垂直的定义

第一篇：垂直的定义

垂直和平行的定义、性质

垂直

一、定义

两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

用符号⊥表示。如果a垂直于b,记作a⊥b,读作：a垂直于b。

二、性质

①：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

②：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短。

③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

④：过一点可以画无数条直线。

⑤：过两点能而且只能画一条直线。

平行

一、定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线一定要在同一平面内。如果a平行于b,可以用符号∥表示。记作：a∥b,读作：a平行于b。

二、性质

1.经过直线外一点，能且只能画一条直线与已知直线平行。

2、两条直线平行于第三条直线时，这两条直线平行。

第二篇：《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例案例背景

笔者上课的时间是2010年3月9日第三节，围绕新课改的精神，如何进行课堂教学上的公开课。我校是乡下普通高中，上课的班级是高二普通班，学生基础知识十分薄弱。广西桂林市全州县石塘高级中学廖永球教学课题

2.1课题：《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例

2.2教材：高中数学第二册（下A）人教版第九章《直线、平面、简单几何体》

中的第四节“直线与平面垂直的判定和性质”第一课时教材分析

3.1 内容分析

“直线和平面垂直的定义与判定”这一内容经修改后教学要求大大降低，将“三垂线定理及其逆定理”由“掌握”级降为“了解”级要求。强调通过直观感知、动手实践来认知和理解线面垂直的定义和判定定理，能运用定义及定理证明一些空间位置关系的简单命题。在教学内容设计上更注重实践操作和探究。

3.2 教学目标

(1)知识目标：理解和掌握直线与平面垂直的定义及判定定理。

(2)能力目标：在合作探究中发展学生几何直观能力和空间想象能力。

(3)德育目标：通过创造情境激发学生学习的兴趣与热情；鼓励合作探究、互助交流，培养创新意识。

3.3 教学重点与难点

(1)教学重点：会运用定义与判定定理证明直线与平面的垂直关系。

(2)教学难点：在正方体模型中寻找线面垂直关系并予以证明。4 教学方法与思路

本教学内容在教法设计上力求做到用教材而非教教材：1．充分利用“观察”、“思考”、“探究”等，在原有教材内容的基础上重组整合教学内容，创设开放式问题情境，给学生创造自己动手操作的机会，利用自己制作的模型分组讨论，自主探究。2．多媒体演示为学生理解和掌握几何图形性质的教学提供形象支持，有助于提高学生的几何直观能力和空间想象能力。3．学生课前准备：自由分组；三角板、正方体模型。教学过程

师：空间中直线和平面有哪几种位置关系？

生1：平行、相交、直线在平面内。

师：直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行。请欣赏图片：当把笔直的旗杆抽象成直线l，天安门广场抽象成平面，我们可以看到直线l与平面具有怎样的位置关系？

生：垂直的！

师：下面我们来学习：直线与平面垂直的定义与判定。

【探究活动一：尝试探究中生疑】

一．引出定义

师：请大家拿出一支笔，竖立在桌面上，你会发现笔与桌面呈怎样的位置关系？ 生：垂直！

师：请在桌面任取一条直线，观察此直线与竖立直线会有怎样的位置关系？

学生通过自己尝试并观察周围同学的实验操作，得出结论：无论桌面什么位置上的直线都会与竖立的直线成相交垂直或异面垂直的位置关系！

师：由此引出空间中直线和平面垂直的定义：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则这条直线与平面垂直。

二．强化定义

师：怎样可以判定一条直线和平面垂直呢？如果直线与平面内无数条直线都垂直，能否判定直线与平面垂直？

生：用桌面和笔不断进行尝试与探索，对线面垂直的定义有了深层次的理解。生2：不能。如一条直线与平面斜交。可以在平面内先找到一条与斜线垂直相交的直线，再把这条直线平移，可以得到平面内有无数条直线与斜线垂直，但很明显斜线并不与平面垂直。

师：很好！该同学抓住了句中关键字：无数！回到线面垂直的定义注意其关键字：“无数”并不等价于“任何”！由于平面内直线的任意性，给证明和判断空间中的线面垂直带来不便。于是学生在合作探究中又生一问在平面内找到多少条直线与已知直线垂直就足以判定直线与平面垂直呢？

【探究活动二：分组讨论中释疑】

让学生分组实验，大胆讨论猜想，借助桌面、笔、三角板等进行探究实验。生：只需要在平面内找两条直线与已知直线垂直就可以了。

师：是平面内的任意两条吗？

生3：必须是平面内两条相交直线！

教师用两三角板直观演示，得出结论：线不在多，相交就行！至此得到一个判定空间中直线与平面垂直的重要判定定理：当平面内两条相交直线都与直线l垂直时，就可以判断直线l与平面垂直了！

通过教师创设问题情境，学生分组合作、讨论、交流，发现并容易接受空间中线面垂直的判定定理。深化定理，加强训练学生对图形语言、文字语言、符号语言的相互转化能力。展示线面垂直的几种常见直观图的画法。

【探究活动三：】

师：线面垂直可以借助线线垂直予以证明，也体现了转化的思想。你能举出一些实际生活中的例子是借助判定定理得出线面垂直的吗？

生4：比如我们所在的教室。右前方有一条竖直的墙角线，它与前方地面一条地脚线垂直，同时与我右边地脚线也垂直，而且地面这两条地脚线是相交直线！我们由判定定理得竖直的墙角线与地面垂直！

教师引入教材中的探究问题，鼓励学生借助线面垂直的定义及判定予以说明。

【探究活动四：实验操作中新疑】

师：在正方体模型中你能找到线面垂直的位置关系吗？

生：通过模型得出结论：每条侧棱垂直于上下底面，水平的棱垂直于左右侧面。师：如果加上正方体的各条面对角线和体对角线后，你能否找到更多的线与面的垂直关系？

生5：我们组发现正方体的面对角线BD与平面ACC1A1垂直。

师：你能否证明你的结论？

师：在学生表述证明过程的同时规范板书证明格式。要证明线面垂直只需在面内找到两条相交直线，证明它们与已知直线均垂直。这是一个通过线线垂直转化证明线面垂直的方法。

生6：我们组觉得线B1D与平面A1BC1好象是垂直的！

师：这组同学猜想正方体的体对角线与三条面对角线组成的平面垂直。你们能结合线面垂直的定义和判定定理帮助他们予以证明吗？

生7：好象学生5得出的结论对我们证明学生6的猜想有所帮助！

师：非常好！你认为平面ABCD内哪一条直线既与BD相交又与它垂直？ 生8：当把正方体的右侧面放在桌面当成底面，则得到与学生7已经证出的那对线线垂直完全一样！

师：说得好！

教师及时将学生分组讨论验证的结论展示给全体学生，并鼓励学生大胆交流，表述理论根据，展现自我。当有学生在通过实验猜想体对角线与三条面对角线构成的对角面垂直时，教师引导其如何利用判定定理规范证明。在教学过程中教师必须时刻注意与学生的互动，追随学生的思维，不断调整。这也对教师的教学基本功、应变能力、数学修养等各方面提出更高要求。由于采取“猜想——证明——表达与交流”的学习模式，教师充当着合作者与促进者，与学生更为贴近，课堂气氛活跃。

【归纳总结】

本节课学习了空间中直线与平面垂直的定义和判定定理。借助线线垂直来定义线面垂直；要证明线面垂直可以借助定义和判定定理转化为证明线线垂直。在证明与判定过程中需要灵活运用转化思想，大胆猜想，小心验证。

【课后作业】

作业：课本P33：2、3、4教学反思

新课程改革要求教师成为一个“研究者”，以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问题，不断对自己的教学过程进行反思。1．满意的地方：在整个教学过程中，能不断激发学生探索新知的欲望，较充分体现了课程标准所提出的培养学生探究性学习和再创造的思维能力的要求。2．教学中的不足：在课堂组织与指导过程中，学生实施探究与证明的过程开展较为顺利；由于开放性问题难度较大，导致在最后一个探究问题上学生无法消化，未达到预期效果。应给学生更充裕的讨论与思考空间。可以鼓励小组课前带着问题预习并合作探究，使学生在课堂上能更充分发表自己合作讨论的结果，加强组间互助与沟通。

第三篇：垂直教案

一、课题 §4.6垂直

二、教学目标

1．使学生理解垂线的意义和垂线的第一个性质．

2．会用三角板过一点画已知直线的垂线，培养学生掌握画图的基本技能． 3．通过垂线性质的教学，培养学生发现问题的能力．

三、教学重点和难点

垂线的意义、性质和画法是重点，而垂线的画法也是难点．

四、教学手段

现代课堂教学手段

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、按照运动的思维方式提出问题 师：平面上的两条直线有哪些位置关系？

生：两种，平行和相交．(学生回答后，教师打出投影的两个图)(如图2－9(1)，2－9(2))师：在相交直线形成的四个角中，按照两个角的关系分类，有哪两种类型的角？ 生：对顶角和邻补角．

师：两条直线所夹的角中，如果按照角的大小来分类，又有哪几种？(这时老师将直线CD继续运动得到(3)和(4))生：三种：锐角、直角、钝角．

在此基础上，教师指出：图2－9(3)是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广，例如：书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边、红十字等，因此今天我们就来研究这种特殊情况．(板书课题)

（二）、垂线的有关概念

在感性认识的基础上，引导学生得到关于垂线的一些概念．

1．定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

2．符号：“⊥”读作“垂直于”如AB⊥CD于O，含义：直线AB与直线CD垂直，垂足是O． 3．对定义的理解：

(1)在垂直的定义中要强调只有一个角是直角就可以了，不必说四个角都是直角，因为其它三个直角都可推出来．

(2)两条直线互相垂直，是指两条直线而言．因此，说到垂线，一定是两条直线的位置关系．(3)定义具有双重性，既是判定垂直的定理，也是垂直的性质定理，在具体应用时要注意书写格式，如图2-10．

因为 AB⊥CD于O，(已知)所以 ∠1=90°．(垂直定义或垂直性质)因为 ∠AOC=90°，(已知)所以 AB⊥CD于O．(垂直定义或垂直的判定)

（三）、通过实践活动，引导学生发现垂线的第一个性质 1．教师先向学生提出一个实际问题． 怎样正确量出跳远的成绩？

2．引导学生将实际问题转化为数学问题，对做得比较好的学生，让他到黑板上画图，教师纠正并给出图2-11．

师生共同指出，BD为起跳线，A为跳远时脚落的地点． 3．教师指出：这个实际问题实质上就是转化为“从直线外一点画出已知直线的垂线问题．”那么，怎样用你手中的三角板画出这条垂线呢？

4．在学生画出垂线的基础上，教师总结出用三角板画垂线的基本方法．强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画线．并引导学生思考：这样画出的为何是已知直线的垂线？

5．引导学生在作垂线的实践活动中，发现垂线的性质．

(1)如图2-12(1)中，过点A，作直线BD的垂线．在图2-12(2)中，过A点分别作BD和DE的垂线．(2)发现垂线的性质

在学生熟练地作出各条垂线之后，教师继续提问：(或以其它形式)过A点还能作出别的垂线吗？ 在学生回答的基础上，教师引导学生发现以下两个结论： ①过A点作BD或DE的垂线有没有，有． ②过A点作BD或DE的垂线有几条，只一条． 在此基础上，又引导学生概括出：

垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”． ②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以．

（四）、应用举例，变式练习

例1：如图2-13(1)，过A点分别作AB，BC和CA的垂线．

练习1，如图2-13(2)，∠B=90°，过B分别作AB，BC，CA的垂线．

练习2，如图2-13(3)，过B点作AC的垂线，过A点作BC的垂线，过C点作AB的垂线． 练习3，如图2-14，过P点作AB，BC，CD和DA的垂线．

讲完这个例题和练习之后，对过已知点，作已知线段的垂线的问题加以总结，重点是：有时需要对线段加以延长，作延长线的垂线．

（五）、小结

师生共同总结出本节课所学的内容． 1．理解垂线的意义．

2．根据垂线的意义，过一点画一条直线的垂线． 3．理解垂线的第一性质公理．

七、练习设计

1．选用课本中的题． 2．以下6道题供选用．

(1)画∠AOB=45°，在∠AOB内找一点F，过F点作OA，OB的垂线．

(2)画∠AOB=120°，画∠AOB的平分线OE，在OE上任取一点F，过F作OA，OB的垂线．(3)如图2-15，AO⊥BO于O，求∠AOD与∠BOC的和．

(4)如图2-16，直线AB⊥CD于O，过O点的直线EF平分∠AOD，求∠COE的大小．(5)如图2-17，AB⊥EF于O，CD⊥AB于Q，指出∠AQD与∠AOF的关系．

(6)填空：如图2-18，已知AB与EF相交于O，∠AOE=30°，AB⊥CD于O．求∠EOD的度数． 解：因为AB⊥CD于O，()所以∠COA=90°．()又∠AOC+∠AOD=180°，()所以∠AOD=90°． 又∠AOE=30°，()所以∠EOD=60°．

八、板书设计 §4.6 垂直

（一）知识回顾

（三）例题解析

（五）课堂小结

例

1、例2

（二）观察发现

（四）课堂练习

练习设计

九、教学后记

1．本教案的教学时间为1课时45分钟．

2．本课时教学设计的主导思想是：应用“发现法”教学，使学生在自己动手的基础上，发现垂线的性质．

3．在学生理解了两条直线互相垂直的意义以后，还可以让学生举一些现实生活中的实例，如：桌子的两条相交的边，书的两边，房子的一边与另一边，电线与电线杆等，这些感性的知识有利于加强学生对垂线的理解，同时也可以使学生认识到垂直的情况在实际中的应用是十分广泛的，因此我们要把它的性质讨论清楚．

4．怎样过直线外一点作已知直线的垂线，在给出具体的例子时，可以让学生充分讨论，并想象在体育课中，体育教师是怎样量这个距离的．有的人想让多量点，都采取了什么手段，(这里还隐含着垂线的第二个性质)学生在动手动脑的过程中能很快得到垂线的性质，这时教师可以充分肯定学生的探索精神，并告诉他们：你们发现了一个公理，不是只有科学家才能发现和发明，每个人只要开动脑筋，身边就有很多规律性的东西可以发现

第四篇：专题线面垂直

专题九： 线面垂直的证明

题型一：共面垂直(实际上是平面内的两条直线的垂直)例1：如图在正方体ABCDA1BC11D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1中点,求证：AOOE

1题型二：线面垂直证明（利用线面垂直的判断定理）

例2：在正方体ABCDAO为底面ABCD的中心，E为CC1,1BC11D1中，平面BDE 求证：AO1

题型三：异面垂直（利用线面垂直的性质来证明，高考中的意图）例3.在正四面体ABCD中，求证ACBD

P N D C A M B 练：如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

题型四：面面垂直的证明(本质上是证明线面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号

是.①平面PAB平面PBC ②平面PAB平面PAD ③平面PAB平面PCD

例5.如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

第五篇：怎么证明垂直

怎么证明垂直

1、利用勾股定理的逆定理证明

勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。

2、利用“三线合一”证明

要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。

3、利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

4、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

5、利用菱形的对角线互相垂直证明

菱形的对角线互相垂直。

6、利用全等三角形证明

主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.赞同

5|评论

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：。