第11章几何证明初步复习学案

第一篇：第11章几何证明初步复习学案

第11章几何证明初步复习学案

【复习目标】

1、（1）了解定义、命题、公理、定理的含义

（2）能将命题写成“如果„那么„”的形式，并会找出命题的条件（题设）和结论

（3）会写出一个命题的逆命题，并会找出逆命题的条件（题设）和结论

（4）能判断一个命题的真假。并会举反例证明一个命题是错误的2、（1）了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据

（2）了解几何证明的三个步骤并会求证文字语言叙述的命题

3、体会反证法的含义，知道反证法的步骤，会用反证法证明命题

4、综合运用所学知识利用逻辑推理进行严谨的证明，发展初步演绎推理的能力

【学习过程】

一、自主学习：

1、（1）用来说明一个名词含义的语句叫做定义。表示的语句叫做命题。有些真命题

是通过长期实践总结出来的，被大家所公认的，并且作为证实其他命题的起始依据，这样的真命题叫做。通过推理的方法得到证实的真命题称作

（2）命题通常由和组成，是已知的事项，是由已知事项推断出的事项，命题的一般叙述形式为，其中，所引出的部分是条件，所引出的部分是结论

（3）在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做，那么另一命题叫做它的。如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的（4）错误的命题叫，正确的命题叫做，要指出一个命题是假命题，只要能

够举出一个例子，使它具备命题的，而不符合命题的就可以了，这种例子称为

2、（1）除公理外，命题的真实性都必须经过推理，推理的过程叫做

（2）几何证明的过程一般包括三个步骤：①根据题意，画出②结合图形，写

出③找出由已知推出求证的途径，写出

3、（1）证明一个命题时，不是由已知条件出发直接证明命题的结论，而是先提出与命题的相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明的方法叫做反证法

（2）用反证法证明一个命题，有三个步骤：①否定②推出③肯定

4、公理与定理：（定理需要会证明）

（1）两直线平行，同位角相等（公理）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补

（2）同位角相等，两直线平行（公理）内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行

（3）对顶角相等

（3）全等三角形的判定：ASA（公理）、SAS（公理）、SSS（公理）、AAS、HL

（4）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等（公理）

两个全等三角形的对应高相等

（5）三角形三个内角的和等于180度

（6）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

三角形的外角和等于360度

（7）线段垂直平分线上的点到这条线段的的距离相等

到一条线段的相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

角的平分线上的点到这个角的的距离相等

在角的内部，并且到角的相等的点在这个角的平分线上

（8）直角三角形的两个锐角互余

有两角互余的三角形是直角三角形

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半

（9）等腰三角形的两个底角相等（简称）

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形（简称）等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线重合（简称）

（10）等边三角形的每个内角都等于60度

二、专题训练：

1、下列语句不是命题的是（）

A．对顶角相等B．在同一平面内，两条直线或者相交，或者平行

222C．连结A、B两点D．(a+b)=a+2ab+b2、下列命题中，属于定义的是（）A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C.两直线平行，内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度

3、将命题“钝角大于它的补角”写成“如果„那么„”的形式，条件为，结论为

4、写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，它是命题（填“真”或“假”）

5、下列命题中，其逆命题成立的是（只填序号）

①同旁内角互补，两直线平行②如果两个角是直角，那么它们相等③如果两个实数相等，222那么它们的平方相等④若三角形的边长a,b,c满足a+b=c,则这个三角形是直角三角形

6、下列说法中，正确的是（）

A．每个命题都有逆命题B．每个定理都有逆定理

C．真命题的逆命题是真命题D.假命题的逆命题是假命题

7、举反例说明：“一个角的余角大于这个角”是假命题时，下列反例中不正确的是（）

A．设这个角是45度，它的余角是45度，但45度= 45度

B．设这个角是35度，它的余角是60度，但30度< 60度

C．设这个角是60度，它的余角是30度，但30度< 60度

D．设这个角是50度，它的余角是40度，但40度< 50度

8、对于同一平面内的三条直线a,b,c，给出下列五个论断：①a∥b②b∥c③a⊥b④a∥c ⑤ a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题。

9、求证：直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半

10、求证：全等三角形对应边上的中线相等

11、求证：相似三角形对应中线的比等于对应边的比

12、阅读下列文字：

题目：在Rt△ABC中，∠C=90度，若∠A≠45度，则AC≠BC

证明：假设AC=BC

因为∠A≠45度，∠C=90度，所以∠B≠∠A

所以AC≠BC，这与假设矛盾。

所以AC≠BC

上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法，若有错误，请予以纠正

13、反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，第一步假设

14、反证法证明“两直线如果有公共点，那么最多只有一个”，第一步假设

15、三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度

16、如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数

17、如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E。求证：DE2=BE·CE18、已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连结D、E、F，得到△DEF为等边三角形

求证：（1）△AEF≌△CDE（2）△ABC为等边三角形

CD

三、当堂检测：

19、下列命题中，真命题是（）

A．互补的两个角若相等，则两角都是直角B．直线是平角

C．不相交的两条直线叫平行线D．和为180°的两个角叫做互补角

20、反证法证明“凸多边形的外角中最多有3个钝角”，第一步假设

21、△ABC中，AB=BC=12，∠ABC=80度，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC

（1）求∠EDB的度数

D（2）求DE的长

C

第二篇：八(下)11章 几何证明初步复习学案(一)

几何证明初步复习学案

（一）单位：马兰初中主备：王慧敏审核：黄丽英

课本内容：P114—12

4课前准备：三角板铅笔

复习目标：

1.识别定义、命题、公理、定理，会区分命题的条件和结论，理解原命题和逆命题的关系。

2.学会综合法证明的格式，会使用反证法。

复习过程：

一、复习提纲

1、八条公理：

2、命题是由_______________和______________两部分组成.命题分真命题和___________。请你举一个真命题的例子：______________________________________________________； 一个假命题的例子：_______________________________________________________。

3、请写出互为逆命题的两个命题：____________________________________________, ___________________________________________________。

4、几何证明的过程包括①________________________________________;

②________________________________________;

③________________________________________.二、典型例题

例1 把下列命题写成“如果A，那么B”的形式，并指出条件和结论。

同角的余角相等

例2 指出下列命题中的假命题，并举出反例加以说明。

（1）两个无理数的和仍是无理数。

（2）如果两个角相等，那么这两个角是同位角。

（3）如果ab,bc,那么a=c.例3 在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n6n的值都是负数。于是小明猜想：当n为任意正整数时，n6n的值都是负数。小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由。

2例4 如图，AD⊥BC于D,∠ADE+∠B=90,求证：AB∥DE.

A

E

BDC

三、有效训练

1、下列命题中，正确的是（）

A 任何数的平方都是整数 B 相等的角是对顶角

C 内错角都相等D直角都相等

2、下列命题：

①如果ab，则a=b;②如果a=b，则ab；③大于直角的角是钝角；④一个角的补角大于这个角的余角 ⑤同一平面内，两条线段不相交，则一定平行。

其中，假命题为（）

A ①③ B ①⑤ C ③④⑤ D①③⑤

3、如图，E是AB上的一点，F是DC上的一点，G是BC的延长线上一点。

(1)∵∠B=∠DCG∴_________∥_________()222

2A

EDF

G

B(2)∵∠D=∠DCGC

∴_________∥_________()

(3)∵∠D+∠DFE=180

∴_________∥_________()

四、课堂总结（总结本章前三节内容，你学到了什么）

五、达标检测

（1）下列说法正确的是（）

A 真命题都可以作为定理B 公理不需要证明

C 定理不一定都要证明D 证明只能根据定义、公理进行

（2）下列定理中，没有逆定理的是（）

A 内错角相等，两直线平行B 直角三角形中，两锐角互余

C 相反数的绝对值相等D 同位角相等，两直线平行

（3）如图，B、A、E三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD∥BC，你所添加的条件是____________________（不允许添加辅助线）

E

AD

BC

（4）已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D。求证：DE∥ACDE

F

A

六、布置作业 BC(3)求证：两直线平行，内错角相等。

第三篇：几何证明初步测试题

2010—2011学第二学期学习效果评价 八年级数学（第十一章）试题（高春燕）

一、选择题

1．下列命题中，真命题是（）

6、△ABC中，∠C=90，AC=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,垂足为点E,若AB=10则△DBE周长为（）

A．10B.8C.12D.9

7.如图点D在AB上，点E在AC上并且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是（）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC

A．互补的两个角若相等，则两角都是直角B．直线是平角C．不相交的两条直线叫平行线D．和为180°的两个角叫做互补角2．如图，AB∥CD,AF 分别交AB、CD于A、C并且CE平分∠DCF,∠1=800，则

等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°

（2）（3）

3．如图，那么

等于（）

A．180°B．360°C．540°D．720°4．下列结论中不正确的是（）

A．如果一条直线与两条平行线中的一条平行，那么这条直线与另一条也平行B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线与另一条也垂直C．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么这条直线与另一条也相交

D．以上结论中只有一个不正确

5、在△ABC中，AC=BC＞AB,点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB, △PBC,△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）

A.3个B.4个C.6个D.7个

8、如图∠1=∠2，PM⊥OA于点M,则P点到OB的距离等于（）的长B.OP的长C.PM的长D.都不正确

A

E

C

（7）

（8）

9、如图所示，AB的垂直平分线为MN，点P在MN上，则下列结论中，错误的是（）

A、PA=PBB、OA=OBC、OP=OBD、ON平分∠APB

10、如图，直角三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC,BE平分∠ABC，交AD于点 E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）

A、AB=BFB、AE=EBC、AD=DCD、∠ABE=∠DFE

A.OA

N

P

B

D

（10）

二、填空题

11、在△ABC 中，（1），则∠B=度；（2），则∠B=度；（3），则∠B=度．

12、将命题“钝角大于它的补角”写成“如果„那么”的形式：

13、如图，已知：DE⊥AB，且∠A=∠D=290则∠ACB=

（13）

（16）、在△ABC 中,D、E分别在AB、CD上并且DE‖BC,AE=1,CE=2,则S△ADE:S△ABC=、等腰三角形腰上的高与底边夹角为15°，则顶角的度数为、如图，已知：在△ABC中，∠B=900, ∠1=∠2, ∠3=∠4，则的度数为

三、解答题、已知如图，在∠AOB中OC平分∠AOB,CA⊥OA,CB⊥OB,垂足分别为A、B,AB

交OC于点K，在图中你能找到哪些结论？

（分别写出一组相等的角、线段,一组全等的三角形一个等腰三角形）

B C

O

A

—2010

（17学第二学期学习效果评价）

18、如图，在五角形 八年级数学期末试题中，求证：∠A+∠B+∠C+

（18）

∠D+∠E=1800

（命题人：贾绪真、王云鹏）（时间：90分钟）

一、选择题

19、已知：如图，AB‖DC,点E是BC上一点，∠1=∠2,∠3=∠4．求证：AE⊥

DE1、下列计算正确的是（）A、（5-32=2B、a2b3=abbC、1÷

1

55

2=

D、2516=5-

420 如图

2、下列结论正确的是（,在△ABC中两个外角∠EAC和∠）FCA的平分线交于D点,求证：∠ADC=90（A0-

1∠ABC（B）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（C）顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；（D）两个等边三角形全等.(20)

21．如图，△

3、下列说法错误的是（ABC 中，∠B＞∠C,AD⊥BC,AE）平分∠BAC,求证：A、任意一个命题都有逆命题。

B、定理“全等三角形的对应角相等”有逆定理 C、正方形都相似是真命题

D、“画平行线”不是命题

4、如图下列条件不能判定l1∥l2的是

(9)14151617

第四篇：什么是几何证明学案

11.3什么是几何证明（第二课时）学案

一、学习目标

1、掌握平行线的判定

2、掌握证明的格式.体会证明的过程要步步有依据。

3、了解互逆命题的概念，知道原命题成立，逆命题不一定成立，了解逆定理的概念。

二、预习提纲

（一）忆一忆（1）几何证明的过程可以分几步？是哪几步？

（2）与平行线有关的公理有几个？请你说一说。

（二）试一试 证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

（三）练一练证明：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。

（四）想一想

比较上面的两个命题，你能找出每个命题的条件和结论吗？

（1）两直线平行，内错角相等。

条件是，结论是。

（2）内错角相等，两直线平行。

条件是，结论是。

你能发现它们的条件和结论之间有什么关系吗？

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理。

(五)练一练

你能说出下列命题的逆命题吗？它的逆命题是真命题还是假命题？

（1）同角的补角相等；

（2）全等三角形的对应边相等

你还能编制一个命题，并说出它的逆命题，判定其是真命题还是假命题吗？ 规律提升：每个命题都有逆命题；每个定理未必都有逆定理。

三、达标测评

1、说出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题。

（1）全等三角形的对应角相等()

（2）等边三角形是等腰三角形。（）

（3）直角都相等（）

（4）等腰三角形的两底角相等（）

（5）对顶角相等()

（6）如果a=b,那么a+c=b+c()

2、课本练习题第1题

3、证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等

小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？（可以从知识、方法等方面来谈）还存在哪些疑惑？请与大家交流。

第五篇：一课一练103几何证明初步2

一课一练103几何证明初步

2知识点

一、互逆命题与互逆定理

1、命题的概念：对一件事情的语句。

温馨提示：

1、每个命题都有条件（题设）和结论两部分； ○

2、命题的一般形式是“如果„（条件），那么„（结论）”○；

3、正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，验证一个命题是真命题，要经过严格 ○

证明，说明一个命题是假命题，只要指出一个反例即可。

2、互逆命题：

在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个 命题的，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做，那么另一个命 题叫做它的。

温馨提示：

1、任何一个命题都有逆命题；○

2、把一个命题的条件、结论交换，就得到它的逆命题；○

3、原命题成立，逆命题不一定成立，反之亦然。○

3、互逆定理：

如果一个定理的能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理 叫做。

温馨提示：

1、逆定理、互逆定理，一定是真命题； ○

2、不是所有的定理都有逆定理。○

二、相关定理 A

4C32E1BD

F

（一）、平行线的性质与判定：（三性质和五判定）

三性质：

1、“两直线平行，同位角相等 ”。∵AB//CD，∴。

2、“两直线平行，内错角相等”。∵AB//CD，∴。

3、“两直线平行，同旁内角互补”。∵AB//CD，∴。

五判定：

1、“同位角相等，两直线平行”。∵，∴AB//CD2、“内错角相等，两直线平行”。∵，∴AB//CD3、“同旁内角互补，两直线平行”。∵，∴AB//CD4、“平行与同一条直线的两直线平行”。

∵a//b，b//c，∴。

5、在同一平面内，垂直与同一条直线的两直线平行。

∵a⊥c，b⊥c，∴a//b

c

a ba

c

b

温馨提示：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；

（3）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直。

（二）、三角形内角和及外角定理：

1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

推理过程：作CM∥AB，则∠A=，∠B=，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○作MN∥BC，则∠2=，∠3=，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． ○

A

MC B

温馨提示：

（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．

（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．

0（3）特殊三角形的内角关系：直角三角形两锐角互余；等边三角形每个内角都等于602、三角形的外角的定义

三角形，叫做三角形的外角.温馨提示：

每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.3．三角形外角的性质

A（1）、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．

（2）、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

（3）、三角形的三个外角和为360°。

温馨提示： B

外角与相邻的内角互为邻补角。

（三）、全等三角形

1．定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互 相重合的边叫做

对应边，互相重合的角叫做对应角．

2．性质 两全等三角形的相等、相等。

温馨提示：

(1)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高分别相等。(2)对应的量分别相等。

3．判定

(1)判定1：．(“SAS”)

(1)判定2：．(“ASA”)

(3)判定3：．(“SSS”)

(4)判定4：．(“AAS”)

(5)判定5：．(“HL”)

温馨提示：

1“HL”定理是直角三角形独有的，对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定方法同样 ○

适用于直角三角形．

（2）等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合． 即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．

（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则ba．图

1（1）、定理的作用：证明两条线段相等；

（2）、⊿ABC是等腰三角形，CD三线合一；

（3）、线段AB关于它的垂直平分线轴对称；关于中点D中心对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.○

2注意线段垂直平分线性质定理和逆定理区别和联系 ○

3、关于三角形三边垂直平分线的定理（三角形的外心）：

三角形三边的垂直平分线相交于一点（外心），并且的距离相等.如图2，若直线i,j,k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.温馨提示：

结合三角形外心的性质掌握，如：外心位置、OA＝OB＝OC.几何作图应用等进行掌握

图

2（七）、角平分线

1、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点。如图3，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若，则。温馨提示：

① 证明两条线段相等（相等量：OD=OC、FC=FD；∠ COF=∠DOF、∠CFO=∠DFO）； ② 与用于几何作图问题；

③ 与圆切线长定理有密切联系

④ 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：

在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.图

3如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD

⊥OB于D，定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线 ○

是一个角的角平分线

2注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.○

3、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点（内心）的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点的距离相等.如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；

② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.温馨提示：

结合三角形内心性质掌握，如：内心位置、IF=IE=IP、实际中的几何作图等进行掌握.