高数定理定义总结（共五则范文）

第一篇：高数定理定义总结

高数定理定义总结

第一章函数与极限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：

1、在点x=x0没有定义；

2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；

3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

第二章 导数与微分

1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

第三章 中值定理与导数的应用

1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ

3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F'(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f'(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加；(2)如果在(a，b)内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a，b]上单调减少。

如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f'(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f'(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f'(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f'(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f'(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f'(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f'(x0)=0，f''(x0)≠0那么：(1)当f''(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f''(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f'’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的；(2)若在(a，b)内f'’(x)<0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凸的。

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f'’(x)；(2)令f'’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f'’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f'’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。

在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。

第四章 不定积分

1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F'(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u.2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

第五章 定积分

1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。

定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。

3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a

第六章 定积分的应用

求平面图形的面积(曲线围成的面积)

直角坐标系下(含参数与不含参数)

极坐标系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)

旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)

平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx，其中A(x)为截面面积)

功、水压力、引力

函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

第七章 多元函数微分法及其应用

1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；(2)AC-B2<0时没有极值；(3)AC-B2=0时可能有也可能没有。

7、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。

(2)对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f(x0，y0)是否是极大值、极小值。

注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。

第八章 二重积分

1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)

平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。

平面薄片的转动惯量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)为在点(x，y)处的密度。

平面薄片对质点的引力(FxFyFz)

2、二重积分存在的条件当f(x，y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x，y)在D上的二重积分必定存在。

3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，则有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性质设M，m分别是f(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

性质(二重积分的中值定理)设函数f(x，y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ

4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的x，y分别换成ycosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxd

第二篇：高数总结

高数总结

公式总结：

1.函数

定义域

值域

Y=arcsinx

[-1,1]

[-π/2, π/2] Y=arccosx

[-1,1]

[0, π] Y=arctanx

(-∞，+∞)

（-π/2, π/2）Y=arccotx

(-∞，+∞)

(0, π)Y=shx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函数，递增

Y=chx

(-∞，+∞)

[1, +∞)偶函数，(-∞，0)递减 Y=thx

(-∞，+∞)

(-1,1)奇函数，递增

Y=arshx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函数，递增 Y=archx

[1，+∞)

[0，+∞)递增

Y=arthx

(-1,1)

奇函数，递增 2.双曲函数和反双曲函数：

shx = [(e^x-e^(-x))/2，sh(x+y)=shxchy+chxshy(shx)' =chx

sh(x-y)=shxchy-chxshy chx = [(e^x + e^(-x)]/2

ch(x+y)=chxchy+shxshy ,(chx)' =shx

ch(x-y)=chxchy-shxshy thx = shx / chx，(chx)^2-(shx)^2=1(thx)' = 1/(chx)^2

sh2x=2shxchx arsh x = ln[ x+(x^2+1)^(1/2)]

ch2x=(chx)^2+(shx)^2 ,(arsh x)' = 1/(x^2+1)^(1/2)arch x = ln[ x+(x^2-1)^(1/2)] ,(arch x)' = 1/(x^2-1)^(1/2)arth x =(1/2)[ ln(1+x)/(1-x)],(arth x)' = 1/(1-x^2)我只记得考了几个这里的公式，不过不记得是哪次考试了，所以就给你们写上咯

3.对于x趋近于∞，f(x)/g(x)的极限，f(x)和g(x)均为多项式时，分子分母同时除以其中x的最高次项，利用x趋近于∞时，由1/(x^k)的极限为0（k>0）,可以求得结果。4.极限存在准则：

夹逼准则:证明极限存在并求得极限

单调有界准则：仅用于证明极限存在，对于有递推式的数列比较常用。一般都是先根据单调有界准则证明极限存在 P54例3 P55例5 5.两个重要极限：

（1）当x趋近于0时，sinx/x的极限等于1（2）当x趋近于∞时，（1+1/x）^x的极限为e,也可以说当x趋近于0时，(1+x)^(1/x)的极限为e,但是不能说当x趋近于0时，（1+1/x）^x的极限为e.要求（1+在x趋近于∞或0时，该部分极限为0），指数部分为∞ 6.无穷小的比较：

b/a的极限为0，则称b是比a高阶的无穷小，b=o(a)b/a的极限为∞，则称b是比a低阶的无穷小 b/a的极限为常数，则为同阶无穷小，常数为1，为等价无穷小，记作a~b b/a^k的极限为常数（k>0）,则称b是a的k阶无穷小 7.等价无穷小：

Sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~(1/2)x^2

ln(1+x)~x

e^x-1~x

a^x-1~xlna

(1+x)^a-1~ax

(1+ax)^b-1~abx

tanx-x~(1/3)x^3

x-sinx~(1/6)x^3

loga(x+1)~x/lna

加减运算时不能用等价无穷小，乘除的时候可以。如P61例5 8.函数的连续与间断：

函数f(x)在某点连续的充要条件为f(x)在该点处既左连续又右连续。函数的各种间断点以及间断点的条件要记住。我们上一年有考这种题。P64-P68 9.函数在某点可导的充要条件为函数在该点的左右导数均存在且相等。

如果函数在某点可导，则它在该点处连续。逆命题不成立。10.熟记函数的求导法则： P96-97初等函数的求导法则。

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。会求复合函数的导数。11.n阶导：

X ln(1+x)的n阶导=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(1+x)^n

sinkx

=(k^n)sin(kx+nπ/2)

coskx

=(k^n)cos(kx+nπ/2)

1/x

=[(-1)^n]n!/[x^(n+1)]

x^a

=a(a-1)…(a-n+1)x^(a-n)

a^x

=a^x(lna)^n

e^x

=e^x

lnx

=[(-1)^(n-1)](n-1)!/x^n

1/(ax+b)

=[(-1)^n]n!a^n/[(ax+b)^(n+1)]

u(ax+b)

=a^n(ax+b)u(n)

u(n)为u的n阶导

cu(x)

=cu(x)(n)

u(x)(n)为u(x)的n阶导

u(x)+-v(x)

=u(x)(n)+-v(x)(n)

v(x)(n)为v(x)的n阶导

x^n

=n!

x^n的（n+1）阶导为0 至于莱布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心还是背会吧，同情你们。

12.隐函数的导数：

求隐函数的导数时，只需将确定隐函数的方程两边对自变量x求导。（1）对数求导法：注意x=e^(lnx)的化简

（2）参数方程表示的函数的导数：一阶导和二阶导的公式都要记住。（3）极坐标表示的函数的导数：同参数都需把公式记住或者自己会推导。（4）相关变化率：以应用题的形式出现，看一下书上的例题P111-112。13.函数的微分：重要

熟记基本初等函数的微分公式，考试会考，而且同求导法则一样，在下学期的高数中可能会有用。P117

应用题中，可用微分 dA近似代替△A。复合函数的微分：dy=f’(u)du 14.函数的线性化：

L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)称为f(x)在点x0处的线性化。近似式f(x)≈L(x)称为f(x)在点x0处的标准线性近似，点x0称为该近似的中心。

常用函数在x=0处的标准线性近似公式：

（1+x）^(1/n)≈1+x/n sinx~x(x为弧度)tanx~x(x为弧度)e^x~1+x ln(1+x)~x 常用于估计某式的近似值。15,误差计算： P123表格

16.费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。这些定理的条件以及结论均需记住，会考。17.洛必达法则：

0/0型：当x趋近于a时，函数f(x)及g(x)都趋于0

在点a的某去心领域内，函数的导数均存在，且g’(x)不等于0 X趋近于a时，f’(x)/g’(x)存在或为无穷大

则有x趋近于a时，f(x)/g(x)的极限与f’(x)/g’(x)的极限相等 ∞/∞型：当x趋近于∞时，函数f(x)及g(x)都趋于0

对于充分大的|x|，函数的导数均存在，且g’(x)不等于0 X趋近于∞时，f’(x)/g’(x)存在或为无穷大

则有x趋近于∞时，f(x)/g(x)的极限与f’(x)/g’(x)的极限相等 0*∞型：化为0/0或者∞/∞型来计算 ∞-∞型：通分化为0/0型来计算

0^0,1^∞, ∞^0型：可先化为以e为底的指数函数，再求极限 X趋近于a时，lnf(x)的极限为A可化为

X趋近于a时，f(x)的极限等于e^(lnf(x))的极限等于e^(x趋近于a时，lnf(x)的极限)等于A。P141 18.泰勒公式：

e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+o(x^n)sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…+[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)！+o(x^(2n+2))cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…+[(-1)^n]x^(2n)/(2n)!+o(x^(2n+1))ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…+[(-1)^(n-1)]x^n/n+o(x^n)1/(1-x)=1+X+x^2+…+x^n+o(x^n)(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+…+[m(m-1)…(m-n+1)/n!]x^n+o(x^n)泰勒公式和麦克劳林公式的一般形式也要记住。我们上一年有考过一题，不过不记得是啥题了。

19.补充一些关于三角函数的知识，可能会用到：

tan(x/2)=(1-cosx)/sinx

1+(tanx)^2=(secx)^2

1+(cotx)^2=(cscx)^2 和差化积公式：

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] 积化和差公式：

sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]

cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]

cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]

sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)] 补充两个公式：

（1）x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1]（2）n^(1/n)-1=(n-1)/[1+n^(1/n)+n^(2/n)+…+n^((n-1)/n)] <(n-1)/[(1/2)(n-1)n^(1/2)]=2/[n^(1/2)]

第三篇：2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。

第四篇：高数下册总结

篇一：高数下册总结

高数（下）小结

一、微分方程复习要点

解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.一阶微分方程的解法小结：

二阶微分方程的解法小结：

非齐次方程y???py??qy?f(x)的特解y?

主要: 量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

二、多元函数微分学复习要点

1、显函数的偏导数的求法 在求

?z?x 量，对x求导，在求

?z?y 量，对y求导，所运

求导法则与求导公式.2数的求法

u???x,y?，v???x,y?，则

?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ? 的形式为：

一阶

1、可分离变、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

一、偏导数的求法 时，应将y看作常时，应将x看作常用的是一元函数的、复合函数的偏导设z?f?u,v?，3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 几种特殊情况：

1u???x?，v???x?，则2）z?f?x,v?，v???x,y?，则

?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3则

3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 设z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则

?z?x fxfz ??）z?f?u,v?，）z?f?u?，u???x,y?，?fz ?0?，?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者视z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

2）方程组的情况 ?z?x(或 ?z?y).?f?x,y,u,v??0?z?z)即可.由方程组?两边同时对x(或y)求导解出(或

?x?y??gx,y,u,v?0?

二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）设空间曲线г的参数方程为 ?y???t?，则当t?t0时，在曲线上对应点 ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?处的切线方向向量为t???t0?,? ?

?t0?,??t0??，切线方程为

x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?

法平面方程为 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程为f? x,y,z??0，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量

?n? ?f x ,fy,fz ? p0，切平面方程为

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程为z?f?x,y?，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法线方程为

x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1

四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法

在点p0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx?x,y??0，fy ?x,y??0点? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?.2 c?b1 ?x ,y?取得极值，且当a?0时有极大值，当a?0 2则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.3）若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得极值.设函数z?f?x,y?，解出驻，记，）若a?0，则f 在点?x0,y0?处时有极小值.）若ac?b2?0，不能判定f 在点?x0,y0?处 2 条件极值的求法

函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下：

1）化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法

作辅助函数f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?为参数，解方程组

篇二：高数下册总结(同济第六版)高数（下）小结

一、微分方程复习要点

解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.一阶微分方程的解法小结：

二阶微分方程的解法小结：

? 非齐次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式为：

主要: 一阶

1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法

1、显函数的偏导数的求法 在求

?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运?x?y 用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法

设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v，?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 几种特殊情况： 1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则2）z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?则?x??x??v??x，?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3则

3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

?zdz?u?zdz?u，?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则

f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者视z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出 2由方程组? ?z?z(?f?x,y,u,v??0?z?z 求导解出(或)即可.?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1：利用公式du? ?u?u?u，v???x,y?，）z?f?u?，u???x,y?设z?z?x,y?是由，??）方程组的情况 或).?x?y 两边同时对x(或y)

二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）设空间曲线г的参数方程为 ?y???t?，则当t?t0时，在曲线上对应点

?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?处的切线方向向量为t???t0?,??t0?,??t0?，切线方程为

?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程为 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程为f?x,y,z??0，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量

? n??fx,fy,fz? p0，切平面方程为

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程为z?f?x,y?，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法线方程为

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1

四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法

设函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出驻点?x0,y0?，记a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，c?fyy?x0,y0?.c?b1）若a 时有极小值.2）若ac?b2?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.3）若ac?b?0，不能判定f?x,y?在点?x0,y0?处是否取得极值.2 2 ?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处取得极值，且当a?0时有极大值，当a?0 2 条件极值的求法

函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下：

1）化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法

作辅助函数f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?为参数，解方程组 篇三：高数下册公式总结

第八章 向量与解析几何

第十章 重积分

第十一章曲线积分与曲面积分

篇四：高数下册积分方法总结

积分方法大盘点

现把我们学了的积分方法做个大总结。

1、二重积分

1.1 x型区域上二重积分（必须的基本方法）

（1）后x先y积分，d往x轴上的投影得区间[a,b]；（2）x [a,b]，x=x截d得截线y1(x)＃yy2(x)（小y边界y=y1(x)大y边界y=y2(x)）；

（3）b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x)1.2 y型区域上二重积分（必须的基本方法）

（1）后y先x积分，d往y轴上的投影得区间[c,d]；（2）y [c,d]，y=y截d得截线x1(y)＃xx2(y)（小x边界x=x1(y)大x边界x=x2(y)）；

（3）d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y)1.2 极坐标二重积分（为简单的方法）

（1）总是后q先r积分；（2）b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q)d 1其中，在d上a是最小的q，b是最大的q；q [a,b]，射线q=q截d得截线r1(q)＃r r2(q)（小r边界r=r1(q)大r边界r=r2(q)）。用坐标关系

x=rcosq，y=rsinq和面积元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一个因子r）。

当积分区域d的边界有圆弧，或被积函数有x2+y2 时，用极坐标计算二重

积分特别简单。

离 散

数 学

2、三重积分 2.1 二套一方法（必须的基本方法）（1）几何准备

(i)将积分区域w投影到xoy面，得投影区域dxy；

(ii)以dxy的边界曲线为准线，作一个母线平行于z轴的柱面．柱面将闭区域w的边界曲面分割为上、下两片曲面s2:z=z2(x,y（）大z边界）；

s 1 :z=z1(x,y（）小z边界）

（(x,y)dxy，过(x,y)点平行于z轴的直线截w得截线z1(x,y)＃z z2(x,y)）

；（2）z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。

w d1(x,y)xy 还有两种（w往xoz或yoz面投影）类似的二套一方法（举一反三）。2.2 一套二方法（为简单的方法）（1）几何准备

(i)把w往z投影得轾犏臌 c,d；(ii)任意给定z?轾犏臌

c,d，用平面z=z截w得截面（与z有关）dz；（2）d蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy，c 蝌 w dz 还有两种（w往x或y轴投影）类似的一套二方法（举一反三）。2.3 柱面坐标计算三重积分（为简单的方法）

（1）把积分写成二套一zx,y)蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)w d1(xxy（2）用极坐标计算外层的二重积分

z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y)xyb r2(q)zrcosq,rsinq)= 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q)z 1(rcosq,rsinq)（注意：里层的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入）。（当用极坐标计算

外层二重积分简单时。）

还有两种（w往xoz或yoz面投影的二套一）类似的极坐标计算方法（举

第1章

集 合

离 散

数 学

2.3 三重积分（为简单的方法）

x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj个因子r 2 sinj

蝌

f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限变成三次积分（总是先r后j最后q积分）

f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)

一反三）。

球面坐标计算（1）用坐标关系和o体积元素（多一）代入

蝌蝌f(x,y,z)dv=；（2）三种情况定上蝌

=蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q)r 1(q,j)当w是课堂讲的三种情况或被积函数有x2+y2+z2时用球面坐标计算简单。第1章

集 合

3曲线积分 3.1平面情形

（1）准备 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=

；

?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])时用x作?í

x=x ?(x?[a,b])当??y=y(x)ì?l:x= x(y)(y [c,数l:?í

x=x(y)??? y=y(y?[c,d])3.2 空间情形

、第一类对弧长的ì

í，（2）代入b蝌。ì

当参数；时用d]y作参。ì??x=x(t)

（1）准备 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ])，ds=

；

z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作参数l:?x)x(ab[,；??z=z(x)í?y=y(] ?? z=z(x)l:?? x=x(y)?z=z(y(y?[c,d])时用y作参数

l:??)? y=y(y [c,d])z=z(y)ì?x=x(??x=x(z)l:? z)?(z?[c,d])作参数l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。z=z 间的特例。

篇五：高数下册复习知识点总结

下册复习知识点总结：

（2）代入b。ìì 当l:???í时用x当?? ìì??x=x(y)í í?? ；当 ìí 时用z平面是空高数 8空间解析几乎与向量代数

1.给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。

2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，掌握两个向量垂直和平行的条件。3.了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。空间曲线在坐标平面上的投影方程。

4.平面方程和直线方程及其求法。

5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6.点到直线以及点到平面的距离。

多元函数微分法及其应用

1.有关偏导数和全微分的求解方法，偏导要求求到二阶。

2.复合函数的链式法则，隐函数求导公式和方法。

3.空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。4.利用充分条件判断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法（即条件极值）分析实际问题或给定函数的最值问题。

重积分

1.二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。

2.选择合适的坐标系计算三重积分。

3.利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；

4.利用质心和转动惯量公式求解问题。

11曲面积分与曲线积分

1.两类曲线积分的计算与联系；

2.两类曲面积分的计算与联系；

3.格林公式和高斯公式的应用。

第五篇：高数积分总结

高数积分总结

一、不定积分

1、不定积分的概念也性质

定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一xI,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作

f(x)dx。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则

kf(x)dxkf(x)dx。

2、换元积分法(1)第一类换元法：

定理1：设f(u)具有原函数，(x)可导，则有换元公式

f[(x)]'(x)dx[f()d]

(x)。例：求2cos2xdx

解 2cos2xdxcos2x2dxcos2x(2x)'dxcosd 将2x代入，既得

2cos2xdxsin2xC

(2)第二类换元法：

定理2：设x(t)是单调的、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

f(x)dx[f[(t)]'(t)dt]1其中(x)是x(t)的反函数。

t1(x)，例：求dxxa22(a0)

22解

∵1tantsect，设xtantt，那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2tasect,dxasec2tdt，于是

asec2tdtsectdt 22asectxadx∴∵sect∴dxdxxa22lnsecttantC

x2a2，且secttant0 aCln(xx2a2)C，CClna 1122xxalnaax2a2

3、分部积分法

定义：设函数(x)及(x)具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为

'''

移项得

'()''

对这个等式两边求不定积分，得

'dx'dx

此公式为分部积分公式。例：求xcosxdx 解 xcosxdxxsinxsinxdx

∴xcosxdxxsinxcosxC 分部积分的顺序：反对幂三指。

4、有理函数的积分 例：求x1dx 2x5x62解

∵x5x6(x3)(x2)，故设

x1AB

x25x6x3x2其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得

x1A(x2)B(x3)

即

x1(AB)x2A3B

比较上式两端同次幂的系数，既有

AB1 2A3B1从而解得

A4,B3 于是

x134dx4lnx33lnx2C x25x6dxx3x2其他有些函数可以化做有理函数。

5、积分表的查询

二、定积分

1、定积分的定义和性质

（1）定义：设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点

ax0x1x2xn1xnb

把区间a,b分成n个小区间

x0,x1,x1,x2,,xn1,xn

各个小区间的长度依次为

x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1

在每个小区间xi1,xi上任取一点ixi1ixi，作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xii1,2,,n，并作出和

Sf(i)xi

i1n记maxx1,x2,,xn，如果不论对a,b怎么划分，也不论在小区间xi1,xi上点i怎么选取，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数(简称积分)，记作

f(x)在区间a,b上的定积分

baf(x)dx，即

n其中变量，baf(x)dxIlimf(i)xi

0i1f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。

f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)定理1：设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2：设在a,b上可积。（2）性质1：

性质2：f(x)g(x)dxabbaf(x)dxg(x)dx

abkf(x)dxkabbaf(x)dx

(k是常数)

性质3：设acb，则

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb

性质4：如果在区间a,b上f(x)1，则

1dxdxba

aabb

性质5：如果在区间a,b上，f(x)0，则

babaf(x)dx0ab

推论1：如果在区间a,b上，f(x)g(x)，则

f(x)dxg(x)dxab

ab

推论2：

baf(x)dxf(x)dx(ab)

ab

性质6：设M及m分别是函数最小值，则

f(x)在区间a,b上的最大值和m(ba)f(x)dxM(ba)(ab)

ab

性质7(定积分中值定理)：如果函数f(x)在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一个点，使下式成立

baf(x)dxf()(ba)(ab)

2、微积分基本公式(1)积分上限函数及其导数

定理1：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数

xf(t)dt

ax在a,b上可导，并且它的导数

dx'(x)f(t)dtf(x)(axb)adx定理2：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则函数

(x)f(t)dt

ax就是f(x)在区间a,b上的一个原函数。

f(x)在区间a,b上的一个原函(2)牛顿-莱布尼茨公式

定理3：如果函数F(x)是连续函数数，则

(1)定积分的换元法 定理：

三、多元函数微分

四、重积分

五、曲面和曲线积分

baf(x)dxF(b)F(a)

3、定积分的换元法和分部积分法