考研数学：高数重要公式总结(基本积分表)

第一篇：考研数学：高数重要公式总结(基本积分表)

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

考研数学：高数重要公式总结（基本积

分表）

考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。

其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖！以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

凯程考研：

凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿；

使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上；

敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。

如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经

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凯程考研

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验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由

一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！

在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。

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凯程考研

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王少棠

本科学校：南开大学法学

录取学校：北大法学国际经济法方向第一名 总分：380+ 在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于少棠来说，无疑是无比高兴的是，圆梦北大法学院。在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说：“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天6点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读，8点开始单词与长难句测试，9点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室里学习了，夏天比较困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上自习、测试、答疑之类，晚上11点30熄灯睡觉。”

这样的生活，贯穿了我在辅导班的整个过程，王少棠对他的北大梦想是如此的坚持，无疑，让他忘记了在考研路上的辛苦，只有坚持的信念，只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂

本科西北工业大学物理

考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部)作为跨地区跨校跨专业的三凯程生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常纯熟到位，也是每个学生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。在辅导班里，学习成绩显著上升。

在暑期，辅导班的课程排得非常满，公共课、专业课、晚自习、答疑、测试，一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真，在这个没有任何干扰的考研氛围里，充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。

五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有

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质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。

另外，在去年，石继华，本科安徽大学，成功考入五道口金融学院，也就是说，我们只要努力，方向正确，就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油，五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学(女生)本科院校：中国青年政治学院 报考院校：中国人民大学金融硕士 总分：跨专业380+ 初试成绩非常理想，离不开老师的辛勤辅导，离不开班主任的鼓励，离不开她的努力，离不开所有关心她的人，圆梦人大金融硕士，实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主任老师没有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

张博，从山东理工大学考入北京大学法律硕士，我复习的比较晚，很庆幸选择了凯程，法硕老师讲的很到位，我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功，也祝愿凯程越办越好。

张亚婷，海南师范大学小学数学专业，考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向，成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。

孙川川，西南大学考入中国传媒大学艺术硕士，播音主持专业。在考研辅导班，进步飞快，不受其他打扰，能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责，真的很感谢他们。

在凯程考研辅导班，他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说：考取人大，是我的梦想，我一直努力，肯定能够成功的，只要我们不放弃，不抛弃，并且一直在努力前进创造成功的条件，每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信，每个人都能够成功。

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第二篇：高数积分总结

高数积分总结

一、不定积分

1、不定积分的概念也性质

定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一xI,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作

f(x)dx。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则

kf(x)dxkf(x)dx。

2、换元积分法(1)第一类换元法：

定理1：设f(u)具有原函数，(x)可导，则有换元公式

f[(x)]'(x)dx[f()d]

(x)。例：求2cos2xdx

解 2cos2xdxcos2x2dxcos2x(2x)'dxcosd 将2x代入，既得

2cos2xdxsin2xC

(2)第二类换元法：

定理2：设x(t)是单调的、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

f(x)dx[f[(t)]'(t)dt]1其中(x)是x(t)的反函数。

t1(x)，例：求dxxa22(a0)

22解

∵1tantsect，设xtantt，那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2tasect,dxasec2tdt，于是

asec2tdtsectdt 22asectxadx∴∵sect∴dxdxxa22lnsecttantC

x2a2，且secttant0 aCln(xx2a2)C，CClna 1122xxalnaax2a2

3、分部积分法

定义：设函数(x)及(x)具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为

'''

移项得

'()''

对这个等式两边求不定积分，得

'dx'dx

此公式为分部积分公式。例：求xcosxdx 解 xcosxdxxsinxsinxdx

∴xcosxdxxsinxcosxC 分部积分的顺序：反对幂三指。

4、有理函数的积分 例：求x1dx 2x5x62解

∵x5x6(x3)(x2)，故设

x1AB

x25x6x3x2其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得

x1A(x2)B(x3)

即

x1(AB)x2A3B

比较上式两端同次幂的系数，既有

AB1 2A3B1从而解得

A4,B3 于是

x134dx4lnx33lnx2C x25x6dxx3x2其他有些函数可以化做有理函数。

5、积分表的查询

二、定积分

1、定积分的定义和性质

（1）定义：设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点

ax0x1x2xn1xnb

把区间a,b分成n个小区间

x0,x1,x1,x2,,xn1,xn

各个小区间的长度依次为

x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1

在每个小区间xi1,xi上任取一点ixi1ixi，作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xii1,2,,n，并作出和

Sf(i)xi

i1n记maxx1,x2,,xn，如果不论对a,b怎么划分，也不论在小区间xi1,xi上点i怎么选取，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数(简称积分)，记作

f(x)在区间a,b上的定积分

baf(x)dx，即

n其中变量，baf(x)dxIlimf(i)xi

0i1f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。

f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)定理1：设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2：设在a,b上可积。（2）性质1：

性质2：f(x)g(x)dxabbaf(x)dxg(x)dx

abkf(x)dxkabbaf(x)dx

(k是常数)

性质3：设acb，则

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb

性质4：如果在区间a,b上f(x)1，则

1dxdxba

aabb

性质5：如果在区间a,b上，f(x)0，则

babaf(x)dx0ab

推论1：如果在区间a,b上，f(x)g(x)，则

f(x)dxg(x)dxab

ab

推论2：

baf(x)dxf(x)dx(ab)

ab

性质6：设M及m分别是函数最小值，则

f(x)在区间a,b上的最大值和m(ba)f(x)dxM(ba)(ab)

ab

性质7(定积分中值定理)：如果函数f(x)在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一个点，使下式成立

baf(x)dxf()(ba)(ab)

2、微积分基本公式(1)积分上限函数及其导数

定理1：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数

xf(t)dt

ax在a,b上可导，并且它的导数

dx'(x)f(t)dtf(x)(axb)adx定理2：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则函数

(x)f(t)dt

ax就是f(x)在区间a,b上的一个原函数。

f(x)在区间a,b上的一个原函(2)牛顿-莱布尼茨公式

定理3：如果函数F(x)是连续函数数，则

(1)定积分的换元法 定理：

三、多元函数微分

四、重积分

五、曲面和曲线积分

baf(x)dxF(b)F(a)

3、定积分的换元法和分部积分法

第三篇：高数积分总结

高数积分总结

一、不定积分

1、不定积分的概念也性质

定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一xI,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作

f(x)dx。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则

kf(x)dxkf(x)dx。

2、换元积分法(1)第一类换元法：

定理1：设f(u)具有原函数，(x)可导，则有换元公式

f[(x)]'(x)dx[f()d]

(x)。例：求2cos2xdx

解 2cos2xdxcos2x2dxcos2x(2x)'dxcosd 将2x代入，既得

2cos2xdxsin2xC

(2)第二类换元法：

定理2：设x(t)是单调的、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

f(x)dx[f[(t)]'(t)dt]1其中(x)是x(t)的反函数。

t1(x)，例：求dxxa22(a0)

22解

∵1tantsect，设xtantt，那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2tasect,dxasec2tdt，于是

asec2tdtsectdt 22asectxadx∴∵sect∴dxdxxa22lnsecttantC

x2a2，且secttant0 aCln(xx2a2)C，CClna 1122xxalnaax2a2

3、分部积分法

定义：设函数(x)及(x)具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为

'''

移项得

'()''

对这个等式两边求不定积分，得

'dx'dx

此公式为分部积分公式。例：求xcosxdx 解 xcosxdxxsinxsinxdx

∴xcosxdxxsinxcosxC 分部积分的顺序：反对幂三指。

4、有理函数的积分 例：求x1dx 2x5x62解

∵x5x6(x3)(x2)，故设

x1AB

x25x6x3x2其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得

x1A(x2)B(x3)

即

x1(AB)x2A3B

比较上式两端同次幂的系数，既有

AB1 2A3B1从而解得

A4,B3 于是

x134dx4lnx33lnx2C x25x6dxx3x2其他有些函数可以化做有理函数。

5、积分表的查询

二、定积分

1、定积分的定义和性质

（1）定义：设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点

ax0x1x2xn1xnb

把区间a,b分成n个小区间

x0,x1,x1,x2,,xn1,xn

各个小区间的长度依次为

x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1

在每个小区间xi1,xi上任取一点ixi1ixi，作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xii1,2,,n，并作出和

Sf(i)xi

i1n记maxx1,x2,,xn，如果不论对a,b怎么划分，也不论在小区间xi1,xi上点i怎么选取，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数(简称积分)，记作

f(x)在区间a,b上的定积分

baf(x)dx，即

n其中变量，baf(x)dxIlimf(i)xi

0i1f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。

f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)定理1：设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2：设在a,b上可积。（2）性质1：

性质2：f(x)g(x)dxabbaf(x)dxg(x)dx

abkf(x)dxkabbaf(x)dx

(k是常数)

性质3：设acb，则

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb

性质4：如果在区间a,b上f(x)1，则

1dxdxba

aabb

性质5：如果在区间a,b上，f(x)0，则

babaf(x)dx0ab

推论1：如果在区间a,b上，f(x)g(x)，则

f(x)dxg(x)dxab

ab

推论2：

baf(x)dxf(x)dx(ab)

ab

性质6：设M及m分别是函数最小值，则

f(x)在区间a,b上的最大值和m(ba)f(x)dxM(ba)(ab)

ab

性质7(定积分中值定理)：如果函数f(x)在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一个点，使下式成立

baf(x)dxf()(ba)(ab)

2、微积分基本公式(1)积分上限函数及其导数

定理1：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数

xf(t)dt

ax在a,b上可导，并且它的导数

dx'(x)f(t)dtf(x)(axb)adx定理2：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则函数

(x)f(t)dt

ax就是f(x)在区间a,b上的一个原函数。

f(x)在区间a,b上的一个原函(2)牛顿-莱布尼茨公式

定理3：如果函数F(x)是连续函数数，则

(1)定积分的换元法 定理： 假设函数(α)=a,(β)=b;

baf(x)dxF(b)F(a)

3、定积分的换元法和分部积分法

f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=(t)满足条件: (t)在[α,β]上具有连续导数，且其值域R=[a,b],则有

baf(x)dxf[(t)](t)dt'

(1)公式(1)叫做定积分的换元公式(2)定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，可得

uvdx[uv]vdu'aba

三、反常积分

（一）无穷限的反常积分 bab

定义1 设函数法f(x)在区间[a,)上连续，取t>a,如果极限

limttaf(x)dx

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,)上的反常积分，即

af(x)dxlimttaf(x)dx

（二）无界函数的反常积分

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的丅点。取t>a,如果极限

limtbatf(x)dx

b存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作a即

f(x)dx，例题 讨论反常积分baf(x)dx=

limtbatf(x)dx

11dxx的收敛性。21解：被积函数（fx）=x在积分区间[-1,1]上除x=0外连续，且由于

2limx01x2

即反常积分

0dx1x21lim()1xx0

0dx1x2发散，所以反常积分

1dx1x2发散

定积分abfxdx的积分区间a，b是有限区间，又fx在a，b上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或fx推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分：

1.无穷区间上的反常积分（1）概念 定义：afxdxlimfxdxbab

fxdx若极限存在，则称反常积分a是收敛的，它的值就是极

是发散的，而发散的限值；若极限不存在，则称反常积分反常积分没有值的概念.afxdxbfxdxlimfxdxaab

同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.fxdxfxdxccfxdx

limfxdxlimfxdxaabccb

同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断要求cfxdx的收敛性不能用

fxdxRRlimRfxdx的极限存在性.必须

fxdx和c两个反常积分都收敛，才能知道fxdx是收敛的，但是如果已经知道么计算RRlimRfxdx是收敛的，而求它的值，那fxdx是可以的.（2）常用公式 11, p1收敛，dxp1xp p1发散，dxx(lnx)p1e1, p1收敛，dup1up p1发散，a收敛(＞0）xkexdx发散(0），(k0）

2.无界函数的反常积分（瑕积分）（1）概念： ①设bafxlimfx[a，b)xb在内连续，且，则称b为fx的瑕点，boafxdxlim定义

fxdx

b若极限存在，则称反常积分a若极限不存在，则称反常积分a的概念.②设fxbbfxdx收敛，且它的值就是极限值.fxdx发散，发散的反常积分没有值

limfx(a，b]x在内连续，且a，则称a为fx的瑕点，b0afxdxlim定义afxdx

b若极限存在，则称反常积分abfxdx收敛，且它的值就是极限值，fxdx若极限不存在，则称反常积分发散，它没有值.a③设的瑕点，fxlimfx[a，c)(c，b]在和皆连续，且xC，则称c为fx定义cbC1acbafxdxfxdxfxdxlim10afxdxlim20bC2fxdx

(值得注意：这里判别收敛性时，1和2要独立地取极限，不能都0用来代替)

fxdx若上面两个极限都存在时才称反常积分是收敛的，否则

ab反常积分abfxdx发散.dx收敛(q＜1时）0xq发散(q1时）1（2）常用公式：1

1dxdxqq0x1）类似地考虑（和1x

最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.(乙)典型例题

一、用常规方法计算定积分 【例1】 求下列定积分（1）0（3）02x2cosxdx（2）0

223xarctanxdx

ln2ex1dx2解（1）02xcosxdx=xdsinxxsinx02xsinxdx00222222

＝2xdcosx2xcosx02cosxdx00 ＝42sinx042

（2）3013x213x232xarctanxdxarctanxdxarctanx0dx2002221x

3131arctan31dx2021x ＝2＝2123arctanx032312322332

（3）令dxex1t,xlnt21

2tdt,x02t1时t0；xln2时，t1

于是ln2012t21e1dx2dt21dt20t101t x112[tarctant]0214 ＝【例2】 计算下列定积分（分段函数）（1）1（3）231x23xdx（2）

0e1elnxdx

min1,x2dx1解（1）1（2）＝x23xdx11x23xdxx23xdx30e11

e1elnxdx1lnxdxlnxdxe

xlnxx1xlnxx1211ee1e

3（3）32min1,x2dxdxx2dxdx21111113

二、用特殊方法计算定积分 【例1】 计算下列定积分

（1）I20f(sinx)dxf(sinx)f(cosx)

（f为连续函数，f(sinx)f(cosx)0）

（2）I4ln(1tanx)dx0

解（1）令x=p-t2，则

I20f(cost)dt,2I2dt,I0f(cost)f(sint)24

（2）令0x=p-t4，则

21tant4Iln1d(t)lndt01tant1tant4

＝4ln2I,2I4ln2,I8ln2

fxlnxfxdx1e【例2】 设连续函数fx满足e，求1efxdx

解 fxdxA令，则fxlnxA，1两边从1到e进行积分，得

e1fxdxlnxdxAdx(xlnxx)1A(e1)11eee

于是

Ae(e1)A(e1),eA1,Ae1e

则

1fxdx1e

三、递推公式形式的定积分 【例1】

设

Insinnxdxn01，2，20

求证当n2时，求In 解

（1）

Inn1In2n

Insin2n10xdcosxsin2n1xcosxcosxdsinn1x2200

n1cosxsin20n2xdxn11sin2xsinn2xdx20

n1In2n1In

nInn1In22，则

2Inn1In2n2n

2（2）I0dx0，I1sinxdx10

当n2k，正偶数时，InI2k2k12k12k3I2k2　　2k2k2k21　I02

2k!2k!　　2k　　22k22k!22k!

2I13 当n2k1，正奇数时，InI2k12k2k2k2I2k1　　2k12k12k122k!k22kk!　　2k1!2k1!2

2【例2】 设

Jncosnxdxn01，2，0，2，，求证：JnInn01

2xt，Jncostdtsinntdt0222证

令

0n1，2，n0，则

JnIn 【例3】 设求证：KnKntan2nxdx n1，2，3，40

1Kn12n1

2，3，n1，求Kn

解（1）Kntan42n10xsec2x1dxxdtanxKn1

（2）tan42n10

41Kn12n1

242K1tanxdx　secx1dx00

4tanxx 140

，

111K21，K3134534

当n3，正整数时

Kn1n41n1k1n112k1k2

四、重积分

（一）二重积分的性质与概念

定义：设D是错误！未找到引用源。面上的有界闭区域，错误！未找到引用源。在D上有界，将区域D任意分成n个小闭区域错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。既表示第i个小闭区域又表示它的面积，在每个小区域错误！未找到引用源。上任意取一点错误！未找到引用源。，作n个乘积错误！未找到引用源。，然后作和式

记错误！未找到引用源。，如当错误！未找到引用源。时，以上和式有确定的极限，则称该极限为错误！未找到引用源。在区域D上的二重积分，记作错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。，即

其中错误！未找到引用源。称为被积函数，错误！未找到引用源。称为被积表达式，错误！未找到引用源。称为面积元素，错误！未找到引用源。称为积分变量，D称为积分区域，错误！未找到引用源。称为积分和式 几何意义

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。等于以区域D为底，曲面错误！未找到引用源。为顶的曲顶柱体体积；

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数；

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。等于区域D的面积。

1.二重积分的性质

存在性：若错误！未找到引用源。在有界闭区域D上连续，则错误！未找到引用源。存在 线性性质：

区域可加性

设错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。只在它们的边界上相交，则：

有序性

若在区域D上错误！未找到引用源。，则有：

特殊地，有

估值不等式

设错误！未找到引用源。在区域D上有最大值M，最小值m，错误！未找到引用源。是D的面积，则有：

积分中值定理

设函数错误！未找到引用源。在有界闭区域D上连续，错误！未找到引用源。是D的面积，则至少存在一点错误！未找到引用源。，使

错误！未找到引用源。

例1 试用二重积分表示极限错误！未找到引用源。.解：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.例2 估计错误！未找到引用源。的值，其中错误！未找到引用源。解：因为错误！未找到引用源。，积分区域错误！未找到引用源。，在D上错误！未找到引用源。的最大值错误！未找到引用源。，最小值错误！未找到引用源。，故:

（二）二重积分的计算

（一）直角坐标系 X型区域

将区域D投影到x轴上，投影区间为错误！未找到引用源。，D的边界上下两条曲线错误！未找到引用源。，则D表示为：

y型区域

将区域D投影到y轴上，投影区间为错误！未找到引用源。，D的边界上下两条曲线错误！未找到引用源。，则D表示为：

例1 计算所围成的闭区域。解：，其中D是由直线错误！未找到引用源。

（三）二重积分的计算

（二）极坐标系

极点在D外，则D:

极点在D的边界上，则D:

极点在D内：

例1 计算错误！未找到引用源。，其中D为由圆错误！未找到引用源。及直线错误！未找到引用源。所围成的平面闭区域 解： 因为

所以

五、曲面和曲线积分

（一）对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）

1、定义

nn Lf(x,y)dslim0f(,)s，iiii1 f(x,y,z)dslimf(i,i,i)si

0i

12、物理意义 线密度为(x,y)的曲线L质量为M L(x,y)ds

线密度为f(x,y,z)的曲线质量为M f(x,y,z)ds

3、几何意义 曲线L的弧长s Lds，曲线的弧长s ds

4、若L：f(x,y)k（常数），则 Lf(x,y)ds Lkdsk Ldsks

5、计算（上限大于下限）（1） L:x(t),y(t),22 tX，则 Lf(x,y)dsf(t),(t)(t)(t)dt

（2）L：y(x)（3）L：x(y)则f(x,y(x0xX)，)ds[f,x()]x1Lx0Y()2xdx

2()y.dy

(y0yY)，则f(x,y)dsf[(),y]y1Ly0（4）:x(t),y(t),z(t).(t)，则 f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt()

(二)、对坐标的曲线积分

1、定义

 LP(x,y)dxQ(x,y)dylim0P(,)xiii1niQ(i,i)yi

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzlim0P(,,iii1ni)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)zi

2、计算（下限对应起点，上限对应终点）（1）L:x(t),y(t),t:，则

（LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt

2）baL：

y(x)t:x0Xt:y0Y，则LPdxQdy{Px[xQ,xx(xdx)

（3）dcL：

x(y)，则LPdxQdy{Py[yy(Qy)ydy，（4）:x(t),y(t),z(t).(t:)，则

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt



3、两类曲线积分之间的联系

LPdxQdy(PcosQcos)ds

L(x,y),(x,y)为有向曲线弧L上点(x,y)处的切线向量的方向角。其中，PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)ds，其中(x,y,z),(x,y,z),(x,y,z)为有向曲线弧上点(x,y,z)处切向量的方向角。

(三)、格林公式及其应用

1、格林公式 个边界曲线

2、平面上曲线积分与路径无关的条件（D为单连通区域）(DQP)dxdyPdxQdy 其中L是D的取正向的整Lxy定理 设D是单连通闭区域，若P(x,y),Q(x,y)在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有LPdxQdy0；

(ii)对D内任一光滑曲线L，曲线积分LPdxQdy与路径无关，只与L的起点和终点有关；(iii)PdxQdy是D内某一函数u(x,y)的全微分，即在D内有duPdxQd；y

(iv)在D内处处成立

注 若(x,y)(x0,y0)PQ yxPQxDyx 则

PdxQdy的全微分u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy：

xyx0y0u(x,y)P(x,y0)dxQ(x,y)dyu(x,y)Q(x0,y)dyP(x,y)dx

y0x0yx

或

(四)、对面积的曲面积分

1、定义

f(,,)S f(x,y,z)dSlim0iiiii1n2、物理意义： f(x,y,z)dS表示面密度为f(x,y,z)的光滑曲面的质量。

3、几何意义

曲面的面积SdS



4、若：f(x,y,z)k（常数），则f(x,y,z)dS=kdS=kdS=kS



5、计算（一投、二代、三换元）（S1）D:zz(x,y)，(x,y)Dxy，则

f(x,y,z)dSf(x,y,z(x,y))（2）Dxz221zxzydxdy

:yy(x,z)22，(x,z)Dxz，则f(x,y,z)dSf[x,y(x,z),z]1y;xyzdxdz：xx(y,z)（3）Dyz，(y,z)Dyz，则f(x,y,z)dSf[x(y,z),y,z]221xyxzdydz。(五)、对坐标的曲面积分

1、定义

R(,,)(S)R(x,y,z)dxdylim0iiii1nixy

P(,,)(S)P(x,y,z)dydzlim0iiiii1nyzQ(,,)(S)Q(x,y,z)dzdxlim0iiiizxi1n2、物理意义

流量P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy。

P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cosdSvdS



3、计算（一投、二代、三定号）

:zz(x,y)，（1）则R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy（上(x,y)Dxy，Dxy侧取正，下侧取负）

（2）则P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz（前(x,z)Dxz，:xx(y,z)，Dyz侧取正，后侧取负）

（3）:yy(z,x)(y,z)Dyz，则Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx（右

Dzx侧取正，左侧取负）

4、两类曲面积分之间的联系

PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS，dSdydzdzdxdxdy coscoscos其中cos,cos,cos为有向曲面Σ上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦(六)、高斯公式

1、高斯公式

PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS xyz(,,是上点(x,y,z)处的法向量其中为的整个边界曲面的外侧，的方向角。



2、通量 向量场APiQjRk，沿场中有向曲面Σ0AdSAndSPdydzQdzdxRdxdy 称为向量场A(x,y,z)向正侧穿过曲面Σ的通量 PQR

3、散度 设APiQjRk，则divA

xyz(七)、斯托克斯公式

1、Stokes公式

dydzdzdxdxdyxyzPQRcosxPcosyQ(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdy yzzxxy=cosRQQPPR)cos()cos()cosdSds=(yzzxxyzRPdxQdyRdz

其中有向曲线是有向曲面的整个边界，且满足右手系法则

2、环流量 向量场APiQjRk沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分CAdsCPdxQdyRdz称为向量场A沿曲线C按所取

ijyQkdS zR方向的环流量。环流量i

3、旋度

向量xPjyQCAdsxPk为向量场APiQjRk的旋度(rotA)。zRi旋度

rotAxPjyQkRQPRQP()i()j()k.zyzzxxyR

第四篇：高数积分总结

第四章 一元函数的积分及其应用

第一节 不定积分

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dFf(x)(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数

定义2.函数f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，记为:

f(x)dxF(x)C

f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式 C叫做积分常数

“其中

”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1.不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.性质2.函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即

f(x)dxf(x)C,或df(x)f(x)C

性质3.非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

kf(x)dxkf(x)dx(k0).性质4.两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

基本积分公式(1)kdxkxC(k为常数)(2)xdx11x1C(1)1(3)dxlnxC x

(4)exdxexC(6)cosxdxsinxC(8)sec2xdxtanxC(10)secxtanxdxsecxC(12)secxdxlnsecxtanxC(14)(16)11x11x2(5)axdxaxlnaC(7)sinxdxcosxC(9)csc2xdxcotxC

(11)cscxcotxdxcscxC

(13)cscxdxlncscxcotxC(15) 11x22dxarctanxC dxarcsinxC dxarcsinxC

三、换元积分法和分部积分法

定理1.设(x)可导，并且f(u)duF(u)C.则有

f[(x)](x)dxF(u)C凑微分f[(x)]d(x)令u(x)

f(u)du代回u(x)F((x))C该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函(t)，则

xt换元fxdx fttdt积分FtCt1x回代1FxC.该方法叫第二换元积分法

选取u及v(或dv)的原则:

1)v 容易求得;2)uvdx比uvdx

解题技巧: 选取u及v的一般方法:

把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序，第二节 定积分概念

一、原函数与不定积分的概念

二、定积分的定义和存在定理

三、定积分的几何意义与定积分的性质 1．定积分的几何意义 2.定积分的性质

性质1.b[f(x)g(x)]dxbf(x)dxbg(x)dx

aaa性质2.bakf(x)dxkaf(x)dx

(k是常数).前者为u后者为v..b性质3.性质4.af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx.babcbf(x)dxadxba.b f(x)dxaf(x)dxabb推论1.如果在[a,b] 上，f(x)g(x),则bf(x)dxbg(x)dx(a

(ab).性质6.设M与m分别是函数

f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，则

m(ba)abf(x)dxM(ba)(ab).性质7.(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]]上至少存在一点，使下式成立：

af(x)dxf()(ba)(abb)

可积的充分条件:

定理1.函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]可积.定理2.函数f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]可积.第三节 微积分基本公式

一、微积分基本公式 1.变上限函数

定义1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]任意一个子区间[a,x]上可积，则

(x)xf(t)dx

(axb)

a是上限变量的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数.2.微积分基本公式

定理2.bf(x)dxF(b)F(a)xa

1.定积分的换元积分法

定理3.bf(x)dxf(t)(t)dt a

注：设f(x)在[a,a]上连续,证明

(1)若f(x)在[a,a]为偶函数，则 af(x)dx=2af(x)dx；

a0(2)若f(x)在[a,a]上为奇函数，则 af(x)dx=0.a2.定积分的分部积分法

定理4.budv[uv]bbvdu aaa 第四节

定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~）

一、定积分的微元法 其实质是找出A的微元dA的微分表达式.b

二、定积分在几何中的应用 1.平面图形的面积 Aaf(x)dx.2.旋转体的体积VbA(x)dx a

三、定积分在物理上的应用 1.变力做功WbF(x)dx

a2.液体静压Fbgxf(x)dx a

四、定积分在医学上的应用

第五篇：考研数学高数重要知识点

考研数学高数重要知识点

摘要：从整个学科上来看，高数实际上是围绕着、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。

函数部分：

函数的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。

接下来，我们来说说直接通过定义的基本概念：

通过，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算。然后是间断点的分类，讨论函数间断点的分类，需要计算左右。

再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是存在，也可以写成存在。这里的式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。

以上就是这个体系下主要的知识点。

导数部分：

导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。

能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。

然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。

这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：

①求单调区间或证明单调性;

②证明不等式;

③讨论方程根的个数。

同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。

积分部分：

一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。

熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的;理解微元法(分割、近似、求和、取)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。

然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。

至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。

一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。

会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。

这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。