考研.数学 高数总结3

第一篇：考研.数学 高数总结3

定积分理论

一、实际应用背景

1、运动问题—设物体运动速度为vv(t)，求t[a,b]上物体走过的路程。

（1）取at0t1tnb，[a,b][t0,t1][t1,t2][tn1,tn]，其中tititi1(1in)；

（2）任取i[xi1,xi](1in)，S

nf()t； iii1

iin（3）取max{xi}，则Slim1in0f()x i12、曲边梯形的面积—设曲线L:yf(x)0(axb)，由L,xa,xb及x轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

（1）取ax0x1xnb，[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn]，其中xixixi1(1in)；

（2）任取i[xi1,xi](1in)，A

nf()x； iii1

iin（3）取max{xi}，则Alim1in0f()x。i1

二、定积分理论

（一）定积分的定义—设f(x)为[a,b]上的有界函数，（1）取ax0x1xnb，[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn]，其中xixixi1(1in)；

（2）任取i[xi1,xi](1in)，作

nf()x； iii1

inax{xi}，（3）取m若lim1in0f()x存在，称f(x)在[a,b]上可积，极限称为f(x)i

i1

在[a,b]上的定积分，记b

af(x)dx，即f(x)dxlimf(i)xi。abn0i1

【注解】

（1）极限与区间的划分及i的取法无关。

n

1,xQ

【例题】当x[a,b]时，令f(x)，对limf(i)xi，0

i10,xRQ

n

n

情形一：取所有iQ(1in)，则lim

0

f()x

i

i1

n

i

limxiba；

0

i1

情形二：取所有iRQ(1in)，则lim

0

n

f()x

i

i1

i

0，所以极限lim

0

f()x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可积。

i

i

i1

（2）0n，反之不对。

112n1n1,]，xi(1in)；

nnnnnn

i1i

取法：取i或i(1in)，则

nn

分法：等分，即[0,1][0,][,][



1ni1ni1

f(x)dxlimf()limf()。

nnnnni1ni1

则



b

a

banif(x)dxlimf[a(ba)]。nni1n

1n2i【例题1】求极限lim。

nnni1

11n2i

【解答】lim2xdx。

0nnni1

【例题2】求极限lim（n

1n1





1n2





1nn)。

22)

【解答】lim（n

1n1



1n

21nn1n

()2

n

1lim[nn

11()2

n

2()2

n



]

dxx

三、定积分的普通性质1、2、3、4、[f(x)g(x)]dx

a

bb

a

f(x)dxg(x)dx。

a

b

kf(x)dxk

a

bb

a

f(x)dx。

bc



b

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dx。

a

c



b

a

dxba。

5、设f(x)0(axb)，则【证明】



b

a

f(x)dx0。



b

a

f(x)dxlimf(i)xi，0

i1

n

因为f(x)0，所以f(i)0，又因为ab，所以xi0，于是

n

f()x

i

i1

n

i

0，由极限保号性得

limf(i)xi0，即f(x)dx0。

0

i1

b

a

（1）



b

a

f(x)dx|f(x)|dx(ab)。

a

b

（2）设f(x)g(x)(axb)，则



b

a

f(x)dxg(x)dx。

a

b

6（积分中值定理）设f(x)C[a,b]，则存在[a,b]，使得

四、定积分基本理论

定理1 设f(x)C[a,b]，令(x)



b

a

f(x)dxf()(ba)。



x

a

f(t)dt，则(x)为f(x)的一个原函数，即

(x)f(x)。

【注解】

（1）连续函数一定存在原函数。

dx

f(t)dtf(x)，（2）adx

d(x)

f(t)dtf[(x)](x)。adx

d2(x)

(x)f[1(x)]1(x)。f(t)dtf[2(x)]2（3）

dx1(x)

【例题1】设f(x)连续，且(x)【解答】(x)

x

(xt)f(t)dt，求(x)。

0x0

x

(xt)f(t)dtx

0f(t)dttf(t)dt，x

(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt，(x)f(x)。

xx

【例题2】设f(x)为连续函数，且(x)【解答】(x)

x2t2u

tf(x

x

t2)dt，求(x)。



x

tf(x2t2)dt

1x2222

f(xt)d(xt)20

101x2

2f(u)duf(u)du，2x20

f(x2)2xxf(x2)。2

(x)

定理2（牛顿—莱布尼兹公式）设f(x)C[a,b]，且F(x)为f(x)的一个原函数，则



b

a

f(x)dxF(b)F(a)。

【证明】由F(x)f(x),(x)f(x)得[F(x)(x)]f(x)f(x)0，从而F(x)(x)constant，于是F(b)(b)F(a)(a)，注意到(a)0，所以(b)F(b)F(a)，即

五、定积分的积分法

（一）换元积分法—设f(x)C[a,b]，令x(t)，其中(t)可导，且(t)0，其中



b

a

f(x)dxF(b)F(a)。

()a,()b，则f(x)dxf[(t)](t)dt。

a

b



（二）分部积分法—

udvuvvdu。

a

a

a

b

b

b

六、定积分的特殊性质

1、对称区间上函数的定积分性质 设f(x)C[a,a]，则（1）则



a

a

f(x)dx[f(x)f(x)]dx。

a

（2）若f(x)f(x)，则



a

a

f(x)dx2f(x)dx。

a

（3）若f(x)f(x)，则



a

a

f(x)dx0。

【例题1】设f(x),g(x)C[a,a]，其中f(x)f(x)A,g(x)为偶函数，证明：



a

a

f(x)g(x)dxAg(x)dx。

a

【解答】

a



a

a

f(x)g(x)dx[f(x)g(x)f(x)g(x)]dx

a0

a

[f(x)f(x)]g(x)dxAg(x)dx。



（2）计算

arctane

22

x

|sinx|dx。





【解答】







arctane|sinx|dx2(arctanexarctanex)sinxdx，x

x

x

exex

0，因为(arctanearctane)2x2x

1e1e

所以arctanexarctanexC0，取x0得C0



，于是

arctane|sinx|dx

22

x





2

sinxdx

。

2、周期函数定积分性质 设f(x)以T为周期，则（1）



aT

a

。f(x)dxf(x)dx，其中a为任意常数（周期函数的平移性质）

T

如



3











sinxdx2sinxdx22sin2xdx。

（2）



nT

f(x)dxnf(x)dx。

T3、特殊区间上三角函数定积分性质





（1）设f(x)C[0,1]，则





f(sinx)dx2f(cosx)dx，特别地，

sinxdxcosxdxIn，且In

n



n

n1

In2,I0,I11。n2

sinx

【例题1】计算2dx。

1ex2



sin4xsin4xsin4x2【解答】dx()dx x01ex1ex1e2



1131342sin4xdxI2()sinxdx。4x01ex0422161e



【例题2】计算【解答】



cosxdx。



cosxdx



cosxd(x)



100

cosxdx









2

cosxdx









cosxdx







cosxdx









1cosx2xx222

。dxsind()sinxdx00222

第二篇：考研高数知识总结1

考研数学讲座（17）论证不能凭感觉

一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。

1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1),你敢不敢作等价无穷小替换?

分析 只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。

x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα 是无穷小，sinα（x）～ α（x）且 sinα 处于“因式”地位。可以换。

等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2

2．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？

分析 有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如 奇函数 f(－x)= －f(x)周期为T的函数 f(x+T)= f(x)等式两端分别求导，得 fˊ(－x)= fˊ(x)fˊ(x+T)= fˊ(x)（实际上，由复合函数求导法则，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x)(－x)ˊ= －fˊ(－x)）

所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为(x)ˊ= 1，有的非周期函数，比如y = x + sinx，的导数却是周期函数。

（潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。）

单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。

如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。

有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。

取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。这个反例说明有界函数的导数不一定有界。

（画外音：写出来很吓人啊。x → 1 时，lim f(x)= 0，而 lim fˊ(x)= －∞）

3． 连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？

分析 连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：

取分段函数 g（x）为，x ＞ 0 时 g =1，x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。取 f（u）=√u，则 f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。还有一些原因让“病态点”消失。

如果只图简单，你可以取 f（u）为常函数。以不变应万变。

取 f（u）= u的平方，则 f（g（x））= 1，显然是个连续函数。

4．设 f(x)可导，若x趋于 +∞ 时，lim f(x)= +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析 稍为一想，就知为否。例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x，x 趋于 +∞ 时，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。5．设f(x)可导，若 x 趋于+∞时，lim fˊ(x)= +∞ , 是否必有 lim f(x)= +∞ 分析 用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限（见指导（3）。）： 因为 lim fˊ(x)= +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x ＞ x0 时，总有 fˊ(x)＞1 用拉格朗日公式给函数一个新的表达式

f(x)= f(x0)+ fˊ(ξ)(x－x0), x0 ＜ξ＜ x(潜台词: ξ=ξ(x)。你有这种描述意识吗？)进而就有, x ＞x0 时, f(x)＞f(x0)+ 1(x－x0)（画外音：这一步是高级动作。）因为 f(x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f(x)= +∞ 6。设 f(x)可导，若 x 趋于-∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f(x)=-∞ 分析 否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是

若 x 趋于-∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 则必有 lim f(x)= +∞

7．设 f(x)可导，若x 趋于+∞时，lim f(x)= c（常数，）是否必有lim f ˊ(x)= 0 分析 否。lim fˊ(x)有可能不存在。

这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x)= c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。”

想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。

由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如，曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x)不存在的后果。对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x)存在，则必有 lim fˊ(x)= 0 用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x)= A ＞0 与前述5中同样，可以选定充分大的正数 x0，使 x＞x0 时，总有 fˊ(x)＞A/2，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有

f(x)＞f(x0)+ A(x－x0)/2 —→+∞ 矛盾。

8．函数在一点可导，且导数大于0，能说函数在这一点单增吗？

分析 不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即 x 趋于x0 时，lim(f(x)－f（x0））/（x－x0）＞ 0 如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f(x)＞ f（x0）。但是，我们不知道函数值相互间的大小。

*9 设f(x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b)＜ 0，则（a，b）内必有点c，fˊ(c)= 0

分析 对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。

在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设 fˊ(a)＞ 0 而 fˊ(b)＜ 0 分别在a，b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。）可以综合得到结论：

函数的端值 f(a)，f(b)都不是 f(x)在[a，b] 上的最大值。最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0 好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。考研数学讲座（18）泰勒公式级数连

中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。

中值定理的公式（可微分条件，有限增量公式，泰勒公式）都是描述型的数学公式。描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。

在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。1.“微分是个新起点” —— 若函数 f（x）在点x0可微，Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 则函数实际上就有了一个新的（微局部的）表达式：

f（x）= f(x0)+ f ′(x0)(x－x0)+ ο(Δx)（ο(Δx)尾项，比Δx高阶的无穷小）

（潜台词：只有|Δx |充分小，“高阶无穷小”才有意义。）

历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。

2.拉格郎日公式 —— 若 函数f(x)在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得 f(b)－f(a)= f ′(ξ)（b－a）

定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（任给一点，相对不变。）也可以有 f(x)－f(x0)= f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，（潜台词：任意一点x，对应着一个客观存在的“点ξ”，ξ=ξ（x））即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，3.泰勒公式 —— 如果函数在点x0 邻近有二阶导数

f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(ξ)/2）（x－x0）²，ξ 在x与x0之间 式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为 x0 +θ(x－x0)，0＜θ＜1 一般情况下，我们无法知道

ξ=ξ（x）的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，实现应用目的。

如果函数仅在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项（皮阿诺余项）

f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(x0)/2）（x－x0）²+ ο（|Δx| ²）泰勒系数 —— 如果在点x0 邻近f（x）n+1 阶可导，则有泰勒系数 f（x0），f ′(x0)，f ″(x0)/ 2！，f ′ ″(x0)/ 3！，„„

可以写出，f（x）= n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项

4.泰勒级数 —— 如果在点x0邻近f（x）无穷阶可导，不妨取x0 = 0，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数

f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x²+（f ′ ″(0)/ 3！）x³ + „„ 这个幂级数的和函数是否就是f（x）呢？不一定！

（画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数，它的和函数却不一定是 f（x）。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。）

关键在余项。当且仅当 n → ∞ 时，泰勒公式尾项的极限为 0，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f（x）的泰勒展开式。验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。

美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。

exp（x）= 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞ sin x = x － x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞

（逐项求导，cos x = 1－ x²/2！+ „„

－∞＜x＜∞）此外还有 ln（1+x）= x － x²/2 + x³/3 + „„ －1＜x＜ 1（1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ(μ－1)/ 2！）x²+（μ(μ－1)(μ－2)/ 3！）x³+ „„ 1/(1－x)= 1 + x² + x³ + „„ －1＜x＜ 1，上同

泰勒公式基本应用（1）—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有，x → 0 时，exp（x）－ 1 ~ x，exp(x)－1－x ~ x² / 2

sin x ~ x，sin x － x ~ － x³ / 3！，cos x －1 ~ － x²/2 ln（1+x）~ x，ln(1+x)－x ~ －x²/2（1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1时，lim(√(x³+3)－A－B(x －1)－(x －1)²)/(x －1)² = 0，试确定常数，A，B，C 分析

已知表明 x → 1 时，分子是较分母高阶的无穷小。

题面已暗示，应将函数y =√(x³+3)在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式，且必有

常数项 = A 一次项系数 = B 二次项系数 = C 这些低阶项相互抵消，分子才能成为高于二次方级的无穷小。

于是 A = y(1)= 2，B = y ′(1)= 3/4，C = y″(1)/ 2 = 39/64（画外音：有的人一遇上这类题就想用洛必达法则，这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。如果只有两个参数，可看讲座（9）。）

泰勒公式基本应用（2）—— 带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限

例88 若 x→ 0 时，极限 lim(sin6 x+ f（x）)/ x³ = 0，则

x→ 0 时，极限 l im(6 + f（x）)/ x² = ? 分析

分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x，（潜台词：sin6 x不是分子的因式，是分子的一项。）

这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”，sin 6x = 6 x －（6x）³/3！+ ο（|Δx| ³）代入已知极限，移项得 lim(6 + f（x）)/ x² = 36

例89 设函数 f(x)在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数，且 f(0)≠0，f ′(0)≠0, 记 F(h)= λ1 f(h)+ λ2 f(2h)+ λ

f(3h)一 f(0)，试证，存在唯一的实数组 λ1，λ2，λ3，使 h → 0 时，F(h)是比 h ² 高阶的无穷小。分析 讨论极限问题，有高阶导数信息，先写带皮亚诺余项的泰勒公式 f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x²+ ο（|x| ²）

这是函数 f（x）的一个新的（微局部的）表达式，当然可以表示 f(h)，f(2h)，f(3h)f(h)= f（0）+ f ′(0)h +（f ″(0)/2）h ²+ ο（| h | ²）

f(2h)= f（0）+ f ′(0)2 h +（f ″(0)/2）（2h）²+ ο（| h | ²）f(3h)= f（0）+ f ′(0)3 h +（f ″(0)/2）（3h）²+ ο（| h | ²）（潜台词：常数因子不影响尾项。）将各式代入F(h),整理得

F(h)=(λ1+λ2+λ3一1)f（0）+(λ1+2λ2 + 3λ3)f ′(0)h +(λ1+ 4λ2 + 9λ3)f ″(0)h ²/2 + ο（| h | ²）

要让 h → 0 时，F(h)是比 h ²高阶的无穷小。，只需令上式中的常数项及 h 和 h ²项的系数全为 0，这就得到未知量

λ1，λ2，λ3 的一个齐次线性方程组，它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式，其值不为 0，故可以相应算得唯一的一组 λ1，λ2，和 λ3 泰勒公式基本应用（3）——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论 例90 —— 凸函数不等式

如果函数 f(x)二阶可导且二阶导数定号，（称为凸函数），则应用泰勒公式可以得到不等式

f(x)≥ f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)（或≤）

实际上 f（x）= f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)+(f ″(ξ)/2)(x－x0)²，ξ 在 x 与 x0之间

设 f ″(x)＞ 0，自然有(f ″(ξ)/2)(x－x0)² ＞ 0，舍掉此项就得到不等式。

*例91 函数 f(x)在 [－1，1] 上有连续的三阶导数，且 f(－1)= 0，f(1)=1，f ′(0)= 0，试证明在区间 内至少有一点 ξ，使得 f ″′(ξ)= 3 分析 选中心点 x0 = 0，在区间内讨论，写出带拉格郎日尾项的泰勒公式

f（x）= f（0）+（f ″(0)/2）x²+（f ′ ″(η)/ 3！）x³ , η在0与x之间 既然这是 f(x)的又一个表达式，当然可以代入x = －1 , 1，它们分别相应有 ξ 1，ξ 2 0 = f（－1）= f（0）+（f ″(0)/2）(－1)²+（f ′ ″(ξ 1)/ 3！）(－1)³ , －1＜ξ 1＜0 1 = f（1）= f（0）+（f ″(0)/2）1² +（f ′ ″(ξ 2)/ 3！）1³ , 0 ＜ξ 2 ＜ 1 到了这一步，仔细观察发现，两式相减，能得到只剩下有关三阶导数值的表达式。f ′″(ξ 2)+ f ′″(ξ 1)= 6 或着两个三阶导数值都等于3，本题得证。或者它们一大于3，一小于3，而函数 f ″′(x)连续，可以应用介值定理完成本题证明。

第三篇：考研高数知识点总结

综合理解是在基础知识点基础上进行的,加强综合解题能力的训练,熟悉常见的考题的类型，下面是小编为你带来的考研高数知识点总结，希望对你有所帮助。

高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：

1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。

3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。

6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法

由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。

凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。

1.制定详细周密的学习计划。

这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。

方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们

贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。

方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。

方法三：定期考核。定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。

2.分配好各门课程的复习时间。

一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。一般来说上午的头脑清醒、状态良好，有利于背诵记忆。除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精神状态会相对低落。晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。方法一：按习惯分配。根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不同时段。比如：把英语复习安排在上午，练习听力、培养语感，做英语试题;把政治安排在下午，政治的掌握相对来说利用的时间较少;把专业课安排在晚上，利用最佳时间来理解和记忆。

方法二：按学习进度分配。考生可以根据个人成绩安排学习，把复习时间向比较欠缺的科目上倾斜，有计划地重点复习某一课程。

方法三：交叉分配。在各门课程学习之间可以相互穿插别的科目的学习，因为长时间接受一种知识信息，容易使大脑产生疲劳。另外，也可以把一周每一天的同一时段安排不同的学习内容。

第四篇：考研数学高数重要知识点

考研数学高数重要知识点

摘要：从整个学科上来看，高数实际上是围绕着、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。

函数部分：

函数的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。

接下来，我们来说说直接通过定义的基本概念：

通过，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算。然后是间断点的分类，讨论函数间断点的分类，需要计算左右。

再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是存在，也可以写成存在。这里的式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。

以上就是这个体系下主要的知识点。

导数部分：

导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。

能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。

然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。

这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：

①求单调区间或证明单调性;

②证明不等式;

③讨论方程根的个数。

同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。

积分部分：

一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。

熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的;理解微元法(分割、近似、求和、取)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。

然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。

至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。

一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。

会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。

这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。

第五篇：2015考研数学高数真题解析

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2015考研数学高数真题解析

[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！

2014年12月28日凯程考研数学教研组第一时间解析了2015考研数学(一)(二)(三)真题，今年的试题难度和去年相比差不多，出题的方向和题目的类型完全在预料之中。没有偏题怪题，也没有计算量特别大的题目，完全按照考试大纲的要求，只要考生有比较扎实的基本功，复习比较全面，是比较容易拿到高分的。相信同学们都能做的不错。

证明题是研究生考试几乎每年必考的内容，今年考研数学(一)(三)证明题与以往不同，之前经常考到的是有关中值等式的证明或不等式的证明等等，而今年的证明题是导数公式的证明，题目如下

以上是这道证明题的解题过程，这道题也是咱们同济大学第六版高等数学上册教材88页的原定理，所以同学们在预习课本的时候，一定要重视定理、公式、法则、性质等的证明，近几年考研真题都有考过原定理的证明，比如08年考了边上限函数导数的证明，09年考查了拉格朗日中值定理的证明。所以对于2016届考研的学子来说，一定要重视书中定理、公式、法则、性质等的证明。在此对准备2016年考试的考生来说，复习安排应注意以下方面：

首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位。象今年考查的导数的运算法则，就是教材上的一个定理，选择题和部分填空题也是考查基本概念和基本原理，基础知识的考查占有相当大的比例，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。

其次，注重公式的记忆，方法的掌握和应用。填空题部分和一部分大题难度不大，需要能够理解原理，熟悉公式，灵活运用方法。

基础复习阶段非常重要，只要掌握好基础，对于后期题型的训练和方法的掌握都有很大的帮助，只有打好基础才能做题达到游刃有余。

再次，注重综合问题、实际问题，这部分内容是强化阶段重点关注的问题和需要培养的能力，需要大家练习一定量的问题，以达到巩固概念方法和原理、提高所学知识解决问题能凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖！以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http://www.xiexiebang.com

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力的目的。

最后，凯程考研衷心地祝愿广大考生2016年考研成功!2015考研刚刚结束，在这里首先祝福各位考生金榜题名!根据今年考研真题，凯程考研数学名师李擂为2016考研的学子介绍一下真题中线性代数的出题特点，以便大家在接下来的复习中能够更好的把握线性代数的复习方法。

从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。下面以真题中的几道题目为例，例如：数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)

针对以上特点，老师建议各位2016考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。

比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。

对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。一定要注意总结这些基本运算的运算方法。例如，复习行列式的计算时，就要将各种类型的行列式计算方法掌握清楚，如，行(列)和相等型、爪型、三对角线型，范德蒙行列式等等。

最后，凯程考研衷心地祝愿广大考生2016年考研成功!

凯程教育：

凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；

凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；

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如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由

一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。

有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

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