2018考研高数定积分复习的三大要点

第一篇：2018考研高数定积分复习的三大要点

为学生引路，为学员服务

2018考研高数定积分复习的三大要点

2018考研初试时间临近，积分是考研数学中非常重要的考点也是容易丢分的部分。本文就和考生来说说最后这段时间要怎么复习定积分。

我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。很多同学把不定积分与定积分搞混淆。其实不定积分是导数的逆运算，本质还是导数的延伸。而真正的积分部分是定积分。在此，向考生提出如下学习建议，供考生参考。

1.复习知识体系

在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。

2.深刻回顾知识点

在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。首先是定积分的定义及性质。大家需要深刻理解定积分的定义。我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。比如说从定义中体现的思想：微元法。同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。所以希望引起大家的足够重视。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法

为学生引路，为学员服务

线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式;换元积分法(凑微分法和换元积分法);分部积分法。其中换元积分法和分部积分法是重点。大家要理解换元积分法的思想。即我们通过复合函数求导公式推出了凑微分法;通过三角代换，根式代换等提出了换元积分法。而我们通过相乘函数的导数公式推出了分部积分法。所以大家只有知道这些方法是怎么来的才能更好的使用这些方法。接着大家要注意变限积分求导了，最好请大家自己证明下。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，同学们一定要掌握微元法的思想。

3.大量做题

在大家理解了重点知识以及明确了考试重点后就需要做题巩固了。关键是做真题，反复做真题，反复练习。

总之，希望大家经过这三个步骤能够学号临门一脚，祝大家成功

第二篇：高数复习要点

高数（上册）期末复习要点

第一章：

1、极限（夹逼准则）

2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）

第二章：

1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续

2、求导法则（背）

3、求导公式也可以是微分公式

第三章：

1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）

2、洛必达法则

3、泰勒公式拉格朗日中值定理

4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）

5、曲率公式曲率半径

第四章、第五章：积分

不定积分：

1、两类换元法

2、分部积分法（注意加C）

定积分：

1、定义

2、反常积分

第六章： 定积分的应用

主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长

第七章：向量问题不会有很难

1、方向余弦

2、向量积

3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）

3、空间平面

4、空间旋转面（柱面）

第三篇：考研高数复习大纲

一、函数、极限与连续

1.求分段函数的复合函数；

2.求极限或已知极限确定原式中的常数；

3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型；

4.无穷小阶的比较；

5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

二、一元函数微分学

1.求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；

2.利用洛比达法则求不定式极限；

3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；

4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如证明在开区间内至少存在一点满足……，此类问题证明经常需要构造辅助函数；

5.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；

6.利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

三、一元函数积分学

1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；

2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等；

3.有关积分中值定理和积分性质的证明题；

4.定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等；

第四篇：高数(下)复习要点

高等数学（下）复习要点

（对经管及文科类学生不要求带“*”的内容）

第七章

1、空间曲线在坐标面的投影，P8，例5，P9,92、向量的模、方向角、方向余弦、单位化，P19，例7，P20,10.。

3、数量积、向量积。P27,84、平面方程、平面夹角，点到平面的距离。P35,3..5、空间直线及方程。P41,10

*

6、旋转曲面P43，例2.第八章

*

1、二元函数极限不存在的证明P54，例7.2、求二元函数的极限P58, 5（2），（4），P56，例93、偏导计算。P80，例9，P82,14（2），P88,2（4），P89,7,8*（4）

4、全微分。P74,2。4（2）。

*5熟悉可微，可导，连续和极限存在之间的关系。P74（B）16、几何应用。P94例3.7、方向导数与梯度P100例4.8、条件极值P111,7.第九章

1、二重积分计算。P124例3，P133 4（4），8（2），P134,13（1）

2、曲面面积。P141,3.*

3、三重积分。P151,4（2）。

4、曲线积分。P166，1（6），3（2）。

5、格林公式,，与路径无关的条件。P176,3（4），5（2）。*

6、曲面积分。P188,1（1），5（1）。

*

7、高斯公式。P194，1（4）。

第十章

1、收敛级数性质。

2、正项级数敛散性的判别。P211,2（8），3（6）。

3、交错级数敛散性的判别。P211,5（4）

4、幂级数的收敛半径和收敛域。P221,1（5），2（3）

*

5、求和函数。P222,3（1），（3）。

*

6、展开为幂级数。P236，2（6）

*

7、傅里叶级数。P250,4

第五篇：高数积分总结

高数积分总结

一、不定积分

1、不定积分的概念也性质

定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一xI,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作

f(x)dx。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则

kf(x)dxkf(x)dx。

2、换元积分法(1)第一类换元法：

定理1：设f(u)具有原函数，(x)可导，则有换元公式

f[(x)]'(x)dx[f()d]

(x)。例：求2cos2xdx

解 2cos2xdxcos2x2dxcos2x(2x)'dxcosd 将2x代入，既得

2cos2xdxsin2xC

(2)第二类换元法：

定理2：设x(t)是单调的、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

f(x)dx[f[(t)]'(t)dt]1其中(x)是x(t)的反函数。

t1(x)，例：求dxxa22(a0)

22解

∵1tantsect，设xtantt，那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2tasect,dxasec2tdt，于是

asec2tdtsectdt 22asectxadx∴∵sect∴dxdxxa22lnsecttantC

x2a2，且secttant0 aCln(xx2a2)C，CClna 1122xxalnaax2a2

3、分部积分法

定义：设函数(x)及(x)具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为

'''

移项得

'()''

对这个等式两边求不定积分，得

'dx'dx

此公式为分部积分公式。例：求xcosxdx 解 xcosxdxxsinxsinxdx

∴xcosxdxxsinxcosxC 分部积分的顺序：反对幂三指。

4、有理函数的积分 例：求x1dx 2x5x62解

∵x5x6(x3)(x2)，故设

x1AB

x25x6x3x2其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得

x1A(x2)B(x3)

即

x1(AB)x2A3B

比较上式两端同次幂的系数，既有

AB1 2A3B1从而解得

A4,B3 于是

x134dx4lnx33lnx2C x25x6dxx3x2其他有些函数可以化做有理函数。

5、积分表的查询

二、定积分

1、定积分的定义和性质

（1）定义：设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点

ax0x1x2xn1xnb

把区间a,b分成n个小区间

x0,x1,x1,x2,,xn1,xn

各个小区间的长度依次为

x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1

在每个小区间xi1,xi上任取一点ixi1ixi，作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xii1,2,,n，并作出和

Sf(i)xi

i1n记maxx1,x2,,xn，如果不论对a,b怎么划分，也不论在小区间xi1,xi上点i怎么选取，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数(简称积分)，记作

f(x)在区间a,b上的定积分

baf(x)dx，即

n其中变量，baf(x)dxIlimf(i)xi

0i1f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。

f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)定理1：设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2：设在a,b上可积。（2）性质1：

性质2：f(x)g(x)dxabbaf(x)dxg(x)dx

abkf(x)dxkabbaf(x)dx

(k是常数)

性质3：设acb，则

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb

性质4：如果在区间a,b上f(x)1，则

1dxdxba

aabb

性质5：如果在区间a,b上，f(x)0，则

babaf(x)dx0ab

推论1：如果在区间a,b上，f(x)g(x)，则

f(x)dxg(x)dxab

ab

推论2：

baf(x)dxf(x)dx(ab)

ab

性质6：设M及m分别是函数最小值，则

f(x)在区间a,b上的最大值和m(ba)f(x)dxM(ba)(ab)

ab

性质7(定积分中值定理)：如果函数f(x)在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一个点，使下式成立

baf(x)dxf()(ba)(ab)

2、微积分基本公式(1)积分上限函数及其导数

定理1：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数

xf(t)dt

ax在a,b上可导，并且它的导数

dx'(x)f(t)dtf(x)(axb)adx定理2：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则函数

(x)f(t)dt

ax就是f(x)在区间a,b上的一个原函数。

f(x)在区间a,b上的一个原函(2)牛顿-莱布尼茨公式

定理3：如果函数F(x)是连续函数数，则

(1)定积分的换元法 定理：

三、多元函数微分

四、重积分

五、曲面和曲线积分

baf(x)dxF(b)F(a)

3、定积分的换元法和分部积分法