同济六版上册高数总结(一些重要公式及知识点)

第一篇：同济六版上册高数总结(一些重要公式及知识点)

同济六版上册高数总结

微分公式与积分公式

(tgx)secx

(ctgx)csc2x

(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna

1(logax)xlna2(arcsinx)1x21(arccosx)x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aa

dx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a



2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2csc2sinxxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C

2Insinxdxcosnxdx00n1In2n







x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22

三角函数的有理式积分：

2u1u2x2du

sinx，cosx，utg，dx

21u21u21u2

两个重要极限：

公式1lim

sinx

1公式2lim(1x)1/xe

x0x0x

有关三角函数的常用公式

和差角公式：

和差化积公式：

sinsin2sin

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()

tgtg1tgtgctgctg

1ctg()

ctgctg



22

sinsin2cossin

22

coscos2coscos

22

coscos2sinsin

cos



三倍角公式:半角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)sin(α/2)=±√(1-cosα)/2cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαCos(α/2)=±√(1+cosα)/2

降幂公式:万能公式：

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

推导公式

tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

abc

2R正弦定理：

sinAsinBsinC

余弦定理： c2a2b22abcosC反三角函数性质：arcsinxarccosx



arctgxarcctgx



(特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0即可）

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(nk)(k)

Cnuvk0n

u(n)vnu(n1)v

n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)

uvuvuv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()



F(b)F(a)F()

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：dsy2dx,其中ytg平均曲率：K



:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。s

yd

M点的曲率：Klim.23s0sds(1y)

直线：K0;1

半径为a的圆：K.a

定积分的近似计算：

b

f(x)

ab

ba

(y0y1Lyn1)n

ba1

[(y0yn)y1Lyn1] n2

f(x)

a

定积分应用相关公式：

功：WFs

水压力：FpA

mm

引力：Fk122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：yf(x)dxbaa12f(t)dtbaa

b

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：

g(y)dyf(x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。

dyy

f(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxx

ydydududxduy设u，则ux，u(u)，代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy

1P(x)yQ(x)

dx

P(x)dx

当Q(x)0时,为齐次方程，yCe

当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edy

2P(x)yQ(x)yn，(n0,1)

dx

P(x)dx

dxC)e

P(x)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：

uu

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0P(x,y)Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydy

P(x)Q(x)yf(x)2

dxdxf(x)0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；

2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

第二篇：高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册）函数：

绝对值得性质：(1)|a+b||a|+|b|

(2)|a-b||a|-|b|

(3)|ab|=|a||b|

a|a|(b0)(4)|b|=|b|

函数的表示方法：

（1）表格法

（2）图示法

函数的几种性质：

（1）函数的有界性（2）函数的单调性

（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性 反函数：

（3）公式法（解析法）

1yf(x)yf(x)存在，且是单定理：如果函数在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数值、单调的。

基本初等函数：

（1）幂函数

（3）对数函数

（5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：

（2）指数函数（4）三角函数

定义：设xn是一个数列，a是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N的一切xn，不等式

limxnxn极限，或称数列收敛于a，记做naxna都成立，则称数a是数列xn的，或xna（n）

收敛数列的有界性： 定理：如果数列xn收敛，则数列xn一定有界

推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛

函数的极限：

定义及几何定义 函数极限的性质：

limf(x)Axx0（1）同号性定理：如果，而且A>0(或A<0),则必存在x0的某一邻域，当x在该邻域内（点x0可除外），有f(x)0（或f(x)0）。（2）如果xx0limf(x)A，且在x0的某一邻域内（xx0），恒有f(x)0（或f(x)0），则A0（A0）。

limf(x)limf(x)（3）如果xx0存在，则极限值是唯一的

（4）如果存在，则在f(x)在点x0的某一邻域内（xx0）是有界的。无穷小与无穷大：

注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小xx0f(x)的唯一的常数，因为如果f(x)0则对任给的0，总有，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。无穷小与无穷大之间的关系：

1（1）如果函数f(x)为无穷大，则f(x)为无穷小

1（2）如果函数f(x)为无穷小，且f(x)0，则f(x)为无穷大

具有极限的函数与无穷小的关系：

（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和

（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质：

定理：

（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小（2）有界函数f(x)与无穷小a的乘积是无穷小

推论：

（1）常数与无穷小的乘积是无穷小（2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则：

定理：两个函数f(x)、g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和 两个函数f(x)、g(x)乘积的极限等于它们的极限的乘积

极限存在准则与两个重要极限：

准则一（夹挤定理）

设函数f(x)、g(x)、h(x)在xx0的某个邻域内（点x0可除外）满足条件：

（1）g(x)f(x)h(x)（2）xx0xx0limg(x)A，xx0limh(x)A

则 准则二

单调有界数列必有极限

定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在 limf(x)A

重要极限：

sinx1x0x（1）lim

1cosx12x02 x（2）

lim11xlim(1)elim(1x)xex（3）x或x0

无穷小阶的定义： 设、为同一过程的两个无穷小。

lim

（1）如果0，则称是比高阶的无穷小，记做o()，则称是比低阶的无穷小

（2）如果lim

（3）如果limc(c0,c1)，则称与是同阶无穷小 1，则称与是等阶无穷小，记做~

（4）如果lim几种等价无穷小：

对数函数中常用的等价无穷小： x0时，ln(1x)~x(x0)

loga(1x)~1x(x0)lna

三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小： x0时，sinx~xtanx~x1cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x

指数函数中常用的等价无穷小： x0时，ex1~xax1exlna1~lna

xn 二项式中常用的等价无穷小：

x0时，(1x)1~axan1x1~函数在某一点处连续的条件：

limf(x)f(x0)xx0 由连续定义可知，函数f(x)在点x0处连续必须同时满足下列三个条件：（1）f(x)在点x0处有定义

limf(x)xxf(x)xx00（2）当时，的极限存在（3）极限值等于函数f(x)在点x0处的函数值f(x0)

如果函数f(x)在点x0处连续，由连续定义可知，当xx0时，f(x)的极限一定存在，反极限与连续的关系：

之，则不一定成立

函数的间断点：

分类：第一类间断点(左右极限都存在)第二类间断点(有一个极限不存在)连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数f(x)、g(x)在点x0处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x0也连续 反函数的连续性： 定理：如果函数yf(x)在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数x(y)也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数

最大值与最小值定理：

值 推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界

定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，两端点处的函数值分别为f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A与B之间的任一值，则在开区间(a,b)内至少有一点定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小介值定理：

，使得

f()(ab)

推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

推论（2）：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0(两端点的函数值异号)，则在(a,b)的内部，至少存在一点，使f()0

导数与微分 导数： 定义：y'limx0f(xx)f(x)x

导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率

函数可导性与连续性之间的表示：

如果函数在x处可导，则在点x处连续，也即函数在点x处连续

一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导：（1）y'|xx0limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

（2）y'|xx0limxx0f(x)f(x0)xx0

f(xx)f(x)x（3）y'|xx0limx0基本初等函数的导数公式：

（1）常数导数为零(c)'0

nn1(x)'nx（2）幂函数的导数公式

（3）三角函数的导数公式

(sinx)'cosx

(cosx)'sinx 1(cotx)'csc2x2(secx)'secxtanx sinx

(cscx)'cscxcotx

(tanx)'1sec2x2cosx

（4）对数函数的导数公式：（5）指数函数的导数公式：

xx(e)'e（6）

(logax)'11logaexxlna

(ax)'axlna

（7）反三角函数的导数公式：

1x2

1(arctanx)'1x2(arcsinx)'1

(arccosx)'11x2 1(arccotx)'1x2

函数和、差、积、商的求导法则： 法则一（具体内容见书106）

(uv)'u'v'

(uv)'u'v'

函数乘积的求导法则： 法则二（具体内容见书108）

(uv)'u'vuv'

uu'vuv'()'vv2 函数商的求导法则： 法则三（具体内容见书109）

复合函数的求导法则：（定理见书113页）

反函数的求导法则：

反函数的导数等于直接函数导数的倒数 基本初等函数的导数公式：（见书121页）

d2yddy()2dxdx 高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 dx求n阶导数：（不完全归纳法）

(sinx)(n)sin(xn）(cosx)(n)cos(xn）2

2隐函数的导数：（见书126页）

对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y是x的函数，它的导dy'ydx数用记号（或表示）

对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）

x(t)(t)y(t)由参数方程所确定的函数的导数：

dydydtdy1'(t)dxdtdxdtdx'(t)dt

微分概念：

函数可微的条件

如果函数f(x)在点x0可微，则f(x)在点x0一定可导 函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0可导 dyf'(x0)x

函数的微分dy是函数的增量y的线性主部（当x0），从而，当

x很小时，有ydy

通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记做dx。即于是函数的微分可记为

dyf'(x)'dyf(x)dx，从而有dx

基本初等函数的微分公式： 几个常用的近似公式：

f(x)f(0)f'(0)x

n

1x11xn

sinxx（x用弧度）

e21x

tanxx（x用弧度）

ln(1x)x

中值定理与导数应用

罗尔定理：如果函数f(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续（2）在开区间a,b内具有导数

'（3）在端点处函数值相等，即f(a)f(b)，则在a,b内至少有一点，使f()0

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续

（2）在开区间a,b内具有导数，则在a,b内至少有一点，使得f(b)f(a)f'()(ba)定理几何意义是：如果连续曲线yf(x)上的弧AB除端点处外处处具有不垂直于x轴的切线，那么，在这弧上至少有一点c，使曲线在点c的切线平行于弧AB 推论：如果函数f(x)在区间a,b内的导数恒为零，那么f(x)在a,b内是一个常数

柯西中值定理：如果函数f(x)与F(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续（2）在开区间a,b内具有导数

‘F（3）(x)在a,b内的每一点处均不为零，则在a,b内至少有一点使得f(b)f(a)f'()'F(b)F(a)F()

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理）

00未定式

1、xa情形

定理：如果(1)当xa时，f(x)与(x)都趋于零

'''f(x)(x)（2）在点a的某领域（点a可除外）内，与都存在且(x)0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimxaxa(x)xa(x)（3）(x)存在（或为），则极限存在（或为），且f'(x)lim'xa(x)=

在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则

2、x情形

推论：如果（1）当x时，f(x)与(x)都趋于零

'''f(x)(x)（2）当|x|>N时，与都存在且(x)0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx(x)x(x)x（3）(x)存在（或为），则极限存在（或为），且f'(x)lim'x(x)=

未定式

1、xa情形

如果（1）xa时，f(x)与(x)都趋于无穷大

'''f(x)(x)（2）在点a的某领域（点a可除外）内，与都存在且(x)0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimxa(x)xa(x)xa(x)（3）存在（或为），则则极限存在（或为），且=f'(x)lim'xa(x)

2、x情形 推论：如果（1）x时，f(x)与(x)都趋于无穷大

'''f(x)(x)（2）当|x|>N时，与都存在且(x)0

f'(x)f(x)lim'limxa(x)xa(x)（3）存在（或为），则则极限存在（或为），且f'(x)f(x)lim'limxa(x)xa(x)=

0注意：

1、洛必达法则仅适用于0型及型未定式

2、当泰勒公式（略）

迈克劳林公式（略）函数单调性的判别法： f'(x)limxa'(x)(x)不存在时，不能断定

f(x)xa(x)(x)lim不存在，此时不能应用洛必达法则

必要条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，如果f(x)在a,b上单调增

''a,bf(x)0f加（减少），则在内，（(x)0）

充分条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，'a,bf（1）如果在内，(x)0，则f(x)在a,b上单调增加 'a,bf（2）如果在内，(x)0，则f(x)在a,b上单调减少

函数的极值及其求法

极值定义（见书176页）极值存在的充分必要条件

'xxf(x)f00必要条件：设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则(x)0

函数的极值点一定是驻点

导数不存在也可能成为极值点

'f驻点：使(x)0的点，称为函数f(x)的驻点

充分条件（第一）：设连续函数f(x)在点x0的一个邻域（x0点可除外）内具有导数，当x由小增大经过x0时，如果 'f（1）(x)由正变负，则x0是极大点

'f（2）(x)由负变正，则x0是极小点 'f（3）(x)不变号，则x0不是极值点

';;xf(x)0ff(x)0充分条件（第二）：设函数在点0处具有二阶导数，且，(x0)0

;;f（1）如果(x0)0，则f(x)在x0点处取得极大值;;f（2）如果(x0)0，则f(x)在x0点处取得极小值

函数的最大值和最小值（略）

曲线的凹凸性与拐点： 定义：设f(x)在a,b上连续，如果对于a,b上的任意两点x1、x2恒有f(x1x2f(x1f(x2))22，则称f(x)在a,b上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。

判别法：

定理：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数

;;f(a,b)（1）如果在内(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凹的;;f(a,b)（2）如果在内(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凸的

拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。

不定积分

原函数：如果在某一区间上，函数F(x)与f(x)满足关系式： F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，则称在这个区间上，函数F(x)是函数f(x)的一个原函数 结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则在这个区间上f(x)必有原函数

定理：如果函数F(x)是f(x)的原函数，则F(x)C（C为任意常数）也是f(x)的原函数，且f(x)的任一个原函数与F(x)相差为一个常数 不定积分的定义：

f(x)dx定义：函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记做

(f(x)dx)'f(x)d(f(x)dx)f(x)dx不定积分的性质： 性质一：

或

f及'

(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C

性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即

[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx

性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

kf(x)dxkf(x)dx（k为常数，且k0 kdxkxC基本积分表：（1）（k是常数）

xa1xdxC(a1)a1（2）

a 1dxln|x|Cx（3）

x

e（4）xdxexC

axadxC(a0,a1)lna（5）

（6）sinxdxcosxC

（7）cosxdxsinxC

12dxsecxdxtanxC2（8）cosx

1dxcsc2xdxcotxCsecxtanxdxsecxC2（9）sinx（10）

（11）cscxcotxdxcscxC

（12）

11x2dxarcsinxC

（13）11x2dxarctanxC

'第一类换元法（凑微分法）f[(x)](x)dxF[(x)]C

tanxdxln|cosx|C

cotxdxln|sinx|C

第二类换元法：变量代换

被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式 基本积分表添加公式：

结论：

22ax如果被积函数含有，则进行变量代换xasint化去根式

22如果被积函数含有xa，则进行变量代换xatant化去根式

22xa如果被积函数含有，则进行变量代换xasect化去根式

分部积分法：

对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法 udvuvvdu

分部积分公式

三角函数指数函数

1、如果被积函数是幂函数与

令u等于幂函数 的积，可以利用分部积分法

对数函数

2、如果被积函数是幂函数与反三角函数的积，可使用分部积分法

对数函数 令u=反三角函数

3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。定积分

定积分的定义

定理：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积

定理：如果函数在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积 定积分的几何意义：

bf(x)dx

1、在[a,b]上f(x)0，这时a的值在几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积

2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲边梯形面积的负值

3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得负值 几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成平面图形位于x轴上方部分的面积减去x轴下方部分的面积 定积分的性质：

性质

一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即

aaa

性质

二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即

b[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxkf(x)dxkf(x)dxabbbba（k是常数）

性质

三、如果将区间[a,b]分成两部分[a,c]和[c,b]，那么

baf(x)dxf(x)dxf(x)dxacbcb、性质

四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么af(x)dxdxbaab

f(x)dx0性质

五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么a 性质

六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么

bbaf(x)dxg(x)dxab

性质

七、设M及m，分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则

f(x)dx

m(b-a)aM(b-a)(a

八、积分中值定理

bab ……估值定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在积分区间[a,b]上至少有一点，使得  f(x)dxf()(ba)微积分基本公式

积分上限的函数：(x)f(t)dtax（axb）

性质：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数‘(x)f(t)dtax在[a,b]上dx(x)f(t)dtf(x)adx具有导数，且

定理：在区间[a,b]上的连续函数f(x)的原函数一定存在

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么ba牛顿——莱布尼茨公式



f(x)dxF(b)F(a)

定积分的换元法

假设（1）函数f(x)在区间[a,b]上连续；

（2）函数x(t)在区间[,]上单值，且具有连续导数；

x(t)的值在[a,b]上变化，a，（）b，（3）当t在区间[,]上变化时，且（）b则有定积分的换元公式a f(x)dxf[(t)]'(t)dt

设f(x)在区间[a,a]上连续，则

f(x)dx0f(x)a（1）如果函数为奇函数，则（2）如果函数f(x)为偶函数，则a20aaf(x)dx2f(x)dx0a

0

定积分的分部积分法 sinxdx2cosnxdxn

'''''[a,b]u(x)v(x)u(x)v(x)(uv)uvvu设、在上具有连续导数、，那么，在等式的两边

bbb(uv)uv'dxvu'dxaaa分别求a到b的定积分得

b……定积分的分部积分公式

bbb'bb'uvdx(uv)vudxudv(uv)vduaaaaaa即 或

无穷区间上的广义积分

limf(x)dx定义：设函数f(x)在区间[a,]上连续，取b>a，如果极限ba存在，则称此极

b限为函数f(x)在区间[a,]上的广义积分，记做a无界函数的广义积分（见书279页）定积分的应用（见书286页）

元素法

在极坐标系中的计算法

f(x)dx即af(x)dxlimf(x)dxbab

第三篇：高数上册归纳公式篇(完整)

公式篇

目录

一、函数与极限 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限

二、导数与微分

1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式

3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算

三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理

3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率

四、定积分

1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分

五、不定积分

1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数

3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分

5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选)

六、定积分的应用 1.平面图形面积 2.体积

3.弧微分公式

七、微分方程 1.可降阶方程

2.变系数线性微分方程

3.常系数齐次线性方程的通解

4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选)

一、函数与极限

1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))

2.常用等价无穷小(x→0时)

3.两个重要极限

二、导数与微分

1.常用三角函数与反三角函数的导数公式

(凡是“余”求导都带负号)

2.n阶导数公式

特别地,若n

3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较

函数的0阶导数可视为函数本身

4.参数方程求导公式

5.微分近似计算(x很小时)

(注意与拉格朗日中值定理比较)常用:

(与等价无穷小相联记忆)

三、微分中值定理与导数的应用

1.一阶中值定理

(f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导)罗尔定理(端点值相等f(a)f(b))

拉格朗日中值定理

柯西中值定理(g'(x)0≠0)

2.高阶中值定理(f(x)在(a,b)上有直到(n1)阶导数)泰勒中值定理

Rn为余项

(ξ在x和x0之间)令x00,得到麦克劳林公式

3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)

4.曲率

四、不定积分

1.部分三角函数的不定积分

2.几个简单分式的不定积分

五、定积分

1.利用定积分计算极限

2.积分上限函数的导数

推广得

3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理(1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)

(2)积分中值定理 函数f(x)在[a,b]上可积

f()称为f(x)在[a,b]上的平均值

4.三角相关定积分

三角函数系的正交性

5.典型反常积分的敛散性(1)无穷限的反常积分

推论1

(2)瑕积分(无界函数的反常积分)

推论2

Convergence:收敛,Divergence:发散

6.Γ函数(选)

(1)递推公式:推论:(2)欧拉反射公式(余元公式)

六、定积分的应用 1.平面图形面积(1)直角坐标: 由曲线yf(x)0及xa,xb与x轴围成图形

(2)极坐标: 有曲线()及,围成图形

2.体积

(1)绕x轴旋转体体积

(2)平行截面面积已知的立体的体积

平行截面(与x轴垂直)面积为A(x)

3.弧微分公式(1)直角坐标:

(2)极坐标:

七、微分方程 1.可降阶方程(1)y(n)

f(x)型

n次积分得

(2)y“f(x,y')型

作换元py'得p'f(x,p)得通解p(x,C1)则y(x,C1)dxC2 (3)y”f(y,y')型

dpdpdpp,pf(y,p)dxdxdxdy得通解p(y,C1)

dx作换元py',y“则dy(y,C1)xC2

2.变系数线性微分方程

(1)一阶线性微分方程:y'P(x)yQ(x)

P(x)dx对应齐次方程: y'P(x)y0的通解为YCe

原方程y'P(x)yQ(x)的通解为

y(Q(x)eP(x)dxP(x)dxdxC)e

一阶线性非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解和非齐次方程一个特解的和

(2)高阶线性微分方程

(n1)y(n)P(x)yPn1(x)y'Pn(x)yQ(x)1(n1)对应齐次方程为y(n)PPn1(x)y'Pn(x)y0 1(x)y若y1(x),y2(x),,yn(x)为齐次方程n个线性无关解

则齐次方程的通解为Y(x)C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)若y*(x)为非齐次方程的一个特解 则非齐次方程的通解为yY(x)y*(x)

3.常系数齐次线性方程的通解(1)二阶方程y”pyq0 特征方程为rprq0 2①0,两个不等实根r1通解为yC1e1C2e2 rxrxbb,r2 2a2a②0,两个相等实根r1r2通解为y(C1C2x)e1 rxp 2③0,一对共轭复根r1i,r2i,通解为yex(C1cosxC2sinx)

(2)高阶方程y(n)p1y(n1)pn1y'pny0 特征方程为rnp1rn1pn1rpn0 对于其中的根r的对应项 ①实根r 一个单实根:Ce

一个k重实根:(C1C2xCkxk1)erx ②复根r1,2i

一对单复根:ex(C1cosxC2sinx)rxp,2 2一对k重复根: ex[(C1C2xCkxk1)cosx(D1D2xDkxk1)sinx] 通解为对应项之和

4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式

y“py'qyf(x),对应的特征方程为r2prq0

(1)f(x)exPm(x)

Pm(x)为x的m次多项式 特解形式为y*xkQm(x)ex

k0(非特征根)1(为特征单根)2(为特征重根)

Qm(x)是x的m次多项式

(1)(2)(2)f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

Pl(x),Pn(x)分别为x的l,n次多项式 x(1)(2)特解形式为y*x[Qm(x)cosxRm(x)sinx]e kxmmax{l,n},Qm(x),Rm(x)为x的m次多项式 记zi

k0(z非特征根)1(z为特征复根)

5.特殊形式方程(选)(1)伯努利方程

dyP(x)yQ(x)yn

(n0,1)dxdyynP(x)y1nQ(x)

dxdzdy(1n)yn令zy1n, dxdxdz(1n)P(x)z(1n)Q(x)

dx得通解z(x,C)

y[(x,C)]

(2)欧拉方程 11n

xny(n)p1xn1y(n1)pn1xy'pnyf(x)

t作变换xe或tlnx,记Dd dtdydydtdyxDydxdtdxdt2d2ydy22dyxy”x2D(D1)y 2dtdxdtxy'xxky(k)D(D1)(Dk1)y将上各式代入原方程得到

Dnya1Dn1yan1Dyanyf(t)

此为常系数线性微分方程 可得通解y(t,C1,C2,,Cn)

即可得原方程通解y(x,C1,C2,,Cn)

第四篇：高数上册知识点总结

高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(yax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

x2xxlim1

3、无穷小：高阶+低阶=低阶

例如：limx0x0xxsinx4、两个重要极限：(1)lim1x0x(2)lim1xex01x1lim1e xxg(x)x经验公式：当xx0,f(x)0,g(x)，lim1f(x)xx0exx0limf(x)g(x)

例如：lim13xex01xx03xlimxe3

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：y|x|连续但不可导。

6、导数的定义：limx0f(xx)f(x)f'(x)xxx0limf(x)f(x0)f'x0

xx07、复合函数求导：dfg(x)f'g(x)g'(x)dx

例如：yxx,y'2x2x1 2xx4x2xx1

18、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx x2y21例如：解：法(1),左右两边同时求导,2x2yy'0y'x ydyx法(2),左右两边同时微分,2xdx2ydydxy9、由参数方程所确定的函数求导：若yg(t)dydy/dtg'(t)，则，其二阶导数：dxdx/dth'(t)xh(t)d(dy/dx)dg'(t)/h'(t)dyddy/dxdtdt 2dxdxdx/dth'(t)

210、微分的近似计算：f(x0x)f(x0)xf'(x0)例如：计算 sin31

11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：ysinx（x=0是x函数可去间断点），ysgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：f(x)sin（x=0是函数的振荡间断点），y断点）

12、渐近线：

水平渐近线：ylimf(x)c

x1x1（x=0是函数的无穷间xlimf(x)，则xa是铅直渐近线.铅直渐近线：若，xa斜渐近线：设斜渐近线为yaxb,即求alimxf(x),blimf(x)ax

xxx3x2x1例如：求函数y的渐近线

x2113、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f“(x0)=0，且x0；x>x0时，f“(x)<0或xx0时，f“(x)>0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。

18、改变单调性的点：f'(x0)0，f'(x0)不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）

19、改变凹凸性的点：f”(x0)0，f''(x0)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

21、中值定理：

(1)罗尔定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得f'()0

(2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得f(b)f(a)(ba)f'()

(3)积分中值定理：f(x)在区间[a,b]上可积，至少存在一点，使得bf(x)dx(ba)f()

a22、常用的等价无穷小代换：

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex1~2(1x1)~ln(1x)1cosx~12x2111tanxsinx~x3,xsinx~x3,tanxx~x3263

23、对数求导法：例如，yxx，解：lnyxlnx1y'lnx1y'xxlnx1 y24、洛必达法则：适用于“

0”型，“”型，“0”型等。当0xx0,f(x)0/,g(x)0/，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)0，则f(x)f'(x)exsinx10excosx0exsinx1limlim

例如，limlimlim 2xx0g(x)xx0g'(x)x0x0x0x02x02225、无穷大：高阶+低阶=高阶

例如，26、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法（凑微分法）

(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：

23x12x3limx2x5x22xlim4

x2x53a2x2，可令xasint；x2a2，可令xatant；x2a2，可令xasect

2)当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x1 t27、分部积分法：udvuvvdu，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积

x3分出现循环形式的情况，例如：ecosxdx,secxdx 

28、有理函数的积分：

例如：3x22(x1)x11dxdx2dxx(x1)3x(x1)3x(x1)2x13dx

11x1xx1x1dx需要进行拆分，令 x(x1)2x(x1)2x(x1)2x(x1)(x1)2其中，前部分111 2xx1(x1)

29、定积分的定义：

f()x f(x)dxlima0iii1bn30、定积分的性质：

b(1)当a=b时，f(x)dx0；

aba(2)当a>b时，f(x)dxf(x)dx

abaaa(3)当f(x)是奇函数，f(x)dx0,a0

a(4)当f(x)是偶函数，baf(x)dx2f(x)dx

0cb(5)可加性：f(x)dxf(x)dxf(x)dx

aacxxd31、变上限积分：(x)f(t)dt'(x)f(t)dtf(x)dxaad推广：dxu(x)f(t)dtfu(x)u'(x)

ab32、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：

bbf(x)dxF(b)F(a)

a33、定积分的分部积分法：udvuvvdu

例如：xlnxdx

abaabb

34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：

f(x)dxlimf(x)dx

aabbta

(2)无界函数的反常积分：

35、平面图形的面积：

(1)Af(x)dxlimf(x)dx

atdf(x)f(x)dx

(2)A(y)(y)dy 2121ac(2)绕y轴旋转，f(x)dxV(y)dy 2acbdb36、旋转体的体积：

(1)绕x轴旋转，V

第五篇：高数上册总结知识点修订版

高等数学难点总结（上册）

函数（高等数学的主要研究对象）

要着重掌握的常见函数类型：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）

函数极限的可能情况有24种（自变量6种，因变量4种），对于这其中任一种情形，都应该熟练掌握其分析定义（严格的数学表述）

极限的本质是：已知某一个量（自变量）的变化趋势，去考察另外一个量（因变量）的变化趋势

由极限的概念可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性等等，应当注意到，由极限概念所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

趋于零的极限称之为无穷小量，不同的无穷小量之间有阶的区别，类似可定义无穷大量 两个判断极限的重要准则：

1、夹逼原理；

2、单调有界数列必有极限。它们分别对应两个重要极限。

各种典型极限的计算

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系

连续：函数在某点的极限值 等于 函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

连续的概念相当于给我们提出了一种求极限的方法：代入法 闭区间上连续函数的性质。

不连续的情形：间断。其分类可根据连续不成立的条件逐一分析

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上所有函数在某点的增量我们都可以线性关系去近似它，但并不是任何时候这个近似都足够好，只有当误差足够小时，才能说该函数在该点可微分

对一元函数，连续不一定可导，可导必连续，可导等价于微分 各种典型导数和微分的计算

导数反映了函数在某点附近的变化快慢程度，因此可用来作为研究函数某些性质的工具，尤其是那些涉及讨论函数变化情况的性质。极值的概念，极值是局部而非整体性质的体现

费尔马定理：一个函数的极值点，要么不可导，要么导数为零

微分中值的三个定理：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。它们是同一个数学事实在不同的坐标系中的表达：对一个闭区间连续、开区间可导的函数来说，必存在区间内的一点，该点切线的斜率等于两端点连线的斜率。用导数研究函数的极值情况

用导数研究函数的增减性和凹凸性

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑几个问题：

1、一个函数能够用多项式来近似的条件是什么？

二、这个多项式的各系数如何求？

二、即使求出了这个多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），一般来说，余项的选取不同，对函数的要求也不同，常见的有皮亚诺和拉格朗日两种余项

不定积分：导数的逆运算 什么样的函数有不定积分

求不定积分的若干典型方法：凑微分、换元和分部 各种典型不定积分的计算。

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分 积分上限函数及其导数

微积分基本定理，其最重要的作用是将定积分（一个复杂和式的极限）与不定积分（导数的逆运算）相联系

积分中值定理，其对应的意义是变量的平均值

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法