高数上册归纳公式篇(完整)

第一篇：高数上册归纳公式篇(完整)

公式篇

目录

一、函数与极限 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限

二、导数与微分

1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式

3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算

三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理

3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率

四、定积分

1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分

五、不定积分

1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数

3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分

5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选)

六、定积分的应用 1.平面图形面积 2.体积

3.弧微分公式

七、微分方程 1.可降阶方程

2.变系数线性微分方程

3.常系数齐次线性方程的通解

4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选)

一、函数与极限

1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))

2.常用等价无穷小(x→0时)

3.两个重要极限

二、导数与微分

1.常用三角函数与反三角函数的导数公式

(凡是“余”求导都带负号)

2.n阶导数公式

特别地,若n

3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较

函数的0阶导数可视为函数本身

4.参数方程求导公式

5.微分近似计算(x很小时)

(注意与拉格朗日中值定理比较)常用:

(与等价无穷小相联记忆)

三、微分中值定理与导数的应用

1.一阶中值定理

(f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导)罗尔定理(端点值相等f(a)f(b))

拉格朗日中值定理

柯西中值定理(g'(x)0≠0)

2.高阶中值定理(f(x)在(a,b)上有直到(n1)阶导数)泰勒中值定理

Rn为余项

(ξ在x和x0之间)令x00,得到麦克劳林公式

3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)

4.曲率

四、不定积分

1.部分三角函数的不定积分

2.几个简单分式的不定积分

五、定积分

1.利用定积分计算极限

2.积分上限函数的导数

推广得

3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理(1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)

(2)积分中值定理 函数f(x)在[a,b]上可积

f()称为f(x)在[a,b]上的平均值

4.三角相关定积分

三角函数系的正交性

5.典型反常积分的敛散性(1)无穷限的反常积分

推论1

(2)瑕积分(无界函数的反常积分)

推论2

Convergence:收敛,Divergence:发散

6.Γ函数(选)

(1)递推公式:推论:(2)欧拉反射公式(余元公式)

六、定积分的应用 1.平面图形面积(1)直角坐标: 由曲线yf(x)0及xa,xb与x轴围成图形

(2)极坐标: 有曲线()及,围成图形

2.体积

(1)绕x轴旋转体体积

(2)平行截面面积已知的立体的体积

平行截面(与x轴垂直)面积为A(x)

3.弧微分公式(1)直角坐标:

(2)极坐标:

七、微分方程 1.可降阶方程(1)y(n)

f(x)型

n次积分得

(2)y“f(x,y')型

作换元py'得p'f(x,p)得通解p(x,C1)则y(x,C1)dxC2 (3)y”f(y,y')型

dpdpdpp,pf(y,p)dxdxdxdy得通解p(y,C1)

dx作换元py',y“则dy(y,C1)xC2

2.变系数线性微分方程

(1)一阶线性微分方程:y'P(x)yQ(x)

P(x)dx对应齐次方程: y'P(x)y0的通解为YCe

原方程y'P(x)yQ(x)的通解为

y(Q(x)eP(x)dxP(x)dxdxC)e

一阶线性非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解和非齐次方程一个特解的和

(2)高阶线性微分方程

(n1)y(n)P(x)yPn1(x)y'Pn(x)yQ(x)1(n1)对应齐次方程为y(n)PPn1(x)y'Pn(x)y0 1(x)y若y1(x),y2(x),,yn(x)为齐次方程n个线性无关解

则齐次方程的通解为Y(x)C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)若y*(x)为非齐次方程的一个特解 则非齐次方程的通解为yY(x)y*(x)

3.常系数齐次线性方程的通解(1)二阶方程y”pyq0 特征方程为rprq0 2①0,两个不等实根r1通解为yC1e1C2e2 rxrxbb,r2 2a2a②0,两个相等实根r1r2通解为y(C1C2x)e1 rxp 2③0,一对共轭复根r1i,r2i,通解为yex(C1cosxC2sinx)

(2)高阶方程y(n)p1y(n1)pn1y'pny0 特征方程为rnp1rn1pn1rpn0 对于其中的根r的对应项 ①实根r 一个单实根:Ce

一个k重实根:(C1C2xCkxk1)erx ②复根r1,2i

一对单复根:ex(C1cosxC2sinx)rxp,2 2一对k重复根: ex[(C1C2xCkxk1)cosx(D1D2xDkxk1)sinx] 通解为对应项之和

4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式

y“py'qyf(x),对应的特征方程为r2prq0

(1)f(x)exPm(x)

Pm(x)为x的m次多项式 特解形式为y*xkQm(x)ex

k0(非特征根)1(为特征单根)2(为特征重根)

Qm(x)是x的m次多项式

(1)(2)(2)f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

Pl(x),Pn(x)分别为x的l,n次多项式 x(1)(2)特解形式为y*x[Qm(x)cosxRm(x)sinx]e kxmmax{l,n},Qm(x),Rm(x)为x的m次多项式 记zi

k0(z非特征根)1(z为特征复根)

5.特殊形式方程(选)(1)伯努利方程

dyP(x)yQ(x)yn

(n0,1)dxdyynP(x)y1nQ(x)

dxdzdy(1n)yn令zy1n, dxdxdz(1n)P(x)z(1n)Q(x)

dx得通解z(x,C)

y[(x,C)]

(2)欧拉方程 11n

xny(n)p1xn1y(n1)pn1xy'pnyf(x)

t作变换xe或tlnx,记Dd dtdydydtdyxDydxdtdxdt2d2ydy22dyxy”x2D(D1)y 2dtdxdtxy'xxky(k)D(D1)(Dk1)y将上各式代入原方程得到

Dnya1Dn1yan1Dyanyf(t)

此为常系数线性微分方程 可得通解y(t,C1,C2,,Cn)

即可得原方程通解y(x,C1,C2,,Cn)

第二篇：高数三角函数公式

三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)= tan(A-B)= cot(A+B)= cot(A-B)= 倍角公式 tan2A = Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式 sin()= cos()= tan()= cot()= tan()== 和差化积 sina+sinb=2sincos sina-sinb=2cossin cosa+cosb = 2coscos cosa-cosb =-2sinsin tana+tanb= 积化和差 sinasinb =-[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a)=-sina cos(-a)= cosa sin(-a)= cosa cos(-a)= sina sin(+a)= cosa cos(+a)=-sina sin(π-a)= sina cos(π-a)=-cosa sin(π+a)=-sina cos(π+a)=-cosa tgA=tanA = 万能公式 sina= cosa= tana= 其他非重点三角函数 csc(a)= sec(a)= 双曲函数 sinh(a)= cosh(a)= tg h(a)= 其它公式 a•sina+b•cosa=×sin(a+c)[其中tanc=] a•sin(a)-b•cos(a)= ×cos(a-c)[其中tan(c)=] 1+sin(a)=(sin+cos)2 1-sin(a)=(sin-cos)2 2-公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）=-sinα cos（π＋α）=-cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）=-sinα cos（-α）= cosα tan（-α）=-tanα cot（-α）=-cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα cos（π-α）=-cosα tan（π-α）=-tanα cot（π-α）=-cotα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）=-sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）=-tanα cot（2π-α）=-cotα 公式六：

±α及±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（+α）= cosα cos（+α）=-sinα tan（+α）=-cotα cot（+α）=-tanα sin（-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα sin（+α）=-cosα cos（+α）= sinα tan（+α）=-cotα cot（+α）=-tanα sin（-α）=-cosα cos（-α）=-sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα(以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ)=×sin 《机关公文常用词句集锦》一一 1、常用排比：

新水平、新境界、新举措、新发展、新突破、新成绩、新成效、新方法、新成果、新形势、新要求、新期待、新关系、新体制、新机制、新知识、新本领、新进展、新实践、新风貌、新事物、新高度；

重要性，紧迫性，自觉性、主动性、坚定性、民族性、时代性、实践性、针对性、全局性、前瞻性、战略性、积极性、创造性、长期性、复杂性、艰巨性、可讲性、鼓动性、计划性、敏锐性、有效性；

法制化、规范化、制度化、程序化、集约化、正常化、有序化、智能化、优质化、常态化、科学化、年轻化、知识化、专业化、系统性、时效性；

热心、耐心、诚心、决心、红心、真心、公心、柔心、铁心、上心、用心、痛心、童心、好心、专心、坏心、爱心、良心、关心、核心、内心、外心、中心、忠心、衷心、甘心、攻心；

政治意识、政权意识、大局意识、忧患意识、责任意识、法律意识、廉洁意识、学习意识、上进意识、管理意识；

出发点、切入点、落脚点、着眼点、结合点、关键点、着重点、着力点、根本点、支撑点；

活动力、控制力、影响力、创造力、凝聚力、战斗力；

找准出发点、把握切入点、明确落脚点、找准落脚点、抓住切入点、把握着重点、找准切入点、把握着力点、抓好落脚点；

必将激发巨大热情，凝聚无穷力量，催生丰硕成果，展现全新魅力。

审判工作有新水平、队伍建设有新境界、廉政建设有新举措、自身建设有新发展、法院管理有新突破；

不动摇、不放弃、不改变、不妥协；

政治认同、理论认同、感情认同；

是历史的必然、现实的选择、未来的方向。

多层次、多方面、多途径；

要健全民主制度，丰富民主形式，拓宽民主渠道，依法实行民主选举、民主决策、民主管理、民主监督 2、常用短语：

立足当前，着眼长远，自觉按规律办事 抓住机遇，应对挑战:量力而行，尽力而为 有重点，分步骤，全面推进，统筹兼顾，综合治理，融入全过程，贯穿各方面，切实抓好，减轻，扎实推进，加快发展，持续增收，积极稳妥，落实，从严控制严格执行，坚决制止，明确职责，高举旗帜，坚定不移，牢牢把握，积极争取，深入开展，注重强化，规范，改进，积极发展，努力建设，依法实行，良性互动，优势互补，率先发展，互惠互利，做深、做细、做实、全面分析，全面贯彻，持续推进，全面落实、实施，逐步扭转，基本形成，普遍增加，基本建立，更加完备(完善)，明显提高(好转)，进一步形成，不断加强(增效,深化)，大幅提高，显着改善(增强)，日趋完善，比较充分。

3、常用动词：

推进，推动，健全，统领，协调，统筹，转变，提高，实现，适应，改革，创新，扩大，加强，促进，巩固，保障，方向，取决于，完善，加快，振兴，崛起，分工，扶持，改善，调整，优化，解决，宣传，教育，发挥，支持，带动，帮助，深化，规范，强化，统筹，指导，服务，健全，确保，维护，优先，贯彻，实施，深化，保证，鼓励，引导，坚持，深化，强化，监督，管理，开展，规划，整合，理顺，推行，纠正，严格，满足，推广，遏制，整治，保护，健全，丰富，夯实，树立，尊重，制约，适应，发扬，拓宽，拓展，规范，改进，形成，逐步，实现，规范，坚持，调节，取缔，调控，把握，弘扬，借鉴，倡导，培育，打牢，武装，凝聚，激发，说服，感召，尊重，包容，树立，培育，发扬，提倡，营造，促进，唱响，主张，弘扬，通达，引导，疏导，着眼，吸引，塑造，搞好，履行，倾斜，惠及，简化，衔接，调处，关切，汇集，分析，排查，协商，化解，动员，联动，激发，增进，汲取，检验，保护，鼓励，完善，宽容，增强，融洽，凝聚，汇集，筑牢，考验，进取，凝聚，设置，吸纳，造就 4、常用名词 关系，力度，速度，反映，诉求，形势，任务，本质属性，重要保证，总体布局，战略任务，内在要求，重要进展，决策部署，结合点，突出地位，最大限度，指导思想，科学性，协调性，体制机制，基本方略，理念意识，基本路线，基本纲领，秩序，基本经验，出发点，落脚点，要务，核心，主体，积极因素，水平，方针，结构，增量，比重，规模，标准，办法，主体，作用，特色，差距，渠道，方式，主导，纽带，主体，载体，制度，需求，能力，负担，体系，重点，资源，职能，倾向，秩序，途径，活力，项目，工程，政策，项目，竞争力，环境，素质，权利，利益，权威，氛围，职能，作用，事权，需要，能力，基础，比重，长效机制，举措，要素，精神，根本，地位，成果，核心，精神，力量，纽带，思想，理想，活力，信念，信心，风尚，意识，主旋律，正气，热点，情绪，内涵，管理，格局，准则，网络，稳定，安全，支撑，局面，环境，关键，保证，本领，突出，位置，敏锐性，针对性，有效性，覆盖面，特点，规律，阵地，政策，措施，制度保障，水平，紧迫，任务，合力。

5、其它：

以求真务实的态度，积极推进综合调研制度化。

以为领导决策服务为目的，积极推进xx正常化。

以体现水平为责任，积极推进xx工作程序化。

以畅通安全为保障，积极推进xx工作智能化。

以立此存照为借鉴，积极推进xx工作规范化。

以解决问题为重点，积极推进xx工作有序化。

以服务机关为宗旨，积极推进xx服务优质化 以统筹兼顾为重点，积极推进xx工作常态化。

以求真务实的态度，积极参与综合调研。

以为领导决策服务为目的，把好信息督查关。

以体现xx水平为责任，进一步规范工作。

以畅通安全为保障，全力指导机要保密工作。

以立此存照为借鉴，协调推进档案史志工作。

以安全稳定为基础，积极稳妥做好信访工作。

以服务机关为宗旨，全面保障后勤服务。

以整体推进为出发点，协调做好xx工作。

以周到服务为前提，xx工作迅速到位。

以提高服务水平为目标，开始推行xx。

一.求真务实，积极推进xx工作制度化 二.建立体系，积极推进xx工作正常化。

三.规范办文，积极推进xx工作程序化。

四.各司其职，积极推进xx工作有序化。

五.注重质量，积极推进xx服务规范化。

六.统筹兼顾，积极推进xx工作正常化。

一是求真务实，抓好综合调研。

二是提高质量，做好信息工作。

三是紧跟进度，抓好督查工作。

四是高效规范，抓好文秘工作。

五是高度负责，做好保密工作。

六是协调推进，做好档案工作。

七是积极稳妥，做好信访工作。

八是严格要求，做好服务工作。

一、创思路，订制度，不断提高服务水平二、抓业务，重实效，开创工作新局面（一）着眼全局，充分发挥参谋助手作用（二）明确分工，充分搞好统筹协调工作 三、重协调，强进度，信息化工作有新成果 四、抓学习，重廉洁，自身素质取得新提高 一、注重学习，自身素质取得新提高 二、围绕中心，不断开创工作新局面 1.着眼全局，做好辅政工作。

2.高效规范，做好文秘工作。

3.紧跟进度，做好督查工作。

4.提高质量，做好信息工作。

5.周密细致，做好协调工作。

6.协调推进，做好档案工作。

一是建章立制，积极推进xx管理制度化。

二是规范办文，积极推进xx工作程序化。

三是建立体系，积极推进xx督查正常化。

四是注重质量，积极推进xx工作规范化。

五是各司其职，积极推进xx工作有序化。

首先要树立正确的群众利益观，坚持把实现好、维护好、发展好最广大人民群众的根本利益作为促进社会和谐的出发点，在全社会形成和谐社会人人共享的生动局面。

其次，是要树立正确的维护稳定观，坚持把确保稳定作为人民法院促进社会和谐的生命线。

第三，是要树立正确的纠纷解决观，坚持把调判结合作为有效化解不和谐因素、增加和谐因素的有效途径。

第四，是要树立正确的司法和谐观，最大限度地实现法律效果与社会效果的高度统一。

机关公文常用词汇集锦 动词一字部：

抓，搞，上，下，出，想，谋 动词二字部：

分析，研究，了解，掌握，发现，提出，推进，推动，制定，出台，完善，建立，健全，加强，强化，增强，促进，加深，深化，扩大，落实，细化，突出，建设，营造，开展，发挥，发扬，创新，转变，发展，统一，提高，提升，保持，优化，召开，举行，贯彻，执行，树立，引导，规范，整顿，服务，协调，沟通，配合，合作，支持，加大，开拓，拓展，巩固，保障，保证，形成，指导 名词：

体系，机制，体制，系统，规划，战略，方针，政策，措施，要点，重点，焦点，难点，热点，亮点，矛盾，问题，建设，思想，认识，作风，整治，环境，秩序，作用，地方，基层，传统，运行，监测，监控，调控，监督，工程，计划，行动，创新，增长，方式，模式，转变，质量，水平，效益，会议，文件，精神，意识，服务，协调，沟通，力度，领域，空间，成绩，成就，进展，实效，基础，前提，关键，保障，动力，条件，环节，方法，思路，设想，途径，道路，主意，办法，力气，功夫，台阶，形势，情况，意见，建议，网络，指导，指南，目录，方案 形容词一字部：

多，宽，高，大，好，快，省，新 形容词二字部：

持续，快速，协调，健康，公平，公正，公开，透明，富强，民主，文明，和谐，祥和，优良，良好，合理，稳定，平衡，均衡，稳健，平稳，统一，现代 副词一字部：

狠，早，细，实，好，很，较，再，更 副词二字部：

加快，尽快，抓紧，尽早，整体，充分，继续，深入，自觉，主动，自主，密切，大力，全力，尽力，务必，务求，有效 副词三字部：进一步 后缀：化，型，性 词组：

统一思想，提高认识，认清形势，明确任务，加强领导，完善机制，交流经验，研究问题，团结协作，密切配合，真抓实干，开拓进取，突出重点，落实责任，各司其职，各负其责，集中精力，聚精会神，一心一意，心无旁骛，兢兢业业，精益求精，一抓到底，爱岗敬业，求真务实，胸怀全局，拓宽视野。

第三篇：高数下公式总结

高等数学下册公式总结

1、N维空间中两点之间的距离公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离

PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)2

2、多元函数zf(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时

看作常量。比如，就可以了。z表示对x求偏导，计算时把y 当作常量，只对x求导 x2z2z3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。xyyx4、多元函数zf(x,y)的全微分公式： dzzzdxdy。xy5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t)，其导数公式：

dzzduzdv。dtudtvdtFXdy,Fy分别表示对x,y

6、隐函数F(x,y)=0的求导公式：，其中FxdXFy求偏导数。

方程组的情形：{F(x,y,u,v)0的各个偏导数是： G(x,y,u,v)0FFxvGGuvxv，xxFFuvGGuvFFuxGGuux，yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv，v。yFFuvGGuvFFyuGGuy7、曲线的参数方程是：x(t),y(t),z(t)，则该曲线过点

M(x0,y0,z0)的法平面方程是：

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

切线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)。(t0)(t0)(t0)

8、曲面方程F(x,y,z)＝0在点M(x0,y0,z0)处的 法线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)，FxFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。切平面方程是：Fx9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤：

第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值 第二步：求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C

第三步：判断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是极小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法判断

10、二重积分的性质：（1）（2）(3)kf(x,y)dkf(x,y)d

DD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

(4)若f(x,y)g(x,y)，则（5）

f(x,y)dg(x,y)d

DDds，其中s为积分区域D的面积

D（6）mf(x,y)M，则ms（7）积分中值定理：

f(x,y)dMs

Df(x,y)dsf(,)，其中(,)是区域D中的点

DdP2(y)

11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式）bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定

12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法

13、曲线、曲面积分：

（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t)y(t)，(t)，则

Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt

（2）格林公式：(DQP)dxdyPdxQdy xyLL

14、向量的加法与数乘运算：a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则有ka(kx1,ky1,kz1)，xyzab(x1x2,y1y2,z1z2)，若ab，则111

x2y2z2

15、向量的模、数量积、向量积：若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则向量a的模长222ax1y1z1；数量积（向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值）ab＝

bax1x2y1y2z1z2＝baabcosa,b，其中a,b表示向量b,a的夹角，且若ab，则有ab＝0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k，其中i,j,k是x轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量

16、常数项无穷级数unu1u2u3...un...，令snu1u2u3...un称为无n1穷级数的部分和，若limsns，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级数x的一个必要非充分地定理是：若un收敛，则必有limun0

n1x

17、三种特殊的无穷级数：（1）调和级数1是发散的，无须证明就可以直接引用 n1nn（2）几何级数aq，当q1时收敛，当q1时发散

n1（3）p级数1，当p1时收敛，当p1时发散 pn1nn118、正项级数un的判敛方法：

（1）比较判敛法：若存在两个正项级数un，vn，且有vnun，若un收敛，则vn收

n1n1敛；若vn发散，则un发散

（2）比较判敛法的极限形式：若limunl,(l0)，则un和vn具有相同的敛散性

xvnun1l，若l1，则原级数收敛，若l1，则原级

xun（3）比值判敛法：对于un，limn1数发散

19、交错级数(1)n1n1un的判敛方法：同时满足unun1及limun0，则级数收敛，否

x则原级数发散

20、绝对收敛和条件收敛：对于un，若un收敛，则称其绝对收敛；若un发散，n1n

1n1



但是un收敛，则称其条件收敛

n1

21、函数项无穷级数形如：un(x)u1(x)u2(x)u3(x)...un(x)...，通常讨论的是

n1幂级数形如：anxa0a1xa2xa3x...anx...，n0n23n（1）收敛半径及收敛区间：liman11,则收敛半径R，收敛区间则为(R,R)，但

xan是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证

(2n1)xnn-1x（2）几种常见函数的幂级数展开式：e，sinx，（-1）n0n!n1(2n1)!x11x2nnx，(1)nxn，cosx(1)n01xn0(2n)!1xn0n22、常微分方程的类型及解题方法：

（1）可分离变量的微分方程：yf(x,y)，总是可以分离变量化简为式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解

（2）齐次方程：yf(x,y)，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为f()的形式，令

dydx的形f(y)f(x)yxyu，则原方程化简为可分离变量方程形式uxuf(u)来求解 x（3）一阶线性微分方程：形如yp(x)yf(x)的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程yp(x)y0的解ycQ(x)，然后使用常熟变易法，令cu(x)，把原方程的解yu(x)Q(x)带入原方程，求出u(x)，再带入yu(x)Q(x)中，即求出所需的解

（4）全微分方程：形如p(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程，只要满足

xyp(x,y)Q(x,y)，yx则称其为全微分方程，其解为u0p(x,y)dxQ(x,y)dy

0（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：

第一种：yf(x)的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解

第二种：yf(x,y)的形式，首先令yz，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程zf(x,z)的形式，继续求解即可

第三种：yf(y,y)的形式，同样令yz，由于yzdzdzdydzy，所以dxdydxdy原方程转化为一阶微分方程

dzzf(y,z)的形式，继续求解即可 dy（6）二阶常系数齐次微分方程：ypyqy0，求解时首先求出该方程对应的特征方

r1x程r2prq0的解r1,r2，若实根rc2er2x；若实根r1r2，则解1r2，则解为yc1e为y(c1c2x)e1；若为虚根abi，则解为yeax(c1cosbxc2sinbx)

rx（8）二阶常系数非齐次微分方程：ypyqyPm(x)e，求解时先按（7）的方法求其rx对应的齐次微分方程的通解y1，然后设出原方程的特解y＝xQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相应的未知系数，而k根据特征方程的解r1,r2与r的关系取值，m(x)同次的多项式，若r与特征根不相等，则k取0；若r和一个特征根相等，则k取1；若r和特征根都相等，则k取2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即

kyy1y

第四篇：同济六版上册高数总结(一些重要公式及知识点)

同济六版上册高数总结

微分公式与积分公式

(tgx)secx

(ctgx)csc2x

(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna

1(logax)xlna2(arcsinx)1x21(arccosx)x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aa

dx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a



2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2csc2sinxxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C

2Insinxdxcosnxdx00n1In2n







x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22

三角函数的有理式积分：

2u1u2x2du

sinx，cosx，utg，dx

21u21u21u2

两个重要极限：

公式1lim

sinx

1公式2lim(1x)1/xe

x0x0x

有关三角函数的常用公式

和差角公式：

和差化积公式：

sinsin2sin

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()

tgtg1tgtgctgctg

1ctg()

ctgctg



22

sinsin2cossin

22

coscos2coscos

22

coscos2sinsin

cos



三倍角公式:半角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)sin(α/2)=±√(1-cosα)/2cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαCos(α/2)=±√(1+cosα)/2

降幂公式:万能公式：

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

推导公式

tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

abc

2R正弦定理：

sinAsinBsinC

余弦定理： c2a2b22abcosC反三角函数性质：arcsinxarccosx



arctgxarcctgx



(特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0即可）

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(nk)(k)

Cnuvk0n

u(n)vnu(n1)v

n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)

uvuvuv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()



F(b)F(a)F()

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：dsy2dx,其中ytg平均曲率：K



:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。s

yd

M点的曲率：Klim.23s0sds(1y)

直线：K0;1

半径为a的圆：K.a

定积分的近似计算：

b

f(x)

ab

ba

(y0y1Lyn1)n

ba1

[(y0yn)y1Lyn1] n2

f(x)

a

定积分应用相关公式：

功：WFs

水压力：FpA

mm

引力：Fk122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：yf(x)dxbaa12f(t)dtbaa

b

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：

g(y)dyf(x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。

dyy

f(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxx

ydydududxduy设u，则ux，u(u)，代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy

1P(x)yQ(x)

dx

P(x)dx

当Q(x)0时,为齐次方程，yCe

当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edy

2P(x)yQ(x)yn，(n0,1)

dx

P(x)dx

dxC)e

P(x)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：

uu

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0P(x,y)Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydy

P(x)Q(x)yf(x)2

dxdxf(x)0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；

2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

第五篇：上册高数复习必备

第一章：

1、极限

2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）

第二章：

1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续

2、求导法则（背）

3、求导公式 也可以是微分公式

第三章：

1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）

2、洛必达法则

3、泰勒公式 拉格朗日中值定理

4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）

5、曲率公式 曲率半径

第四章、第五章：积分

不定积分：

1、两类换元法

2、分部积分法（注意加C）

定积分：

1、定义

2、反常积分

第六章： 定积分的应用

主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长

第七章：向量问题不会有很难

1、方向余弦

2、向量积

3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）

3、空间平面

4、空间旋转面（柱面）

高数解题技巧。（高等数学、考研数学通用）

高数解题的四种思维定势

●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。