《计量经济学》课程中有关的证明过程

第一篇：《计量经济学》课程中有关的证明过程

有关的证明过程

1． 线性特性

xiyixi(YiY)ˆ222xx

ii

Y2ixixiYxi2xiKiYi

ˆ1Yˆ2XYXKiYi 11YiKiXYiKiXYinn

2． 无偏性

ˆ2KiYiKi(12Xiui)Ki1Ki2XiKiui 1Ki2KiXiKiui

xi（XiX)0Ki222xixixi其中：

xi(XiXX)KiXi2Xi2xixi

xixixi(XiX)xiX2x

ixi2Xxi

xi211xi

xi2ˆ22Kiui 故有：ˆ2E(2Kiui)2KiEui2 E1ˆ1KiXYin

1KiX12Xiuin

1n2Xinuin

1KiX2KiXXiKiXui

12Xu1XKi2XKiXiXKiui

11(XKi)ui

n1ˆE11(KiX)Eui1 n3． 有效性 首先讨论参数估计量的方差。

ˆ2)E(ˆ2E(ˆ2))2 Var(ˆ)2E((E(222Kiui2(K1u1K2u2Knun)(K1u1K2u2Knun)Kiui)2)E(2Kiui)2(Kiui)2KiKjuiujij

E(Kiui)2E(K2iui)EKiKjuiujij

K2i2Eui22xi2xi2xi2 2Var(即：ˆ

2)xi2

同理有：

Var(ˆ)2Xi21nxi2

Var(ˆ1)E(ˆ1E(ˆ1))2E(1nKiXui)2

221nKiXui1nKiX2ui

ˆ1)2Var(211KiXKjXuiujnnij

1KXin

2KiX(22Ki2X2)n n1

Ki222Xnn22Ki2X2

n2(Xi)2n2xi2

2n22n(x)(X)2iixi2

n(2Xi2nX)n221n(Xi)2xi2

2nxi2

Xi2显然各自的标准误差为：

ˆ)se(2ˆ)se(1xi2，nxi2

Xi2标准差的作用：衡量估计值的精度。由于σ为总体方差，也需要用样本进行估计。

ˆ2ei2n2

证明过程如下：

回顾:Yi12Xiui

因此有： Y12Xu

那么：(YiY)yi(12Xiui)(12Xu)

2xi(uiu)

ˆ2xi，根据定义：eiyi（实际观测值与样本回归线的差值）则有：

ˆ2xi(uiu)(ˆ22)xi ei(2xi(uiu))两边平方，再求和：

ei2(uiu)2ˆ22)xi2(uiu)(ˆ22)xi)2((

ˆ22)2(xi2ˆ22)(uiu)22((uiu)xi

对上式两边取期望有：

E(ei2)ˆ2)2xi2E(2

E(ˆ22(uiu)2)2E(uiu)xi

ABC

A其中：xi22xi222

2BE2ui2nEunnE2(n1ui)

1nE(nui2uiuj)ij1n2(n2)(n1)2

nC2Exiuiuxuxi2iixi

2Exiui2xixi22ˆ22)22E(xi2

22xi2

22

故有：Eei2(n1)2 2Eei2即有：n2，i2令ˆ2en2，则问题得证。

关于ei2的计算：

ei2yi2ˆ22xi2yi2ˆ2xiyi

关于R2R2的证明：

R211R2n1nk1a1R2，其中：当 k1a1

R211R2n1n111R2R2 当k1a1，当0R21时，有：

R2R2R211R2a

R21aaR2

a1R2a1 a11R20

a1。

R2R2

Q.E.D.关于R2可能小于0的证明。设：Yt2Xtut 则有：

Jmine2tminˆ2ˆ2J0ˆ2那么 

2ˆYt2Xt

ˆ2XtXtXtet0

2YtJ0ˆ1但：et0，因为没有存在。

同时，还有：

ˆ2Xe

Yˆ2XtYet

YtYˆ2Xtˆ2Xeet ˆ2XtXete TSS222YYYnYtt

2ˆ2XtXete





2ˆXX2ˆee22XtXete 2tt其中：

XtXeteXteteXete

XteteXt0

n1eeeneentttet0，和

Xtet0

XtXetenXe

则：

222ˆ2ˆ2nXe TSSXXee2tt222222ˆˆˆ2nXe XnXene2t

2t2222222ˆˆˆXene2nXent

2t22X 222222ˆ2ˆˆXenX2Xeett 22考虑到：

222ˆˆ2ˆ2Xee2 nYn2XenX222222ˆˆˆYXeX2Xeet2tt2ttt 2t2222ˆXet

2t 若定义

TSS2ˆ2Yt2nY2Xt222ˆ2ˆ2Xee2et2nX2

2ˆ2RSSTSSXt2

et2

222ˆ2ˆ2Xee2ˆ2RSSTSSnX2Xt2

21ˆn2n

22ˆXeeˆ2Xt2222Xt2

ˆ2n2XtˆXee2ˆ2n222Xt2

ˆ2n2Xt2tsˆXee2ˆ2XtXsn222Xt2

ˆ2n12ˆ2Xt2n2tsˆXee2XtXsn22 可能小于0。参考书：

Dennis J.Aigner Basic Econometrics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.1971,pp85-88

第二篇：计量经济学课程总结

经过一个学期对计量经济学的学习，我收获了很多，也懂得了很多。通过以计量经济学为核心，以统计学，数学，经济学等学科为指导，辅助以一些软件的应用，从这些之中我都学到了很多知识。同时对这门课程有了新的认识，计量经济学对我们的生活很重要，它对我国经济的发展有重要的影响。

计量经济学对我们研究经济问题是很好的方法和理论。学习计量经济学给我印象和帮助最大的主要对EVIES软件的熟练操作与应用,初步投身于计量经济学，通过利用Eviews软件将所学到的计量知识进行实践，让我加深了对理论的理解和掌握，直观而充分地体会到老师课堂讲授内容的精华之所在。在实验过程中我们提高了手动操作软件、数量化分析与解决问题的能力，还可以培养我在处理实验经济问题的严谨的科学的态度，并且避免了课堂知识与实际应用的脱节。虽然在实验过程中出现了很多错误，但这些经验却锤炼了我们发现问题的眼光，丰富了我们分析问题的思路。

计量经济学的定义为：用数学方法探讨经济学可以从好几个方面着手，但任何一个方面都不能和计量经济学混为一谈。计量经济学与经济统计学绝非一码事;它也不同于我们所说的一般经济理论，尽管经济理论大部分具有一定的数量特征;计量经济学也不应视为数学应用于经济学的同义语。经验表明，统计学、经济理 论和数学这三者对于真正了解现代经济生活的数量关系来说，都是必要的，但本身并非是充分条件。三者结合起来，就是力量，这种结合便构成了计量经济学。克莱因(R.Klein)：“计量经济学已经在经济学科中居于最重要的地位”，“在大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已经成为经济学课程表中最有权威的一部分”

计量经济学关心统计工具在经济问题与实证资料分析上的发展和应用，经济学理论提供对于经济现象逻辑一致的可能解释。因为人类行为和决策是复杂的过程，所以一个经济议题可能存在多种不同的解释理论。当研究者无法进行实验室的实验时，一个理论必须透过其预测与事实的比较来检验,计量经济学即为检验不同的理论和经济模型的估计提供统计工具。

在计量经济学一元线性回归模型，我认识到：变量间的关系及回归分析的基本概念，主要包括：

其次有一元线形回归模型的参数估计及其统计检验与应用，包括： 这个公式得给出，以及样本回归函数的随机形式。总的说来，这一节留给我印象最深刻的，便是根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF，即总体回归线与样本回归线之间的关系。除此以外，我也学会了参数的最大似然估计法语最小二乘法。对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好的拟合样本数据，而对于最大似然估计法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。显然，这是从不同原理出发的两种参数估计方法。即：

1.一元回归模型：

关于拟合优度的检验，也就是检验模型对样本观测值的拟合程度。被解释变量Y的观测值围绕其均值的总离差平方和可分解为两个部分：一部分来自于回归线，另一部分来自于随机势力。所以，我们用来自回归线的回归平方和占Y的总离差的平方和的比例来判断样本回归线与样本观测值的拟合优度。这个比例，我们也较它可决系数，它的取值范围是0<=R2<=1。

关于变量的显著性检验，是要考察所选择的解释变量是否对被解释变量有显著的线性影响。所应用的方法是数理统计学中的假设检验。关于置信区间估计。当我们要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似”的替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的概率包含这真是的参数值。这样的方法就是我们所说的参数检验的置信区间估计。当我们希望缩小置信区间时，可以采用的方法有增大样本容量和提高模型的拟合优度。

2.多元回归模型

多元回归分析与一元回归分析的几点不同：

关于修正的可绝系数。我们可于发现，在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响。这样就引出了我们这里说的调整的可绝系数。

关于对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验。F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS。通过比较F值与临界值的大小来判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。计量经济学是一门比较难的课程，其中涉及大量的公式，不容易理解且需要大量的运算，其中需要很好的数学基础、统计基础和自己的分析思考能力，以及良好的计量软件应用能力，所以在学习的过程中我遇到了很多困难。例如异方差的实验，异方差通常发生于横截面数据中，一般是有解释变量的方差与随机误差项的方差成比例。要发现这一问题，我们学习了很多检验，包括park test，Goldfeld-Quant test，White test等。要纠正异方差，常用的方法是WLS，通过对数据的处理能够有效消除异方差的问题。自相关的问题一般见于时间序列数据中，一阶序列相关是指当前的误差项与以前的误差项线性相关。在发生自相关的情况下，我们在进行变量的显著性检验时更倾向于拒绝虚拟假设。发现一阶自相关问题的最重要检验是Durbin-Watson test，这一检验的特点是存在未决区域。纠正自相关的问题，我们学会了GLS和Cochrane-Orcutt迭代法，并在计算机应用中学习了其操作，受益匪浅。但通过这次的实验，我对课上所学的最小二乘法有了进一步的理解，在掌握理论知识的同时，将其与实际的经济问题联系起来。

在目前的学术现状下，要求研究者必须掌握计量的研究方法，这是实证研究最好的工具。用计量的工具，我们才能够把经济现象肢解开来，找到其中的脉络，进而分析得更加清晰。

第三篇：计量经济学课程论文作业1

分析影响重庆市城镇居民消费的因素

摘要：刺激消费、扩大内需是推动中国经济增长的动力之一。本文在分析影响消费的主要因素的基础上,选择主要因素建立中国城镇居民消费计量模型。通过EVIEWS软件的实证分析，可以看出城镇居民的消费性支出与其收入之间有着内在的联系，同时居民的储蓄对消费也有很大程度的影响。据此，并提出了相关促进重庆市居民消费水平提高的一些政策取向。

关键词：居民消费；可支配收入；储蓄

一、引言

改革开放以来，中国经济建设取得了今世人瞩目的成就，国内生产总值有了较大幅度的增长，城乡居民收入不断增加。随着改革的深入, 特别是1998 年以来, 政府机构精简, 行政事业单位缩编, 国有企业下岗职工增多,使人们感觉到收入的持久性受到了威胁, 与此同时, 实际消费支出负担结构也发生了实实在在的变化, 未来的住房、医疗、子女教育费用将大部分由个人负担, 而且, 住宅价格、医疗费价格、教育费用上涨速度之快超过多数家庭收入增长速度。消费市场疲软,这种状况已制约了中国经济持续、快速、健康发展。要刺激消费、扩大内需,必须找出影响消费的关键因素,才能对症下药。重庆市作为中国最年轻的一个直辖市，重庆直辖和国家实施西部大开发战略，有力地推动着重庆经济发展和社会全面进步。一个地区的消费情况在很大程度上反映了这个地区的经济发展水平，扩大城镇居民的消费也不可避免的成为推动重庆经济增长的一项重要手段。因此，通过对影响重庆市城镇居民消费的因素的分析，作出相关政策建议，刺激消费促进重庆市的经济增长。

二、文献综述

经济学中关于消费理论的分析主要有绝对收入假说、相对收入假说和恒常收入假说。绝对收入假说理论的提出者是凯恩斯，他在《通论》中关于消费函数的论点主要有：消费支出取决于收入的绝对水平；平均消费倾向随着收入的增加而减少，即收入越高，消费在收入中所占的比例越小；边际消费倾向大于零而小于一"。凯恩斯谈到的消费函数是截距型：C=f(y)=a+by，其中y表示收入，a表示自主消费，b表示引致消费。a是同收入无关的的必须的消费，b表示会随着收入的增加而增加的消费，作为边际消费倾向在通常情况下b的值小于1。这种建立在心理规律基础之上的绝对收入假说是以偶然的观察为判断的依据，凯恩斯认为他的假说与理性的消费者行为是一致的。

詹姆斯·杜森贝里提出了相对收入假说，认为人的消费行为具有强烈的模仿性和追求更高生活水平的倾向，人们在消费方面总是力图向别人看齐，收入在长期内是不断增长的，消费与收入的基本关系是成比例的，即长期消费函数为c=b*y。杜森贝里认为，短期内消费与收入之间的关系是c=a+b*y，如果经济在长期趋势中稳定地持续增长，消费支出将按一个固定的比率稳定增长，即c=b*y。但由于在经济增长的长期过程中，国民收入会随经济周期而相应地出现大起大落，人们对消费的态度也会变动，消费与收入的函数也会在长期、短期和稳定中变化。

米尔顿·弗里德曼在1957年出版的《消费函数理论》一书中提出了恒常收入假说，认为消费与收入的基本关系是恒常消费Cp取决于恒常收入Yp，二者之间存在着固定不变的比例关系：Cp=b*Yp。恒常收入假说不包含与长期相对应的短期消费函数，因为这一假说中恒常收入与恒常消费之间存在着固定不变的比例关系。但现实收入与消费同恒常收入与消费并不一致，存在着暂时收入与暂时消费，所以，可以从恒常收入消费函数推导出描述现实的消费与收入之间关系的周期的消费函数。即恒常收入假说也是提供了一种能把经验的短期消费函数和经验的长期消费函数协调起来的假说或理论。

三、理论分析

在现实生活中,影响消费的因素很多,如收入水平、商品价格水平、利率水平、收入分配状况、消费者偏好、家庭财产状况、消费信贷状况、消费者年龄构成、制度、风俗习惯等等。但考虑到样本数据的可收集性和重庆市经济的实际情况,选择了人均可支配收入、人均国内生产总值、人均人民币储蓄年末存款余额、商品零售价格指数作为影响消费的主要变量。GDP 是衡量一个国家经济实力,也是世界银行划分高收入、中等收入、低收入国家的主要标志,一般来说,人均GDP 高的国家,表明该国经济实力强, 人民消费水平高, 同时在中国,居民消费是在国内生产总值经过初次分配和再次分配后形成的, 由此选择了人均GDP;储蓄是指可支配收入中未被消费掉的部分, 两者之间是此消彼长的关系, 过度储蓄会直接减少市场上的有效需求,并在货币市场上产生收缩效应,使商品市场长期低迷,可见储蓄和消费息息相关；根据日常观察和统计研究都表明, 当前可支配收入水平是决定一个国家消费的核心因素 , 因此人均可支配收入的入选毫无疑问;商品的价格在很大程度上也是促成居民消费心理的因素。

四、模型的设计与数据来源

根据上述分析，选择人均消费水平（Y）作为被解释变量，人均国内生产总值（X1）、人均人民币储蓄年末存款余额（X2）、人均可支配收入（X3）、商品零售价格指数（X4）作为解释变量。以重庆市1985年到2005年的来源于《重庆统计年鉴2006》的指标数据（见附表）为样本，根据样本数据作出被解释变量（Y）和解释变量X1、X2、X3、X4之间的 散点图：

于是得到以下一般模型：

Y=aX1+bX2+cX3+dX4+Ut(其中Ut为随机扰动项；a、b、c、d为待估参数。)

五、模型的求解、检验

利用EVIEWS软件，用OLS进行初次回归分析结果如下：

得方程如下：

Y = 0.1112*X14.6572*X4 + 541.1243（0.6032）（-2.4603）（6.1044）（-1.4088）（1.4547）R2=0.9981 F=2591.563 DW=1.6811(一)经济意义的检验

从经济意义上来说居民消费会随着人均GDP和人均可支配收入的增加而增加,即与之呈正相关;同时会随着商品价格和储蓄的增加而减少,即与之呈负相关；截距项说明不受 其他因素影响而发生的必要消费。各参数值意义明确，除X4不符合凯恩斯经济理论中边际消费倾向在0与1之间的绝对收入假说外，其他三个指标大小和符号都符合实际，没有明显的错误。

（二）计量经济的检验

1、多重共性检验

（1）通过经济意义的检验和统计推断的检验，可以认为解释变量间存在多重共线性。建立相关系数表

相关系数表

从表中数据可以发现X1、X2、X3之间存在高度相关性。（2）找出最简单的回归形式

Y = 0.8785*X1 + 686.4273

Y = 0.9568*X2 + 1686.2959

Y = 0.8572*X3 + 136.8570

Y =-156.8597*X4 + 20532.8942

可见，居民消费受可支配收入的影响最大，与经验相符，因此选Y = 0.8572*X3 + 136.8570 为初始的回归模型。（3）逐步回归

将其他解释变量分别导入上述初始回归模型，寻找最佳回归方程。

第一步，在初始模型中引入X2，模型拟合优度提高，参数符号也合理，变量也通过了t检验；

第二步，再引入X1，拟合优度仍然很高，但X1的参数不能通过检验。

第三步，去掉X1，引入X4，虽然拟合优度略有提高，但X4的参数未能通过t检验。

第四步，去掉X2，引入X1，拟合优度仍然很高，但X4的参数还是不能通过t检验。

从第二、三、四步表明X1与X4是多余的变量。同样还可以继续验证，如果用与X3高度相关的X1替代X3，则X1与X2、X4间的任意线形组合，对X4来说也一样不能达到以X2、X3为解释变量的回归效果。因此，居民消费函数应以Y=f（X2、X3）为最优，拟合结果如下：

Y =-0.1135*X2 + 0.9507*X3 +11.2616

2、异方差性的检验 残差图形分析法

E2不随xr的变化而变化，所以不存在异方差。

3、序列相关性的检验

自相关检验，设定模型为:lnYt=a+blnX1+clnX2+dlnX3+flnx4+u 判定时间序列是否存在自相关现象。

采用D-W检验，检验U的自相关性。由Eviews软件分析得：

DW值为1.100418。在a=0.05下查表得Du =1.37 Dl=1.10。dw>dl,所以不存在自相关。

4、单位根检验及协整

Lny序列的ADF检验

由检验结果可知在5%的显著性水平下，t检验统计量绝对值小于临界值，表明lny序列是非平稳列。

Lnx1序列的ADF检验

由检验结果表明lnx1序列是非平稳列。

Lnx2序列的ADF检验

由检验结果表明lnx2序列是非平稳列。

Lnx3序列的ADF检验

由检验结果表明lnx3序列是非平稳列。

Lnx4序列的ADF检验

由检验结果表明lnx4序列是非平稳列。

为了得到lny、lnx1、lnx2、lnx3、lnx4的序列单整阶数，用Eviews软件做ADF检验，结果如下：

Lny调平稳

Lnx1调平稳

Lnx2调平衡

Lnx3调平稳

Lnx4调平稳

由上式调平衡结果可知在5%显著性水平下单位根检验的临界值大于t检验统计量的值，表明lny、lnx1、lnx2、lnx3、lnx4序列不存在单位根，是平衡序列。为了分析lny、lnx1、lnx2、lnx3、lnx4是否存在协整关系，对它们做回归，然后检验回归残差的平平稳性，以lny为被解释变量，其他为解释变量，用ols回归方法估计回归模型，结果如下：

估计和回归模型为: lny=-0.0681+0.069lnx1-0.069lnx2+1.012lnx3-0.039lnx4(-0.09445)(0.4004)（-0.8287）（4.3312）（-0.2281）R2=09975 DW=1.1004 检验回归残差的平稳性，DF检验结果：

从结果上看，残差序列不存在单位位根，旧平稳序列，存在协整关系。把回归式中误差项e看作均衡误差项。误差修正模型为：

△InY=a+b△InX1+c△Inx2+d△InX3+f△Inx4+jE+z 分别得到Y、X1、X2、X3对数的差方序列

DY=InYt-InYt-1 DX1=InX1t-InX1t-1 DX2=InX2t-InX2t-1 DX3=InX3t-InX3t-1 DX1=InX4t-InX4t-1 以DY为被解释变量DX1，、DX2、DX3、DX4、E为解释变量，回归结果如下： 利用Eviews软件可：

得到误差修正模型为： DG=-0.0306++0.3040df+3.8e+m（-1.1957）(6.0811)(0.0446)R2=0.7830 DW=1.9283 得到误差项估计和系数为3.80。

六、政策建议

在上述模型建立与分析的基础上,结合重庆市经济实际,提出如下刺激消费、推动经济增长的政策建议:(一)提高居民收入是关键

经济理论和居民消费模型都表明,要刺激消费, 最重要的是提高居民收入水平, 从而增加人们对未来的信心。

10(二)建立健全社会保障制度

从企业保障制度向统一的社会保障制度的改革,目的是为居民建立更为安全、规范、覆盖面更广的保障制度,特别是个人帐户与社会统筹相结合的社会保障资金管理办法可以使居民更好地解除住房、医疗、养老、失业救济等问题的后顾之忧。(三)扩大社会投资

在经济不景气、市场疲软时,适度扩大投资, 不仅直接增加对投资品的需求, 而且有部分的固定资产投资将转化为消费资金, 间接扩大对生活消费品的需求。(四)培育新的经济增长点

重庆市目前新的经济增长点主要是指住宅业、教育产业、信息通讯业、旅游业和高新技术产业、社区服务业等无污染、低能耗、低物耗、适合重庆市生存和发展的产业。(五)积极开拓农村市场

占人口70 %的农村居民所拥有的市场潜力是不言而喻的。城乡居民的消费水平和消费构成的差距在很长一段时间里是根本无法消除的,这种消费差距就蕴育着巨大的市场空间。

（六）合理调整市场利率

市场利率的调整必须与心理预期相结合。中华民族一直崇尚节俭, 所以时间偏好率的值比较高, 导致以往的降息对刺激消费的作用并不大, 只有在降息的同时, 辅以其它的措施(如前所述), 调整居民的心理预期, 才会增加即期消费。

参考文献：

[1] 李恩辕，商有光.计量经济学.哈尔滨工业大学出版社.[2] 李春艳，张景富.影响中国城镇居民消费的因素分析及对策.当代经济研究.[3] 重庆统计年鉴2006.[4] 董锐, 黄漫宇.论收入分配结构调整对扩大消费的影响.商业时代.[5] 杨天宇.中国居民收入分配影响消费需求的实证研究.消费经济.[6] 刘江丽, 赵峰.消费函数理论的新发展.教学与研究.[7] 张圣兵.凯恩斯的消费函数理论与中国的消费和就业机制.南京经济学院学报.[8] 孙艳, 蔡杰.中国消费函数理论研究综述.统计与决策.[9] 任天飞, 肖彦花.消费函数理论的发展及在中国的运用.湘潭大学社会科学学报.11 [10]百度网站 [11]中国知网 [12]维普咨询

[13]中国期刊全文数据库

附录：

年份

人均消费支出

人均GDP 人均人民币储蓄年末存款余额 人均可支配收入 商品零售价格指数

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 711.13 893.84 1043.86 1323.17 1382.66 1569.97 1754.2 1928.63 2397.08 3126.56 4051.53 4467.12 4919.63 4956.8 5376.69 5471.7 5724.9 6360.2 7118.06 7973.05 8623.29 551 611 673 840 965 1031 1166 1427 1870 2541 3395 3942 4485 4721 4866 5202 5706 6407 7280 8584 9727 92 124 156 176 235 316 415 523 668 956 1337 1656 1908 2368 2959 3511 4252 5122 6059 6964 8033 812.4 983.99 1108.71 1277.89 1448.98 1691.13 1891.9 2195.33 2780.62 3634.33 4375.43 5022.96 5302.05 5442.84 5828.43 6176.3 6572.3 7238.07 8093.67 9220.96 10243.99 110 104.2 110.5 123.3 116.5 100.1 106.1 109.8 116.3 126.5 116.3 106.1 101.7 94.5 96.5 95.5 99 98.9 99.5 101.4 98.7 13

第四篇：余弦定理证明过程

在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用边角关系表示，DB可利用AB－AD转化为AD，进而在Rt△AＤC内求解。

解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CＤB中，根据勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2

∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2



又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2

∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2

－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

第五篇：余弦定理证明过程

余弦定理证明过程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。