高数中需要掌握证明过程的定理

第一篇：高数中需要掌握证明过程的定理

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。1）常用的极限

ln(1x)1cosx1ex1ax1(1x)a1lim1，lim lim1，limlna，lima，x0x0x0x0x0xx22xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

x)e与过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x01xsinx1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x0x巧。证明： lim1ln(1x)ln(1x)lim1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim1。

x0x0x0xx

ln(1x)ex11中，令ln(1x)t，则xet1。由于极限lim1：在等式limx0x0xx过程是x0，此时也有t0，因此有limt0t1。极限的值与取极限的符号et1ex11。是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得limx0x

ax1ax1exlna1limlna：lim利用对数恒等式得lim，再利用第二个极限可x0x0x0xxxexlna1exlna1ax1lnalimlna。因此有limlna。得limx0x0xlnax0xx(1x)a1lima：利用对数恒等式得 x0x(1x)a1ealn(1x)1ealn(1x)1ln(1x)ealn(1x)1ln(1x)limlimalimalimlimax0x0x0x0x0xxaln(1x)xaln(1x)x上式中同时用到了第一个和第二个极限。

xx2sinsin1cosx1cosx121lim21。limlimlim：利用倍角公式得 x222x0x0x0x0xx22x22222）导数与微分的四则运算法则

(uv)'u'v', d(uv)dudv(uv)'u'vuv', d(uv)vduudv

u'vu'uv'uvduudv(), d()(v0)22vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则

设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：

f((x))【点评】：同上。4）反函数求导法则

'f'(u)'(x)或dydydu dxdudx设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

11dx1 或''dyf(x0)f(g(y0))dydx【点评】：同上。g'(y0)5）常见函数的导数

xx'1，'sinx'cosx，cosxsinx，lnxx''11'，logax，xxlnaxee，axexlna '【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：

f(xx)f(x)'，代入该公式得 xx1：导数的定义是f'(x)limx0xxx(1)1(1)1(xx)x'1xxxxlimx1。最后一xlimx0x0xxxx(1x)a1a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。步用到了极限limx0xx0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

sin(xx)sinx''lim，由和差化积公式得sinxcosx：利用导数定义sinxx0xxx2cos(x)sinsin(xx)sinx22cosx。cosx'sinx的证明类limlimx0x0xx似。

xln(1)1ln(xx)lnx'x1。limlimlnx：利用导数定义lnx'x0x0xxxx1lnx'的证明类似（利用换底公式logax）。logaxxlnalna

eex'x：利用导数定义ex'xe(xx)ex1xxex'limlimee。aexlna的x0x0xx证明类似（利用对数恒等式axexlna）。

6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f(x)0，则有f(x)dx0

ab推论：ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx；

aabbⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：m(ba)f(x)dxM(ba)

ab【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7）定积分中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式成立：

baf(x)dxf()(ba)

【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8）变上限积分求导定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(x)dx在[a,b]上

ax可导，并且它的导数是

dx'(x)f(x)dxf(x),axb

dxa设函数F(x)u(x)v(x)f(t)dt，则有F'(x)f(u(x))u'(x)f(v(x))v'(x)。

【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函数。

【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：

设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)0

【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()0。

【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()【点评】：同上。13）柯西中值定理： 如果函数f(x)和g(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

f(b)f(a)。

baf'()f(b)f(a)那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得'。g()g(b)g(a)【点评】：同上。14）单调性定理：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。

如果在(a,b)上有f'(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递增。如果在(a,b)上有f'(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递减。

【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：

仅证明f'(x)0的情形，f'(x)0的情形类似。

x1,x2(a,b)，假定x1x2

则利用拉个朗日中值定理可得，x2,x2使得f(x1)f(x2)f'(x1x2)。由于f'0，因此f(x1)f(x2)0。

由x1,x2的任意性，可知函数f(x)在[a,b]上单调递增。

14）(极值第一充分条件)

设函数f(x)在x0处连续，并在x0的某去心邻域U(x0,)内可导。

ⅰ）若x(x0,x0)时，f'(x)0,而x(x0,x0)时，f'(x)0,则f(x)在x0处取得极大值

ⅱ）若x(x0,x0)时，f'(x)0,而x(x0,x0)时，f'(x)0,则f(x)在x0处取得极小值；

ⅲ）若xU(x0,)时，f'(x)符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值； 【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15）(极值第二充分条件)

设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f'(x0)0，那么 ⅰ）若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极小值； ⅱ）若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极大值。

【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。证明：

仅证明f''(x0)0,的情形，f''(x0)0,的情形类似。

由于f(x)在x0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在x0的某领域内成立f(x)fx0f'x0xx0f''x0由于f'(x0)0，因此

xx0222oxx0 f(x)fx0f''x0xx0222oxx02''oxx02fx0fx0xx022xx0

2''oxx0fx0由高阶无穷小的定义可知，当xx0时，有又由于0，0，22xx02oxx0fx00。因此在x0的某领域内成立22xx0''2''oxx02fx0fx。进一步，我们有fx0xx0022xx0也即，在x0的某领域内成立f(x)fx0。由极值点的定义可知f(x)在x0处取得极小值。16）洛必达法则

f'(x)设函数f(x),g(x)在xa的空心邻域内可导，g(x)0，且lim'A

xag(x)'则有limxaf(x)A，其中A可以是有限数，也可以是,。g(x)【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。

第二篇：MM定理证明过程-MM定理证明过程

无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

 不考虑税收；

 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用；  无关联交易存在；

 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会；  投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。

MM定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。

基础假定：我们假定有两家公司—公司A和公司B，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。A公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B公司的负债额度是D，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。细节假设：

 B公司当前债务利率为r（固定值）；

 A、B两公司当前的股本分别是SA和SB（固定值）；

 A、B两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是rA和rB（固定数值，因为仅指当前的预期收益率）；

 A、B两公司任何年份的息税前利润（EBIT）相同，数额都为EBIT（随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）；  A、B两公司当前的市场价值分别记为PVA和PVB（固定值）；

 A、B两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为MPA和MPB（固定值）；

 A、B两公司当前的股东权益分别记作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值较多是因为静态考察公司当前价值。

考虑一个套利策略：卖出A公司1%的股票；同时买入B公司1%的股票和1%的债券（上述比例可任意假定，但必须均为同一值）。这种套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。

表1 上述套利策略的现金流

头寸

即时现金流

未来每年现金流

卖出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

买入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）买入1%B债券

-0.01*D

-0.01* D*r 净现金流

NC

0

首先，任何公司的资产都等于账面的负债加权益，A公司无负债，因此有

PVASEA;PVBDSEB

其次，任何公司的股票价格都等于其股东权益与股本的比值：

MPAPVA/SA;MPB(PVBD)/SB①

再次，市场不应该存在无风险套利机会，故NC=0，也就是

0.01*PVA0.01*SB*MPB0.01*D0 MPB(PVAD)/SB②

由①②推得：PVAPVB③，命题证毕。

MM定理第一命题推论一：

债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。

证明：假设B公司的债务权益比为k，则：

kD/SEB

1k(SEBD)/SEBPVB/SEBPVA/SEBSA/SB④

将③④代入①得：

MPAPVA/SAPVB/(SB(1k))(DSEB)/(SB(1k))SEB(1k)/(SB(1k))MPB

证毕。

MM定理第一命题推论二：

股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下B公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A公司的股票预期收益率小于B公司的股票的预期收益率。

证明：B公司的资产负债率（RDA）和股东权益比率（REA）分别为：

RDABD/PVBD/(DSEB)k/(1k)REABSEB/PVBSEB/(DSE)1/(1k)

由于公司所有税前收益均优先用于分派股息，而且市场有效性保证了股票的价格反映股票价值。则由股票收益现值模型可得A、B两公司的股票预期收益率rA和rB分别满足：

MPAj1EBIT/SA(1rA)jEBITSA*rA

MPBj1(EBITR*D)/SB(1rB)jEBITR*DSB*rB

同时EBIT>r*PVB，因为这表示即使公司全部举债经营，公司产生的税息前收益也足够支付利息，也就是说股票的收益率大于债券的收益率，由于系统风险和预期收益相匹配的结果导致这个不等式必然成立。故可推导出：

rBEBITr*DSEBEBITr*DPVBDEBITPVBEBITPVAEBITSA*MPArA，证毕。

MM定理第一命题推论三：

股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下，债券转为股票之后，公司股东的每股盈利也会下降。证明：A、B两公司每股盈利分别为：

EAEBITSA;EB(EBITR*D)SB⑤

将④代入⑤的第二式得： EB(EBITR*D)SB(1k)(EBITR*D)SAEAk*EBIT(1k)*R*DSA⑥

由于EBIT>r*PVB，再将前面RDAB定义式代入，可以推得：

k*EBIT(1k)*R*D(1k)(k1kEBITR*D)(1k)*D(EBITPVBr)0⑦

由⑥⑦得：EBEA，证毕。

注：数学基础非常少的人有可能会觉得上述三个推论感性理解上有相互矛盾的地方，故须深入思考现实过程。

1.3

MM定理第二命题：

公司加权平均资本成本（WACC）与公司的资本结构无关。

证明：由于公司A仅有股权融资，故WACCArA

WACCBrBSEBPVBrDPVBEBITPVBEBITPVArA①，证毕。MM定理第二命题及其推论

MM定理第二命题推论：

有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定价和单证券定价模型有点像啊，呵呵）

证明：由①（重新编号）得：

rBPVBSEBrAr*DSEBrADSEB(rAr)rAk(rAr)，证毕。有税收条件下的MM定理 2.1 假设条件

考虑税收，其他假设与前面相同。有税收条件下的MM定理仅一个定理，有四个推论。

2.2

MM定理第一命题：

在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。MM定理第一命题及其推论

证明：假定A、B两公司的所得税税率都是T（固定税率制，累进税率制等也一样的），那么两公司的税后收益（EAT）分别为：

EATA(1T)*EBIT

EATB(1T)*(EBITr*D)r*D(1T)*EBITT*r*DEATA，证毕。

其中T*r*D即税盾效应，与A公司税后盈利相比，这是B公司多出来的部分，这是由于B公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A公司每年产生的现金流EBIT都要交所得税，而B公司中EBIT仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。或者也可以理解为没有负债的公司举债时，政府需要把原来征的税的一部分退给公司的债主，或者说举债成本里T*r是政府买单的（机会成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1T)*r，这是从金融的角度或者说机会成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差别一样，而证券定价的基准正是从金融的角度给出才能准确。

显然A、B两公司的税前价值仍然一样，相当于不考虑税收。我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收情况下A、B两公司的市场价值分别为：

PVAPVA(1T)

/EBIT(1T)r*PVB)叫做税盾的市场价值。其中D(1EBITPVBPVB(1T)(1/r*D)DPVAD(1/(1T)r*PVBEBIT)PVA①

/

MM定理第一命题推论一：

在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM定理的命题一的推论二仍然成立。

证明：考虑税收，A公司股票预期收益率为：

rA/EBIT(1T)SA*MPA/EBIT(1T)PVA/EBIT(1T)(1T)PVArA②

由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和①（重新编号）得B公司股票的预期收益率为：

(EBITrD)(1T)rDSB*MP/BrB/(EBITrD)(1T)rDPVD/B(EBITrD)(1T)rDPVA/EBITrDrD(1T)*rD*PVBEBIT1TrDPVA(1)EBIT再由②得：rBrA//rDPVA(1T)(1rDEBIT)③，由于EBIT>rD（盈利足够付利息，保//证不破产），故rBrA，证毕。

MM定理第一命题推论二：

考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍然成立。

证明：A、B两公司每股盈利分别为：

EA/(1T)EBITSA;EB/(1T)(EBITrD)rDSB④

将第一部分第一命题推论一下面的④代入④得：

EB/(1k)(1T)(EBITrD)rDSAEA/TrDk(1T)(EBITrD)rDSAEA/

因EBIT>rD，故上不等式成立，证毕。

MM定理第一命题推论三：

在考虑税收情况下，WACC与公司资本结构有关。（证略）

根据CAPM模型，有税收后的贝塔系数/和无税收情况下的贝塔系数的关系为(1(1T)/DSE)（证明从略），由此得出股权预期收益，然后再根据公司计算出WACC，显然WACC是受资本结构影响的。

MM定理第一命题推论四：

在考虑税收情况下，有负债的公司的权益资本成本仍然大于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本，风险补偿的形式也更复杂（证明如③）。

注：一个延伸，PV/PV(1(1Tc)(1Ts)1Td)D，Tc表示企业所得税率，Ts表示股票收入的税率，Td表示利息收入的税率，个人可试着证明一下子。MM定理的缺陷

主要是假设不合理导致的缺陷

 假设没有破产风险不符合实际。考虑税收的话，按照MM定理所有都是债权融资则公司价值最大化，但考虑到实际的破产风险，杠杆增加降低了融资成本WACC，但增加了公司的破产风险，故存在最优的资本结构使得公司达到价值最大化。 MM定理忽略了交易成本和信息不对称性等，显然不符合事实。 以上仅是两个例子，其他的大家可以想想。

撰写人：小秋

第三篇：MM定理证明过程-MM定理证明过程

无税收条件下的MM定理

1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

 不考虑税收；

 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用；  无关联交易存在；

 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会；  投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。

MM定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。

基础假定：我们假定有两家公司—公司A和公司B，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。A公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B公司的负债额度是D，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。

细节假设：

 B公司当前债务利率为r（固定值）；  A、B两公司当前的股本分别是SA和SB（固定值）；

 A、B两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是rA和rB（固定数值，因为仅指当前的预期收益率）；

 A、B两公司任何年份的息税前利润（EBIT）相同，数额都为EBIT（随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）；  A、B两公司当前的市场价值分别记为PVA和PVB（固定值）；

 A、B两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为MPA和MPB（固定值）；

 A、B两公司当前的股东权益分别记作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值较多是因为静态考察公司当前价值。

考虑一个套利策略：卖出A公司1%的股票；同时买入B公司1%的股票和1%的债券（上述比例可任意假定，但必须均为同一值）。这种套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。

表1 上述套利策略的现金流

头寸

即时现金流

未来每年现金流

卖出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

买入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）买入1%B债券

-0.01*D

-0.01* D*r 净现金流

NC

0

首先，任何公司的资产都等于账面的负债加权益，A公司无负债，因此有

PVASEA;PVBDSEB

其次，任何公司的股票价格都等于其股东权益与股本的比值：

MPAPVA/SA;MPB(PVBD)/SB①

再次，市场不应该存在无风险套利机会，故NC=0，也就是

0.01*PVA0.01*SB*MPB0.01*D0 MPB(PVAD)/SB②

由①②推得：PVAPVB③，命题证毕。

MM定理第一命题推论一：

债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。

证明：假设B公司的债务权益比为k，则：

kD/SEB

1k(SEBD)/SEBPVB/SEBPVA/SEBSA/SB④

将③④代入①得：

MPAPVA/SAPVB/(SB(1k))(DSEB)/(SB(1k))SEB(1k)/(SB(1k))MPB

证毕。

MM定理第一命题推论二：

股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下B公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A公司的股票预期收益率小于B公司的股票的预期收益率。

证明：B公司的资产负债率（RDA）和股东权益比率（REA）分别为：

RDABD/PVBD/(DSEB)k/(1k)REABSEB/PVBSEB/(DSE)1/(1k)

由于公司所有税前收益均优先用于分派股息，而且市场有效性保证了股票的价格反映股票价值。则由股票收益现值模型可得A、B两公司的股票预期收益率rA和rB分别满足：

MPAEBIT/SAEBIT jSA*rAj1(1rA)(EBITR*D)/SBEBITR*D j(1rB)SB*rBj1MPB同时EBIT>r*PVB，因为这表示即使公司全部举债经营，公司产生的税息前收益也足够支付利息，也就是说股票的收益率大于债券的收益率，由于系统风险和预期收益相匹配的结果导致这个不等式必然成立。故可推导出：

rBEBITr*DEBITr*DEBITEBITEBITrA，证毕。

SEBPVBDPVBPVASA*MPAMM定理第一命题推论三：

股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下，债券转为股票之后，公司股东的每股盈利也会下降。证明：A、B两公司每股盈利分别为：

EAEBIT(EBITR*D);EB⑤ SASB将④代入⑤的第二式得： EB(EBITR*D)(1k)(EBITR*D)k*EBIT(1k)*R*D⑥ EASBSASA由于EBIT>r*PVB，再将前面RDAB定义式代入，可以推得：

kEBITk*EBIT(1k)*R*D(1k)(EBITR*D)(1k)*D(r)0⑦

1kPVB由⑥⑦得：EBEA，证毕。

注：数学基础非常少的人有可能会觉得上述三个推论感性理解上有相互矛盾的地方，故须深入思考现实过程。

1.3

MM定理第二命题：

公司加权平均资本成本（WACC）与公司的资本结构无关。

证明：由于公司A仅有股权融资，故WACCArA MM定理第二命题及其推论

WACCBrBSEBDEBITEBITrrA①，证毕。PVBPVBPVBPVAMM定理第二命题推论：

有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定价和单证券定价模型有点像啊，呵呵）

证明：由①（重新编号）得：

rB2 PVBr*DDrArA(rAr)rAk(rAr)，证毕。SEBSEBSEB有税收条件下的MM定理 2.1

假设条件

考虑税收，其他假设与前面相同。有税收条件下的MM定理仅一个定理，有四个推论。

2.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。

证明：假定A、B两公司的所得税税率都是T（固定税率制，累进税率制等也一样的），那么两公司的税后收益（EAT）分别为：

EATA(1T)*EBIT

EATB(1T)*(EBITr*D)r*D(1T)*EBITT*r*DEATA，证毕。

其中T*r*D即税盾效应，与A公司税后盈利相比，这是B公司多出来的部分，这是由于B公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A公司每年产生的现金流EBIT都要交所得税，而B公司中EBIT仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。或者也可以理解为没有负债的公司举债时，政府需要把原来征的税的一部分退给公司的债主，或者说举债成本里T*r是政府买单的（机会成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1T)*r，这是从金融的角度或者说机会成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差别一样，而证券定价的基准正是从金融的角度给出才能准确。

显然A、B两公司的税前价值仍然一样，相当于不考虑税收。我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收情况下A、B两公司的市场价值分别为：

PVA/PVA(1T)

(1T)r*PVBr*D)DPVA/D(1)PVA/① EBITEBIT(1T)r*PVB)叫做税盾的市场价值。其中D(1EBITPVB/PVB(1T)(1

MM定理第一命题推论一：

在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM定理的命题一的推论二仍然成立。

证明：考虑税收，A公司股票预期收益率为：

/rAEBIT(1T)EBIT(1T)EBIT(1T)rA② //SA*MPAPVA(1T)PVA由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和①（重新编号）得B公司股票的预期收益率为：

rD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rD1TrB///(1T)*rD*PVBrDSB*MPBPVBDPVA(1)PVA/EBITEBITEBITrD//再由②得：rBrArDrDPVA(1T)(1)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足够付利息，保//证不破产），故rB，证毕。rA

MM定理第一命题推论二：

考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍然成立。

证明：A、B两公司每股盈利分别为：

/EA(1T)EBIT/(1T)(EBITrD)rD④;EBSASB将第一部分第一命题推论一下面的④代入④得：

/EB(1k)(1T)(EBITrD)rDSA/EATrDk(1T)(EBITrD)rDSA/EA

因EBIT>rD，故上不等式成立，证毕。

MM定理第一命题推论三：

在考虑税收情况下，WACC与公司资本结构有关。（证略）

根据CAPM模型，有税收后的贝塔系数/和无税收情况下的贝塔系数的关系为/(1(1T)D)（证明从略），由此得出股权预期收益，然后再根据公司计算出SEWACC，显然WACC是受资本结构影响的。MM定理第一命题推论四：

在考虑税收情况下，有负债的公司的权益资本成本仍然大于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本，风险补偿的形式也更复杂（证明如③）。

注：一个延伸，PV/PV(1(1Tc)(1Ts))D，Tc表示企业所得税率，Ts表示股票收入的税

1Td率，Td表示利息收入的税率，个人可试着证明一下子。

公司税MM定理命题二

在考虑所得税情况下，负债企业的权益资本成本率(KSL)等于同一风险等级中某一无负债企业的权益资本成本率(KSU)加上一定的风险报酬率。风险报酬率根据无负债企业的权益资本成本率和负债企业的债务资本成本率(KD)之差和债务权益比所确定。其公式为：

KSL=KSU*(1-T)+(KSU-KD)*(1-T)*D/SL 式中：D — 有负债企业的负债价值； SL —有负债企业的权益价值。T—公司税率 在命题一的基础上，风险报酬考虑了所得税的影响。因为(1一T)总是小于l，在D/SL比例不变的情况下，这一风险报酬率总小于无税条件下命题二中的风险报酬率。由于节税利益，这时的股东权益资本成本率的上升幅度小，或者说，在赋税条件下，当负债比率增加时，股东面临财务风险所要求增加的风险报酬的程度小于无税条件下风险报酬的增加程度，即在赋税条件下公司允许更大的负债规模。

第四篇：高数中的重要定理与公式及其证明(二)

在这里，没有考不上的研究生。

高数中的重要定理与公式及其证明

（二）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f(x)0，则有f(x)dx0 ab

推论：ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx；aabb

ⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：m(ba)f(x)dxM(ba)ab

【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。

7）定积分中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式成立：

b

af(x)dxf()(ba)

【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。

跨考魔鬼集训营01

在这里，没有考不上的研究生。

8）变上限积分求导定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(x)dx在[a,b]上ax

可导，并且它的导数是

dx'(x)f(x)dxf(x),axb dxa

设函数F(x)u(x)

v(x)f(t)dt，则有F'(x)f(u(x))u'(x)f(v(x))v'(x)。

【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。

9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)是ab

f(x)的原函数。

【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。

10）费马引理：

设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)0

【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。

11）罗尔定理：

如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()0。

【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过

在这里，没有考不上的研究生。

程见教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()

【点评】：同上。

13）柯西中值定理：

如果函数f(x)和g(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

f'()f(b)f(a)那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得'。g()g(b)g(a)f(b)f(a)。ba

【点评】：同上。

第五篇：2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。