a4b4m4n44abmn0

求证abmn

证明将已知等式的左边进行配方可得：

a2abbm2mnn2ab2mn4abmn0422442242222

(a2b2)2(m2n2)22(abmn)20

a2b20

22mn0

abmn0

ab

abmn a,b,m,n都是正数mn

22bn0

综上所述，我们在解题过程中一方面要充分认识完全平方公式的特点(ab)a2abb，然后逆用公式进行证明如例1和例2。另一方面也要利用它的非负222

性的性质：(ab)20当且仅当a=b时等号成立。通过添加适当的项构造出完全平方式进行等式的证明如例3和例4。

第五篇：函数的证明方法

一般地，对于函数f(x)⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。

⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。

⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称 特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）

⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0 注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数