考研高数局部保号性在定理证明中的应用

第一篇：考研高数局部保号性在定理证明中的应用

Born To Win

考研数学：局部保号性在定理证明中的应用

学习函数极限的性质的时候，有一个重要的性质叫做函数极限的局部保号性，也称为局部保序性，今天跨考教育数学教研室邵伟如老师为大家具体讲解局部保号性在定理证明中的应用知识。

函数极限的局部保号性定理内容为：如果limf(x)A,且A0(或A0)，那么存在xx00xx0常数0,使得当时，有f(x)0(或f(x)0),即一个函数极限的符号确定的话，求极限的函数在一个邻域内与该点处极限保持相同的符号。这个定理还有一个常用的x(x0,x0)(x0,x0)时，推论：若存在常数0,使得当有f(x)0(或f(x)0)，且极限xx0limf(x)存在，则

xx0limf(x)0(或0),即在某点的去心邻域内，函数的符号确定的话，那么其极限的符号在这一去心邻域内也能确定。这个定理沟通了函数与极限之间符号之间的关系，所以凡是讨论到极限的符号或函数的符号问题的时候都应该想到应用这个定理去解决。那么，在高等数学中哪些考点哪些定理是应用了局部保号性的呢？下面邵老师为大家做一个整理。

与局部保号性联系最紧密的是函数的极值部分的定理，大家知道，在驻点是可疑的极值点，要判定驻点是否为极值点，有两个方法，一个的极值第一充分条件，一个是极值第二充分条件，如果函数二阶可导的话，显然极值第二充分条件有不可替代的优势，尤其是极值问题与隐函数结合考查的时候。

'''xf(x)0f(x0)0,f(x)00第二充分条件的内容是：设函数在处存在二阶导数且，''''xxf(x)0,f(x0)0,f(x)f(x)000则在处取得极小值；②若则在处取得极大值；③若x则f(x)在0处是否取极值未知.这个定理涉及到了导数的符号问题，所以是依靠局部保号性来证明的。与这个定理平行的另一个定理是判定拐点的第二充分条件，定理内容是：设函

'''“xf(x)0,f(x0)0,则点(x0,f(x0))为曲线f(x)00数三阶可导且在点处有且yf(x)的拐点。这个定理中一样涉及到导数的符号问题，所以仍是由局部保号性证明的。

再来看一道真题，设函数f(x)有二阶连续导数，f'(0)0,limx0f”(x)1,x则讨论f(0)是否为极值点，(0,f(0))是否为拐点。这道题非常典型，已知极限的符号，讨论函数的符人生也许就是要学会愚忠。选我所爱，爱我所选。

Born To Win

f“(x)0,x号，明显的局部保号性的使用标志。由极限等于1可知，函数极限在0的左右邻域内符号为正，那么根据保号性，在这一去心邻域内，要求极限的函数而分母恒大于0，所以可以断定，分子f”(x)在去心邻域内大于0，此时不能根据二阶导函数大于0就断定0点为极小值点，因为第二充分条件需要的是f"(0)的符号，不是去心邻域内导函数的符号，那么接下去就根据二阶导函数的符号可以得到一阶导函数在去心邻域内单调递增，而f'(0)0，结合二者可知在0点的左右两侧邻域，一阶导函数符号发生了改变，先减后增，因此0这一点为极小值点，此题得解。从整个分析过程可知，第一步由局部保号性得到的结论在解题过程中起到了至关重要的作用。

经过以上分析我们需要掌握两点：

1、局部保号性定理内容及结论；

2、何时需要考虑使用局部保号性去解决问题。

文章来源：跨考教育

人生也许就是要学会愚忠。选我所爱，爱我所选。

第二篇：2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。

第三篇：高数中需要掌握证明过程的定理

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。1）常用的极限

ln(1x)1cosx1ex1ax1(1x)a1lim1，lim lim1，limlna，lima，x0x0x0x0x0xx22xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

x)e与过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x01xsinx1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x0x巧。证明： lim1ln(1x)ln(1x)lim1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim1。

x0x0x0xx

ln(1x)ex11中，令ln(1x)t，则xet1。由于极限lim1：在等式limx0x0xx过程是x0，此时也有t0，因此有limt0t1。极限的值与取极限的符号et1ex11。是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得limx0x

ax1ax1exlna1limlna：lim利用对数恒等式得lim，再利用第二个极限可x0x0x0xxxexlna1exlna1ax1lnalimlna。因此有limlna。得limx0x0xlnax0xx(1x)a1lima：利用对数恒等式得 x0x(1x)a1ealn(1x)1ealn(1x)1ln(1x)ealn(1x)1ln(1x)limlimalimalimlimax0x0x0x0x0xxaln(1x)xaln(1x)x上式中同时用到了第一个和第二个极限。

xx2sinsin1cosx1cosx121lim21。limlimlim：利用倍角公式得 x222x0x0x0x0xx22x22222）导数与微分的四则运算法则

(uv)'u'v', d(uv)dudv(uv)'u'vuv', d(uv)vduudv

u'vu'uv'uvduudv(), d()(v0)22vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则

设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：

f((x))【点评】：同上。4）反函数求导法则

'f'(u)'(x)或dydydu dxdudx设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

11dx1 或''dyf(x0)f(g(y0))dydx【点评】：同上。g'(y0)5）常见函数的导数

xx'1，'sinx'cosx，cosxsinx，lnxx''11'，logax，xxlnaxee，axexlna '【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：

f(xx)f(x)'，代入该公式得 xx1：导数的定义是f'(x)limx0xxx(1)1(1)1(xx)x'1xxxxlimx1。最后一xlimx0x0xxxx(1x)a1a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。步用到了极限limx0xx0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

sin(xx)sinx''lim，由和差化积公式得sinxcosx：利用导数定义sinxx0xxx2cos(x)sinsin(xx)sinx22cosx。cosx'sinx的证明类limlimx0x0xx似。

xln(1)1ln(xx)lnx'x1。limlimlnx：利用导数定义lnx'x0x0xxxx1lnx'的证明类似（利用换底公式logax）。logaxxlnalna

eex'x：利用导数定义ex'xe(xx)ex1xxex'limlimee。aexlna的x0x0xx证明类似（利用对数恒等式axexlna）。

6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f(x)0，则有f(x)dx0

ab推论：ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx；

aabbⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：m(ba)f(x)dxM(ba)

ab【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7）定积分中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式成立：

baf(x)dxf()(ba)

【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8）变上限积分求导定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(x)dx在[a,b]上

ax可导，并且它的导数是

dx'(x)f(x)dxf(x),axb

dxa设函数F(x)u(x)v(x)f(t)dt，则有F'(x)f(u(x))u'(x)f(v(x))v'(x)。

【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函数。

【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：

设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)0

【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()0。

【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()【点评】：同上。13）柯西中值定理： 如果函数f(x)和g(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

f(b)f(a)。

baf'()f(b)f(a)那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得'。g()g(b)g(a)【点评】：同上。14）单调性定理：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。

如果在(a,b)上有f'(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递增。如果在(a,b)上有f'(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递减。

【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：

仅证明f'(x)0的情形，f'(x)0的情形类似。

x1,x2(a,b)，假定x1x2

则利用拉个朗日中值定理可得，x2,x2使得f(x1)f(x2)f'(x1x2)。由于f'0，因此f(x1)f(x2)0。

由x1,x2的任意性，可知函数f(x)在[a,b]上单调递增。

14）(极值第一充分条件)

设函数f(x)在x0处连续，并在x0的某去心邻域U(x0,)内可导。

ⅰ）若x(x0,x0)时，f'(x)0,而x(x0,x0)时，f'(x)0,则f(x)在x0处取得极大值

ⅱ）若x(x0,x0)时，f'(x)0,而x(x0,x0)时，f'(x)0,则f(x)在x0处取得极小值；

ⅲ）若xU(x0,)时，f'(x)符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值； 【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15）(极值第二充分条件)

设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f'(x0)0，那么 ⅰ）若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极小值； ⅱ）若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极大值。

【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。证明：

仅证明f''(x0)0,的情形，f''(x0)0,的情形类似。

由于f(x)在x0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在x0的某领域内成立f(x)fx0f'x0xx0f''x0由于f'(x0)0，因此

xx0222oxx0 f(x)fx0f''x0xx0222oxx02''oxx02fx0fx0xx022xx0

2''oxx0fx0由高阶无穷小的定义可知，当xx0时，有又由于0，0，22xx02oxx0fx00。因此在x0的某领域内成立22xx0''2''oxx02fx0fx。进一步，我们有fx0xx0022xx0也即，在x0的某领域内成立f(x)fx0。由极值点的定义可知f(x)在x0处取得极小值。16）洛必达法则

f'(x)设函数f(x),g(x)在xa的空心邻域内可导，g(x)0，且lim'A

xag(x)'则有limxaf(x)A，其中A可以是有限数，也可以是,。g(x)【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。

第四篇：2012年考研数学：高数中的重要定理与公式及其证明(一)

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）文章来源：跨考教育

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

1）常用的极限

lim

ln(1x)

x

1，lim

e1x

x

x0x0

1，lim

a1x

x

x0

lna，lim

(1x)1

x

a

x0

lima，1cosx

x

x0



【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x)xe与

x0

lim

sinxx

x0

1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技

巧。证明：

lim

ln(1x)

x

x0

1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim

x0

ln(1x)

x

x0

1。

lim

e1x

x

x0

1：在等式lim

ln(1x)

x

x0

1中，令ln(1x)t

te1

t，则xet1。由于极限

过程是x0，此时也有t0，因此有lim

t0

1。极限的值与取极限的符号

是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得lim

lim

a1xe

x

e1x

x

x0

1。

x0

lna：利用对数恒等式得lim

a1x

x

x0

lim

e

xlna

1

x0

x

x，再利用第二个极限可

xlna

得lim

1

x0

x

lnalim

e

xlna

1

x0

xlna

lna。因此有lim

a1x

x0

lna。

lim

(1x)1

x(1x)1

x

a

a

x0

a：利用对数恒等式得

lim

x0

lim

e

aln(1x)

1

x0

x

alim

e

aln(1x)

1ln(1x)

x

x0

aln(1x)

alim

e

aln(1x)

1

x0

aln(1x)

lim

ln(1x)

x

x0

a

上式中同时用到了第一个和第二个极限。

x

2sinsin

1cosx1cosx11limlimlim：利用倍角公式得lim222

x0x0x0x2xx2x0x

2

x

1

2。

2）导数与微分的四则运算法则

(uv)uv,d(uv)dudv(uv)uvuv,d(uv)vduudv()

vu

''

'

'

'

'

'

vuuvv

''

uvduudv,d()(v0)2

vv

【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。

而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则

设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：

f((x))

【点评】：同上。4）反函数求导法则

'

f(u)(x)或

''

dydx



dydududx

设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

g(y0)

'

1f(x0)

'



1f(g(y0))

'

或

dxdy



1dydx

【点评】：同上。

5）常见函数的导数

x



'

x

'

1，'

sinxlnx

'

cosx，cosxsinx，1x

x

，logax

'

'

1xlna，e

x



'

e，axexlna

【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：

x



'

x

1

：导数的定义是f'(x)lim





f(xx)f(x)

x，代入该公式得)1

x

1



x0

x





'

lim

(xx)x

x

(1x



x

x0

xx)1

x

1

x0



(1lim

x

xxx

。最后一

步用到了极限lim

x0

(1x)1

x

a

x0

a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

'

sinxcosx：利用导数定义sinxlim

'

sin(xx)sinx

x，由和差化积公式得

x0

x0

lim

sin(xx)sinx

x

2cos(x

lim

x0

xx)sin

x

cosx。cosx'sinx的证明类

似。

lnx

'



'

1x

：利用导数定义lnxlim

1xlna

'

ln(xx)lnx

x

lnxlna

ln(1

lim

x0

x)

1x

x0

x。

logax的证明类似（利用换底公式logax）。

e

x

'

e

x

：利用导数定义e

x



'

lim

e

(xx)

e

x

x0

x

lime

x0

x

e

x

1

x

e。a

x

x



'

elna

x的证明类似（利用对数恒等式axexlna）。

第五篇：中值定理在不等式证明中的应用

摘 要

本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍.关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 录

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）2.2.2 变量取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（4）2.2.3 辅助函数构造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7）3.2 利用泰勒公式证明不等式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7）3.2.1 中点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7）3.2.2 端点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9）3.2.3 极值取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9）3.2.4 任意点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11）4 柯西中值定理在不等式证明中的应用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理证明不等式……………………………………………（14）5 积分中值定理在不等式证明中的应用 ………………………………………（16）

5.1 积分中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（16）5.2 利用积分证明不等式………………………………………………………（16）结束语 ……………………………………………………………………………（18）参考文献 …………………………………………………………………………（19）致谢 ………………………………………………………………………………（20）引言

不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态.此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法国数学家，力学家，文学家）.拉格朗日中值定理 设函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点x0，使得

f'x0f(a)f(b)(1)

ba或

fbfaf'x0ba.(2)拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，即罗尔定理是拉格朗日定理当fafb时的特殊情形.拉格朗日定理中，由于ax0b，因而可将x0表示为

x0a(ba)，01.这样（1）式还可表示为

fbfaf'aba，01.(3)若令bah，则有

fahfaf'ahh，01.（4）一般称式（1）、（2）、（3）、（4）式为拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 证明不等式sinx1-sinx2x1-x2成立.分析 首先要构造一个辅助函数fx；a 由欲证形式构成“形似”的函数区间.b 运用拉格朗日公式来判断.证明 设fxsinx,xx1,x2.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2f'x1x2，x1,x2.等式两边同取绝对值，则有

sinx1sinx2f'x1-x2.而

fsin'xxcos.又因为 0cos1.因此，就得到

sinx1-sinx2x1-x2.证毕.评注 此题如果单纯地应用初等数学的方法来证明，会难以得出结论，而应用了拉格朗日公式，再利用三角函数的简单知识，问题就游刃而解了.例2.2 证明不等式arctanx2arctanx1x2-x1，（x2x1）成立.分析 此题利用反三角函数的有关知识，构造一个辅助函数fxarctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以轻轻松松地解出此题.证明 设fxarctanx,fx在x1,x2上满足拉格朗日定理的全部条件，因此有

arctanx2arctanx11（x2x1），x0x1,x2.21x0因为11，可得 21x0arctanx2arctanx1x2x1.例2.3[3] 证明pbp1(ab)apbppap1ab,(p1,ab0).证明 设函数，f(x)xp，则，f(a)f(b)apbp．不难看出f(x)在区间b,a上满足拉格朗日定理条件，于是存在b,a，使

f(a)f(b)(ab)f'().由于f'xpxp1，所以f'()pp-1，上式为

apbp(ab)pp1.因为xp当p1时为单调增函数，ba，所以

bp-1p-1ap-1.两边同时乘以pab，则得

pbp1(ab)pp1(ab)pap1(ab)，即

pbp1(ab)apbppap1(ab)，证毕.2.2.2 变量取值法

例2.4 证明不等式

babb-aln 成立，其中ba0.baa分析（1）根据题中式子构造一个相似函数，fxlnx和定义区间a,b.（2）利用对数的四则运算法则，将对数式整理成拉格朗日中值定理所满足的形式，从而得出结论.证明 设fxlnx，xa,b.由拉格朗日公式（3），则有

lnbb-alnb-lna.（1）aab-a由不等式01，可推得

aab-ab及代入（1），即

babb-aln.证毕.baab评注 解此题关健在于观察要证明的不等式中把对数式ln拆开成ab-abab-a.ba(ba)alnb-lna，再利用拉格朗日的公式来轻松地得出结论.例2.4 证明不等式

hln1hh，对一切h-1，h0成立.1h分析 此题首先利用对数的有关知识，构造了一个辅助函数lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此题.证明 由拉格朗日公式（4），令a1，f(x)lnx.则有

ln1hln1h-ln1h1h01.，（1）

当h0时，由不等式 01，可推得

11h1h及

hhh.（2）1h1h当-1h0时，由不等式01，可知

11h1h0.由于h0，可推（2）式成立，将（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.评注 证明此种不等式的关健是构造一个辅助函数，再利用初等数学的有关知识来证明不等式.例2.5 证明若x0，则ex1x.证明 令f(x)ex，则f(x)在R上连续、可导，且f'(x)ex.（0,x）情形一 当x0时，由拉格朗日定理知使

exe0e(x0).整理有exex.因为e1，所以有exx.（x,0）情形二 当x0时，由拉格朗日中值定理知，使

e0exe(0x).整理有exxe.因为此时0e1，三边同时乘以x，0xex 所以exx成立.综上所述，当x0时，exx成立.从以上例题可以发现：灵活构造“a,b”的取值，不仅可使证明过程简单，有时甚至是解题的关键.2.2.3 辅助函数构造法

例2.6[4] 设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，又f(x)不为形如，使f'()AxB的函数．证明至少存在一点（ab）证明 做辅导函数

g(x)f(a)则gx为形如AxB的函数．

因为f(x)不为形如AxB的函数，所以至少存在一点c(a,b)，使

f(b)f(a)(xa)，baf(b)f(a).ba

f(c)g(c),但f(a)g(a)，f(b)g(b).情形一 f(c)g(c)，此时

f(b)f(a)f(a)(ca)f(a)f(c)f(a)g(c)g(a)f(b)f(a)ba

cacacaba即

f(c)f(a)f(b)f(a).caba（a,c）因为a,ca,b，所以由中值定理知1，使

f(c)f(a)，caf(b)f(a)从而有 f'(1).ba f'(1)情形二 f(c)g(c)，此时

f(b)f(a)f(b)f(a)(ca)f(b)f(c)g(b)g(c)baf(b)f(a)，bcbcbaba即

f(b)f(c)f(b)f(a).bcba因为c,ba,b，所以由拉格朗日中值定理，2(c,b)使得

f'2从而有

f'2fbfc，bcfbfa.ba综上所述，在a,b内至少有一点使原式成立.证毕.许多证明题都不能直接应用定理进行证明．利用拉格朗日中值定理证明问题时，如何构造辅助函数，是证明的关键.泰勒中值定理在不等式证明中的应用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的开区间a,b内有直到n1阶导数，则对任一点x0(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n1)()2nf(x)f(xo)f'(xo)(xx0)(xx0)(xxo)(xx0)n12!n!(n1)!其中是x0与x之间的某个值，上式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函数展开点x(a,b)的不同情况来证明不等式.3.2 利用泰勒公式证明不等式 3.2.1 中点取值法

选区间中点展开是较常见的一种情况，然后在泰勒公式中取x为适当的值，通过两式相加，并对某些项进行放缩，便可将多余的项去掉而得所要的不等式.下面以实例说明.例3.1[5] 设在区间a,b内，f''(x)> 0，试证：对于a,b内的任意两个不同点x1和x2，有 f(x1x2f(x1)f(x2)).22f''xx02，2!证明 将f(x)分别在a及b处展开，得

fxfx0f'x0xx0其中是x0与x之间的某个值.上式中分别取xx1及x2，f''1x1x02,x1,x0； 2!f''2x2x02,x0,x2.fx2fx0f'x0x2x02!fx1fx0f'x1x0上面两式相加，得

fx1fx22fx0f''1x1x02f''2x2x02.2!2!因为f''(x)0，所以，fx1fx22fx0，即

xxfx1fx2 f12.22注(1)若题中条件“f''(x)0”改为“f''(x)0”，而其余条件不变，则结论改为

xxfx1fx2 f12.22(2)若例1的条件不变，则结论可推广如下：

对a,b内任意n个不同点x1,x2xn及1，2，,n(0,1)且11，有

i1nnn fixiifxi.i1i1例3.2 设函数f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，且f(ab)0，证明 2abMbafxdx,其中Mmaxf''x.axb243证明 将f(x)在x0ab处展开，得 2 fxfx0f'x0xx0其中是 x0与x之间的某个值.因为f(f''xx02.2!ab)0，所以有 2 fxf'x0xx0上式在a,b作定积分，然后取绝对值

f''xx02，2!abfxdxf''2f'xxxxx000dx a2!b1 2baf''x-x02Mdx2M3x-xdxb-a.0ab224 即

bafxdxMba3.2

3.2.2 端点取值法

当条件中出现f'(a)f'(b)0，而欲证式中出现厂f(a),f(b),f''()，展开点常选为区间两端点a,b,然后在泰勒公式中取x为适当的值，消去多余的项，可得待证的不等式.例3.3 函数f(x)在区间[a，b]上二阶可导，且f'(a)f'(b)0，证明：在a,b内至少存在一点，使得f''4fbfaba2.证明 将f(x)分别在a及b处展开，得

f''1xa2,1a,x； 2!f''2xb2,2x,b.fxfbf'bxb2!ab上面两式中取x，fxfaf'axabaf''1baab ffaf'a；

22!222baf''2baba ffbf'b.222!22上面两式相减，并由f'(a)f'(b)0，得

2bafbfa8(ba)2f''2f''1.f''2f''18 记

f''maxf''1f''2.其中，1或2.于是，有

2bafbfa4f'',即f''4fbfaba2.3.2.3 极值取值法

当题中不等式出现函数的极值或最值项，展开点常选为该函数的极值点或最

值点.例3.4[6] 设函数f(x))在区间a,b内二阶可导，且存在极值f(c)及点p(a,b)，使f(c)f(p)0，试证：至少存在一点(a,b)，使f'(c)f''()0.证明 将f(x)在x0c处展开，得

fxfcf'cxc其中， 介于c与x之间.上式取xp，并由f'(c)0，得

fpfcf''pc2，2!f''pc2，2！其中介于c与p之间.两边同乘以f(c)，得

fpfcf2cf''2fcpc，2!ab（1）当x0a,时，上式取xa，得

2fx0即

f''ax02baf'',a,x0.2!82f''8ba2fx0.ab（2）当x0a,时，上式取xb，同理可得

2f''8ba2fx0,x0,b.由(1)及(2)得，存在(a,b)，使得

f''8maxfx.ba2xa,b再由f''(x)的连续性，得

maxf''xxa,b8ba2xa,bmaxfx

注(1)当题中条件“连续”去掉，而其他条件不变时，结论可改为在a,b内至少存在一点，使得

f''8ba2xa,bmaxfx成立

(2)当题中条件添加maxf(x)0时，结论可改为：在a,b内至少存在一点

xa,b，使得f''()8maxf(x)成立.2xa,b(ba)3.2.4 任意点取值法

当题中结论考察f(x),f'(x),f''(x)的关系时，展开点常选为该区间内的任意点，然后在泰勒公式中取x为适当的值，并对某些项作放缩处理，得所要的不等式.例3.5[7] 函数f(x)在区间a,b上二阶可导，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B为非负常数，试证：f'x2ABba，其中x(a,b).ba2f''xx02，2!证明 将f(x)在x0(a,b)处展开，fxfx0f'x0xx0其中介于x0与x之间.上式中分别取xa及b，fafx0f'x0xx0fbfx0f'x0xx0f''1ax02,1a,x0； 2!f''2bx02,2x0,b.2!上面两式相减，得

fbfaf'x0ba122f''2bx0f''1ax0.2

即

f'x0fbfa122f''2bx0f''1ax0.ba2ba故

f'x01fbfa1f''2bx02f''1ax02 ba2ba2ABbx02x0a2 ba2ba  2ABb-a.b-a22AB即f'xba，再由x0的任意性，ba2故有

f'x2ABba，其中x(a,b).ba2例3.6 函数f(x)在区问a,b上二阶可导，且f(a)f(b)0，Mmaxf''(x)，试证x[a,b]baMbafxdx.123证明 将f(x)在ta,b处展开，fxftf'txt其中车于t与x之间.上式中分别取xa及b，faftf'txtf''1at2,1a,t； 2!f''2bt2,2t,b.fbftf'txt2!f''xt2，2!

上边两式相加，得

ft1122f'tab2tf''1atf''2bt.24上式两端在a,b上对t作积分，ba1b1b22ftdtf'tab2tdtf''1atf''2btdt

2a4ab1b22ftdtf''1atf''2btdt.a4a于是有

ba1b22ftdtf''1atf''2btdt，8aba1b2ftdtaf''1atdt8b2 [f''bt]dt2abMb2 aatdt8即

Mba.btdta1232baMbafxdx.123注 从不等式的特点出发，应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点，已知区间的两端点，函数的极值点或最值点，已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式.柯西中值定理在不等式证明中的应用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 设函数fx，gx满足

（1）在闭区间a,b上连续；

（2）在开区间a,b内可导；

（3）对任一xa,b有gx0，则存在a,b，使得fbfa/gbga=f'/g'.4.2 利用柯西中值定理证明不等式

例4.1 设函数fx在-1,1内可微，f00,f'x1，证明：在-1,1内，fx1.证明 引入辅助函数gxx,在0,x或x,o上x1,1应用柯西中值定理，得

fx-f0f'f'.gx-g01

因为f00,g00,且fx1,所以

fxf1fxx1.gx例4.2[8] 证明不等式1xlnx1x21x2x0.证明 令fxxlnx1x2,gx1x21,则上式转化为fxgxx0.由于上应用柯西中值定理，得



fxfxf0f,gxgxg0g于是fxgx又转化为f'g'.因为

2ln1fg1212112ln12

1而当x0时，12ln120,所以

f1fgfxgx, g即

1xlnx1x21x2.例4.3[9]

若0x1x2x2x1

2，求证：ex2ex1cosx1cosx2ex1.x1ex2ex1ex1，证明 证明eecosx1cosx2e，实际上只需证

cosx1cosx2设ftet,gtcost,则ft,gt在x1,x2上，满足柯西中值定理条件，所以

fx2fx1f'c cx1,x2.gx2gx1g'cex2ex1ee即

0x1cx2.cosx2cosx1sinc2ex2ex1cosx1cosx2ec1cosx1cosx2eccosx1cosx2ex1.sinc其中用到11及ex是单调增加函数.sinc 积分中值定理证明不等式

5.1积分中值定理

定理5.1(积分第一中值定理)若fx在区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点使得

fxdxfba,ab.

ab 定理5.2(推广的积分第一中值定理)若fx,gx在闭区间a,b上连续，且gx在a,b上不变号，则在a,b至少存在一点，使得

fxgxdxfgxdx,ab.aabb5.2 利用积分中值定理证明不等式

例5.1[11]

11x91dx.证明

1010201xb 证明 估计积分fxgxdx的一般的方法是:求fx在a,b的最大值Ma和最小值m，又若gx0，则

mgxdxfxgxdxMgxdx.aaabbb本题中令

fx因为

111，x0,1.21x10x1.,gxx90，1x所以

111119x919dxxdxdxx.0001010221x例5.2 证明2e14ex2xdx2e2.02 证明 在区间0,2上求函数fxex2x的最大值M和最小值m.fx2x1ex2x，令fx0，得驻点x1.21112上的最小值，而f2e2为比较f，f0，f2知fe4为fx在0，222上的最大值.由积分中值定理得 fx在0，e即

14200exxdxe220，222eex2xdx2e2.0142注 由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如1和2例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.结束语

深入挖掘渗透在这一定理中的数学思想，对于启迪思维，培养创造能力具有重要 意义.伟大的数学家希尔伯特说“数学的生命力在于联系” ．数学中存在着概念之间的亲缘关系，存在着理论结构各要素之间的联系，存在着方法和理论之间的联系，存在着这一分支邻域与那一分支邻域等各种各样的联系，因此探索数学中各种各样的联系乃是指导数学研究的一个重要思想．实际上，具体地分析事物的具体联系，是正确认识和改造客观世界必不可少的思维方式在一定的意义上说，数学的真正任务就在于揭示数学对象之间、数学方法之间的内在固有联系，这一任务的解决不断推动数学科学向前发展．

中值定理在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明.今后应当注重研究中值定理各定理之间的联系，更好的应用中值定理解决不等式的证明.中值定理是一条重要定理，它在微积分中占有重要的地位，起着重要的作用，参考文献

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从2008年9月到现在，我在黄淮学院已经渡过接近四年的时光．在论文即将完成之际，回想起大学生活的日日夜夜，百感交集.在大学学习的四年时间里，正是老师们的悉心指导、同学们的热情关照、家人的理解支持，给了我力量，从而得以顺利完成学业．在此对他们表示诚挚的谢意!本论文是在导师钟铭的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.他对数学理论在经济，金融领域中的应用的想法和建议，使学生受益匪浅、铭刻终生.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

感谢数学科学系其他老师讲授的数学基础课程，为我夯实了数学研究的理论基础，他们是李东亚老师、魏本成老师、庞留勇老师、侯亚林老师等．感谢数学系全体领导、老师、同学创造了一个宽松，自由的学习环境.此外我还感谢室友冯克飞、王宁对我的论文完成过程中给我的指导，她们深厚的数学功底以及对数学应用软件操作等方面的知识给了我很大的帮助．

最后深深地感谢我的父母，把最诚挚的感谢送给他们，感谢他们无微不至的关心和支持，感谢他们的无私奉献以及为我所做的一切．