高数中的重要定理与公式及其证明(二)

第一篇：高数中的重要定理与公式及其证明(二)

在这里，没有考不上的研究生。

高数中的重要定理与公式及其证明

（二）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f(x)0，则有f(x)dx0 ab

推论：ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx；aabb

ⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：m(ba)f(x)dxM(ba)ab

【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。

7）定积分中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式成立：

b

af(x)dxf()(ba)

【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。

跨考魔鬼集训营01

在这里，没有考不上的研究生。

8）变上限积分求导定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(x)dx在[a,b]上ax

可导，并且它的导数是

dx'(x)f(x)dxf(x),axb dxa

设函数F(x)u(x)

v(x)f(t)dt，则有F'(x)f(u(x))u'(x)f(v(x))v'(x)。

【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。

9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)是ab

f(x)的原函数。

【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。

10）费马引理：

设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)0

【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。

11）罗尔定理：

如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()0。

【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过

在这里，没有考不上的研究生。

程见教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()

【点评】：同上。

13）柯西中值定理：

如果函数f(x)和g(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

f'()f(b)f(a)那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得'。g()g(b)g(a)f(b)f(a)。ba

【点评】：同上。

第二篇：高数中的重要定理与公式及其证明(六)

在这里，没有考不上的研究生。

高数中的重要定理与公式及其证明

（六）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

7）二元函数偏导数存在与可微的关系

如果函数zf(x,y)在点(x,y)可微，则函数在该点连续且两个偏导数均存在，并且zzzxyoxy 【点评】：学到多元函数时第一个困扰我们的就是多元函数的可微与可导不再等价，它们与连续性的关系也变得更为复杂了。下面希望能通过几个定理与反例来将这个关系说清楚。

证明：

由可微的定义可知存在只与(x,y)有关而与x,y实数A,B使得zAxByo

现证明A在点(x,y)附近成立。zf(xx,y)f(x,y)，由偏导数定义可知，这等价于证明A

lim。x0xx

由于zAxByo成立，因此f(xx,y)f(x,y)Axox

Axoxoxf(xx,y)f(x,y)limAlim则lim。x0x0x0xxx

由高阶无穷小的定义可知lim

也即Aoxxx00。因此，有Alimx0f(xx,y)f(x,y)。xz。x

跨考魔鬼集训营0

1在这里，没有考不上的研究生。

同理，可证Bz。y

证毕 注1：关于二元函数可微，偏导数存在、连续和偏导数连续的关系可以用下图来表示：

也就是说：偏导数连续的函数必然可微，可微的函数必然连续并且存在偏导数，但连续和偏导数存在这两个概念本身是互不包含的（也就是说连续的函数不一定存在偏导数，偏导数存在的函数也不一定连续）。注二：例如：

1）函数f(x,y)xy，在(0,0)连续，但偏导数不存在。

xy22x2y2,xy02）又如函数f(x,y)，在（0，0）处的偏导数是存在的。

0,x2y20因为fx(0,0)limx0'f(x,0)f(0,0)0lim0，同理我们可以得到fy'(0,0)0 x0xx0

x212x22,limf(x,y)2 而limf(x,y)2xyxy2x225x5x0x0

也就说(x,y)沿不同路径趋于(0,0)得到的极限值是不一样的。因此二重极限(x,y)(0,0)limf(x,y)不存在。进而可得到f(x,y)在(0,0)点处不连续。

注三：如果二元函数f(x,y)的两个偏导数都存在且偏导数作为二元函数是连续的，则该二元函数是可微的。这也是一个定理，证明过程不需要掌握，但定理的结论要熟记。

跨考魔鬼集训营02

第三篇：2012年考研数学：高数中的重要定理与公式及其证明(一)

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）文章来源：跨考教育

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

1）常用的极限

lim

ln(1x)

x

1，lim

e1x

x

x0x0

1，lim

a1x

x

x0

lna，lim

(1x)1

x

a

x0

lima，1cosx

x

x0



【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x)xe与

x0

lim

sinxx

x0

1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技

巧。证明：

lim

ln(1x)

x

x0

1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim

x0

ln(1x)

x

x0

1。

lim

e1x

x

x0

1：在等式lim

ln(1x)

x

x0

1中，令ln(1x)t

te1

t，则xet1。由于极限

过程是x0，此时也有t0，因此有lim

t0

1。极限的值与取极限的符号

是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得lim

lim

a1xe

x

e1x

x

x0

1。

x0

lna：利用对数恒等式得lim

a1x

x

x0

lim

e

xlna

1

x0

x

x，再利用第二个极限可

xlna

得lim

1

x0

x

lnalim

e

xlna

1

x0

xlna

lna。因此有lim

a1x

x0

lna。

lim

(1x)1

x(1x)1

x

a

a

x0

a：利用对数恒等式得

lim

x0

lim

e

aln(1x)

1

x0

x

alim

e

aln(1x)

1ln(1x)

x

x0

aln(1x)

alim

e

aln(1x)

1

x0

aln(1x)

lim

ln(1x)

x

x0

a

上式中同时用到了第一个和第二个极限。

x

2sinsin

1cosx1cosx11limlimlim：利用倍角公式得lim222

x0x0x0x2xx2x0x

2

x

1

2。

2）导数与微分的四则运算法则

(uv)uv,d(uv)dudv(uv)uvuv,d(uv)vduudv()

vu

''

'

'

'

'

'

vuuvv

''

uvduudv,d()(v0)2

vv

【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。

而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则

设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：

f((x))

【点评】：同上。4）反函数求导法则

'

f(u)(x)或

''

dydx



dydududx

设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

g(y0)

'

1f(x0)

'



1f(g(y0))

'

或

dxdy



1dydx

【点评】：同上。

5）常见函数的导数

x



'

x

'

1，'

sinxlnx

'

cosx，cosxsinx，1x

x

，logax

'

'

1xlna，e

x



'

e，axexlna

【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：

x



'

x

1

：导数的定义是f'(x)lim





f(xx)f(x)

x，代入该公式得)1

x

1



x0

x





'

lim

(xx)x

x

(1x



x

x0

xx)1

x

1

x0



(1lim

x

xxx

。最后一

步用到了极限lim

x0

(1x)1

x

a

x0

a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

'

sinxcosx：利用导数定义sinxlim

'

sin(xx)sinx

x，由和差化积公式得

x0

x0

lim

sin(xx)sinx

x

2cos(x

lim

x0

xx)sin

x

cosx。cosx'sinx的证明类

似。

lnx

'



'

1x

：利用导数定义lnxlim

1xlna

'

ln(xx)lnx

x

lnxlna

ln(1

lim

x0

x)

1x

x0

x。

logax的证明类似（利用换底公式logax）。

e

x

'

e

x

：利用导数定义e

x



'

lim

e

(xx)

e

x

x0

x

lime

x0

x

e

x

1

x

e。a

x

x



'

elna

x的证明类似（利用对数恒等式axexlna）。

第四篇：2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。

第五篇：高数中需要掌握证明过程的定理

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。1）常用的极限

ln(1x)1cosx1ex1ax1(1x)a1lim1，lim lim1，limlna，lima，x0x0x0x0x0xx22xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

x)e与过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x01xsinx1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x0x巧。证明： lim1ln(1x)ln(1x)lim1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim1。

x0x0x0xx

ln(1x)ex11中，令ln(1x)t，则xet1。由于极限lim1：在等式limx0x0xx过程是x0，此时也有t0，因此有limt0t1。极限的值与取极限的符号et1ex11。是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得limx0x

ax1ax1exlna1limlna：lim利用对数恒等式得lim，再利用第二个极限可x0x0x0xxxexlna1exlna1ax1lnalimlna。因此有limlna。得limx0x0xlnax0xx(1x)a1lima：利用对数恒等式得 x0x(1x)a1ealn(1x)1ealn(1x)1ln(1x)ealn(1x)1ln(1x)limlimalimalimlimax0x0x0x0x0xxaln(1x)xaln(1x)x上式中同时用到了第一个和第二个极限。

xx2sinsin1cosx1cosx121lim21。limlimlim：利用倍角公式得 x222x0x0x0x0xx22x22222）导数与微分的四则运算法则

(uv)'u'v', d(uv)dudv(uv)'u'vuv', d(uv)vduudv

u'vu'uv'uvduudv(), d()(v0)22vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则

设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：

f((x))【点评】：同上。4）反函数求导法则

'f'(u)'(x)或dydydu dxdudx设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

11dx1 或''dyf(x0)f(g(y0))dydx【点评】：同上。g'(y0)5）常见函数的导数

xx'1，'sinx'cosx，cosxsinx，lnxx''11'，logax，xxlnaxee，axexlna '【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：

f(xx)f(x)'，代入该公式得 xx1：导数的定义是f'(x)limx0xxx(1)1(1)1(xx)x'1xxxxlimx1。最后一xlimx0x0xxxx(1x)a1a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。步用到了极限limx0xx0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

sin(xx)sinx''lim，由和差化积公式得sinxcosx：利用导数定义sinxx0xxx2cos(x)sinsin(xx)sinx22cosx。cosx'sinx的证明类limlimx0x0xx似。

xln(1)1ln(xx)lnx'x1。limlimlnx：利用导数定义lnx'x0x0xxxx1lnx'的证明类似（利用换底公式logax）。logaxxlnalna

eex'x：利用导数定义ex'xe(xx)ex1xxex'limlimee。aexlna的x0x0xx证明类似（利用对数恒等式axexlna）。

6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f(x)0，则有f(x)dx0

ab推论：ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx；

aabbⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：m(ba)f(x)dxM(ba)

ab【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7）定积分中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式成立：

baf(x)dxf()(ba)

【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8）变上限积分求导定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(x)dx在[a,b]上

ax可导，并且它的导数是

dx'(x)f(x)dxf(x),axb

dxa设函数F(x)u(x)v(x)f(t)dt，则有F'(x)f(u(x))u'(x)f(v(x))v'(x)。

【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函数。

【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：

设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)0

【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()0。

【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()【点评】：同上。13）柯西中值定理： 如果函数f(x)和g(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

f(b)f(a)。

baf'()f(b)f(a)那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得'。g()g(b)g(a)【点评】：同上。14）单调性定理：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。

如果在(a,b)上有f'(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递增。如果在(a,b)上有f'(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递减。

【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：

仅证明f'(x)0的情形，f'(x)0的情形类似。

x1,x2(a,b)，假定x1x2

则利用拉个朗日中值定理可得，x2,x2使得f(x1)f(x2)f'(x1x2)。由于f'0，因此f(x1)f(x2)0。

由x1,x2的任意性，可知函数f(x)在[a,b]上单调递增。

14）(极值第一充分条件)

设函数f(x)在x0处连续，并在x0的某去心邻域U(x0,)内可导。

ⅰ）若x(x0,x0)时，f'(x)0,而x(x0,x0)时，f'(x)0,则f(x)在x0处取得极大值

ⅱ）若x(x0,x0)时，f'(x)0,而x(x0,x0)时，f'(x)0,则f(x)在x0处取得极小值；

ⅲ）若xU(x0,)时，f'(x)符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值； 【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15）(极值第二充分条件)

设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f'(x0)0，那么 ⅰ）若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极小值； ⅱ）若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极大值。

【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。证明：

仅证明f''(x0)0,的情形，f''(x0)0,的情形类似。

由于f(x)在x0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在x0的某领域内成立f(x)fx0f'x0xx0f''x0由于f'(x0)0，因此

xx0222oxx0 f(x)fx0f''x0xx0222oxx02''oxx02fx0fx0xx022xx0

2''oxx0fx0由高阶无穷小的定义可知，当xx0时，有又由于0，0，22xx02oxx0fx00。因此在x0的某领域内成立22xx0''2''oxx02fx0fx。进一步，我们有fx0xx0022xx0也即，在x0的某领域内成立f(x)fx0。由极值点的定义可知f(x)在x0处取得极小值。16）洛必达法则

f'(x)设函数f(x),g(x)在xa的空心邻域内可导，g(x)0，且lim'A

xag(x)'则有limxaf(x)A，其中A可以是有限数，也可以是,。g(x)【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。