不等式 第17课时

第一篇：不等式 第17课时

第十七教时

教材：含绝对值的不等式

目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证

明有关含绝对值的不等式。

过程：

一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法当a>0时，|x|aaxa|x|axa或xa

二、定理：|a||b||ab||a||b|证明：∵

|a|a|a|

|b|b|b|

(|a||b|)ab|a||b|

|ab||a||b|①

又∵a=a+b-b|-b|=|b|

由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b|② 综合①②: |a||b||ab||a||b| 注意：1 左边可以“加强”同样成立，即

|a||b||ab||a||b|

2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”

推论1：|a1a2an|≤|a1||a2||an| 推论2：|a||b||ab||a||b|

证明：在定理中以-b代b得：|a||b||a(b)||a||b|

即：|a||b||ab||a||b|

三、应用举例

例一 至 例三见课本P26-27略 例四 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2

证明：当a+b与a-b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2

当a+b与a-b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2 ∴|a+b|+|a-b|<2

例五 已知f(x)x2当ab时 求证：|f(a)f(b)||ab|证一：|f(a)f(b)||a2

1b2

1|

a21b21a2

1b2



1|a2b2|a21|(ab)(ab)|

b21

a2b2



|ab||(ab)|

|a||b|



(|a||b|)|ab|

|a||b|

|ab|

证二：（构造法）

如图：OAf(a)a

2A

B

OBf(b)b2

|AB||ab|

O

a

b

由三角形两边之差小于第三边得：|f(a)f(b)||ab|

四、小结：“三角不等式”

五、作业：P28 练习和习题6.5

第二篇：不等式知识点整理

不等式知识点整理

一、不等关系：

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

abab0；

abab0；

abab0.2．不等式的性质：

（1）abba（自反性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（可加性）

（4）ab,c0acbc；

ab,c0acbc（可乘性）

（5）ab,cdacbd（同向加法）

（6）ab0,cd0acbd；（同向乘法）

（7）ab0,nN,n1anbn,a。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）aR,a20,a0，当且仅当a0取“=”.（2）a,bR,则a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

（3）a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）a

b注：——集几何平均数.2a2b2ab2()（当且仅当ab时取“=”（4））22

a2b2c2abc2()（当且仅当abc时取“=”（5））3

3ab（6）(a2b2)(c2d2)(acbd)2（当且仅当时取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：设x,y0,由xy

（1）如积xyP为定值，则当且仅当xy时x

y有最小值

S（2）如和xyS为定值，则当且仅当xy时xy有最大值()2.2即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含绝对值的不等式性质： ababab（注意等号成立的情况）.二、不等式的证明方法

1．比较法

（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；

（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）

2．综合法——由因导果（由前面结论）

3．分析法——执果索因

注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；

（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.三、解不等式

bb1．一元一次不等式 axb(a0)（1）a0,xx ；（2）a0,xx.aa

2．一元二次不等式 ax2bxc0,(a0)

（1）步骤：一看开口方向（a的符号），二看判别式 b24ac的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：ax2bxc0(a0)解集为R（即ax2bxc0对xR恒成立），则a0,0.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a0）.3．绝对值不等式

a0a（1）零点分段讨论a aa0

（2）转化法：f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)

（3）数形结合4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法 P(x)0或P(x)Q(x)0（移项，一边化为0，不要轻易去分步骤：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化为积的形式（x系数符号>0——标准式）； ③序轴标根；

④写出解集.5．注意含参数的不等式的解的讨论.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一个有用的结论 关于函数yxp x

ppx

0时x

在(0、xx

[

上是减函数；在（、[)上是增函数.1．p0时，当x

0时x

（0，）2．p0时，在，上为增函数.0、

第三篇：不等式总结

不等式总结

一、不等式的性质

1．（不等式建立的基础）两个实数a与b之间的大小关系 (1)a－b＞0a＞b；(2)a－b=0a=b；

(3)a－b＜0a＜b．

(4)

若 a、bR，则(5)(6)a＞1a＞b；ba=1a=b；ba＜1a＜b．b

2．不等式的性质

(1)a＞bb＜a(对称性)

a＞b(2) a＞c(传递性)b＞c

(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法单调性)

a＞bac＞bcc＞0

(4)(乘法单调性)

a＞bac＜bcc＜0

(5)a＋b＞ca＞c－b(移项法则)

a＞b(6)a＋c＞b＋d(同向不等式可加)c＞d---不等式相加 a＞b(7)a－c＞b－d(异向不等式可减)c＜d---不等式相减

(8)a＞b＞0ac＞bd(同向正数不等式可乘)c＞d＞0---不等式相乘 a＞b＞0ab(9)＞(异向正数不等式可除)cd0＜c＜d--不等式相除

(10)a＞b＞0nna＞b(正数不等式可乘方)nN乘方法则

a＞b＞0(11) ＞b(正数不等式可开方)nN开方

(＞b＞0111＜(正数不等式两边取倒数2))aab----倒数法则

3．绝对值不等式的性质

a(a≥0)，(1)|a|≥a；|a|=－a(a＜0)．

(2)如果a＞0，那么

|x|＜ax2＜a2－a＜x＜a；

|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．

a|a|(4)||＝(b≠0)．b|b|

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(6)|a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．

4.基本不等式

（1）如果a，b是正数，那么ab≤ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2注意：基本不等式的证明是利用重要的不等式推导的，即

a,bR,则2ab,即有ab2

（2）基本不等式又称为均值定理、均值不等式等。其中22ab称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的2几何平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（3）均值不等式中“当且仅当”的含义：

ab＝ab 2

ab②仅当a=b时取等号，即＝aba=b 2①当a=b，取等号，即a=b

（4）几种变形公式

ab2a2b2aba2b2

ab≤()≤(a,b∈R)ab≤≤(a＞0, b＞0)2222

5.柯西不等式

（1）代数形式：

设a1，a2，b1，b2均为实数，(a12＋a22)(b12 + b22)≥(a1 b1+ a2 b2)2（注：等号成立条件：a1 b2= a2 b1）

（2）向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

（3）三角不等式：由|α|＋|β|≥|α+β|可得：设a1，a2，b1，b2均为实数，则

√(a12＋a22)＋√(b12 + b22)≥√[(a1+ b1)2＋(a2 + b2)2]（注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μa1=λb1，μa2=λb2其中“√”表示平方根）

（4）平面三角不等式：设a1，a2，b1，b2，c2均为实数，则

√[(a1-b1)2＋(a2-b2)2]＋√[(b1-c1)2＋(b2-c2)2]≥√[(a1-c1)2＋(a2-c2)2]（注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1), μ(a2-b2)=λ(b2-c2)其中“√”表示平方根）

(5)设α，β，γ为平面向量，则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。当α-β，β-γ为非零向量时。（注：等号成立条件：存在正常数λ，使得α-β＝λ（β-γ）向量α-β与β-γ同向，即夹角为零。

（6）一般形式：设a1，a2，„，an，b1，b2 „，bn均为实数，则

2222a12a2an12b2bna1b1a2b2anbn 注：等号成立aa1a2n b1b2bn

6.排序不等式：

（1）定义：设有两组数 a1 , a2 ,…… an;b1 , b2 ,…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则称a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 为这两个实数组的顺序积之和（简称顺序和），称a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1为这两个实数组的反序积之和（简称反序和），称a1 c1 + a2 c2 +…+ an cn为这两个实数组的乱序积之和（简称乱序和）

（2）定理：（排序不等式，又称排序原理）设有两组数 a1 , a2 ,… an;b1 , b2 ,… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn，其中c1,c2,…,cn是b1,b2,…，bn的任一排列，那么

a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an cn ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an bn.当且仅当 a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 时等号成立，即反序和等于顺序和。

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和。

7.贝努利不等式：

定理：设x＞-1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1+x)n≥1+nx.二、不等式的证明

1．不等式证明的依据

(1)实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0

a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b

(2)不等式的性质(略)

(3)重要不等式：

①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)（非负数）

②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)

ab≥ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号)

2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③

bc⑤a

abc

⑥ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

⑦ |a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．

⑧ |x|＜ax＜a－a＜x＜a；

⑨ |x|＞ax＞ax＞a或x＜－a．

2．不等式的证明方法

(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．

用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．

(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法． 2222

(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．

（4）三角换元法：多用于条件不等式的证明，如果所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将两个变量都用同一个参数表示，此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题。

注意：根据具体问题，常用的三角换元技巧有：

① x2+y2=1,可设x=cosα,y=sinα；

② a≤ x2+y2≤b，可设x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b

③ 对于

④ 对于

⑤ 对于x2，由于|x|≤1,可设x=cosα（0≤α≤π）或x=sinα(-π/2≤α≤π/2),可设x=tanα(-π/2＜α＜π/2)或x=cotα(0＜α＜π)x2x2(0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=sin(-π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)1,可设x=cosαα

⑥ 对于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。

（5）放缩法：要证明不等式A＜B，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A＜C，后证C＜B，这种证法叫放缩法。常用技巧有：舍掉（或加进）一些项，在分式中放大或缩小分子或分母；应用基本不等式放缩。

放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性、等量加不等量为不等量、同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。

证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法、综合分析法、放缩法、函数法、几何法、其它方法（换元法、判别式法、导数法、构造法）、柯西不等式等。

（5）利用基本不等式比较实数大小或证明不等式

① 利用均值定理求最值，必须满足三个条件：：“一正”各项均为正数、“二定”和或积为常数、“三相等”

等号必须成立。和定积最大，积定和最小。

② 构造定值条件的常用技巧：加项变换、拆项变换、统一换元、平方后利用不等式。

③ 基本不等式：

若x，y是正数，有x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy=取最大值S；

42若x，y是正数，有xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y=取最小值；2P。

三、解不等式

1．解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式．

(2)解一元二次不等式．

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组．

2．解不等式时应特别注意下列几点：

(1)正确应用不等式的基本性质．

(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．

(3)注意代数式中未知数的取值范围．

3．不等式的同解性

f(x)＞0f(x)＜0(1)f(x)·g(x)＞0与  或同解．

 g(x)＞0 g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0(2)f(x)·g(x)＜0与 或同解．g(x)＜0g(x)＞0

(3)f(x)＞0f(x)＜0f(x)＞0与或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0f(x)(4)＜0与 或 同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0

(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．

f(x)＞[g(x)]2 f(x)≥0(7)f(x)＞g(x)与 f(x)≥0或同解．g(x)＜0g(x)≥0

f(x)＜[g(x)]2

(8)f(x)＜g(x)与同解．

f(x)≥0

(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．

f(x)＞g(x)(10)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)与同解．f(x)＞0

f(x)＜g(x)当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)与 f(x)＞0同解．

g(x)＞0

第四篇：不等式基础知识汇总

不等式基础知识

一、不等式的概念

1．不等式的定义

不等式：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫不等式．

不等式组：含有相同未知数的几个不等式组成的式子，叫不等式组．

2．不等式的分类

（1）按所用不等号分：严格不等式（简单命题）、不严格不等式（复合命题）．

（2）按变量取值范围分：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式．

（3）按变量的数量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式．

（4）按解析式的类型分：

3．不等式的相互关系

（1）由不等号方向看：同向不等式、异向不等式．

（2）由变量范围看：同解不等式、等价不等式．

（3）由形式关系看：同构不等式、不同构不等式．

二、实数运算的性质（符号法则）

实数运算的符号法则是构建不等式理论的基石，其顺序为：

实数运算的符号法则→不等式的性质→不等式性质的应用．

实数运算的符号法则：正数大于负数，零小于正数，零大于负数．

1．abab0,abab0,abab0．

2．a0a0．

3．a0110,a00． aa

4．a0,b0ab0;a0,b0ab0．

5．a0,b0ab0;a0,b0ab0;a0,b0ab0．

三、不等式的性质

1．三歧性：对于任意两个实数a与b，在ab,ab,ab三种情况中仅有一种成立．

abba．

3．传递性：ab,bca(c,;,;,等号是否传到底？?2．对称性：

abcabc（移项法则、作差原理）． abacb；c

5．加法法则：ab,cdacbd（同向特征，可推广）．

6．可乘性：ab,c0acbc（若c0，则abacb）； c

． ab,c0acbc（若c0，则abacbc）4．可加性：

7．倒数法则：（1）ab01111a(若a、bR，则ab1)； ababb

1111a(若a、bR，则ab1)； ababb

11． ab（2）ba0（3）a0b

8．乘法法则：ab0,cd． 0acbd（可推广）

nn9．乘方法则：ab0ab(n2,nN)．（乘法法则的特例）

mm（若a、bR，mQ，则abab）．

10．开方法则：ab0n2,nN)．

2211．均值定理：

（1）ab2ab（当且仅当a、b相等时取等号）（可推广）；

（2）a、bR，ab（当且仅当a、b相等时取等号）

（几何意义：半径不小于半弦．）；

22（3）aba

b,ab(a

b)2（当且仅当a、b相等时取等号）； 2

2（4）aba、bR)2

ab

（当且仅当a、b相等时取等号）；

（调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数）；

2（5）qpxpx0,qx0)（一正二定三相等）； x

(aqbp)2

（6）(apx)(bqx)（一正二定三相等）． 4pq

12．真分数性质：0ab,m00aam1（浓度不等式）． bbm

注：不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；

在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质．

附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化

加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．

四、不等式的证明

证明不等式就是利用不等式的性质等知识，证明所给不等式在给定条件下恒成立．不等式形式的多样性导致其证明方法的灵活性，具体问题具体分析是证明不等式的准则．具体证明方法有如下几种：

1．作差比较法

原理：符号法则．

步骤：作差变形（配方、通分、分解、有理化、配方等）定号判断．

2．作商比较法

原理：符号法则．

步骤：作商（注意前提）变形（指数运算）定号判断．

3．分析法

原理：BB1B2BnA．

步骤：执果索因，从“未知”找“需知”，逐步靠拢“已知”．

特点：利于思考，方向明确，思路自然．（刑警办案、剥笋）

格式：欲证„„（#），（因为„„，所以）只需证„„，„„

（因为„„，所以）只需证„„（*），而（*）显然成立，所以（#）

4．综合法

原理：ABBn1B2B．

步骤：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

特点：条理清楚，经验丰富，传统自然．（法官定罪、包装）

注：（1）证明时，如果首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等

式，只要推出过程的每一步都是可逆的，那么就可以断定所给的不等式成立，这也是分析法，其逻辑原理为：BB1B2BnA．

（2）用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证„„，只需

证„„”、“即„„”、“假定„„成立，则„„”等．并且，必须有对最后找到 的，使求证结论成立的充分条件正确性的判断，否则其步骤因不完善而错误．

（3）由条件或一些基本性质入手、较易的不等式，以及条件较多的不等式，多可用

综合法证明．而对于条件简单而结论复杂的不等式，以及恒成立的不等式，运用分析法证明更为有效．分析法和综合法之间是互为前提、互相渗透、互相转化的辨证统一关系，分析法的终点是综合法的起点，综合法的终点是综分析法的起点．对于复杂问题的证明，常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以整理，甚至需交替使用这两种方法，事实上，这两种方法往往也很难区分开．

（4）证明不等式的方法还有反证法、判别式法、换元法、构造法、数学归纳法、导

数法、放缩法（把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性进行证明不等式的方法，叫放缩法．其常用方法有：舍去一些项、在积中换大（小）某些项、扩大（缩小）分式的分母（分子）等）等．

分析法只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如

果把“只需证„„”去掉不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，掩盖了分析、探索的过程。如果直接写，而不用分析法，人们会感到看得明白，自己却做不出。因此，在做题时，通常先用分析法探求解题途径，在解答时，再用综合法书写。另外，凡是能用分析法证明的问题，一定可以用综合法证明。

反证法证题的特征是通过导出矛盾，归结为谬误，而使命题得证。因此，反证法也

叫归谬法。如果结论的反面只有一种情况，即只需作出一种反设，并设法导致矛盾，立即使命题获证；如果结论的反面不止一种情况，则对每种情况都必须作出反设，然后将每一反设一一驳倒，才能使命题获证；这就是反证法的两种类型，前者称为简单归谬法（简称归谬法），后者称为穷举归谬法（简称穷举法）。

“否定结论”在推理论证中要作为已知使用。“假设”不能写成“设”

用反证法证明“若p则q”的过程如下图所示：

适宜用反证法证明的数学命题有：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②结论是以

“至多”、“至少”等形式出现的命题；③关于唯一性、存在性的命题；④结论的反面比原

结论更简单、更具体、更容易研究的命题等。

五、解不等式

利用不等式性质及相关知识，求变量的取值集合或判断其无解的过程，叫解不等式．解不等式是一个由繁到简的等价转化变形过程，大体情形为：若不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；若代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；若有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；若整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为低次不等式；若不等式是形式不规范的不等式，则把它等价变形为规范形式的不等式；若不等式是绝对值不等式，则把它等价变形为不含绝对值的不等式．

1．一次型

2．二次型

3．分式型

4．绝对值型

5．无理不等式

6．高次不等式、高次分式不等式

（1）数轴标根法：标准化→分解→标根→定号→取解集．

（2）降次成组法．

7．不等式组、不等式串

求不等式组的解集就是求组成不等式组的各个不等式的解集的交集（由多变少，最

后归一）；不等式串可化归为与之等价的不等式组求解．

8．混和条件组

等式（方程）和不等式共同组成的关系组称为混和条件组，求解时以等式为主，不等式起检验作用．

9．超越不等式（指数不等式、对数不等式、三角不等式等）

指数不等式、对数不等式、三角不等式等都可利用有关函数的性质（定义域、单调性等）、图象和不等式性质把原不等式化归为有之等价的代数不等式（组）．

注：有些不等式可用构造函数法利用对应函数的图象解之，步骤为：构造函数→作图象

→通过对应方程得交点的横坐标→根据图象特点取解集．

六、不等式的其他应用

利用不等式的性质，除了可以证明和求解不等式外，还可以解决求代数式的取值范

围、求最值、求实际问题的解等问题．

1．求范围

先须求出所求代数式与已知代数式之间的线性关系（常需用待定系数法），然后利用同向不等式的加法法则和乘法法则等性质求之．（亦可用线性规划法）

2．求最值

（1）二次整式可用均值定理或二次函数的单调性求其最值．

（2）分子为二次式的假分式，可用待定系数法、配凑法或换元法化为部分分式，再

用均值定理或倒数和函数的单调性求其最值；真分式用倒数法化为假分式． 注：利用均值定理求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．若

为两个负变数相加，则可用提取法化归；若无和或积为定值的特征，则可用调整系数或次数的方法化归；若不存在等号成立的条件，则只能用二次函数或倒数和函数的单调性求其最值．

3．求实际问题的解（不等式建模）

七、不等式的相关知识

函数的定义域、值域、单调性、最值，一元二次方程的实根分布，线性规划等知识

都与不等式密切相关．

绝对值基础知识

1．绝对值的定义（几何意义）：数轴上某数对应的点到原点的距离，叫该数的绝对值．

2．绝对值的基本性质：(1)；a0（非负性、有界性）a(a0)(2)aa(a0)

0(a0)

(3)

(4)

(5)a；aa,aa,aaa；a2a2a； 2

(6)平方法则：若a0，则

3．绝对值的性质定理：

（1）

（2）

（3）xax2a2，xax2a2，xax2a2． aa；abab；aa；bb

（4）ana；

ababab； n（5）ababab，（可推广），ababab0，ababab0； abab0，2（6）a． b22ab（a2b22abab）

4．绝对值的处理方法：

（1）公式法：xaaxaxaxa或xa，aR；

（2）分段讨论法：（即找界点，此法适用于解含多个绝对值的问题）；

（3）平方法：（即运用平方法则，注意平方的前提为不等号两边均为非负数）；

（4）几何法：（即运用绝对值的几何意义）．

5．绝对值不等式的类型：

（1）

f(x)g(x)；（2）f(x)g(x)；（3）f(x)g(x)．

第五篇：不等式知识点

不等式

一．知识点：

1．不等式的性质：

2．不等式的解法：

（一）整式不等式的解法；

（二）分式不等式的解法；

（三）指对不等式的解法； 重点：含参二次不等式的解法；

3．不等式的证明：（1）作差变形；（2）分析法

4．均值不等式：（一正二定三等）

题型1：题型2：题型3：题型4：

5．线性规划：

二．典型题：

1．已知二次函数零点分布，求参数范围问题；

2．恒成立问题的解法；

3．均值不等式的应用；

1．已知二次函数零点分布，求参数范围问题；

2．恒成立问题的解法；

3．线性规划问题的讲解方式；

4．递推式问题：相邻项的关系较复杂，隔项或相邻多项的关系会简单。

5．均值不等式的几种常见题型；

6．变形种类：