第一讲有关三线八角的几何证明5篇

第一篇：第一讲有关三线八角的几何证明

第一讲有关三线八角的几何证明

一．三线八角模型

两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：

同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

二．平行线判定定理：

如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行

如图所示，只要满足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以说AB//CD

平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行

如图所示，只要满足6＝2（或者5＝4），就可以说AB//CD平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行

如图所示，只要满足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以说AB//CD

平行线判定定理4：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行

三．平行线的性质定理

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系： 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；

两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等

两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

概念巩固

1.如图，下面结论正确的是（）

A.1和2是同位角B.2和3是内错角

C.2和4是同位角D.1和4是内错角

2.如图，图中同旁内角的对数是（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

3.如图，能与构成同位角的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，图中的内错角的对数是（）

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

(1)(2)

α

(3)(4)5．如图（1）所示，同位角共有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对6．下图中，∠1和∠2是同位角的是

A．B．C．D．

定理应用

7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）

A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40° 8．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30，这两个角是（）A.42、138







B.都是10C.42、138或42、10，AB⊥，∠ABC=130°，

D.以上都不对

9．如图（2）所示，∥

那么∠α的度数为（）

A．60°B．50°C．40°D．30°

10．如图（3）所示，已知∠AOB=50°，PC∥OB，PD平分∠OPC，则∠APC= ___°，∠PDO=______°

11．平行四边形中有一内角为60°，则其余各个内角的大小为___，____，_____。12．如图（4）所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1=______。

13．如图（6），DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数。

14．如图（7），已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD。

15.如图(19),∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.(1)AE与FC会平行吗?说明理由；

F

(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?

(3)BC平分∠DBE吗?为什么？

A

证明题

1．如图，已知：AB//CD，求证：B+D+BED=360（用三种方法）

A

B

C

2．已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，A=D，1=2，求证：B=C。

F

B

3．已知：如图，12，3B，AC//DE，且B、C、D在一条直线上。求证：AE//BDAE2

BCD

4．已知：如图，CDACBA，DE平分CDA，BF平分CBA，且ADEAED。求证：DE//FBDFC

AEB



5．已知：如图，BAPAPD180，12。求证：EF

AFC

E

B

P

D

6．已知：如图，12，34，56。求证：ED//FB

D

B

C

CD，2，

第二篇：三线八角教学设计（模版）

三线八角

教学目标

1．使学生理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们． 2．通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力． 3．使学生认识图形是由简到繁组合而成，培养学生形成基本图形结构的能力．

教学重点和难点

三线八角的意义是重点，能在各种变式的图形中找出这三类角既是重点，也是难点．

教学过程设计

一、从学生原有的认识结构提出问题 教师提问：

1．两条直线相交后产生了几个角？每两个角之间的关系是什么？(除平角外，产生四个角，对顶角相等，邻补角互补)2．三条直线之间也可以有什么样的位置关系？(可以让学生用手中的铅笔表示直线)在学生回答的基础上，教师打出投影，(四种情况，如图2-30)

(1)三条直线都没有交点．

(2)两条直线平行被第三条直线所截．(3)三条直线两两相交，有三个交点．(4)三条直线交于一点． 上节课是对相交的两条直线所形成的四个角进行研究，今天我们就对三条直线相交后形成的八个角如图2-30(3)进行研究，简称为：三线八角．(板书课题)二、三线八角的意义

1．教师用谈话方式提出问题：

在图2-31中，l1和l3(或l2和l3)所形成的四个角是有公共顶点的，而每两个角之间的关系从位置来分，可分为两类：对顶角和邻补角，而上面四个角和下面四个角是没有公共顶点的，那么上面的一个与下面的一个又有什么样的位置关系呢？这就是下面所要研究的问题．

2．分析特点，形成概念．(1)同位角的意义．

先引导学生分析∠1和∠5有什么共同特点？ 在学生回答的基础上，教师归纳总结出共同待点是：

均在直线l3的一侧，且分别在l1和l2的上方，像这样的两个角叫作同位角． 请同学们指出：图中还有同位角吗？(答：∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7)(2)内错角的意义(3)同旁内角的意义

(这两种角的教法类似同位角，如果学生要问∠1和∠6，∠1和∠7是什么关系，可以简单说一下，不问也不说．)3．变式练习，揭露概念本质属性．

(1)如图2-32，说出以下各对角是哪两条直线被第三条直线所截而得到的？∠1与∠2，∠2与∠4，∠2与∠3．

答：∠与∠2是l2、l3被l1所截而得到的一对同旁内角． ∠2与∠4是直线l2、l1被l3所截而得到的同旁内角． ∠2与∠3是l2、l1被l3所截而得到的同位角．

(2)如图2-33，找出下列图中的同位角，内错角和同旁内角．

答：同位角有：∠2与∠3，∠4与∠7，∠4与∠8；内错角有∠1与∠3，∠6与∠8，∠6与∠7；同旁内角有∠3与∠8，∠1与∠4．

(3)如图2-34，指出图中∠1与∠2，∠3与∠4的关系． 答：∠1与∠2是内错角，∠3与∠4也是内错角． 4．正确识别这三类角应注意的问题．

(1)识别这三类角首先要抓住“三条线”，即：哪两条直线被哪一条直线所截．

(2)抓住“截线”，截线的同侧有哪些角、从中找同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角．

三、综合应用，课堂练习

1．找出如图2-35中的对顶角和邻补角．

答：对顶角有四对，它们是∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8； 邻补角有∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1，∠5与∠8，∠8与∠6，∠6与∠7，∠7与∠5．

(还可以找出图2-35中相等的角，即四对对顶角)

2．如图2-36，如果∠1=∠2=∠7，那么还有哪些角是相等的．

答：∠1与∠4是邻补角．∠2与∠5是邻补角，∠3与∠6是邻补角．∠7与∠8是邻补角，因为∠1=∠2=∠7，∠2=∠3(对顶角相等)，所以∠1=∠2=∠3=∠7，则∠4=∠5=∠6=∠8．(等角的补角相等)3．如图2-37中，若∠1=∠2，证明：∠3与∠4是互补的角．

证明：因为∠1=∠3，(对顶角相等)∠1=∠2，(已知)所以∠2=∠3．(等量代换)又因为∠2+∠4=180°，所以∠3+∠4=180°．(等量代换)即∠3与∠4是互补的角． 此题在证明的分析中，可以用以下逻辑思考的过程，即“执果索因”法． 若要证∠3与∠4互补，即证∠3+∠4=180°，但∠4与∠2的和为180°，因此需证∠3=∠2，由于∠3=∠1(对顶角相等)，∠1=∠2是已知，所以∠2=∠3．而写出证明过程时，要从先证∠2=∠3出发，最后得到∠3+∠4=180°． 以上的几何证明题的思考过程是一种常见的方法，它是从要证明结果的出发，探索要得出这个结果时，应具备的条件，只要将条件准备充足，就能得到要求的结果．

四、小结

1．教师先提出以下问题：

(1)在所学的知识中，直线的位置关系是怎样形成和发展的？

(2)学了哪些相互关系的角？

(3)寻找同位的、内错角和同旁内角关键应准确找到什么？ 2．在学生回答的基础上，教师指出，(1)(投影)直线位置关系所对应的基本图形结构如图2-38．

(2)学过六种相互关系的角．

①互为余角，②互为补角(邻补角是特殊情形)，③对顶角，④同位角，⑤内错角，⑥同旁内角．

(3)寻找同位角，同旁内角关键在于准确找到三线．(两线被第三线所截)

五、作业 1．选书中习题． 2．以下六个题供选用．(1)指出图2-39(1)中，①∠2和∠5的关系是______； ②∠3和∠5的关系是______；

③∠2和______是直线______、______被______所截，形成的同位角； ④∠1和∠4呢？∠3和∠4呢？∠6和∠7是对顶角吗？(2)指出图中2-39(2)中，①∠C和∠D的关系： ②∠B和∠GEF的关系； ③∠A和∠D的关系； ④∠AGE和∠BGE的关系； ⑤∠CFD和∠AFB的关系．

(3)如图2-39(3)，用数字标出的八个角中

①同位角有______； ②内错角有______； ③同旁内角有______；

(4)如图2-39(4)，若∠1=∠2，可推出∠1与∠ADE______；∠1与∠BDE______．

(5)判断正误：

如图2-39(5)，①∠1和∠B是同位角； ②∠2和∠B是同位角； ③∠2和∠C是内错角； ④∠EAD和∠C是内错角．

(6)如图2-39(6)，①∠1和∠4是同位角； ②∠1和∠5是同位角； ③∠2和∠7是内错角； ④∠1和∠4是同旁内角； ⑤∠1和∠2是同旁内角． 板书设计

课堂教学设计说明

1．本教案为1课时45分钟．

2．上节课讨论了两条直线相交以后所形成的四个角，这一节课是进一步讨论三条直线相交后所形成的八个角，所以在教课过程，要运用基本图形结构将所学的知识及其内在联系向学生展示．

3．在讲三线八角概念时，一定要细致地分析、顾名思义，把握住两个关键的环节，“三条线与一条线”，尽量给出变式的图形，让学生分辨清楚． 4．这节课虽然不涉及两条直线平行后被第三条直线所截的问题，但在可能的情况下，将平行线的图形让学生见到，对下一步的学习很有好处，例如，平行四形中的内错角，学生开始接受起来有一定困难，在这一课时中，出现这个基本图形，为以后学习打下基础．

5．在课堂练习中，用到等量代换的公理，建议教师参考小资料，将等量公理补充给学生．

6．本课时对“执果索因”的方法进行了介绍．在今后的学习中经过教师多次引导，学生就会建立正确的思维习惯．

第三篇：几何证明选讲第一讲：相似三角形

几何证明选讲

<<几何证明选讲>>知识框图

第一讲 相似三角形的判定及有关性质

一．考纲要求

掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理。

二．知识梳理

1.平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2.平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的判定及性质

(1)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。AA

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。SAS

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。SSS

(2)直角三角形相似的判定：

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比

1例，那么这两个直角三角形相似。

(3)相似三角形的性质：

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比；

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。三．诊断练习

1．如图1，ΔABC中，∠1=∠B，则Δ∽Δ．此时若AD=3，BD=2，则AC=． 2.如图2，CD是RtΔABC的斜边上的高．

（1）若AD=9，CD=6，则BD=；（2）若AB=25，BC=15，则BD=．

┐

D

B

C图1 图

23．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另

一个三角形的最短边长为． 4.在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于点F，B 若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为cm2． E

5.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC

DBF

于F，则=.FCF四．范例导析

1.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，P是AD上一点，CF//AB，BP的延长线分别交AC、CF于点E、F，求证：BP2＝PE·PF

D

C

2．在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F,求证：CEF∽CBA

五．练习巩固

1.（2011安徽）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为

B

AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为

2.(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图BD,AEBC,ACD90,且AB6,AC4,AD12,则BE0

3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABb,CDa,E为AD边上的任意一点，EF

∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

DEAEDEAEDE

1时，有EF2时，有EF3时，有EF

ab2a2b3a3b

①当②当③当

； ； ．

4AE

DE当k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论是____.AE

4.已知：

AD垂直于BC交于D，AB-BD=AC-CD求证：三角形ABC为等腰三角形

第四篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

龙文教育浦东分校个性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

龙文教育浦东分校个性化教案

第五篇：几何证明

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于

_________________；

相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.